幂函数、指数函数、对数函数比较大小
指数函数、幂函数、对数函数增长比较
4 3 2 1 o 1 2 x y=log2 x
3.482 4.959 6.063 3.24 4.84 6.67
10.556 … 11.56 1.766 … …
0.848 1.138 1.379 1.585
3.结合函数的图像找出其交点坐标 结合函数的图像找出其交点坐标. 结合函数的图像找出其交点坐标 x 从图像看出 y=log2 6 的图像 8 … 0 1 2 3 4 5 x的图像 7 与另外两函数的图像没有交点， 与另外两函数的图像没有交点 256 … y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128， 且总在另外两函数图像的下方， 且总在另外两函数图像的下方， y=x2 2的图像与 y=2x 25 36 49 64 … y=x 0 1 4 9 16 的图像有两个 交点(2， 和 交点 ，4)和（4，16）. ， ） 4.根据图像 分别写出使不等式 根据图像,分别写出使不等式 根据图像 log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自 变量x的取值范围 变量 的取值范围. 的取值范围 使不等式 log2 x<2x<x2 的x取值范围 取值范围 是(2，4); ， 使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围 取值范围 是(0，2)∪(4,+∞); ， ∪ 5.由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论
250 200 150 100 50
o
50 100 150 200 250 300习了 （1）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. ）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异 （2）幂函数、指数函数、对数函数的应用 ）幂函数、指数函数、对数函数的应用.
指数函数 幂函数 对数函数比较大小
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。
通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。
1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。
在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。
当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。
3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。
对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。
对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。
指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。
在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。
幂、指、对数的大小比较-高考数学复习
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析 因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
幂、指、对函数的增长比较(上课)
(4)若 0<lgm<1，即 1<m<10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是减函 数， 所以(lgm)1.7>(lgm)2.1； 若 lgm＝1，即 m＝10 时，(lgm)1.7＝(lgm)2.1； 若 lgm>1，即 m>10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是增函数， 所以(lgm)1.7<(lgm)2.1.
0.848 1.138 1.379 1.585
o
1
2
x
3.结合函数的图像找出其交点坐标.
x 从图像看出 0 1 2 3 4 y=log 5 26 7 8 … x的图像 与另外两函数的图像没有交点， x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 … y=2 且总在另外两函数图像的下方， 2 2 0 1 4 9 16 x 25 36 y= x 49 64 … y=x 的图像与 y=2 的图像有两个 交点(2，4)和（4，16）. 4.根据图像,分别写出使不等式
[方法总结]
Hale Waihona Puke (1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称
为“指数爆炸”． (2)在计算器或计算机中，1.10×1012 常表示成 1.10E＋12. (3)在区间(0， ＋∞)上， 尽管函数 y＝ax(a>1)， y＝logax(a>1) 和 y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在 同一“档次”上，随着 x 增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 快， 会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度， 而 y＝logax(a>1) 则增长会越来越慢，因此，总会存在一个 x0，当 x>x0 时，就 有 logax<xn<ax.
精品讲义：最全数学比较大小的方法总结
高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.【方法归纳】（一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2） （3）（4）换底公式： 进而有两个推论： （令） （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则：（1）（2） 3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：单调递增；单调递减 （2）定义形式：或： ()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1113423,4,5()()()11111143634212121233,44,55===2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3nm m na a ⎛⎫= ⎪⎝⎭log log log a a a M N MN +=log log log a a aM M N N-=()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>log log log c a c bb a=1log log a b b a =c b =log log m n a a nN N m=()f x [],a b []()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x =+()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()'0f x f x >⇒()()'0f x f x <⇒()()12120f x f x x x ->-()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整 （3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大 2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2019全国Ⅰ卷理数】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】即则． 故选B ．例2.【2019全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，但，则A 错，排除A ；由，知B 错，排除B ；取，满足，但，则D 错，排除D ；因为幂函数是增函数，，所以，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．例3.【2019全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，． ()f x x a =(),a +∞()f x x a =(),a +∞0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=01,c <<a c b <<2,1a b ==a b >ln()0a b -=219333=>=1,2a b ==-a b >|1||2|<-3y x =a b >33a b >()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x Q R 331(log )(log 4)4f f ∴=，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．例4.【2017天津】已知奇函数在R 上是增函数，.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C ．例5.【2017山东】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，，所以选B. 例6.【2019天津理数】已知，，，则的大小关系为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】因为， ， ，即，所以. 故选A.【最新模拟】1．（2020·福建高三（理））设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a bc d ,,,的大小关系为（ ）A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =a b c <<c b a <<b a c <<b c a <<C ()f x R 0x >()0f x >()()g x xf x =R [0,)+∞22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<b a c <<()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b <+<+()21log 2a b a a b b +<+<()21log 2a ba b a b +<+<0a b >>1ab =()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+5log 2a =0.5og 2.l 0b =0.20.5c =,,a b c a c b <<a b c <<b c a <<c a b <<551log 2log 2a =<=0.50.5log 0.2log 0.252b =>=10.20.50.50.5c <=<112c <<a c b <<中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=， 中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（ ）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C【解析】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C 5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b =<=102019201820181c =>=，故本题选C.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C .7．（2020·河南高三月考（文））己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】因为104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a c b >>，故选：B.8. （2020·广东高三月考（文））已知3log 8a =，0.80.25b -=，c =则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<【答案】D【解析】3log 82<，0.80.8 1.6 1.50.254222-==>=>，∴a c b <<． 故选：D.9. （2020·新兴县第一中学高三期末（理））函数()()2x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0,0b c <>B ．0,0b c >>C ．0,0b c ><D ．0,0b c <<【答案】C 【解析】∵()()2x bf x x c -+=+的图象与y 轴交于M ,且点M 的纵坐标为正，∴20by c =>，故0b >， ()()2x bf x x c -+=+Q 定义域为{}|x x c ≠-其函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <.故选：C10.（2020·云南高三（理））已知1t >，235=log ,log ,=log x t y t z t =，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<【答案】D【解析】由题意222log x t ==，333log y t ==，555log z t ==，116228==113639==，易知113223<，11510525=，11102232=，即115252<， ∴1115321523<<<，又1t >，∴325y x z <<，故选D ．11．（2020·天水市第一中学高三月考（理））定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的曲线，且()()2xf x f x e =-，当0x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）A ．()()523e f f <- B ．()()523f e f <- C ．()()523e f f ->D ．()()523f e f -<【答案】B【解析】构造函数()()x f x g x e=，因为()()2xf x f x e =-，所以()()2x f x f x e-=，则()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====， 所以()g x 为偶数，当0x >时，()()()0xf x f xg x e'-'=>， 所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以有()()32g g >，则()()32g g ->，即()()3232f f e e-->，即()()532e f f ->. 12. ．（2020·海南中学高三月考）已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】∵())lnf x x =∴()ln()f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <<，∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=. ∴()()f x f x =-，∴函数()f x 是偶函数， ∴当0x >时，易得())f x x =为增函数 ∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=， ∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>，∴c a b >>，故选D.13. （2020·黑龙江实验中学高三开学考试（文））若2log 3a =，4log 8b =，5log 8c =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】a b c >>【解析】由于42221log 8log 8log log 2b a ===<=，即a b >.由于48811log 8log 4log 8b c ==>=，即b c >.所以a b c >>. 14、（2020·山东高三月考）已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的 条件 .（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞，由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件． 15. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））已知||()2x f x x =g，3(log a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】c a b >>【解析】由函数的解析式可知函数为奇函数，当0x ≥时，()2xf x x =⋅，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，由于331ln 31log 0log 2>>>>, 故()(3132f ln f log f log ⎛⎫>> ⎪⎝⎭.即c a b >>.16. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数()32cos f x x x =+,若a f =(2),b f =2(log 7),c f =则,,a b c 的从小到大顺序为 . 【答案】b c a << 【解析】因为函数()32cos f x x x =+，所以导数函数()'32f x sinx =-，可得()'320f x sinx =->在R 上恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，又因为222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D.。
对数函数指数函数幂函数
对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的;但是,根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等第二,根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立比如,log-2 4^-2 就不等于-2log-2 4；一个等于4,另一个等于-4通常我们将以10为底的对数叫常用对数common logarithm,并把log10N记为lgN;另外,在科学技术中常使用以无理数e=···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数natural logarithm,并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系：当a 〉0,a≠ 1时,a^x=N→X=logaN;由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数；loga 1=0 loga a=1 a为常数对数的定义和运算性质一般地,如果aa大于0,且a不等于1的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数;底数则要大于0且不为1 真数大于0对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么：1logaMN=logaM+logaN;2logaM/N=logaM-logaN;3logaM^n=nlogaM n∈R4换底公式：logAM=logbM/logbA b>0且b≠15 a^logbn=n^logba 证明：设a=n^x 则a^logbn=n^x^logbn=n^x·logbn=n^logbn^x=n^logba 6对数恒等式：a^logaN=N;logaa^b=b对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒aN右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数;1 对数函数的定义域为大于0的实数集合;2 对数函数的为全部实数集合;3 函数图像总是通过1,0点;4 a大于1时,为单调增函数,并且上凸；a小于1大于0时,函数为单调减函数,并且下凹;5 显然对数函数无界;对数函数的常用简略表达方式：1logab=logab2lgb=log10b3lnb=logeb对数函数的运算性质：如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么：1logaMN=logaM+logaN;2logaM/N=logaM-logaN;3logaM^n=nlogaM n属于R4loga^kM^n=n/klogaM n属于R对数与指数之间的关系当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于logaNloga^kM^n=n/klogaM n属于R换底公式很重要logaN=logbN/logba= lnN/lna=lgN/lgaln 自然对数以e为底 e为无限不循环小数lg 常用对数以10为底对数函数的常用简略表达方式1常用对数:lgb=log10b2自然对数:lnb=logebe=... 通常情况下只取e= 对数函数的定义对数函数的一般形式为 y=㏒ax,它实际上就是指数函数的图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数,可表示为x=a^y;因此里对于a的规定a>0且a≠1,同样适用于对数函数;右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数;性质定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是｛x ︳x>0｝,但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx2x-1的定义域,需满足｛x>0且x≠1｝ ;｛2x-1>0 =〉x>1/2且x≠1,即其定义域为｛x ︳x>1/2且x≠1｝值域：实数集R定点：函数图像恒过定点1,0;单调性：a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸；0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹;奇偶性：非奇非偶函数,或者称没有奇偶性;周期性：不是周期函数零点：x=1注意：负数和0没有对数;两句经典话：底真同对数正底真异对数负数学术语指数函数是中重要的;应用到值e上的这个函数写为exp x;还可以等价的写为e,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 ,还称为数;指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在x 等于 0 的时候等于 1;在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna;即由导数知识：da^x/dx=a^xlna;作为变量x的函数,y=e x 的总是正的在x轴之上并递增从左向右看;它永不触及x轴,尽管它可以任意程度的靠近它所以,x轴是这个图像的水平;它的是 ln x,它定义在所有正数x上;有时,尤其是在中,术语指数函数更一般性的用于形如ka x 的指数函数函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数;本文最初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数;指数函数的一般形式为y=a^xa>0且≠1 x∈R,从上面我们关于的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况;在函数y=a^x中可以看到：1 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a等于０函数无意义一般也不考虑;2 指数函数的值域为大于0的实数集合;3 函数图形都是下凸的;4 a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的;5 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中当然不能等于0,函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置;其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置;6 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交;7 函数总是通过0,1这点,若y=a^x+b,则函数定过点0,1+b8 显然指数函数无界;9 指数函数既不是奇函数也不是偶函数;10当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性;11当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数; ......底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数,图像会向左平移；减去一个数,图像会向右平移;在fX后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数,图像会向下平移;即“上加下减,左加右减”底数与指数函数图像：指数函数1由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点1,a可知：在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大;2由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点-1,1/a可知：在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小;3指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”;如右图;幂的大小比较：比较大小常用方法：1比差商法：2函数单调性法；3中间值法：要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小;比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意：1对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;例如：y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增即x的值越大,对应的y值越大,因为5大于4,所以y2大于y1.2对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断;例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过0,1然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.3对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较;如：<1> 对于三个或三个以上的数的大小比较,则应该先根据值的大小特别是与0、1的大小进行分组,再比较各组数的大小即可;<2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”即比较它们与“1”的大小,就可以快速的得到答案;那么如何判断一个幂与“1”大小呢由指数函数的图像和性质可知“同大异小”;即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向例如： a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0时,a^x大于1,异向时a^x小于1.〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数说明理由.⑴y=4^x因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数；⑵y=1/4^x因为0<1/4<1,所以y=1/4^x在R上是减函数定义域：实数集指代一切实数R 值域：0,+∞分式化简的方法与技巧1把分子、分母分解因式,可约分的先约分2利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母3把其中适当的几个分式先化简,重点突破.指数函数4可考虑整体思想,用换元法使分式简化指数函数图像与指数函数性质之间的对应关系1曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为-∞,+∞.2曲线在x轴上方,而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠指数函数近X轴x轴是曲线的渐近线〈=〉函数的值域为0,+∞3曲线过定点0,1〈=〉x=0时,函数值y=a0零次方=1a>0且a≠14a>1时,曲线由左向右逐渐上升即a>1时,函数在-∞,+∞上是增函数；0<a<1是,曲线逐渐下降即0<a<1时,函数在-∞,+∞上是减函数.形如y=x^aa为常数的函数,即以为幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数;当a取非零的时是比较容易理解的,而对于a取时,初学者则不大容易理解了;因此,在里,我们不要求掌握为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识;特性对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数即p、q互质,q和p都是整数,则x^p/q=q次根号下x的p次方,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的是0,＋∞;当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/x^k,显然x≠0,函数的定义域是－∞,0∪0,＋∞;因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数；排除了为0这种可能,即对于x<0或x>0的所有实数,q不能是偶数；排除了为负数这种可能,即对于x为大于或等于0的所有实数,a就不能是负数;定义域总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q 的来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数;在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数;在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数;而只有a为正数,0才进入函数的;由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.第一象限可以看到：1所有的图形都通过1,1这点.a≠0 a＞0时图象过点0,0和1,12当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数;3当a大于1时,幂函数图形下凸；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸;4当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大;5显然幂函数无界限;6a=2n,该函数为偶函数｛x|x≠0｝;7 0<a<1时,只在第一象限内有图像,即x≥0.图象幂函数的图象：。
对数函数指数函数幂函数
对数函数指数函数幂函数 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。
另外，在科学技术中常使用以无理数e=···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a 〉0，a≠ 1时，a^x=N→X=logaN。
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数；loga 1=0 loga a=1 (a为常数)对数的定义和运算性质一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b 叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要大于0且不为1 真数大于0对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）(5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)(6)对数恒等式：a^log（a)N=N;log（a）a^b=b对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。
当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。
常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。
底数为任意正数的对数，记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
请问，你会选择哪种投资方案？
函数y=3 与y x 图像的交点为（）
x 3
A.1 C.3
答案：B
B.2 D.4
探 究
一般幂、指、对函数模型的衰减性
y
y=xn
y=ax
o 1 x
y=logax
在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(0<a<1)， y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的 衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上。随 着x的增大， y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越 快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度,
答：单调递增
二 、指数函数、幂函数、对 数函数增长比较
探究（一）：特殊指、幂、对 函数模型的差异 对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x其中x>0.
思考1:观察三个函数的自变量与函 数值对应表, 这三个函数增长的快慢情 况如何？
自变量x
函数值
y=2x
·· · 1.149 1.516
1
1.96 3.24 4.84 6.76 9 11.56 16 25 49
0
0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
·· ·
·· ·
·· ·
·· ·
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y y=2x
y=x2
y=log2x
1 o 1 2 4 x
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行 在(0,2)，幂函数比指数函数增长 快。 在(2,4),先幂函数比指数函数增长快， 然后指数函数比幂函数增长快。
指数式和对数式比较大小
指数式和对数式比较大小五法方法一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读：1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性.2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性.3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性.例1：比较下列各组数的大小（1）0.30.3,30.3（2）2log 0.8,2log 8.8（3）0.30.3,0.33[解]（1）利用函数0.3xy =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,0.3<3,所以0.30.3>30.3.（2）利用函数2log y x =的单调性.因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,0.8<8.8,所以2log 0.8<2log 8.8.（3）利用函数0.3y x=的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,0.3<3,所以0.30.3<0.33.方法二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.（1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =)（2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题.例2：比较下列各组数的大小（1）0.41.9, 2.40.9（2）124()5,139()10[解]（1）取中间值1.因为0.401.91.91>=,2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>.（2）取中间值129()10. 利用函数910x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>124()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）方法三：特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.例3：（2008年全国卷理4文5）若1(,1)x e -∈,ln a x =,2ln b x =,3ln c x =,则（）.A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<a<c[解]在区间1(,1)e -上取12x e -=,通过计算知：121ln 2a e -==-,122ln 1b e -==-,313211ln ()28c e -==-=-,故b<a<c,选C. 方法四：估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.例4：（2007年全国卷理4文4）下列四个数中最大的是（）.A.2(ln 2)B.ln(ln 2)C.ln 2D.ln 2[解]因为lg 20.3010ln 20.7lg 0.4343e =≈≈, 所以2(ln 2)0.49≈,ln(ln 2)ln 0.70≈<,1ln 2ln 20.352=≈,故四个数中最大的是ln 2,选D.[点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.方法五：数形结合法画出指数函数、对数函数和幂函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法. 例5：（2009年全国卷理7）设3log a π=,2log 3b =,3log 2c =,则（）.A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a[解]在同一直角坐标系内画出对数函数3log y x =和2log y x =的图像,如下图所示：由图像观察得a>b>c ,故选A.[点评]本题也可以利用比较法求解.因为322log 2log 2log 3<<所以b>c,因为2233log 3log 21log 3log π<==<,所以 a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数比较大小问题
指、对、幂、及三角值比较大小的方法总结基础知识储备1直接利用函数基本单调性比较大小例1.已知a =log 23，b =log 46利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可，c =log 89，则a 、b 、c 的大小顺序为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.b <c <a先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.【解答】b =log 46=log 26，又c =log 89=log 239，∵3>6>39，y =log 2x 单调递增，∴c <b <a .课堂练兵1．下列选项正确的是()A.log 25.3<log 24.7 B.log 0.27<log 0.29C.log 3π>log π3D.log a 3.1<log a 5.2(a >0且a ≠1)2．已知a =log 23，b =ln2，c =log 2π，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >a >bC.a >c >bD.c >b >a3.已知1a=ln3，b =log 35-log 32，c =2ln 3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a4.已知x =90.91，y =log 20.1，z =log 20.2，则()A.x >y >zB.x >z >yC.z >x >yD.z >y >x比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选题靠前位置，比如0<0.20.3<0.20=1， 0=log 0.21<log 0.20.3<log 0.20.2=2比较与0,1的大小关系1例2.若a =23 12，b =ln 12，c =0.6-0.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c >b >aB.c >a >bC.b >a >cD.a >c >b分别根据y =23x、y =ln x 、y =0.6x 的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可.【解答】y =23 x 在-∞,+∞ 上是减函数，0<a =23 12<23=1；y =ln x 在0,+∞ 上是增函数，b =ln 12<ln1=0；y =0.6x 在-∞,+∞ 上是减函数，c =0.6-0.2>0.60=1，故c >a >b 例3.已知a =log 132,b =log 23,c =2-0.3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a利用函数的单调性判断出a <0，b >1，0<c <1，即可得到正确答案.【解答】∵y =log 13x 为减函数，∴a =log 132<log 131=0，即a <0；∵y =log 2x 为增函数，∴b =log 23>log 22=1，即b >1；∵y =2x 为增函数，∴0<c =2-0.3<20=1，即0<c <1；∴b >c >a .例3.已知a=20.7，b=130.7，c=log213，则()A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵20.7>13 0.7>0=log21>log213，∴a>b>c.课堂练兵1.若a=100.1，b=lg0.8，c=log53.5，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b2.已知a=lg0.2,b=log56,c=ln2，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a3.已知a=20.6，b=e-0.6，c=log20.6，则a，b，c的大小关系为()A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与(0,1)之间的某个数进行大小比较，常用的中间值是13取中间值比较大小2例4.已知a=log323，b=log23，c=913，则()A.c>a>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a 利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵a=log323<log31=0，1=log22<b=log23<log24=2，c=913>813=2，∴c>b>a.例5.已知a=log52，b=log83，c=12，则下列判断正确的是()A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c 利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【解答】a=log52<log55=12=log822<log83=b，即a<c<b.例6.已知a=log62，b=log0.50.2，c=0.60.3，则a，b，c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b 根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【解答】log0.50.2=log2-15-1=log25>log24=2，即b>2，0=log61<log62<log66=12，即0<a<12，1=0.60>0.60.3>0.50.3>0.51=12，即12<c<1，∴b>c>a；课堂练兵1.已知a=log34，b=log45，c=32，则有()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b2.设a=0.61，b=lg90.6，c=log328，则有()A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a3．已知a =2log 54，b =12log 37，c =2log 45，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b <c <aB.b <a <cC.c <a <bD.a <b <c当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如a =ln2和b =log 324利用换底公式比较大小，a =ln2=1log 2e，b =log 32=1log 23，∵log 23>log 2e ，∴a >b 例7.设x ，y ，z 为正数，且3x =4y =5z ，则()A.x <y <zB.y <x <zC.y <z <xD.z <y <x令3x =4y =5z =k >1，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较大小.【解答】因x ，y ，z 为正数，令3x =4y =5z =k ，则k >1，因此有：x =log 3k =1log k 3，y =log 4k =1log k 4，z =log 5k =1log k 5，又函数f (t )=log k t 在(0,+∞)上单调递增，而1<3<4<5，则0<log k 3<log k 4<log k 5，于是得1log k 3>1log k 4>1log k 5，所以z <y <x .例8.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a <b <1，∵c =512>50=1，∴c >b >a例9.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a <b <1，∵c =512>50=1，∴c >b >a 课堂练兵1.设a =log 0.14，b =log 504，则()A.2ab <2a +b <ab B.2ab <a +b <4ab C.ab <a +b <2abD.2ab <a +b <ab2.设a =log 2π，b =log 6π，则()A.a -b <0<ab B.ab <0<a -b C.0<ab <a -bD.0<a -b <ab 3.设0.2a =0.3，2b =0.3，则()A.a +b <ab <0 B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b 4．已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是()A.1x +12y =1zB.3x >4y >6zC.xy >2z 2D.x +y >32+2z 去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较．这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数值，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小 例如：log a ma =log a m +1；log a ma n =log a m +n 5分离常数再比较大小．例10.已知a =log 63，b =log 84，c =log 105，则()．A.b <a <cB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【解答】由题意得：a =log 63=log 662=1-log 62=1-1log 26，b =log 84=log 882=1-log 82=1-1log 28，a =log 105=log 10102=1-log 102=1-1log 210，∵函数y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增，∴log 26<log 28<log 210，则1log 26>1log 28>1log 210，所以a <b <c 课堂练兵1．设a =log 36，b =log 510，c =log 714，则()A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c例11.a 6利用均值不等式比较大小=73，b =log 420，c =log 32+log 36，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【解答】a =73=1+43，b =log 420=log 44+log 45=1+log 45，c =log 32+log 36=1+log 34，∵43=log 3343=log 3381>log 3364=log 34，∴a >c ，∵log 45log 34=lg5lg4⋅lg3lg4<lg3+lg52 2(lg4)2=lg152 2(lg4)2<lg162 2(lg4)2=2lg422(lg4)2=1，log 45>1,log 34>1，∴log 45<log 34，所以c >b ，综上a >c >b ,故选B 例12.若a =lg2⋅lg5，b =ln22，c =ln33，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <c <aC.b <a <cD.a <c <b由基本不等式可判断a <14，由对数的性质可得b >14，再作差可判断c ,b 大小.【解答】a =lg2⋅lg5<lg2+lg5 24=14,b =2ln24=ln44>14c -b =ln33-ln22=2ln3-3ln26=ln 986>0， 则c >b .所以a <b <c .课堂练兵1.已知9m =10,a =10m -11,b =8m -9，则()B.a >b >0C.b >a >0D.b >0>ab =20.6，c =-log 0.26，则实数a ，b ，c 的大小关系为()B.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a乘倍数后再进行大小比较，比如a =log 23和b =log 34，则3a =3log 23=log 227∈4,5 A.a >0>b2.已知a =log 25，A.a >c >b 7乘倍数比较大小， 3b =3log 34=log 364∈3,4 ，∴3a >3b ，∴a >b例13.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则()A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b题意可得a 、b 、c ∈0,1 ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系【解答】由题意可知a 、b 、c ∈0,1 ，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg82 2=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，∴a <b ；由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45；由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45.综上所述，a <b <c .课堂练兵1.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则实数a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a8初等型双元变量构造函数比大小构造简单函数，利用函数的单调性比较大小例14.设a >0，b >0，则下列叙述正确的是()A.若ln a -2b >ln b -2a ，则a >b B.若ln a -2b >ln b -2a ，则a <b C.若ln a -2a >ln b -2b ，则a >b D.若ln a -2a >ln b -2b ，则a <b构造函数，利用函数的单调性分析判断即可【解答】∵y =ln x 和y =2x 在(0,+∞)上均为增函数，∴f (x )=ln x +2x 在(0,+∞)上为增函数，∴f (a )>f (b )时，得a >b >0，反之也成立，即ln a +2a >ln b +2b 时，a >b >0，反之也成立，∴ln a -2b >ln b -2a 时，a >b >0，反之也成立例15.若2x -e -x <2y -e -y ，则()A.ln y -x +1 <0B.ln y -x +1 >0C.ln x -y >0D.ln x -y <0先构造函数f x =2x -e -x ，通过观察导函数得到f x 单调性，从而得到x <y ，故可通过函数单调性判断出ln y -x +1 >ln1=0，而x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故CD 均错误.【解答】令f x =2x -e -x ，则f x =2x ln2+e -x >0恒成立，故f x =2x -e -x 单调递增，由2x -e -x <2y -e -y 可得：x <y ，故ln y -x +1 >ln1=0，A 错误，B 正确；x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故不能确定ln x -y 与0的大小关系，CD 错误.课堂练兵1.若a >b >1，且a x -a y >b -x -b -y ，则()A.ln x -y +1 >0B.ln x -y +1 <0C.ln x -y >0D.ln x -y <02.已知正实数x ，y 满足log 2x +log 12y <12 x -12 y，则()A.1x <1yB.x 3<y 3C.ln y -x +1 >0D.2x -y <12例16.设a ≠0，若x =a 为函数f x 9利用导数研究函数的单调性比较大小=a x -a 2x -b 的极大值点，则()A.a <b B.a >bC.ab <a 2D.ab >a 2【解答】若a =b ，则f x =a x -a 3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f x 有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，x =a 为函数f (x )=a (x -a )2(x -b )的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f x ≤0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f x >0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2.故选：D .课堂练兵1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足x ln y =ye z =zx ，则x ，y ，z 的大小关系为()A.x >y >z B.y >x >z C.x >z >y D.以上均不对2．设a =2021ln2019，b =2020ln2020，c =2019ln2021，则()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比较大小10差比法与商比法作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见解题技巧和方法例17.已知实数a ､b ､c 满足a =613,b =log 23+log 64,5b +12b =13c ，则a ､b ､c 的关系是()A.b >a >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b利用幂函数的性质知a <2，利用对数的运算性质及差比法可得b -2>0，再构造13c -13b ，根据指数的性质判断其符号，即可知b ,c 的大小.【解答】a =613<813=2；b =log 23+log 64=log 23+21+log 23，b -2=log 23⋅log 23-1 1+log 23>0，b >2；13c =5b +12b >52+122=132，c >2；13c -13b =5b +12b -13b =52⋅5b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2<52⋅12b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2=12b -2(52+122)-132⋅13b -2=132(12b -2-13b -2)<0，∴b >c ，综上，b >c >a .课堂练兵1.已知a =0.8-0.4，b =log 53，c =log 85，则()A.a <b <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <c <b2.已知a =5log 23.4,b =5log 43.6,c =15log 30.3，则()A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b 3.已知3a =6b =10，则2，ab ，a +b 的大小关系是()A.ab <a +b <2B.ab <2<a +bC.2<a +b <abD.2<ab <a +bf x 11构造函数：ln x /x 型函数 =ln xx出现的比较大小问题:①f x =ln x x 在区间(0，e )上单调递增，在区间(e ，+∞)单调递减；当x =e 时，取得最大值1e;②注意：f 2 =ln22=2ln24=f 4 例18.设a =4-ln4e2，b =1e ，c =ln22，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.c <a <bC.a <b <cD.b <a <c设f x =ln x x ，利用导数判断单调性，利用对数化简a =f e 22 ，b =f e ，c =f 2 =f 4 ，再根据单调性即可比较a ，b ，c 的大小关系.【解答】设f x =ln x x ，则f x =1x⋅x -ln xx 2=1-ln x x 2，当x ∈1,e ，f x >0，f x 单调递增，当x ∈e ,+∞ ，f x <0，f x 单调递减，因为a =4-ln4e 2=2ln e 2-ln2 e 2=ln e 22e 22=f e 22 ，b =1e =ln e e =f e ，c =ln22=f 2 ，所以b =f e 最大， 又因为c =f 2 =f 4 ，e <e 22<4，所以a =f e 22 >f 4 =c ，所以b >a >c课堂练兵1.已知a =3ln2π，b =2ln3π，c =3ln π2，则下列选项正确的是()A.a >b >c B.c >a >b C.c >b >aD.b >c >a2.以下四个数中，最大的是()A.ln 33 B.1e C.ln ππD.15ln15303.下列命题为真命题的个数是()①ln3<3ln2；②ln π<πe；③215<15；④3e ln2<42B.2D.4A.1C.312放缩①对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数，指数和幂函数结合来放缩。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
应用图像模型
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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
指数函数y=ax (a>1) 对数函数y=logax(a>1) 幂函数y=xn (n>0，x>0) 在区间（0，+∞）上的单调性如何？ 都是增函数，并且当x趋向于正无穷大时，y也趋向于正无穷大
这3个函数增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
三种函数增长快慢的区别
x 的变 化区间
(1,10) (10,100) (100,300) (300,500) (500,700) (700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200)
函数值的变化量
y=2x
1023
y=x100(x>0) y=log2x
10100－1 3.321 928 1
y
y=2x y=x2
16
①对数函数 y=log2x增长最慢
y=log2x ②在（0,2)，幂函数比指数函数增长快；
在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快 4
o 12 4
三种函数增长快慢的区别
自变量x
···
函数值
y=2x
y=x100(x>0) y=log2x
···
···
···
121来自01.007 004 4 2.009 733 8 2.009 725 8 0.010 071 0
比较大小
比较大小
例2 已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是( )
A.m<n<p
B.m<p<n
C.p<m<n
必修一(8)指数函数对数函数及幂函数
指对函数及幂函数指对函数及幂函数三个基本函数的考查一直是高考必考重点，对于指对函数考查主要集中在图像性质（如定点、定义域、运算性质、单调性、复合函数单调性以及比较大小等热点考点），对幂函数主要考查五中基本类型的的幂函数，另该知识点也常和不等式、解三角形、导数、三角函数等知识点结合在一起考查，故在高一阶段应该打好基础，学好三种基本函数的基本性质及其运用. 一、基础知识回顾 （1）含零的指数幂运算： ○101(0)a a =≠○201(0)x x => （2）根式与分数指数幂的转化运算：1(0)n a ≥当，○21(0)nn a a a-=≠○301)nma a n =>>，○41(0)nm n ma a a -=> （3）指数幂的运算性质○1(0)m n m n a a a a m n R +=>∈，，○2()(0)m n mn a a a m n R =>∈，， ○3()(00)n n nab a b a b n R =>>∈，， 练习1 求下列函数的定义域：（1）20()(23)f x x x =+- （2）223()0x x f x --=（3）()f x =（4）324()(2)f x x x =--练习2 求下列式子的值：（1）314422 （2）78472⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22- （4）1216二、指数函数定义：一般形如(01)xy a a a x R =>≠∈且，的函数叫做指数函数，其中x 自变量是，a 是底数重要性质：2()01(01)10x x xf x a a ma na k t a a ⎧<<⇒⎫⇒∞⎪⎬>⇒⎭⎪⎪⎨⎪++==⎪⎪⎩单调递减均过定点，，值域为（0，+）,定义域为R 单调递增比较大小的方法：化成同底数或同指数方程思想：形如解方程可以将设将其转化为一元二次方程复合函数性质综合：（单调性：“同增异减”）题型1：考查图像 例1：已知2231()2x x f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭，求使()1f x >的x 的取值范围.解析：此题考查指数函数基本性质，因为()f x 的图像必过（0，1）且为减函数，故只需解2230x x +-< 解：()223031x x x +-<⇒∈-，练习1 求下列各式满足条件的x 的解集：（1）2()21x f x =< （2）3()39x f x -=< （3）223()0.51x x f x +-=<题型2：比较大小 例2：已知232343112223a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，比较a b c ，，的大小 解析：可以发现a b 与同底且结合1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减，故有a b >，又a c 与同指数，可以由草图得知a c <解：b a c <<练习1 已知有23a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34bn ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试在下列条件下比较m n ，的大小（1）a b = （2）00a b >>， （3）00a b <<， （4）00a b ><，（5）00a b <>，题型3：判断单调性求值域 例3：函数22()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]12，上的值域.解析：()()2g x f x =，根据复合函数“同增异减”得到()f x 在区间[]12，上为增函数，故()f x 值域为[](1)(2)f f ， 解：由题意2min ()(1)24f x f ===，5max ()(2)232f x f ===，故()f x 在区间[]12，上的值域为[]432， 练习1 函数221()2x x f x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在[]12，上的最大值.练习2 函数223()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]21--，上的最大值.题型4：综合方程考查例4： 已知关于x 的方程211()32533x xf x ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0)x ≥，求()f x 的最值.解析：此类形式可先将方程进行转化，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭（01t <≤），原方程转化为2()325f t t t =-+，由于已知t 的取值范围，故进一步可求()f x 的最值.解：令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭（01t <≤），原方程转化为2()325f t t t =-+当13t =，即1x =时，方程()f x 取得最小值，14(1)3f =； 当1t =，即0x =时，方程()f x 取得最大值，(0)6f =.练习1 已知关于x 的方程1()428x x f x +=--(0)x <，求()f x 的最值三、对数函数定义：一般若有(01)xa N a a =>≠，，则x 叫做以为a 底N 的对数，记作log a x N =，其中称a 为底，N 为真数.重要性质：1001(10)1=2.71828log ln 10log lg log 10log 1(01)log ()log log ;log log log ;log log ea a ba a a a a a a a a a e N NN a a a M MN M N M N M b M N <<⇒⎫⇒∞⎬>⇒⎭==>≠=+=-= 单调递减均过定点，，值域为R,定义域为（0，+）单调递增自然对数：以无理数为底的对数,将记作常用对数：以为底的对数，将N 记作常用性质：，且运算性质：恒等式：log log ;log log a N a M a N a N N M ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎩换底公式： 题型1：考查对数函数定义域例1 已知函数22()log (34)f x x x =+-，求函数的定义域解析：此题复合函数考查定有类型，2()340u x x x =+->解集即为函数()f x 的定义域 解：令2()340u x x x =+->解得41x x <->•或，故()f x 的定义域为()4(1)-∞-+∞ ，，练习1 已知函数22()log (34)f x x x =--，求函数的定义域.练习2 已知函数2()lg(23)f x x x =-++，求(2)(1)f x f x ++的定义域.题型2：考查单调区间且求最值例2 求函数()ln(35)f x x =+的单调区间解析：由题可求出函数()f x 的定义域为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，令35t x =+()0t >在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，且()ln f t t=在()0+∞，上为增函数，“同增异减”，故()f x 在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增解：()f x 的单调增区间为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.练习1 求函数23()log (6)f x x x =--的单调减区间题型3：考查对数运算 例3 求lg 25lg 4+的值解析：可以发现直接求值是行不通的，可以将原式运用对数运算性质进行化简 解：lg 25lg 4lg(254)lg1002+=⨯== 练习1 计算下列各式的值（1）22log 24log 3- （2）816log 16log 8+ （3）44log 92log 3-题型4：考查奇偶性 例4 已知函数1()log (1)1axf x a x+=>-，试判断函数()f x 奇偶性 解析：判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称，再运用其奇偶性判断方法构造()f x -，比较()()f x f x -与的关系解： 由101xx+>-得11x -<<（关于原点对称） 又()1111()log log log 111a a a x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭所以()f x 是奇函数 练习1 已知函数122()log 2x f x x +=-，试判断函数()f x 的奇偶性，若12()log 3f x a >恒成立，求实数a 的值 题型5：比较大小例5：设a b c d ，，，均为非负数，且有21122211log 2log log 2log 22a cb d a bcd ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，试比较a b c d ，，，的大小四、幂函数定义：一般形如()a y x a R =∈的函数称为幂函数，x 为自变量，a 为常数重要性质：11231232123a a y x y x y x y x y x y x y x --⎧⎪⎪⎨⎪⎪=======⎩判断：、指数为常数；、底数为自变量； 、幂系数为1比较大小：与指数函数一样化为同底或同指数奇偶性：当为奇数时，幂函数奇函数；当为偶函数时，幂函数为偶函数单调性：熟记，，，，，，图像题型：幂函数判断 例1 若122(3)3m m xn --+-是幂函数，求m n +的值解析：因为122(4)3m m x n --+-为幂函数，则必须符合幂函数的几个判断条件，由判断条件解出m n ，的值，则可以求出m n +的值解：由题意2312201330m m m m n n n ⎧-==-⎧⎪-≠⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪-=⎩练习1 判断下列函数是否为幂函数：（1）2y x = （2）33y x =⨯ （3）2y x -=（4）1y x =+ （5）y x = （6）13x y +=（7）2x y = （8）12y x = （9）32x y = 练习2 若13()(2)mf x m x +=+为幂函数，求(4)f 的值.题型2：性质结合图像综合运用 规律：对于ay x =（a R ∈）由图像先判断a 的正负，图像过原点且在第一象限为增函数则0a >，若图像不过原点且在第一象限为减函数则0a <；其次判断奇偶性，若图像关于y 轴对称，则a 为偶数且幂函数为偶数，若图像关于原点对称，则a 为奇数且幂函数为奇函数；当1a >时，图像曲线在第一象限下凹，当01a <<时，图像曲线在第一象限上凸，当0a <时，图像曲线在第一象限下凹.经典巩固练习2. （2006福建）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则( )A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<3. （2006湖北）设2()lg2x f x x +=-，则)2()2(xf x f +的定义域为（ ） A. ），（），（－4004 B.(－4，－1) (1，4) C. (－2，－1) (1，2) D. (－4，－2) (2，4)4. （2006湖南）函数x y 2log =的定义域是（ ）A ．(0，1］ B. (0，+∞) C. (1，+∞) D . ［1，+∞) 5. （2006湖南）函数y =( )A.(3，+∞)B.[3， +∞)C.(4，, +∞) D .[4，+∞)7. （2006天津）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<8. （2006浙江）已知1122log log 0m n <<，则（ ）A. n ＜m ＜ 1B.m ＜n ＜ 1C.1＜ m ＜nD.1 ＜n ＜m 10. （2006全国）若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c11. （2005上海）若函数121)(+=x x f ，则该函数在(),-∞+∞上是（ ）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值12. （2005北京）函数2log y x =的图象是（ ）13. （2005）函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ） A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]16. （2009北京）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 18. （2009全国）设2lg (lg )a e b e c ===，， ）A.B . C. D.19. （2010广东）若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则（ ）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 22. （2005湖北）函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是． 27. （2011四川）计算.28. （2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 29. （2011陕西）设lg 0()100xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，，则((2))f f - =______.3lg10x y +=lg y x =a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>121(lg lg 25)100=4--÷大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。
十大方法玩转指对幂比较大小(解析版)
“十大方法”，玩转指对幂比较大小目录一、重难点题型方法方法一：单调性法方法二：“媒介值”法方法三：作差法方法四：作商法方法五：构造函数法方法六：乘方法方法七：对数法方法八：零点法方法九：特殊值法方法十：放缩法二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：单调性法【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)设a=30.9，b=90.5，c=13-12，则( )．A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a 【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为a=30.8，b=90.5=(32)0.5=31，c=13-12=3-1 -12=312=30.5，又函数y=3x在R上单调递增，1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5所以b>a>c，故选：C例2.(2022秋·四川广安·高一统考期末)a=0.20.3，b=0.20.4，c=log0.20.1，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数y=0.2x在R上单调递减得1=0.20>a=0.20.3>0.20.4=b>0，根据函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减得c=log0.20.1>log0.20.2=1，故c>a>b.故选：D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x 1和a x 2，利用指数函数y =a x 的单调性；②指数相同，底数不同，如x a 1和x a 2利用幂函数y =x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x 1和log a x 2利用指数函数log a x 单调性比较大小；2.除了指对幂函数，其他函数(比如三角函数，对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
一 指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
ay
y=ax
b
y=bx
O1
x
a>1时，y=ax是增函数，
底数a越大，其函数值增长 就越快.
二 对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像 影响
y y=logax y=logbx
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函数y=2x, y=x2, y=log2x图像 增长快慢比较
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2)，幂函数比指数函数增长快 在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快
规律总结
(1)对数函数增长最慢 (2)当自变量x大于某一个特定值时， 指数函数比幂函数增长快
1
O
aБайду номын сангаас
bx
a>1时，y=logax是增函数，
底数a越小，其函数值增长就 越快.
三 幂函数y=xn (n>1)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
O
x
n>1时，y=xn是增函数，
且x>1时，n越大其函数值增 长就越快.
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=2x
y=x2
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y=log2x
由于指数函数增长非常快，人们 常称这种现象为“指数爆炸”
本节内容
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
指数函数对数函数比较大小攻略
指数函数、对数函数比较大小
指数函数对数函数的比较大小问题，在教材上有大量的直接考察习题，而且考点层次要求高，因而高考中已经多次直接进行考察，这一点内容可以不合其他知识点发生关联的情况下直接进行命题，足以可见其重要性。
一般来说，指数、对数比较大小我们采取的思路是：
首先，尽量将不同底数的指数、对数或幂函数，通过公式化成同一底数的，底数相同的指数函数或者对数函数，然后根据底数相同情况下的单调性，进行比较大小；
其次，对于确实不能化成同一底数的，我们尽量将真数或指数化成相同的，然后我们做出图像，也就是说同取一个x值，看不同指数式或者对数式所对应的函数值的大小，主要依据是：
根据指数函数在第一象限内底数越大图像越高；
对数函数在第一象限内绕（1，0）点顺时针排序底数增大（水平向右底数增大）；
最后，如果全都不能化成相同的，我们一般先做出图像，观察图像，判断大小，如果图像仍然不能解决问题，那么我们就应该考虑找中间值进行比较，中间值一般取0，-1,1，比如能否确定所要进行比较的数的正负、与1或-1的大小关系。
通过上述方式一般能解决所有比较大小问题。
幂函数与指数函数的区别
幂函数与指数函数的差异1.指数函数：自变量x在指数的地点上，y=a^x（a>0，a不等于1）性质比较单一，当a>1时，函数是递加函数，且y>0;当0<a<1时，函数是递减函数，且y>0.2.幂函数：自变量x在底数的地点上，y=x^a（a不等于1）.a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不相同的。
高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。
此中当a=2时，函数是过原点的二次函数。
其余a值的图像可自己经过描点法画下并认识下基本图像的走向即可。
3.y=8^(-0.7)是一个详细数值，其实不是函数，假如要和指数函数或许幂函数联系起来也是能够的。
第一你能够将其当作：指数函数y=8^x（a=8），当x=-0.7时，y的值；或许将其当作：幂函数y=x^(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。
幂函数的性质：依据图象,幂函数性质概括以下：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1,1）；（2）当a>0时，幂函数的图象经过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数．特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0<a<1时，幂函数的图象上凸；（3）当a<0时，幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右侧趋势原点时，图象在y轴右方无穷地迫近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在轴x上方无穷地迫近轴x正半轴。
指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别重申，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外。
思虑议论：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪一种重要性质？（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪一种重要性质？讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。