线性方程组练习题

线性方程组练习题

§1 向量的线性关系

1．判断下列向量组是否线性无关：

（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11

2，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-840，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01014，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1521，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1202，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛7024。 2．讨论下面向量组的线性相关性：

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12211，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-15120，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-141b a 。 3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211a ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=t 311a 。

（1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？

（2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？

（3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。

4．设有向量组

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11111t a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222t a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33333t a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=t 44444a 。 问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？

（2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？

5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？

6．设m a a a ,,,21 线性无关，作

211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。

判别m b b b ,,,21 的线性相关性。

7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？

8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。问：

（1）1a 能否由32,a a 线性表示；

（2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。

9．若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ，T k )1,1,1(2+=a ，T k )1,1,1(3+=a 唯一

地线性表示，求k 。

10．已知两个n 维向量组m a a a ,,,21 和m b b b ,,,21 。证明：若存在两组不全为零的数m λλλ,,,21 和m μμμ,,,21 使得

,

)()()()()()(2221112221110b b b a a a =-++-+-+++++++m m m m m m μλμλμλμλμλμλ 则m m m m b a b a b a b a b a b a ---+++,,,,,,,22112211 线性相关。

11．设m a a a ,,,21 是n 维向量组，A 是n m ⨯矩阵。证明：若m a a a ,,,21 线性相关，则m Aa Aa Aa ,,,21 也线性相关。

12．已知向量b 可由m a a a ,,,21 线性表示，但不能被121,,,-m a a a 线性表示。证明：m a 不能被121,,,-m a a a 线性表示，但能被b a a a ,,,,121-m 线性表示。

13．设n a a a ,,,21 是n 个n 维向量，证明：n a a a ,,,21 线性无关的充分必要条件是任何n 维向量都可以被它们线性表示。

14．设有向量组m a a a ,,,21 ，其中任意1-m 个向量都线性无关。证明：等式

0a a a =+++m m x x x 2211

中的系数m x x x ,,,21 或者全为零，或者全不为0。

15．证明：线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, 对于任何n b b b ,,,21 都有解的充分必要条件是其系数行列式不等于0。

16．设A 为n m ⨯矩阵，B 为p n ⨯矩阵。若C AB =，且矩阵C 的行向量线性无关，证明A 的行向量也线性无关。

17．设m a a a ,,,21 都是非零向量。证明：若每个j a （m j ≤<1）都不能由121,,,-j a a a 线性表示，则m a a a ,,,21 线性无关。

18．设r a a a ,,,21 是线性方程组0Ax =的r 个线性无关的解。而向量b 不是该方程的解，即0Ab ≠。证明：向量组r a b a b a b b +++,,,,21 线性无关。

19．证明：n 个n 维列向量n a a a ,,,21 线性无关的充分必要条件是：

0212221

21211

1≠n

T n T n T n n T T T n T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a

。

§2 秩

1．求下列矩阵的秩：

（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--3212651

31321； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6512556411140121112； （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----121101010a a a a n n 。 2．设矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛---2540002

1121t 的秩为2，求t 。 3．判定下述向量组是否线性相关：

（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1143，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0124，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1021； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3312，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0120，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-2131。 4．求向量组

=1a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2532，=2a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1121，=3a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1121，=4a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3231，=5a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-4121 的秩与一个极大无关组。

5．设有向量组：

T a )1,1,1,1(1+=a ， T a )2,2,2,2(2+=a ， T a )3,3,3,3(3+=a ， T a )4,4,4,4(4+=a 。

问a 为何值时，1a ，2a ，3a ，4a 线性相关？当1a ，2a ，3a ，4a 线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

6．证明：若向量组1S 能由向量组2S 线性表示，且rank(1S )=rank(2S )，则1S 与2S 等价。

7．设有两个向量组（I ）：T )1,1,0,1(1-=a ，T )0,2,1,1(2-=a ，T )2,8,3,1(3---=a ；

（II ）：T )0,1,1,1(1-=b ，T )1,0,1,0(2=b ，T )1,2,1,2(3--=b 。

问它们是否等价？

8．设有两个向量组T a ),1,1(1=a ，T a )1,,1(2=a ，T a )1,1,(3=a 和T a ),1,1(1=b ，T a )4,,2(2-=b ，T a a ),,2(3-=b 。问：当a 为何值时1a ，2a ，3a 可以由321,,b b b 线性表示，但321,,b b b 不能由1a ，2a ，3a 线性表示？

9．设有两个向量组（I ）：T )0,0,1,1(1=a ，T )0,1,1,0(2=a ，T )1,1,0,0(3=a ；

（II ）：T b a )1,,,1(1=b ，T )2,1,1,2(2=b ，T )1,2,1,0(3=b 。

问当a ，b 为何值时它们会等价？

10．设有两个n 维向量组（I ）m a a a ,,,21 和（II ）m b b b ,,,21 （n m ≤）,证明：若（I ）可以由（II ）线性表示，且m a a a ,,,21 线性无关，则m b b b ,,,21 也线性无关。

11．设A ，B 为n 阶方阵，满足A A =2，B B =2，且B A I --可逆。证明