第二讲 衡量精度的指标
第二章误差分布与精度指标
因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1 t 2
te 2 dt
1 t 2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
1.60以上 0
0
0
0
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
d△= 0.20〃 等于 区间 左端 值的 误差 算入 该区 间内
和
181 0.505
1 ( x )2
e 2 2
由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳 定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均 值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即
EX EX 但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 E X EX 2 来度量随机变量相
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2
E( x2
)
X
n E( xn )
2 x1
2第二章 误差分布与精度指标
，
5 1.253 2 4
可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差 分布曲线。因此，也可用平均误差作为精 度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差 例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据 为例，求观测值 的平均误差。
ˆ 1.5 0.7 0.5 9
34
§5.精度评定
2
中误差： ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。 ②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。 注 如： 50 3432.6 1.8 258.45m 2mm 意 “±”并不代表该误差范围，而是测量上约定 俗成的习惯。
28
§5.精度评定
二、方差和中误差
结论：
f(Δ)
0.5
' 503354.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪 第二台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
i / n d
偶然误差的四个特性
Δ
1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 - 0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 -1.6 -1.6 -1.8
13
衡量精度的标准
1 20000
谢谢观看
次序
1 2 3 4
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ03"
-3
9
180°00ˊ02"
-2
4
179°59ˊ58"
+2
4
179°59ˊ56"
+4
16
5
180°00ˊ01"
-1
1
6
180°00ˊ00"
0
0
7
180°00ˊ04"
-4
16
8
179°59ˊ57"
+3
9
9
179°59ˊ58"
+2
4
10
180°00ˊ03"
4
180 00 00
5
179 59 56
+4
5
180 00 01
6
179 59 57
+3
6
179 59 53
7
180 00 02
-2
7
179 59 59
8
180 00 01
-1
8
180 00 00
9
179 59 58
+2
9
180 00 03
10
180 00 04
-4
10
180 00 01
真误差Δ ″
m1 m2 ，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
中误差
练习：按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 Σ||
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
衡量导线测量精度的指标
衡量导线测量精度的指标导言在电力系统中，导线测量是一项非常重要的工作，它用于确定导线的位置和长度，以确保电力系统的安全运行。
然而，由于各种因素的影响，导线测量存在一定的误差。
因此，衡量导线测量精度的指标对于评估测量结果的准确性和可靠性至关重要。
1. 导线测量精度导线测量精度是指实际测得的导线位置和长度与其真实值之间的偏差程度。
它是衡量导线测量准确性和可靠性的关键指标。
通常情况下，导线测量精度可以通过以下两个方面来评估：1.1 偏差偏差是指实际测得值与真实值之间存在的差异。
在导线测量中，偏差可以分为绝对偏差和相对偏差两种形式。
1.1.1 绝对偏差绝对偏差是指实际测得值与真实值之间的数值差异。
它可以通过计算每个样本点或整体样本点集合上所有数据点之间的平均绝对偏差来衡量。
1.1.2 相对偏差相对偏差是指实际测得值与真实值之间的相对差异。
它可以通过计算每个样本点或整体样本点集合上所有数据点之间的平均相对偏差来衡量。
1.2 精度等级精度等级是指导线测量结果的准确性和可靠性的分类标准。
通常情况下，导线测量精度等级可以根据国家或行业标准进行划分，并根据不同等级的要求来评估导线测量结果。
2. 影响导线测量精度的因素导线测量精度受到多种因素的影响，这些因素包括但不限于以下几个方面：2.1 测距仪器误差测距仪器误差是指由于仪器本身设计、制造、使用等方面存在的误差。
这些误差可能包括系统误差、随机误差和仪器固有误差等。
2.2 环境条件环境条件是指导线测量过程中存在的各种外部条件，如天气、温度、湿度、地形等。
这些因素可能会对导线测量结果产生影响，从而影响导线测量精度。
2.3 人为因素人为因素是指导线测量操作中人员的技术水平、经验和操作规范等方面的影响。
不同的人员在导线测量过程中可能存在差异，从而对导线测量结果产生影响。
2.4 数据处理方法数据处理方法是指将实际测得的数据进行处理和分析的方法。
不同的数据处理方法可能会对导线测量结果产生影响，从而影响导线测量精度。
第5章 测量误差理论的基础知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
空间误差分析第二章 误差分布与精度指标
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则 4. 原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间 区间
§2-3 偶然误差的规律性
面积= 面积 [(vi /n)/d△]* d△= vi /n=频率 频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
观测值定了其分布 也就确定了， 也就确定了，因此 一组观测值对应相 同的分布。 同的分布。不同的 观测序列， 观测序列，分布不 同。但其极限分布 均是正态分布。 均是正态分布。
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 一定时， 曲线的形状由σ确定。 越大， “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 扁平” 表示总体的分布越分散； 越小， “尖陡”，表示总体的分布越集中 尖陡” • 拐点横坐标： x = E(x) ± σ= µ ± σ 拐点横坐标：
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
1 (2π ) | DXX |
n 2 1 2
e
1 − ( x − µ x )T 2
D
−1 XX
( x−µx )
§2-2 正态分布
2.数学期望 2.数学期望
E ( X 1 ) µ1 E ( X ) µ 2 2 = µ x = M M n ,1 E ( X n ) µ n
衡量精度的指标范文
衡量精度的指标范文精度是衡量结果与目标或实际值的接近程度的指标，适用于各种领域和任务，包括科学研究、工程设计、机器学习、数据分析等。
在各个领域中，有许多不同的方法和度量来衡量精度。
以下是一些常用的精度指标：1. 绝对误差（Absolute Error）：绝对误差是表示测量值与真实值之间差异的度量，它计算了每次测量所产生的偏差。
绝对误差可以通过以下公式计算：绝对误差 = ，预测值 - 真实值2. 相对误差（Relative Error）：相对误差是绝对误差与真实值之间的比率，它可以更好地衡量误差的规模。
相对误差可以通过以下公式计算：相对误差 =（绝对误差 / 真实值）* 100%3. 均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）：均方根误差是在拟合 regression model 时广泛使用的一种误差度量。
它计算了预测值与真实值之间的平均差异，并通过求平方根来消除误差为负值的问题。
均方根误差可以通过以下公式计算：RMSE = √（（Σ（预测值-真实值）²）/ n）4. 平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）：平均绝对误差是真实值与预测值之间绝对误差的平均值。
它可以通过以下公式计算：MAE= Σ ，预测值 - 真实值， / n5. 均方误差（Mean Squared Error，MSE）：均方误差是预测值与真实值之间的平均差异的平方。
它用于衡量 regression model 的拟合程度，并可以通过以下公式计算：MSE = Σ（预测值 - 真实值）² / n6. 误差百分比（Percentage Error）：误差百分比是通过将绝对误差除以真实值并乘以100得到的百分比值。
这个指标用于衡量预测值与真实值之间的差异，并可以通过以下公式计算：误差百分比 =（绝对误差 / 真实值）* 100%7. 相对百分比误差（Relative Percentage Error）：相对百分比误差是真实值与预测值之间相对误差的百分比，并通过以下公式计算：相对百分比误差 =（相对误差 / 真实值）* 100%8. R平方（R-squared）：R平方是线性回归模型中一种重要的统计指标，用于度量模型对观测值变化的解释能力。
衡量精度的指标
f ( ) d
lim
n
n
f ( ) d 2 f ( ) d 2
0 0
2
1 2
e
2 2
2
d
2
de
0
2 2 2
2 2 2 2 e 0
1 用相对误差。相对误差没有单位，测量中一般将分子化为 1，即用 N 表示。对应的，真
误差、中误差、极限误差等都是绝对误差。
思考 及 作业
教学 效果 分析
可见两种精度指标是完全等价的，即分别用两种精度指标衡量观测值及其函数的精 度，结果相同。同理，在观测数有限的情况下，也只能得到平均误差的估值。 二、极限误差 极限误差本身不是一种误差指标，而是在一定观测条件下，以中误差为标准确定的， 不大可能出的误差绝对值。 根据标准正态分布概率积分表， 落入区间 （- ， ） 、 （-2 ， 2 ） 、 （-3 ， 3 ） 的概率分别为：68.3%、95.5%、99.7%。由此可见，出现绝对值大于 2-3 倍中误差的偶 然误差属于小概率事件。通常小概率事件在实践中被认为是不大可能发生的，所以在测 量工作中，通常根据实践确定中误差的估值，而以二倍或三倍中误差作为外业成果检核 的标准，超过即视为不合格。 三、相对误差 观测值或其函数值的中误差作分子、观测值或其函数值作分母的比值。一般而言， 一些与长度有关的观测值或其函数值，单纯用中误差还不能区分出精度的高低，所以常
日期 星期 班级 节次 教学课题 知识目标： 计划学时
技能目标： 教学目标
其它能力目标：
课堂类型
衡量精度的指标教程
对测量人员进行培训，确保其能够按照标准操作流程进行测量。
培训与执行
对测量过程进行监督和检查，及时发现并纠正不规范操作。
监督与检查
标准化操作流程
06
CHAPTER
精度在各领域的应用
精度是科学研究中的重要指标，它决定了实验数据的可靠性和科学结论的可信度。高精度测量和计算能够提高科学研究的准确性和可靠性，推动科学研究的进步。
人为误差
样本误差
样本的代表性对测量精度有重要影响，应选择具有代表性的样本进行测量。
样本代表性
样本的处理方式，如取样、保存和运输等，都会影响测量结果的精度，需要采取科学合理的方式进行处理。
样本处理
05
CHAPTER
提高精度的措施
根据测量需求选择合适的测量仪器，确保其精度能够满足测量要求。
精度要求
精度与准确度
精度与精密度、准确度的关系
02
CHAPTER
衡量精度的指标
准确度
总结词
准确度是衡量测量结果与真实值接近程度的指标。
详细描述
准确度越高，测量结果越接近真实值。在分析化学中，准确度常用标准偏差或相对误差来表示。
总结词
精密度是衡量多次测量结果一致性的指标。
详细描述
精密度越高，多次测量结果越一致。在分析化学中，精密度常用标准偏差或相对标准偏差来表示。
直接测量法是通过直接对被测量的量进行测量，从而获得被测量的值的方法。
定义
在各种测量领域中，如果被测量可以直接进行测量，且精度要求不高，可以采用直接测量法。
应用场景
操作简单，快速。
优点
精度较低，误差较大。
缺点
直接测量法
定义
应用场景
衡量精度的标准
在测量工作中，常采用以下几种标准评定测 量成果的精度。
中误差 相对中误差 极限误差
*
一、中误差
设在相同的观测条件下，对某量进行 n 次重复观测， 其观测值为l1，l2，…，ln，相应的真误差为Δ1，Δ2，…， Δn。则观—真误差的平方和， 21 22 2n
m甲
3 2 2 2 4 2 2 2 0 2 4 2 3 2 2 2 3 2 1 2
10
2.7
m乙
0 2 1 2 7 2 2 2 1 2 1 2 8 2 0 2 3 2 1 2
mK 1 m1 0.01 m 1 D1 100 m 10000
m 2 0.01 m 1 mK2 D2 30 m 3000
三、极限误差
在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超 过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。
P 2m
或
P 3m
如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差， 就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工 重测。
返回
下一节
例5-1 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测， 它们的真误差分别为： 甲组： 3,2,4,2,0,4,3,2,3,1 乙组： 0,1,7,2,1,1,8,0,3,1 试计算甲、乙两组各自的观测精度。 解:
10
3.6
比较m甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组高。 中误差所代表的是某一组观测值的精度。
二、相对中误差
相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果 之比，并化为分子为1的分数，即
m 1 mK D D m
例 丈量两段距离，D1=100m，m1=±1cm和D2=30m， m2=±1cm， 试计算两段距离的相对中误差。 解
衡量精度的标准
义该组观测值的精度为：
方差
D
ห้องสมุดไป่ตู้
lim n
n
其中 12 22 n2
3
衡量精度的标准
D
lim n
n
1. 中误差
当n有限时，用均方差，即中误差m来衡
量精度，即菲列罗公式：
m
n
4
衡量精度的标准
1. 中误差
菲列罗公式： m
n
D
lim n
n
注意：m代表一组观测值的精度。即这组观 测值中的每一个观测值都具有这样的精度， 或者说，同精度观测值具有相同的精度。
21
衡量精度的标准
3. 极限误差与容许（允许）误差 在一系列等精度观测误差中：
|△|> |m|的随机误差出现的概率为30% |△|>2|m|的随机误差出现的概率为5% |△|>3|m|的随机误差出现的概率为0.3%
22
衡量精度的标准
3. 极限误差与容许（允许）误差 换言之，
|△|≤ |m|的随机误差出现的概率为70% |△|≤2|m|的随机误差出现的概率为95% |△|≤3|m|的随机误差出现的概率为99.7%
衡量精度的标准
衡量精度的标准
所谓精度，即是指误差分布的集中 与离散程度，误差分布集中，说 明观测值精度好（高），误差负 离散，说明观测值精度低。
标准有： 中误差、相对误差、极限误差
2
衡量精度的标准
1. 中误差
在同精度观测条件下，对某量进行了n
次观测，得观测值为l1,l2,……,ln，设其
真误差分别为△1，△2，……，△n，则定
2
1 n2
(21
22
2n
21 2
精度及其衡量指标
比，为一“不名数”，无量纲，常用分子为1的分式
表示：
k mD D
1 D
mD
• 相对误差仅可用作线量（即长度）观测精度的衡量指 标，在角度测量中没有意义。
• 精度的高低虽然不能用各别误差的大小来判别，但 与一组误差绝对值的平均大小有直接联系，所以常 用一组误差绝对值的平均大小来作为衡量精度高低 的指标。此处的平均值大小并非简单的算术平均大 小，而是指均方差。
• 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
• 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
m2 （ 6）2 （ 5）2 0 （ 1）2 （1）2 3 5 5
∵ | m1 |<|m2|，∴第一组比第二组观测精度高。
2. 极限误差
• 极限误差也叫容许误差，即观测中可能出现的最大误
差值，用△容表示。由偶然误差的有界性知：在一定 的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，
这个限值就是极限误差。
• 由概率论知，在误差群中，绝对值大于2m的真误差个 数只占误差总个数的5％，大于3m的个数仅0.3％。由 此可见，绝对值大于2m或3m的真误差实际上不可能 出现。因此一般用两倍或三倍中误差作为偶然误差的 极限值，即：
•
△容＝2m， 或△容＝3m
3. 相对误差
• 真误差和中误差都是绝对误差。有时，仅用绝对误差 还不能完全表达观测精度的高低。
N (0, m12 )
N (0, m22 )
中误差计算举例
设有两组观测值，各组均为等精度观测，其真误差分别为： 第一组：+4″，-2″，0，-1″，+3″ 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″
评定测量成果精度的指标
评定测量成果精度的指标测量成果的精度评定是评估测量结果与实际值之间的差异程度，其重要性在于判断测量结果的可靠性和准确性。
在实际测量工作中，如何评定测量成果的精度是一个关键问题。
本文将介绍几个常用的指标来评定测量成果的精度。
1. 绝对误差绝对误差是指测量值与真值之间的差异，用绝对值表示。
绝对误差越小，表示测量结果越接近真实值，精度越高。
绝对误差可以通过测量值与真值之差的绝对值来计算，即绝对误差=|测量值-真值|。
2. 相对误差相对误差是指绝对误差与真值之间的比值，通常以百分数表示。
相对误差可以表征测量结果的相对误差大小，常用于评价测量结果的精度。
相对误差可以通过绝对误差除以真值再乘以100来计算，即相对误差=(绝对误差/真值)×100%。
3. 精度指标精度指标是用来评定测量仪器或方法的精度的指标，通常包括精度限差和重复测量误差。
精度限差是指测量仪器或方法所能达到的最大误差范围，用于判断测量结果的可接受范围。
重复测量误差是指在相同条件下对同一测量对象进行多次测量所得结果的离散程度，用于评估测量方法的稳定性和可靠性。
4. 置信区间置信区间是用来评定测量结果的可靠程度的指标，它表示测量结果的误差范围。
置信区间可以通过测量结果的平均值加减一定范围内的误差来计算，一般使用统计方法来确定置信区间的上下限。
5. 标准偏差标准偏差是用来评定测量结果的离散程度的指标，它表示测量结果与平均值之间的离散程度。
标准偏差越小，表示测量结果越稳定，精度越高。
标准偏差可以通过计算测量结果与平均值之间的差异的方差再开平方得到。
评定测量成果的精度可以使用绝对误差、相对误差、精度指标、置信区间和标准偏差等指标来进行。
这些指标可以从不同角度反映测量结果的准确性和可靠性，有助于评估测量成果的精度水平。
在实际测量工作中，根据具体需求和测量对象的特点选择合适的指标进行评定，可以更准确地判断测量结果的精度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
179°59ˊ52" +8 64
180°00ˊ00" 0
0
179°59ˊ57" +3
9
180°00ˊ01" -1
1
24 130
m2
2 3.6 n
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
n n
21 22 2n
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
例1 设对某个三角形用两种不同的精度分别对 它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角 形内角和的真误差为
第 一 组 ： 3, 2, 4, 2, 0, 4, 3, 2, 3, 1
第 二 组 ：0, 1, 7, 2, 1, 1, 8, 0, 3, 1
试求这两组观测值的中误差。 解：这两组观测值中误差计算如下：
9
179°59ˊ58" +2
4
180°00ˊ03" -3
9
24
72
中误差
m1 2 2.7 n
第二组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ00" 0
0
159°59ˊ59" +1
1
180°00ˊ07" -7 49
180°00ˊ02" -2
4
180°00ˊ01" -1
1
179°59ˊ59" +1
按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4
5
6 7 8 9 10 Σ||
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ03" -3
9
180°00ˊ02" -2
4
179°59ˊ58" +2
4
179°59ˊ56" +4
16
180°00ˊ01" -1
1
180°00ˊ00" 0
0
180°00ˊ04" -4
16
179°59ˊ57" +3
第二讲 衡量精度的指标
2）极限误差
误差落在 ( , ) 、(2 ,2 )和 (3 ,3 ) 的概率分别 为：
P( ) 68.3% P(2 2 ) 95.5% P(3 3 ) 99.7%
P( ) 68.3%
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
例1 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和 500m±2cm。问：中误差是否相等？它们的相对 精度是否相同？
解：这两段距离中误差是相等，均为±2cm。 它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误 差 为 2/100000=1/50000 ， 后 一 段 距 离 的 相 对 中 误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。 角度元素没有相对精度。
衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用 的精度指标。
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
2、衡量精度的指标
1）方差和中误差
误差Δ的概率密度函数为：
方差定义：
f ()
1
2
e 2 2
2
1
2
32 22 42 22 02 42 32 22 32 12 2.7 10
02 12 72 22 12 12 82 02 32 12 3.6 10
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
定测量成果的精度。 5. 偶然误差的数学期望（真值）为零。
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
1、概述 精度：是指误差分布的密集或离散的程度，也就 是观测值与数学期望的接近程度。 误差分布相同，观测成果的精度相同；反之，若 误差分布不同，则精度也就不同。 从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集， 图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成 的阶梯比较陡峭； 精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰 则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在 误差分布曲线的形态上。
2 D() E(2 ) 2 f ()d
E(2 )
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
就是中误差：正态分布曲线具有两个拐点，它
们在横轴上的坐标为，X拐 x ，对于偶然误差，拐
点在横轴上拐 ，其大小可以反映精度的高低
，所以常用中误差作为衡量精度的指标。
对于离散型： 2 D() E(2 ) (E()) 2
E(2 ) lim
n n
方差和中误差的估值：
ˆ 2 ˆ
n
n
lim
P( 2 ) 95.5%
P(
3
)
99.7%
一般以二倍中误差作为偶然误差的极限值 限 2
，并称为极限误差。
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
3）相对误差 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差 还不能完全表达观测结果的好坏 。 相对中误差，它是中误差与观测值之比 。 在测量中一般将分子化为1，用 1 N 表示。
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
上节内容回顾
1. 观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶 然误差，除此之外还有粗差；
2. 测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值； 3. 偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性； 4. 测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果，评
真值为：180°
第二组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ00"
159°59ˊ59"
180°00ˊ07"
180°00ˊ02"
180°00ˊ01"
179°59ˊ59"
179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01"
m2
2 n
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
为了衡量观测值的精度高低，可以把在一组相 同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直 方图或画出误差分布曲线的方法来比较。
在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布 的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。
按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ03"
180°00ˊ02"
17980°00ˊ01"
6
180°00ˊ00"
7
180°00ˊ04"
8
179°59ˊ57"
9
179°59ˊ58"
10
180°00ˊ03"
Σ||
中误差
m1 2 n
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
小结 1. 精度的概念
2. 衡量精度的指标：方差和中误差、极限 误差、相对中误差。
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY