(最新)年世纪金榜高中全程复习方略详细答案8.2

2y 5y
60 16 0
得：xy
2，2 ∴直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P
的
坐标是(2,-2). 答案：(2,-2)
(3)直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是______.
【解析】∵由直线l1与l2所组成的方程组
5x 5x
2y 2y
2x 3x
y 解4 得0直线a与l的交点
4y 1 0
E(3,-2)，E点也在直线b上.
在直线a：2x+y-4=0上取一点A(2,0)，设A点关于直线l的对
称点B的坐标为(x0,y0)，
由
y0
x
0
0 2
4 3
,解得B( ).
3
2 x0 2
4
0
y0 2
1
0
4， 8 55
由两点式得直线b的方程为 y (2) x 3，
12 22
(2)依题设及两点间的距离公式得：
a 02 5,解10得2： 1a7=±8；
(3)因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.
因此，两平行线间的距离为：d | 5 0 | 5.
22 12
答案：(1) 5 (2)±8 (3)
5
两直线的交点问题 【方法点睛】 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以 方程组的解为坐标的点即为交点. 2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)
②当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将 问题转化为①情形来解决. (2)在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大问 题 ①当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第 三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求; ②当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称， 将问题转化为①情形解决.
y
根据图形得到：四边形ABCD为
1B
边长是 2的正方形，所以面积 C
等于2，故①正确；
-1 o
A
1
x
②当点P为( 2，0)时，[OP]
5
=|x|+|y|= 2+0＜1,
5
-1 D
所以[OP]的最小值不为1，故②错误；
所以正确的结论有：①.
答案：①
【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的
1 2
;
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 2∶ 5 .若能，求P点坐
标；若不能，说明理由.
Hale Waihona Puke Baidu
【解题指南】(1)由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式， 可得关于a的方程，解方程即可得出a的值； (2)由点P(x0,y0)满足②③条件可得出关于x0、y0的方程组，解 方程组，即可求出点P的坐标，注意验证是否适合条件①.
解得: ,所以，所求直线方程为x+2y=0.
答案：x+2y=0
(2)因为两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0相交，因
此，当
yn 8
x1 2
m=0时，l1的方程为 ，l2的方程为 ，两直线相交，此
时，实数mm、 n8满足的条件为m=0，n∈R；当m≠0时，∵两直
2m
线相交，∴ ，解得m≠±4，此时，实数m、n满足的条件为
【解题指南】①根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段 函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积； ②认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1 是假命题. 【规范解答】①由[OP]=1，根据新定义 得：|x|+|y|=1,上式可化为：y=-x+1 (0≤x≤1)，y=-x-1(-1≤x≤0)，y=x+ 1(-1≤x≤0)，y=x-1(0≤x≤1),画出 图象如图所示：
【即时应用】 (1)思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？ 提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两 直线平行；有无数个交点时，两直线重合.
(2)直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是____.
【解析】由直线l1与l2所组成的方程组
5x 3x
无166解0，0 ∴直线l1与l2平行.
答案：平行
2.距离
点P1(x1,y1), P2(x2,y2)之间的距
离
P1P2 (x2 -x1)2 (y2 -y1)2
点P0(x0,y0)到直线 l:Ax +By +C =0的
距离 两条平行线
d Ax0 By0 C A2 B2
Ax+By+C1=0与Ax d
轴l.故有
A(
x1
2
x
2
)
B(
y1
2
y2
)
C
0
y1
y2
B
①
. ②
x1 x2 A
3.对称问题的类型 (1)点关于点对称；(2)点关于直线对称； (3)直线关于点对称；(4)直线关于直线对称. 以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称. 4.对称问题的具体应用 (1)在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小问题 ①当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为 所求；
【规范解答】(1)方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-
y+3=0的
交点y坐标4 为x(-28,1)，直线又过A(8,-4)，所以所求直线方程
1 4 2 8
为：
，即x+2y=0；
方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方
程为
x+y+1+ λ(1x-y+3)=0，
3
又因为直线过A(8,-4)，所以8-4+1+λ(8+4+3)=0，
1.两条直线的交点
直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方
程组
AA12xx
B1y C1 0 B2y C2 0
的解一一对应.
相交⇔方程组有_唯__一__解__，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组_无__解__；重合⇔方程组有_无__数__组__解__.
【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直 线方程中x、y的系数必须相等.
【例2】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a＞0),l2:-4x+2y+1=0和
l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是
7 10
5.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
【规范解答】(1)l2为2x-y-
1=0,
2
∴l1与l2的距离为
d
|a ( 1)| 2
22 12
7 5. 10
∵a＞0,∴a=3.
(2)设存在第一象限的点P(x0,y0)满足条件②,则P点在与l1、l2平
行的直线l′:2x-y+c=0上且
|
c
3
|
1
|c
g,即
1 2
|
或
525
c 13 2
c 11, 6
8 2 4 3
5
5
即2x+11y+16=0.
方法二：设直线b上的动点P(x,y)关于l：3x+4y-1=0的对
称点为Q(x0,y0).则
y0
x
0
y x
4 3
3
x
x0 2
4
y y0 2
1
, 0
解上式得：x0
y0
7x 24y 6 25
24x 7y 8 25
,
由于Q(x0,y0)在直线a：2x+y-4=0上，则
∴2x0-y0+123=0或2x0-y0+161 =0.
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有：
2x0 y0 3 2 gx0 y0 1 ,
5
5
2
即|2x0-y0+3｜=|x0+y0-1|,
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵P在第一象限，∴3x0+2=0不可能.
联立方程
2x 0
y0
【方法点睛】
距离公式的应用
1.两点间的距离的求法
设点A(xA,yA),B(xB,yB)，
AB xA xB 2 yA yB 2 .
特例：AB⊥x轴时，|AB|=|yA-yB| AB⊥y轴时，|AB|=|xA-xB|.
2.点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程 必须为一般式. 3.两平行直线间的距离的求法 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上 任意一点到另一条直线的距离. (2)利用两平行线间的距离公式.
新点拨和备考建议：
本题有以下两处创新点 创 (1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧 新 妙结合进行考查. 点 (2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查 拨 思维的创新,本题考查了学生的发散思维，思维方向
与习惯思维有所不同.
备 解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点： 考 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延； 建 (2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例
【例3】求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线 b的方程. 【解题指南】本题实质上是求直线的方程，可设法找到两个点 的坐标，再由两点式即可求出方程；本题还可利用求曲线方程 的方法求解，设所求曲线上任意一点，由该点关于直线l的对称 点在已知曲线上，即可求得.
【规范解答】方法一：由
【创新探究】新定义下的直线方程问题 【典例】(2012·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点 P(x,y)，定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点. 对于以下结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积 为2； ②设P为直线 5 x+2y-2=0上任意一点，则[OP]的最小值为1； 其中正确的结论有_____(填上你认为正确的所有结论的序号) .
和13x0-02y0+4=0,
2
解得
x
0
y0
3,
(1舍去)，
2
由
2x
0
y0
x0 2y0
11 6
0，得
x
0
40
y0
1 9， 37 18
∴存在P( 1 ,)3同7 时满足条件①②③.
9 18
【反思·感悟】在解答本题时，首先要根据题设条件，由点到 直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程(组)，这是 很关键的问题；另外，还要注意每种距离公式所要求的条件， 以防漏解、错解.
对称问题
【方法点睛】
1.对称中心的求法
若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标
公式求得a、b的值，即 a x1 x2 ，b y1 y2 ；
2
2
2.轴对称的两个公式
若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A≠0)对称， 则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称
m≠±4，n∈R.
【反思·感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定 直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要 注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用 直线系方程求解,其关键是利用已知点求λ的值; 2.考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存 在.
第二节 直线的交点坐标与距离公式
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三年2考 高考指数:★ 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平 行直线间的距离.
1.两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离 公式是高考的重点； 2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题； 3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答 题中考查.
+By+C2 =0间的距
离
C1 -C2 A2 B2
【即时应用】 (1)原点到直线x+2y-5=0的距离是________； (2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=________； (3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为_________.
【解析】(1)因为 d | 0 2 0 5 | 5.
【例1】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经 过点A(8,-4)的直线方程为___________； (2)已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交， 求实数m、n满足的条件. 【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也 可用过两直线交点的直线系解决；(2)两直线相交可考虑直线斜 率之间的关系，从而得到m、n满足的条件.
2 7x 24y 6 24x 7y 8 4 0,
25
25
化简得2x+11y+16=0是所求的直线b的方程.
【反思·感悟】1.此题是求直线关于直线对称的直线方程问题， 通过求解本题，我们可体会到求直(曲)线的对称直(曲)线方程 时可以转化为求点的对称点坐标来求解. 2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等 的情形，此时可直接写出直线方程.