5.3诱导公式(2)
课件4：5.3 诱导公式(二)
[解] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 因为－1≤sin α≤1，所以 sin α＝－35. 又 α 是第三象限角，所以 cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinco－sα2π－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)＝sinπ2s－inααccoossαπ2＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 1 [因为 11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简 sin32π＋α＝________. －cos α [sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
(2)左边＝cocsosθsπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ
＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
【规律方法】 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左 边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
5.3(2)同角三角比的关系与诱导公式
（1） 求sin a cos 的值； （2） 求sin cos 的值.
例
5 3． 若 tan cot ， 求sin cos 的值. 2
二、例题选讲
例4． 已知 tan 2 ，求下列各式的值. sin cos （1） ； sin cos sin cos （2） sin 2 2 cos 2 （3）
三、课堂小结
1、同角三角比的八个其本关系式； 2、已知某角的一个三角比，求其他三角比值；
3、由三角比的符号确定角所在象限(符号看象限)；
4、化简三角式的方法与技巧．
sin cos
化简与证明的一般方法与技巧：
(1)“化弦法”，即将正切、余切、正割、余割 都化为正弦、余弦 ；
(2“ )1 的妙用”，即将“ 1 ”化为sin 2 cos2 或sec2 tan2 或 csc2 cot2 等；
(3)三角式开偶次方时，要注意角的范围，以确定 正负号的选取．
一、复习
(2)商数关系： t an sin k k Ζ cos 2 cos k k Ζ cot sin
(3)平方关系： sin 2 cos2 1 R 2 2 1 tan sec k k Ζ 2 2 2 1 cot csc k k Ζ
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第五章 三角比
(1)倒数关系：sin csc 1 k k Ζ cos sec 1 k k Ζ k 2 k Ζ tan cot 1
5.3诱导公式课件(人教版)(2)
（3 ）sin(
);
（4） tan ( 2040˚).
解：（ 1）cos225˚ =cos( 180˚+45˚)
= −cos45˚= ；
高中数学
高中数学
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）cos225˚ ;
（3 ）sin（-
;
（2）sin ；
（ 4 ）tan(-2040˚).
) 解：（2）sin =sin(2π+ )
36 80˚
) （ “ 为第三象限角）. “)
解： cos(180˚ + “)= −cos“ ，
sin ( 60˚ ) n“
tan (
180 ) tan −(“+180˚)]= −tan(“+180˚)= −tan“
cos(− 180˚ + “)=cos[−(180˚ − “)]=cos (180˚ − “)= − cos“，
诱导公式（ 1）
前面利用圆的几何性质， 得到了同角三角函数之间的 基本关系. 我们知道， 圆的最重要的性质是对称性， 而对称 性（ 如奇偶性） 也是函数的重要性质. 由此想到， 可以利用 圆的对称性，研究三角函数的对称性.
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题 转化为求 [0, ) 间的角的三角函数值问题. 诱导公式的推导 过程， 体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化” 的数 学思想方法，反应了从特殊到 一般的归纳思维情势 .
高中数学
由例1， 你对公式 一 至公式四的作用有什么进 一 步的 认识？ 你能自己归纳 一 下把任意角的三角函数转化为锐角 三角函数的步骤吗？
任意负角的 用公式
三角函数
三或 一
锐角的三角 函数
5.3诱导公式(第二课时)课件(人教版)
π
(2)对于π±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必
2
须变名.
4
15
”，“第三象限”改为“第二象限”，
本例条件中“cos α＝－5”改为“α 的终边与单位圆交于点 Pm，
4
π
sinα－2
－cos α
因为α为第三象限角，
sin α
＝tan α·sin α＝cos α·sin α
9
3
2
所以 sin α＝－ 1－cos α＝－5.
9
sin2α 32 5
9
＝cos α＝ －5 × －4 ＝－20.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式
sin(
cos(
2
2
) cos
) sin
口诀：奇变偶不变，符号看象限
sin(
cos(
2
2
) cos
) sin
口诀的意义：
k
（k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上
一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；
sin 2 cos cos cos
2
2
.
9
cos sin 3 sin sin
课件3：5.3 诱导公式(二)
＝－tacnoαsαsisninααcosα＝－tanα则 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或 从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定 义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练 掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
名师提醒 用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[针对训练] 1．已知 cosθ＝－35，则 sinθ＋2π＝________. [解析] sinθ＋2π＝cosθ＝－35. [答案] －35
[针对训练] 3．求证：ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1. [证明] 右边＝－2sin32π1－ －θ2s·in－2θsinθ－1＝2sinπ＋1－π2－ 2siθn2θsinθ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ
＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝左边，所以原等式成立.
题型三 诱导公式的综合应用 【典例 3】 (1)已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值． (2)已知 cosα＝－45，且 α 为第三象限角． 求 f(α)＝tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sin2π－α的值． [思路导引] (1)6π－α＋56π＋α＝π；23π－α＝π－3π＋α；π3＋α＋6π－α ＝π2.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．
5.3.2诱导公式(2)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
7 2
×1－38＝5167.
内容索引
内容索引
1. (2023·济南高一期末)已知 sinα＝45，则 cosπ2＋α等于(
)
A. －45
B. －35
C.
ห้องสมุดไป่ตู้
3 5
D.
4 5
【解析】 cosπ2＋α＝－sinα＝－45.
【答案】 A
12345
内容索引
2. 若 cosπ6＋α＝13，则 sinπ3－α等于(
内容索引
已知 tanθ＝2，则 ssiinnπ2π2＋－θθ－－csoinsππ－－θθ＝________. 【解析】 原式＝cocsθo－sθ－－sicnoθsθ＝cos2θc－ossθinθ＝1－2tanθ＝1－2 2＝－2. 【答案】 －2
内容索引
例 3 已知 cos(75°＋α)＝13，且－180°＜α＜－90°，求 cos(15°－α)的 值．
【答案】 BD
12345
内容索引
4.
(2023·石家庄一中高一练习)若
sin
θ＋π7
＝
7 14
，
则
cosθ－51π4＝
________.
【解析】
cosθ－51π4＝cosθ＋π7－π2＝sinθ＋π7＝
7 14 .
【答案】
7 14
12345
内容索引
5. (2023·绵阳高一开学考试)已知 f(α)＝2scinosπ23＋2πα－－α＋3sicnos3ππ－＋αα. (1) 化简 f(α)； (2) 已知 tanα＝2，求 f(α)的值．
内容索引
公式五与公式六的作用是实现正弦与余弦的相互转化，同时可以把区 间π2，π上的角的三角函数转化为锐角的三角函数．
5.3诱导公式(第二课时)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
cos(−)sin(3−)sin(−−)sin( +
.
2
解：原式=
−sin )(−cos )(−sin )cos[5+( 2 −)
−cos )sin(−)[−sin(+)]sin[4+( 2 +)
=
−sin2 cos [−cos( 2 −)
−cos )sin [−(−sin )]sin( 2 +
奇
变
偶
不
变
，
符
号
看
象
限
课本第194页习题5.3
谢
谢！
) sin
诱导公式六：
sin(
2
) cos
cos( ) sin
2
诱导公式五：
sin(
cos(
2
2
2
) cos
) sin
诱导公式六：
sin(
2
) cos
cos( ) sin
−cos(
6
2
)
3
6
2π
)
3
2
= sin[( − ) − ]
− −
6
− ) =
2
.
3
= −cos −
6
的值.
【变式练习】
5
2
已知sin(
1
+ ) = ，则cos =（ C ）
5
2
A.5
1
B.5
1
C.
课件5：5.3 诱导公式(二)
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－－152＝－256，
所以
f(α)＝－cos
α＝2
5
6 .
(3)当 α＝－331π时，f(α)＝－cos α＝－cos－313π
＝－cos－10π－π3＝－cos3π＝－12.
【规律方法】 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、 相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可 对分子分母同乘一个式子变形．
【解】 (1)因为 cos(π＋α)＝－cos α＝－12，
所以 cos α＝12，又 α 为第一象限角．
则 cos2π＋α＝－sin α＝－ 1－cos2α
＝－
1－122＝－
3 2.
(2)cosπ6＋α＝cosπ2－3π－α＝sin3π－α＝12.
[互动探究] (变问法)若本Fra bibliotek(2)条件不变，如何求 cos56π－α的值． 解：cos56π－α＝cos2π＋π3－α ＝－sinπ3－α＝－12.
【规律方法】 解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α 与π6＋ α，3π＋α 与6π－α，4π－α 与4π＋α 等互余，3π＋θ 与23π－θ，π4＋θ 与34π －θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用 角的变换来解决问题．
【跟踪训练】
1．若 cos(α＋π)＝－23，则 sin(－α－32π)＝( )
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)
A．23
B．－23
C．
5 3
D．－
5 3
答案：A
已知 sin(α＋2π)＝13，α∈(－2π，0)，则 sin α 等于( )
5.3 诱导公式 课件(2)(共29张PPT)
37π 5π
(4)tan
·sin－ 3
6
π
π
＝tan6π＋ ·sin－2π＋
6
3
π
π
3
3 1
＝tan ·sin ＝ × ＝ .
6
3 3
2 2
解题方法（利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：）
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
[跟踪训练一]
.
α 直线 y＝x 对称.
六、诱导公式六
π
＋α 型诱导公式(公式六)：
2
π
sin ＋α＝
2
cos α
π
cos ＋α＝
2
－sin α
；
.
小试牛刀
25π
1．(1)sin
＝________；
6
7π
(2)tan－ ＝________.
π 1
tan(α＋2kπ)＝
(k∈Z)；
tan α (k∈Z)．
提醒 1：α＋2kπ 与 α 终边相同角.
二、诱导公式(二)
终边关于 x 轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝ －sin α
cos(－α)＝
；
cos α ；
tan(－α)＝ －tan α
.
提醒 2：-α 与 α 关于 x 轴对称.
π
(2)cos－ ＝cos－6π＋ ＝cosπ－
6
6
6
π
3
人教版高中数学必修第一册5.3诱导公式 第2课时 诱导公式(2)【课件】
因为sin （ − ）＝ ，
【方法规律】
抓住角 -x与 +x互余的特征进行角的变换,灵活地运用诱导公式将所求角用已知角
所以cos （3 − ）＝±
− （ − ）＝± .
6
表示,从而解决问题.解题时,要学会抓住角的特征分析,发现已知角与所求角的和、差
A.
B.
C.
－
D.
－
2.已知sin（ + ）＝ ，那么cos (π＋α)的值为(
A.
－
B.
－
C.
D.
A
)
B)
3. (多选)下列四个结论中正确的有( CD )
A. sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B.
C.
若cos (nπ－α)＝ (n∈Z)，则cos α＝
α.代入α＝ ，可得f( )＝cos
＝ .
【方法规律】
观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异,灵
活运用诱导公式进行角的转化和化归,先化简,再计算求值.运用诱
导公式时,要抓住两点:一是函数名是否要改变,怎么改变;二是符号
怎样确定.从角的特征分析,灵活地运用诱导公式是实现解题的关键
纹样式的剪纸，将其放入直角坐标系中，如图2，
我们可以发现这个图案具有四条对称轴，它们可以
第五章 §5.3 诱导公式(二)
§5.3 诱导公式(二)学习目标 1.在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导过程.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题．知识点 诱导公式五、六思考1 设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2，点P 2的坐标是什么？答案 P 2(y ，x )．思考2 如何由公式四及公式五推导公式六？答案 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α.1．若cos A ＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝________. 答案 122．已知sin α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 答案 23解析 cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝23. 3．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析 sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.4．已知sin α＝35，α为第二象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝________. 答案 －35解析 cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α＝－35.一、化简求值例1 (1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( )A.1－m 2mB.1－m 2 C ．－1－m 2mD ．－1－m 2答案 B解析 sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值为________． 答案 12解析 cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12.1．将本例(2)的条件改为sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝12，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值． 解 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－12. (教师)2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋α的值．解 因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，又sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12， 所以π3－α是第二象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－32， 所以sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝32. (学生)反思感悟 利用诱导公式化简、求值的策略(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．(3)常见的互余的角：π3－α与π6＋α，π4＋α与π4－α等，常见的互补的角：π6＋α与5π6－α，π3＋α与2π3－α，π4＋α与3π4－α等． 跟踪训练1 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝15. (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－3π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值等于( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13答案 D解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－3π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－13. 二、三角恒等式的证明例2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ)＝tan θ＋1tan θ－1. 证明 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝右边． 所以原等式成立．反思感悟 三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．跟踪训练2 求证：cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＝2sin 2θ. 证明 左边＝cos θ－cos θcos θ＋cos θ＋－cos θcos θ(－cos θ－1)＝11－cos θ＋11＋cos θ＝1＋cos θ＋1－cos θ(1－cos θ)(1＋cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边， ∴原等式成立．三、诱导公式的综合应用例3 已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，求下列各式的值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2； (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 两边平方整理得2sin αcos α＝－79， ∴sin αcos α＝－718， ∴cos α－sin α ＝±(cos α－sin α)2＝±1－2sin αcos α＝±1＋79 ＝±43， (1)sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α ＝－sin αcos α＝718. (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos αsin α＋sin 2α)＝⎝⎛⎭⎫±43×⎝⎛⎭⎫1－718＝±2227. 反思感悟 诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．跟踪训练3 已知cos α＝－45，且α为第三象限角． (1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)的值． 解 (1)因为α为第三象限角， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－35. (2)f (α)＝(－tan α)·sin α·cos α－cos α＝tan α·sin α＝sin αcos α·sin α ＝sin 2αcos α＝⎝⎛⎭⎫－352×⎝⎛⎭⎫－54＝－920.1．已知sin α＝513，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( ) A.513 B.1213 C ．－513 D ．－1213答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－513. 2．若sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ>0，∴sin θ<0，∴角θ是第三象限角．3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)等于( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D.23答案 B解析 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ ＝21－tan θ＝21－2 ＝－2. 4．化简：cos (6π＋θ)sin (－2π－θ)tan (2π－θ)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋θsin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝________. 答案 －tan θ解析 原式＝cos θ·sin (－θ)·tan (－θ)cos ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋θ·sin ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋θ＝cos θ·(－sin θ)·(－tan θ)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ ＝cos θ·sin θ·tan θ－sin θ·cos θ＝－tan θ.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝24，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π12的值为________． 答案 24解析 ∵α＋5π12＋⎝⎛⎭⎫π12－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π12＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－α ＝24.1．知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明．2．方法归纳：公式法、角的构造．3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．1．已知sin 25.3°＝a ，则cos 64.7°等于( )A ．aB ．－aC ．a 2 D.1－a 2答案 A解析 cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a .2．已知sin(π＋α)＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫α－5π2的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－22答案 B解析 由sin(π＋α)＝12得sin α＝－12，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－5π2＝cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝－12.3．(多选)下列与cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ的值相等的是( )A ．sin(π－θ)B ．sin(π＋θ)C ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ D ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ答案 BD解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－sin θ，sin(π－θ)＝sin θ，sin(π＋θ)＝－sin θ，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ，所以B ，D 项与cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ的值相等．4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－14，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为() A ．－16 B ．－38 C.16 D.38答案 B解析 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－14，得sin α＝18， cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－38. 5．化简：sin (θ－5π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2－θcos (8π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2sin (－θ－4π)等于( ) A ．－sin θ B ．sin θ C ．cos θ D ．－cos θ答案 A解析 原式＝sin (θ－π)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos θcos θsin (－θ)＝(－sin θ)(－sin θ)cos θcos θ(－sin θ)＝－sin θ. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－35且α为第四象限角，则cos(－3π＋α)＝________. 答案 －45解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α，所以sin α＝－35. 又α为第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝45， 所以cos(－3π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－45. 7．已知sin α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的值为________． 答案 －14解析 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α) ＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α ＝－sin 2α＝－14. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝________. 答案 －13 13解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－13. sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13. 9．已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α). (1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值． 解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α. (2)因为f (A )＝cos A ＝35， 又A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45， 所以tan A ＝sin A cos A ＝43， 所以tan A －sin A ＝43－45＝815. 10．已知角α的终边经过点P (m,22)，sin α＝223且α为第二象限角． (1)求m 的值； (2)若tan β＝2，求sin αcos β＋3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin βcos (π＋α)cos (－β)－3sin αsin β的值．解 (1)由三角函数定义可知sin α＝223＝22m 2＋8， 解得m ＝±1.∵α为第二象限角，∴m ＝－1.(2)由(1)知tan α＝－22，又tan β＝2，∴sin αcos β＋3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin βcos (π＋α)cos (－β)－3sin αsin β＝－sin αcos β＋3cos αsin βcos αcos β＋3sin αsin β ＝－tan α＋3tan β1＋3tan αtan β＝－－22＋321＋3×(－22)×2＝211.11．在△ABC 中，cos A ＋B 2＝45，则cos C 2的值为( ) A ．±35 B ．±45 C.35 D.45答案 C解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B 2＝π2－C 2， ∴cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2＝45. 又C 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos C 2＝35. 12．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°等于( )A ．89B ．90 C.892D ．45 答案 C解析 ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…，∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝44＋12＝892. 13．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α等于( )A.25 B ．－25 C.25或－25 D ．－15答案 B解析 ∵sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，即sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 14．sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝________. 答案 1解析 sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＋sin 2⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝1.15．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( ) A ．sin β＝154 B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155 答案 AC解析 因为sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝14，若α＋β＝90°，则β＝90°－α， 故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±154，故A 满足； C 中tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，故sin β＝±154，即C 满足，而BD 不满足． 16．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)．解 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2， 又α是第三象限角，所以sin α＝－35. 所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α) ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α ＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α ＝－tan 2α＝－916.。
诱导公式(二) 课时2
题型 3◆诱导公式的综合应用
典例
若 α 的终边与单位圆交于点 Pm，
415，且 α 为第二象限角，试求
sinπ＋αsi－nαsi－n3π22π －α＋1的值．
解：由题意知，m2＋
4152＝1，
解得 m2＝116.
因为 α 为第二象限角，故 m<0，
所以 m＝－14，
所以 sin α＝ 415，cos α＝－14.
α 为第二象限角，所以 m＝－1.
(2)由(1)知，tan α＝－2 2，又 tan β＝ 2，
所以，原式＝－sicnoαs cαocsoβs＋β－3c3ossinααsisninββ
＝－t1an－α3＋tan3tαantanβ β
＝－1－－3×2 2－＋23
2 2×
＝ 2
112.
θ＝左边， θ
所以原等式成立．
关于利用诱导公式的证明问题 (1)一般应由繁到简进行证明，先利用诱导公式，再利用终边相同的角的 三角函数的基本关系进行化简； (2)要注意“1”的代换，弦化切，切化弦等方法，根据要证明的结论进行变 形．
化简：sisninπ－＋xxccoossπ2－π－xx－scinosππ2－－xxccoossπ－＋xx＝ 0 . 解析：原式＝－－sinsixnx－cocsosxx－sinsixn－xcocsosxx＝－1＋1＝0.
关于给值求值问题 能直接利用诱导公式化简的可以先化简，再利用三角函数之间的关系求 值．不能直接化简的则要观察已知角和未知角的关系，是否存在互余、 互补等关系，将未知角表示成已知角求值．
1．已知 sin α＋π3＝35，则 cosπ6－α的值是( C )
A．－35
B．45
C．35
D．－45
诱 导 公 式(二) 课件(41张)
当k＝2n＋1，n∈Z时， 原式＝cos （2n＋1）π＋π3＋α ＋ cos （2n＋1）π－π3－α ＝cos π＋π3＋α ＋cos π－π3－α ＝－cos π3＋α －cos π3＋α ＝－2cos π3＋α . 所以化简所得的结果为(－1)k2cos π3＋α .
5．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________．
【解析】f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3 2
.
答案：－
3 2
＝2si2nsαicno2αs＋α＋sincoαs α
＝cos sin
α（1＋2sin α（1＋2sin
α） α）
＝tan1 α
，
所以 f－263π
＝ tan
1 －263π
＝ tan
1 －4π＋6π
＝1 tan
π 6
＝
3.
答案： 3
诱导公式在三角形中的应用
【典例】在△ABC中，sin
A＋B－C 2
C．±(sin θ－cos θ)
D．sin θ＋cos θ
【解析】选A.因为 1－2sin （π＋θ）sin 32π－θ ＝ 1－2sin θcos θ ＝ （sin θ－cos θ）2 ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈2π，π ，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.
2．sin 105°＋cos 165°的值为________． 【解析】sin 105°＋cos 165°＝sin (90°＋15°)＋cos (180°－15°)＝cos 15°－cos 15° ＝0. 答案：0
5.3诱导公式(第2课时)高一数学人教A版必修一
.
(−)(−)(−−)( +)
解：原式=
(−��
)(− )(− )[5+( −)]
2
)(−)[−(+)][4+( +)]
2
(−��
2
−2 [−( −)]
=
因此1 = 5 ，1 = 5 .
根据三角函数的定义，得：
( − ) = 5 , ( − ) = 5 .
2
2
新知探索
由前面的分析知：
(
2
− ) = 5 ,
(
2
− ) = 5 .
= 1 , = 1 . 5 = 1 , 5 = 1 .
求
3
2
3
2
( 2 −)( 2 +)
(−− )( −)
解：方程5 2
∙ 2 ( − )的值.
− 7 − 6 = 0的两根为1 =
3
− ，2
5
= 2，
3
5
∵−1 ≤ ≤ 1，∴ = − .
又是第三象限角，
4
5
∴ = − ， =
4
5
的纵坐标分别为 ， .
5
13
(1)求 的值；
5
解：(1)∵的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为 ，∴
13
2
∵ < < ，∴ = −
∴ =
=
5
− .
12
12
.
高中数学 5-3 诱导公式 第2课时 诱导公式(二)课件 新人教A版必修第一册
提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称． (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
练一练：已知 cosπ2－α＝12，则 sin(π＋α)＝_－__12___．
[解析] cosπ2－α＝sin α＝12， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－12.
题型二
三角恒等式的证明
典例2 求证：
2sin1－θ－2s32iπn2c（osπθ＋＋θπ2）－1＝ttaann（（9ππ＋＋θθ））－＋11.
[分析]
[证明] 左边＝
－2sin32π－θ·（－sin 1－2sin2θ
θ）－1＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin
θ－1
＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1
D．－ 1－a2
[解析] sin 25°＝sin（90°－65°）＝cos 65°＝a.
(B )
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角．
( B)
3．已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，则 sinα－32π的结果是
第五章 三角函数
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式(二)
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基
必备知识 ·探新知
知识点 1 诱导公式五
sinπ2－α＝cos α， cosπ2－α＝sin α 想一想：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？
5.3诱导公式(二)课件(人教版)
cos( + ) = − cos
tan( + ) = tan
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知识巩固
公式三：终边关于轴对称的角
sin(−) = −sin
cos(− ) = cos
tan(−) = − tan
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知识巩固
公式四：终边关于轴对称的角
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典例精析
例1 证明：
3
（1）(
2
− ) = − ；
3
（2）(
2
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+ ) = .
典例精析
变式1 证明：
5
（1）(
2
− ) = ；
7
（2）(
2
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+ ) = ；
典例精析
变式1 证明：
与角有什么关系？
y
P5
O
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P1
x
问题探究
探究：3.直角坐标系中关于直线 = 对称的两个点的坐标之
间有什么关系？
y
y
P5
P1
P1
O
O
x
P5
y
y
x
P5
O
x
O
x
P5
P1
高中数学必修第一册
P1
知识小结
公式五：终边关于 = 对称的角
sin( − ) = cos
2
教材P195综合运用T7
在△ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由：
（1）( + ) = ； （2）( + ) = ；
学案3：5.3 诱导公式(二)
5.3 诱导公式(二)【新知初探】知识点 诱导公式五、六状元随笔 (1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通． [教材解难]准确记忆六组诱导公式(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．(2)这六组诱导公式可归纳为“k ·90°±α(k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．【基础自测】1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫2 0172π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x2．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A.15B ．－15C ．－265D.2654．sin 95°＋cos 175°的值为________．【课堂探究】题型一 利用诱导公式求值例1 已知sin(53°－α)＝15，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α)的值．状元随笔 注意到(53 °－α)＋(37 °＋α)＝90 °，如果设β＝53 °－α，γ＝37 °＋α，那么β＋γ＝90 °，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题． 方法归纳利用诱导公式五、六求值的三个关注点(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．(3)函数名称：对于k π±α和π2±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如π4±α，π6＋α与π3－α的关系．跟踪训练1 若cos(π＋α)＝－105，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 解题要点 由cos(π＋α)可求出cos α，进而可求sin α，tan ⎝⎛⎭⎫3π2＋α可化为sin α，cos α的关系． 题型二 利用诱导公式证明恒等式[经典例题] 例2 求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).状元随笔 等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明． 方法归纳证明三角恒等式的常用方法(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则． (2)证明左边＝A ，右边＝A ，则左边＝右边，这里的A 起着桥梁的作用． (3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.跟踪训练2 求证：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin 2α.解题要点 等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明． 题型三 诱导公式的综合应用[经典例题]例3 已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)．(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．状元随笔 首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题． 方法归纳用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．跟踪训练3 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫a ，35， 求sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α的值．解题要点 首先注意α的范围．求出a 的范围与值再利用诱导公式求值．【学业达标】一、选择题1．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A 等于( ) A ．－12B.12 C ．－32D.322．下列式子与sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2相等的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ B ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ C ．cos ⎝⎛⎭⎫32π－θD ．sin ⎝⎛⎭⎫32π＋θ3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)等于( )A ．2B ．－2C ．0D.234．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos CB ．sin(A ＋B )＝－sin CC ．cos A ＋C 2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2二、填空题5．若cos α＝－513，且α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π2＝________. 6．求tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝________.7．已知cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan(π－α)＝________. 三、解答题8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，求下列各式的值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α； (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π39．化简：(1)cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (2)sin(－α－5π)cos ⎝⎛⎭⎫α－π2－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos(α－2π)．10．在△ABC 中，已知sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．【参考答案】【新知初探】知识点 诱导公式五、六 cos α sin α cos αsin α【基础自测】1．解析：sin ⎝⎛⎭⎫2 0172π＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫1 008π＋π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x 答案：B2．解析：由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 答案：B3．解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.答案：B4．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：0【课堂探究】题型一 利用诱导公式求值 例1解析：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β. 于是sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.因为－270°<α<－90°，所以143°<β<323°. 由sin β＝15>0，得143°<β<180°.所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫152＝－265， 所以sin(37°＋α)＝sin γ＝－265. 跟踪训练1解析：因为cos(π＋α)＝－105，所以cos α＝105，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－155， 所以tan ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝105155＝1015＝63. 答案：63题型二 利用诱导公式证明恒等式[经典例题] 例2【解析】 证明：右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立. 跟踪训练2解析：证明：左边＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·[－sin(2π－α)]cos α＝sin αcos α[－(－sin α)]cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α＝右边， 故原式成立．题型三 诱导公式的综合应用[经典例题] 例3【解析】 (1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，又cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－sin α， 即sin α＝－15，而α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265， 所以f (α)＝－cos α＝265.(3)α＝－313π时，f (α)＝－cos α＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－10π－π3＝－cos π3＝－12. 跟踪训练3解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P ⎝⎛⎭⎫a ，35， 所以a 2＋925＝1(a <0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝⎝⎛⎭⎫－32×－4535＝2.【学业达标】一、选择题1．解析：cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 答案：B2．解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos θ， 对于A ，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ； 对于B ，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ；对于C ，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－sin θ； 对于D ，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－cos θ. 答案：D3．解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案：B4．解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错；∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错； ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 对． 答案：D 二、填空题5．解析：因为cos α＝－513，且α是第三象限角，所以sin α＝－1213，cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝1213. 答案：12136．解析：原式＝tan (－α)(－sin α)cos (－α)(－cos α)·sin α＝－tan α(－sin α)cos α－cos α·sin α＝－tan α.答案：－tan α7．解析：sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan(π－α) ＝－cos αsin α(－tan α)＝sin 2α＝1－cos 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝89. 答案：89三、解答题8．解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 9．解：(1)原式＝cos[－(π－α)]sin α·sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α) ＝cos (π－α)sin α·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α)＝－cos αsin α·(－cos α)(－sin α)＝－cos 2α.(2)原式＝sin(－α－π)cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos αcos[－(2π－α)] ＝sin[－(α＋π)]cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos αcos(2π－α) ＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α ＝sin 2α＋cos 2α ＝1.10．解：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . 又sinA ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴cos C ＝cos B ， 又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ， 故△ABC 为等腰三角形．。
5.3诱导公式第2课时课件(人教版)
2
2
+2k , k Z
+2k , k Z。
可知，角
2
（2）诱导公式五
sin（ ） cos
2
cos（ ） sin
2
与角α的终边关于直线y=x对称(如图所示).
P点的坐标为（x,y）
y
P1 （y , x )
P1点的坐标为（y,x）
O
P（x, y )
第五章
5.3
三角函数
诱导公式
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
（1）正弦sinα＝ y
（2）余弦cosα＝
x
（3）正切tanα＝
y
x
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin
sin( 2k ) sin
－cos α
－sin α
＝－2sin α.又
π
1
cos2＋α＝3，所以－sin
2
所以原式＝－2sin α＝3.
3.
sin
α=
·sin
cos
1
α＝3.
例1.
练习
1.
2.已知 cos(
3.
6
)
3
5
，求 cos(
)的值.
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan
其中
k Z
tan( 2k ) tan
5.3诱导公式(第二课时)课件(人教版)
12
5
P13，13.
(1)求sin(α＋π)的值；
根据题意，得 sin α＝
cos α＝
5
13
5
5
12 ＝13，
2
2
＋
13
13
12
13
12
sin α 5
5
12 ＝13，tan α＝cos α＝12，
2
2
＋
13
2. 通过
∆
看∆的奇偶性，奇变偶不变：
∆为奇数则变函数名（sin变为cos，cos变为sin）
∆为偶数则不变函数名.
3. 将α看做第一象限的角，判断符号正负
（一全正、二正弦、三正切、四余弦）
化简求值
典 型 例 题 1
例1.
化简求值问题
11
(2−)(+)( +)(
作P1关于y=x轴的对称点P5，以OP5为终
边的角β与角α有什么关系？角β，α的三
角函数值之间有什么关系？
5
角α与角α的终边关于
诱导公式五
(y,x)
(x,y)
y=x
对称
？ 思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P5关于y轴的对称点P6，以OP6为终边的
角与角α有什么关系？
1
，且 −270°
5
< < −90° ，
跟 踪 训 练 2
已知( − )
3
(1)( + )