人教版九年级上册数学一元二次方程知识点归纳及练习
人教版九上数学一元二次方程知识点和考点精析
一元二次方程知识点及考点精析一、知识结构： 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法二、考点精析考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点(含答案解析)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4B 解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，∴240,20m m -=-≠，∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++=C 解析：C【分析】设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：400（1+x ）2=900．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．3．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11D 解析：D【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．【详解】解：x 2﹣4x ﹣7＝0，移项得：247x x -=配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=故答案为：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．-3或0C 解析：C【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-3a ）x+a=0的两个实数根互为倒数，∴x 1•x 2=a=1．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0，b 2-4ac≥0）的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 5．方程22x x =的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x = D ．10x =，2x = 解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．6．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2B 解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．7．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关A 解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．8．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．9．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2C 解析：C【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、是分式方程．错误；B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；C 、是，一元二次方程，正确；D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．10．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝5D解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，∴（x ﹣3）2＝4，则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，解得x 1＝5，x 2＝1，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.二、填空题11．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解解析：1+x+x 2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．【详解】解：依题意得支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，故答案为：1+x+x 2=91．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．12．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．13．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．14．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．16．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．17．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 18．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】解析：2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a-是解题的关键． 19．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．20．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解：∵x2﹣8x ＝5∴x2﹣8x+16＝5+16即（x ﹣4）2＝21故答案为：21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全解析：21【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可．【详解】解：∵x 2﹣8x ＝5，∴x 2﹣8x +16＝5+16，即（x ﹣4）2＝21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．三、解答题21．用配方法解方程：22510x x -+=解析：154x =+，254x = 【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可．【详解】解：22510x x -+=，系数化为1得：251022x x -+=，配方得：2255251()024162x x -+--+=， 即：2517()416x -=，两边同时开平方得：54x -=，即154x =254x =-． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．22．已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．解析：（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB ＝AC 时，﹣k +6＝k +2，则k ＝2；当AB ＝BC 时，﹣k +6＝5，则k ＝1；当AC ＝BC 时，则k +2＝5，解得k ＝3，综合上述，k 的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．23．解方程：2410y y --=．解析：12y =22y =【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可得到答案．【详解】解：2410y y --= 24=1y y -24+4=5y y -2(2)=5y -2=y -±解得，12y =22y =【点睛】此题主要考查了解一元二次方程---配方法，熟练掌握各种解法是解答此题的关键． 24．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．解析：（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.25．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．解析：AB=8米，BC=12米．【分析】设AB 为x 米，然后表示出BC 的长为（36-3x ）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【详解】解：设AB 为x 米，则BC 为（36-3x ）米，x （36-3x ）=96，解得：x 1=4，x 2=8，当x=4时，36-3x=24＞22（不合题意，舍去），当x=8时，36-3x=12．答：AB=8米，BC=12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．26．解下列方程：（1）2810x x --=；（2）2(2)6(2)80x x ---+=．参考答案解析：（1）1417x =，2417x =；（2）16x =，24x =．【分析】（1）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可；（2）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可．【详解】解：（1）2810x x --=281x x -=281617x x -+=()2417x -=417x -=±1417x =，2417x =（2）2(2)6(2)80x x ---+=[]2(2)31x --=51x =±，16x =，24x =．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，正确的对原方程配方成为解答本题的关键． 27．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论5月至9月推出全城推广活动．杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？解析：30名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解．【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游．因为2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过25人．根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000．解得x 1=45，x 2=30．当x 1=45时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去；当x 2=30时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于1700元来判断，得到满足题意的x 的值． 28．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．解析：（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为99x x x x+≥⋅ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】 解：（1）∵0x >，∴99x x x x+≥⋅又∵296=，∴96x x+≥ ∴9x x +的最小值为6；（2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥， ∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。
人教版九年级-一元二次方程知识点总结及基础题型
一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++类型：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=++≠=+≠=+≠=000000002222a c bx ax a c axa bx ax a ax ④③②①判断一元二次方程的步骤例1：1.下列方程时一元二次方程的是①2032=+x x ；②04322=+-xy x ；③412=-x x ；④02=x ；⑤0332=+-x x ⑥x 2﹣1=y ⑦（x+2）（x+1）=x 2 ⑧ 6x 2=5 ⑨⑩2x +3x +y=0 ；⑪ x+y+1=0 ；⑫ 213122+=+x x ； ⑬ 0512=++x x⑭；⑮3y 2﹣2y=﹣1；⑯2x 2﹣5xy+3y 2=0；⑰⑱ ；⑲ ；⑳ ；④ ；⑤ ；⑥；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩（）． 2．关于x 的方程mx 2+3x=x 2+4是一元二次方程，则m 应满足条件是 _________ ．3．关于x 的一元二次方程ax 2﹣3x+2=0中，a 的取值范围是 _________ ．4．当m= _________ 时，方程（m 2﹣1）x 2﹣mx+5=0不是一元二次方程．1.把方程化成一般形式),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++2.最高次数=23.最高次项的系数≠05．若关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣5=0是一元二次方程，则k 的取值范围是__________ 例2：当=m 时，方程072)1(1=-+-+x x m m 为一元二次方程6．若是关于x 的一元二次方程，则a= _________ ．7．若关于x 的方程（m ﹣1）﹣mx ﹣3=0是一元二次方程，则m= _________ ．8．当k= _________ 时，（k ﹣1）﹣（2k ﹣1）x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程． 9．方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则m=__________10．关于x 的方程（m ﹣2）x |m|﹣mx+1=0是一元二次方程，则m=___________知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项①0≠a ；②指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号③一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项bx ，并不是没有，而是0=b例3： 把方程（1）()()1231=+-x x （2）（3）（4）化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_______________2.一元二次方程142=+x x 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3.一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为 。
人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)
一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲 一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】 例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】 一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（ ）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（ ）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（ ）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲 配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=； （2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程 解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】 一、选择题1． 已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（ ） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（ ）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（ ） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论 解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米 的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理 池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平 方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有 化简得 解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去 当池长为米时池宽为米米符合题意 当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】 一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲 分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为 即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或 原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（ ）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（ ）3.方程的根是，则这个方程为（ ）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲 一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系 【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的 特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】 一、选择题1． 某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2． 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（ ）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（ ） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去） 第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得： 【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。
人教版数学九年级上学期课时练习-《一元二次方程》全章复习与巩固(知识讲解)(人教版)
专题21.29 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识要点】1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.特别说明：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．特别说明：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 −−−→降次法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.特别说明：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题； )0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.特别说明：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.类型一、一元二次方程的有关概念1、已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=．若方程有一个根的平方等于9，求m 的值．【答案】1或-5【分析】根据题意，该方程的根可能是3或3-，分类讨论，把x 的值代入原方程求出m 的值．解：∵方程有一个根的平方等于9，∵这个根可能是3或3-，当3x =，则()93320m m -+++=，解得1m =，当3x =-，则()93320m m ++++=，解得5m =-，综上：m 的值是1或-5．【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 举一反三：【变式1】如果方程2ax 10x ++=与方程2x a 0x --=有且只有一个公共根，求a 的值．【答案】-2【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．解：∵有且只有一个公共根∴22ax 1x a x x ++=--∴ax 10x a +++=∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，∵()11a x a -+=+∴1x =-当1x =-时，代入第一个方程可得1-a+1=0解得：2a =【点拨】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．【变式2】 已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b --的值.【答案】20【分析】先根据一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式进行化简得到=12（a+b ），再利用整体代入的方法计算；解：把x=1代入方程得a+b -40=0，即a+b=40，所以原式=()()()10222a b a b a b a b +-=+=-（） 类型二、一元二次方程的解法2、用适当的方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．【答案】(1)112x +=，212x -= (2)x 1＝13，x 2＝2 (3)x11，x 21 (4)x 1＝－4，x 2＝－5【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∵b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∵x即原方程的根为x1，x2(2)解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∵x1＝13，x2＝2．(3)解：配方，得（x）2＝1，∵x＝±1．∵x11，x2－1．(4)解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，即（x＋4）（x＋5）＝0，∵x1＝－4，x2＝－5．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．举一反三：【变式1】用指定方法解下列方程：(1)2x2-5x+1＝0(公式法)；(2)x2-8x+1＝0(配方法)．【答案】(1)x1，x2(2)x1＝x2＝4【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）根据配方法，可得方程的解．(1)解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，∵Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，∵x =∵x 1，x 2 (2)解：移项得281x x -=-，并配方，得2816116x x -+=-+，即(x -4)2＝15，两边开平方，得x ＝∵x 1＝x 2＝4【点拨】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公式法解方程要利用根的判别式．【变式2】用适当的方法解方程：∵2(23)250x +-= ∵2670x x ++=（用配方法解）∵2314x x +=． ∵222(3)9x x -=-．【答案】∵ 14x =-，21x =； ∵13x =-23x =- ∵113x =，21x =； ∵13x =，29x =． 【分析】∵利用因式分解法解方程；∵利用配方法得到2(3)2x +=，然后利用直接开平方法解方程；∵先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；∵先移项得到()()22(3)330x x x --+-=，然后利用因式分解法解方程．解：∵()()2352350x x +++-=，2350x ++=或2350x +-=，所以14x =-，21x =；∵2692x x ++=，2(3)2x +=，3x +=所以13=-x 23x =-∵23410x x -+=，()()3110x x --=，310x -=或10x -=， 所以113x =，21x =； ∵()()22(3)330x x x --+-=，()()32630x x x ----=，30x -=或2630x x ---=，所以13x =，29x =．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3、已知：关于x 的方程x 2﹣（k ＋2）x ＋2k ＝0（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a ＝1，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求∵ABC 的周长．【答案】（1）见分析；（2）5【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出∵≥0，可得方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b 、c 的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出∵ABC 的周长．（1）解：由题意知：Δ＝（k +2）2﹣4•2k ＝（k ﹣2）2，∵（k ﹣2）2≥0，即∵≥0，∵无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∵∵ABC的周长＝2+2+1＝5；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∵∵ABC的周长为5．【点拨】本题考查了根的判别式∵＝b2－4ac：∵当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；∵当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；∵当∵＜0时，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．举一反三：【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+x＝k．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；（2）当k＝6时，求方程的实数根．【答案】（1）k＞﹣14；（2）x1＝﹣3，x2＝2．【分析】（1）根据判别式的意义得△=12-4×1（-k）=1+4k＞0，然后解不等式即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∵∵＝12﹣4×1（﹣k）＝1+4k＞0，解得：k＞﹣14；（2）把k＝6代入原方程得：x2+x＝6，整理得：x2+x﹣6＝0，分解因式得：（x+3）（x﹣2）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．【变式2】已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．【答案】（1）见分析；（2）16或22【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论．（2）运用求根公式得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，将两个根代入计算，分情况讨论求出等腰三角形的周长．解：（1）证明：∆=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=( k-1)2，∵无论k取什么实数值，(k-1)2≥0，∵∆≥0，所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）x2-(3k+1)x+2k2+2k=0，因式分解得：(x-2k)( x-k-1)=0，解得：x1=2k，x2=k+1，b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，分三种情况讨论：第一种情况：∵若c为等腰三角形的底边，a、b为腰，则a=b=2k=6，∵k=3，c=k+1，∵c=4，检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a，∵a=b=6，c=4，可以构成等腰三角形，此时等腰三角形的周长为：6+6+4=16；第二种情况：∵若b为等腰三角形的底边，a、c为腰，则a=c=k+1=6，∵k=5，b=2k，∵b=10，检验：a+b ＞c ，，a+c ＞b ，b+c ＞a ，b -a ＜c ，a -c ＜b ，b -c ＜a ，∵a=c=6，b=10，可以构成等腰三角形，此时等腰三角形的周长为：6+6+10=22；第三种情况：∵若a 为等腰三角形的底边，b 、c 为腰，则b=c ，∵即：2k=k+1，解得k=1，∵a=6，b=2，c=2，检验：b+c ＜a ，∵a=6，b=2，c=2，不能构成等腰三角形；综上，等腰三角形的周长为16或22．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，根据一元二次方程根的情况求参数，分类讨论是解题关键．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4、关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）m =-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么∵＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1，由条件可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值．解：（1）∵方程x2+2（m -1）x +m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．∵∵=4（m -1）2-4（m 2-1）=-8m +8＞0，∵m<1；（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，∵x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1．∵x 12+x 22=16+x 1x 2∵(x1+x2)2＝16+3x1x2，∵4（m-1）2=16+3（m2-1），解得：m1=-1，m2=9，∵m＜1，∵m2=9舍去，即m=-1．【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．举一反三：【变式1】关于x的一元二次方程x2－（k－3）x－2k＋2＝0(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分别为x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值．【答案】(1)见分析(2)-3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入x1+x2+x1x2=2，即可求出k的值．(1)证明：∵Δ=b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∵方程总有两个实数根；(2)解：由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，∵x1+x2+x1x2=2，∵k-3+（-2k+2）=2，解得k=-3．【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=-ba，x1•x2=ca．【变式2】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；(3)已知Rt∵ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．【答案】(1)m的值为1或-2(2)-2＜m＜1(3)m m＝49 24【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；（3）首先用m表示出方程的两根，分直角∵ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∵将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∵m的值为1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∵(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∵x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∵231 231 mm+-⎧⎨--⎩＞＜解得-2＜m＜1．∵m的取值范围是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．若Rt∵ABC的斜边长为7，则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝∵边长必须是正数，∵m若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝49 24．综上所述，m m＝49 24．【点拨】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.类型五、一元二次方程的实际应用5、水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．【答案】(1)每天的总毛利润为7820元；(2)每千克应涨价5元；(3)每千克应涨价15元或203元【分析】（1）设每千克盈利x元，可售y千克，由此求得关于y与x的函数解析式，进一步代入求得答案即可；（2）利用每千克的盈利×销售的千克数＝总利润，列出方程解答即可；（3）利用每天总毛利润﹣税费﹣人工费﹣水电房租费＝每天总纯利润，列出方程解答即可．(1)解：设每千克盈利x元，可售y千克，设y=kx+b，则当x＝10时，y＝600，当x＝11时，y＝600﹣20＝580，由题意得，10600 11580k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得20800kb=-⎧⎨=⎩．所以销量y与盈利x元之间的关系为y＝﹣20x+800，当x＝17时，y＝460，则每天的毛利润为17×460＝7820元；(2)解：设每千克盈利x元，由（1）可得销量为（﹣20x+800）千克，由题意得x（﹣20x+800）＝7500，解得：x1＝25，x2＝15，∵要使得顾客得到实惠，应选x＝15，∵每千克应涨价15﹣10＝5元；(3)解：设每千克盈利x元，由题意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝6000，解得：x1＝25，x2503 =，则每千克应涨价25﹣10＝15元或503-10203=元．【点拨】此题主要一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，理解销售问题中的基本关系是解决问题的关键．举一反三：【变式1】如图所示，有一面积为150m2的的长方形养鸡场，鸡场边靠墙(墙长18米)，另三边用竹篱笆围成．如果竹篱笆的长为35m，求鸡场长和宽各是多少?【答案】鸡场的长与宽各为15m，10m．【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x）m，列出一元二次方程计算即可；解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x）m，由题意得，x（35﹣2x）＝150，解这个方程：x1＝7.5，x2＝10，当养鸡场的宽为x1＝7.5 时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，当养鸡场的宽为x 2＝10m 时，养鸡场的长为15m ，答：鸡场的长与宽各为15m ，10m ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品．已知该农产品成本为每千克10元．调查发现，每天销售量()kg y 与销售单价x (元)满足如图所示的函数关系(其中1040x <≤)．()1写出y 与x 之间的函数关系式．()2当销售单价x 为多少元时，每天的销售利润可达到6000元？【答案】（1）15750=-+y x ；（2）当销售单价为30元时，每天的销售利润可达到6000元．【分析】（1）设函数解析式为y kx b =+，根据题意：销售单价为10元时，销售量为600kg ，销售单价为40元时，销售量为150kg ，代入熟知求得k 、b 的值即可求得解析式；（2）每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以销售量列式求解．解：（1）根据题意：销售单价为10元时，销售量为600kg ，销售单价为40元时，销售量为150kg ，设y 与x 之间的函数关系式为：y kx b =+，则可得：6001015040k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：15750k b =-⎧⎨=⎩，∵y 与x 之间的函数关系式为：15750=-+y x ；（2）根据题意可知每天的销售利润为：0()1015750600)(x x --+=2609000,x x ∴-+=解得：1230x x ==；答：当销售单价为30元时，每天的销售利润可达到6000元．【点拨】本题主要考查一次函数的实际应用，以及二次函数的实际应用，结合属性结合的思想求出一次函数解析式，以及明确每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以销售量是解题的关键．类型六、一元二次方程的几何应用6、已知：如图所示，在ABC 中，90B ∠=︒，5AB cm =，7BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动．当P 、Q 两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PBQ △的面积等于24cm（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于？ （3）PQB △的面积能否等于27cm 请说明理由．【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见分析【分析】（1）设P 、Q 分别从A 、B 两点出发，x 秒后，AP=xcm ，PB=（5-x ）cm ，BQ=2xcm ，则∵PBQ 的面积等于12×2x （5-x ），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看∵PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令12×2t （5-t ）=7，化简该方程后，判断该方程的24b ac -与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．解：（1）设经过x 秒以后，PBQ △面积为24(0 3.5)cm x <≤，此时=AP xcm ，()5BP x cm =-，2=BQ xcm ， 由142BP BQ ⋅=，得()15242x x -⨯=， 整理得：2540x x -+=，解得：1x =或4(x =舍)，答：1秒后PBQ △的面积等于24cm ；（2）设经过t 秒后，PQ 的长度等于由222PQ BP BQ =+，即2240(5)(2)t t =-+，解得：t=3或-1(舍)，∵3秒后，PQ 的长度为；（3）假设经过t 秒后，PBQ △的面积等于27cm ， 即72BQ BP ⨯=，()2572t t -⨯=， 整理得：2570t t -+=，由于24252830b ac -=-=-<，则原方程没有实数根，∵PQB △的面积不能等于27cm ．【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．举一反三：【变式1】 已知：如图A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB=16cm ，AD=6cm ，动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 以3cm/S 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止，点Q 以2cm/S 的速度向点D 移动（1）P ，Q 两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ 面积为33cm²（2）P ，Q 两点从出发点出发几秒时，P ，Q 间的距离是为10cm ．【答案】（1）5秒；（2）P，Q两点出发85秒或245秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）过点Q作QM∵AB于点M，则PM=|16-5t|cm，QM=6cm，利用勾股定理结合PQ=10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．（1）依题意，得：12×（16-3t+2t）×6=33，解得：t=5．答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．（2）过点Q作QM∵AB于点M，如图所示．∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm，QM=6cm，∵PQ2=PM2+QM2，即102=（16-5t）2+62，解得：t1=85，t2=245．答：P，Q两点出发85秒或245秒时，点P和点Q的距离是10cm．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，找出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程．【变式2】在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s 的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t s．问：(1)几秒后∵PBQ的面积等于8 cm2?(2)是否存在t，使∵PDQ的面积等于26 cm2?【答案】(1)2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm2；(2)不存在t，使∵PDQ的面积等于26 cm2.【分析】（1）设x秒后∵PBQ的面积等于8cm2，用含x的代数式分别表示出PB，QB的长，再利用∵PBQ的面积等于8列式求值即可；（2）假设存在t使得∵PDQ面积为26cm2，根据∵PDQ的面积等于26cm2列式计算即可．解：(1)设x秒后∵PBQ的面积等于8 cm2.∵AP＝x，QB＝2x.∵PB＝6－x.∵(6－x)·2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，故2秒或4秒后∵PBQ的面积等于8 cm2.(2)假设存在t使得∵PDQ的面积为26 cm2，则72－6t－t(6－t)－3(12－2t)＝26，整理得，t2－6t＋10＝0，∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0，∵原方程无解，∵不存在t，使∵PDQ的面积等于26 cm2.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，表示出△PBQ的的两条直角边长是解决本题的突破点;用到的知识点为:直角三角形的面积=两直角边积的一半.本题也考查了矩形的性质和割补法求图形的面积.类型七、一元二次方程的拓展应用6、关于x 的一元二次方程260x x k -+=的一个根是2，另一个根2x ．（1）若直线AB 经过点()2,0A ，()20,B x ，求直线AB 的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出直线AB 的图象，P 是x 轴上一动点，是否存在点P ，使ABP ∆是直角三角形，若存在，直接写出点P 坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）24y x =-+；（2）存在，点P 的坐标为()8,0-或()0,0．【分析】（1）将x=2代入方程求出k=8，根据根与系数的关系求出2x =4，设直线AB 的解析式为y=kx+b （0k ≠），利用待定系数法求出解析式；（2）分情况求解：第一种：AB 是斜边，∵APB ＝90°，得到点P 与原点O 重合；第二种：设AB 是直角边，点B 为直角顶点，即∵ABP ＝90°，设P 的坐标为（x ，0），根据222AP BP AB =+， 22222424(2)x x +++=-， 解得x=-8，求出点P 的坐标；第三种：设AB 是直角边，点A 为直角顶点，即∵BAP ＝90°，由点P 是x 轴上的动点，得到∵BAP ＞90°，情况不存在.解：（1）当x=2时，方程为22120k -+=，解得k=8，∵2+2x =6，∵一元二次方程为2680x x -+=的另一个根2x =4.设直线AB 的解析式为y=kx+b （0k ≠），∵直线AB 经过点A （2，0），B （0，4），∵204k b b +=⎧⎨=⎩， 解得k=-2，b=4，直线AB 的解析式：y=-2x+4；（2）第一种：AB 是斜边，∵APB ＝90°，∵∵AOB ＝90°，∵当点P 与原点O 重合时，∵APB ＝90°，∵当点P 的坐标为（0，0），∵ABP 是直角三角形.第二种：设AB 是直角边，点B 为直角顶点，即∵ABP ＝90°，∵线段AB在第一象限，∵这时点P在x轴负半轴.设P的坐标为（x，0），∵A（2，0），B（0，4），∵OA＝2，OB＝4，OP＝-x，∵222224=+=+，BP OP OB x22222=+=+，AB OA OB24222=+=-.AP OA OP x()(2)∵222=+，AP BP AB∵22222x x+++=-，424(2)解得x=-8，∵当点P的坐标为（―8，0），∵ABP是直角三角形.第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即∵BAP＝90°.∵点A在x轴上，点P是x轴上的动点，∵∵BAP＞90°，∵∵BAP＝90°的情况不存在．∵当点P的坐标为（―8，0）或（0，0）时，∵ABP是直角三角形.【点拨】此题考查待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论问题的解题方法是解题的关键.举一反三：【变式1】阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)2-×2＝120．用上面的知识解决下列问题．（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【分析】（1）根据题意，由公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和，即可得到答案；（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．解：（1）由题意，得6d=，20n=，2a=，∵(1)2n nS na d-=+⨯，∵20(201)22062S-=⨯+⨯401140=1180=+；（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得1200x+(1)2x x-×400＝25200，整理得：（x﹣9）（x+14）＝0，∵x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．∵2009+9-1=2017；答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．【变式2】阅读下列材料，回答问题.关于x 的方程121x x +=的解是1x =；222x x +=的解是2x =；323x x +=的解是3x =；222x x --=(即222x x -+=-)的解是2x =-. (1)请观察上述方程与其解的特征，x 的方程2(0)m x m x m+=≠与上述方程有什么关系？猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程的左边是一个未知数倒数的a 倍与这个未知数的1a 的和等于2，那么这个方程的解是x=a.请用这个结论解关于x 的方程：2212(1)x a a x a+=+--. 【答案】(1)普遍形式，x m =．(2)x =【分析】 ∵观察一系列方程的解得出一般性规律，即可得到所求方程的解；∵方程变形后，利用得出的规律即可求出解．解：（1）由已知中，121x x +=的解是1x =， 222x x +=的解是2x =， 33x x +的解是3x =， 222x x --=的解是2x =-． ⋯ 归纳可得方程2m x x m+=的解是x m =， 将x m =代入得： 左边112m m m m=+=+=， 故m 是方程2m x x m +=的解， （2）2212x a x a +=+-可化为：2212x a x a-+=-， 由（1）中结论可得21x a -=，即21x a =+，∴=x【点拨】此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．。
一元二次方程(知识归纳+题型突破)(原卷版)-2023-2024学年九年级数学上册单元巧练(人教版)
一元二次方程（知识归纳+题型突破）1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．3、了解--元二次方程的根与系数的关系．4、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．(2)一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x +m ）2=n (n ≥0)的方程，可直接开平方求解.(2)因式分解法：可化为（ax +m ）(bx +n )=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式为x b 2-4ac ≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac ->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac -=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac -<0时，原方程没有实数根．4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b ＝a (1±x )n ，a 表示基数，x 表示平均增长率（降低率），n 表示变化的次数，b 表示变化n 次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.题型一一元二次方程的解【例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程210ax bx ++=有一个根是x m =，则方程20x bx a ++=有一个根是（）A ．x m =B ．x m=-C ．1x m=D ．1x m=-巩固训练：1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程()223790m x x m -++-=的一个根为0，则m 的值为（）A ．3B ．0C ．3-D ．3-或32．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）若m 是一元二次方程220x x --=的一个根，则代数式222m m -的值为（）A ．0B ．2C ．2-D ．43．（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知m 是一元二次方程2520x x --=的一个根，则代数式220235m m -+的值是（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20234．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，若0a b c ++=，则此方程必有一个根为（）A ．0B ．1C ．-1D ．±15．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠有一根为2023x =，则一元二次方程()212a x bx b -+-=-必有一根为（）A ．2021B ．2022C ．2023D ．20246．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）若2250x x --=的一个解为a ，则()()231a a a a -+-的值为（）A ．5B ．4CD ．5-7．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若1x =-是方程230x mx --=的一个根，则m 的值为．8．（2023·全国·九年级专题练习）（2023·山东枣庄·统考中考真题）若3x =是关于x 的方程26ax bx -=的解，则202362a b -+的值为．9．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）关于x 的一元二次方程22(1)2230k x x k k -+--+=的一个根为0，则k =．10．（2023·四川·九年级专题练习）先化简，再求值2211121x x x x x ⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 的值是方程2230x x --=的根．题型二一元二次方程的解法【例2】（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程2223x x -=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．2223x x -=．解：二次项系数化为1，得2312x x -=，第一步移项，得2312x x -=，第二步配方，得239124x x -+=，第三步变形，得2312x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，第四步开方，得312x -=±，第五步解得112x =，252x =，第六步(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．【例3】（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程2230x x --=的过程如下：解：∵2a =，1b =-，3c =-①∴()()2241423b ac =-=--⨯⨯-∆②124230=-=-<③∴此方程无解问题：(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；(2)发生错误的原因是：；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【例4】（2023·全国·九年级专题练习）按要求解方程(1)21(2603y -=（直接开平方法）；(2)231220x x --=（配方法）；260x --=（公式法）(4)21(2)12x x -=-（因式分解法）(5)2(35)5(35)60x x ---+=（换元法）【例5】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．【阅读】例题：求多项式2224m mn n +++的最小值．解：()()2222224244m mn n m mn n m n +++=+++=++，∵()20m n +≥，∴()244m n ++≥∴多项式2224m mn n +++的最小值是4(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；(2)求多项式2224230x xy y -+-+的最大值．巩固训练1．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）解方程243x x -=，下列用配方法进行变形正确的是（）A ．2(2)19x -=B ．2(4)7x -=C ．2(2)4x -=D ．2(2)7x -=2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程282x x -=-时，在方程两边应同时加上（）A ．4B ．8C ．16D ．643．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程2410x x +-=，配方后得到的方程（）A ．2(2)5x +=B ．2(2)5x -=C ．2(4)3x +=D ．2(4)3x -=4．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）用配方法解一元二次方程2290x x --=配方后可变形为（）A ．()2110x -=B ．()2110x +=C ．()218x -=-D ．()218x +=-5．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（）A ．10-B ．10C ．3-D ．96．（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）在解方程22410x x ++=时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（）A ．两人都正确B ．小思正确，小博不正确C ．小思不正确，小博正确D ．两人都不正确7．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程289x x -=时，变形正确的是（）A ．2(4)9x -=B ．2(4)9x +=C ．2(4)25x -=D ．2(4)25x +=8．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）若()()160x y x y ++--=，则x y +的值是（）A ．2B ．3C ．2-或3D ．2或3-9．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）一元二次方程2830x x +-=配方后可化为．10．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x 满足2220()(23)x x x x ----=，则代数式22020x x -+的值为．11．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程：22510x x +-=12．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）用配方法解方程：()()311x x -+=．13．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：23270x x --=14．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）选取最恰当的方法解方程：(1)()2214x +=(2)23648x x -=15．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）用指定的方法解下列方程(1)26160x x +-=（配方法）(2)21090x x ++=（公式法）16．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）解方程：(1)22310x x -+=（用公式法）(2)2470x x --=（用配方法）17．（2022秋·湖北荆州·九年级校考期中）请用指定方法解下列方程：(1)公式法：2120x x +-=；(2)因式分解法：241440x -=．18．（2023春·山东威海·八年级统考期末）按指定方法解方程：(1)()()223143x x -=+；（因式分解法）(2)22330x x --=．（配方法）题型三一元二次方程根的判别式【例6】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知关于x 的方程()()221200mx m x m +-+=≠．(1)求证：无论m 取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的底边长1a =，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长．巩固训练1．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（）A ．33B ．23C ．17D2．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A ．2440x x -+=B ．2510x x --=C ．2230x x -+=D ．2220x x -+=3．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）关于x 的方程()220x m x m +++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（）A ．223x x ++B ．222x x m --C ．22x x m--D ．22345x xy y -+5．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）关于x 的方程2320ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（）A ．98≥-a B ．98≥-a 且0a ≠C ．98a >-D ．98a >-且0a ≠6．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）方程()21210m x x ---=有两个实数根，则m 的取值范围（）A ．34m -≤≤且12m ≠B ．4m ≤且12m ≠C ．34m -≤<D ．34m -≤<且12m ≠7．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知()1a a >是关于x 的方程20x bx b a -+-=的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当1a t =＋时，一定有1b t =-；③b 是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④8．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a ，b ，定义新运算：2a b ab b =-※，若关于x 的方程1x k =※有两个相等的实数根，则k 的值是（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-9．（湖北省荆州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）对于实数u 、v 定义一种运算“*”为：*u v uv v =+．若关于x 的方程1*(*)4x a x =-有两个相等的实数根，求满足条件的实数a 的值为．10．（2023·贵州·统考中考真题）若一元二次方程2310kx x -+=有两个相等的实数根，则k 的值是．11．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知关于x 的一元二次方程22210x kx k +-=-．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k 的取值范围．12．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于x 的方程()()212110k x k x k +--+-=(1)当k 取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．题型四一元二次方程的实际应用【例7】（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）某工厂由于采用新技术，生产量逐月增加，原来月产量为2000件，两个月后增至月产量为3000件．若设月平均增长率为x ，则下列所列的方程正确的是（）A ．2000(1)3000x +=B ．22000(1)3000x +=C ．22000(1%)3000x +=D ．20002000(1)3000x ++=【例8】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是72，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6【例9】（2023春·八年级单元测试）如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，8AB =cm ，6BC =cm ，动点P 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速移动，速度为1cm/s ，动点Q 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速移动，速度为2cm/s ．动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，当PBQ 的面积为152cm 时，动点P ，Q 的运动时间为s ．【例10】（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？巩固训练1．（2023·全国·九年级专题练习）广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x 人，则可列方程（）A ．2125x x ++=B ．225x x +=C ．()2125x +=D ．()125x x x ++=2．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）有一人感染了某种病毒，若不及时控制就会传染其他人，假设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，经过两轮传染后共有64人感染，则x 的值是（）A ．8B ．7C ．6D ．53．（重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，若设2月到4月每月盈利的平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．22400(1)3456x +=B ．22400(1)3456x -=C ．()2400123456x +=D ．()2400123456x -=4．（2023春·河北沧州·九年级校考阶段练习）国家卫健委临床检验中心数据，因疫情防控需求，全国新冠病毒核酸检测实验室数量从2020年的2081家，增长至2022年的1.31万家，如果这两年核酸检测实验室的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（）A ．342.08110(1) 1.3110x ⨯+=⨯B ．3242.08110(1) 1.3110x ⨯+=⨯C ．2081(12)13100x ⨯+=D ．22081(12)13100x ⨯+=5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在一张长宽分别为50cm 和30cm 的长方形纸板上剪去四个边长为cm x 的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为2300cm ，求x 的值，根据题意，可列得的方程为（）A ．()()5030300x x --=B ．()()502302300x x --=C ．()()50230300x x --=D ．215004300x -=7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．8．（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为元．9．（2023春·八年级单元测试）在ABC 中，90ABC ∠=︒，4cm AB =，3cm BC =，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s 2，点Q 的速度为1cm/s ，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止移动，若使PBQ 的面积为2154cm ，则点P 运动的时间是s ．10．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，90AOB ∠=︒，36cm =OA ，12cm OB =，一个小球从点A 出发沿着AO 方向滚向点O ，另一小球立即从点B 出发，沿BC 匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程BC 是cm ．11．（2023春·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考期末）今年春季是甲流病毒的高发期．为了遏制甲流病毒的传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81个人患了甲流．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)某药房最近售出了100盒口罩．已知售出的95N 医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒95N 医用口罩的单价为15元，每盒普通医用口罩的价格为10元，则售出95N 医用口罩和普通医用各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．12．（2023·广东阳江·统考一模）自2023年1月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有121人患了甲流．(1)每轮感染中平均一个人传染几人？(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流？13．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？14．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，矩形草地ABCD 中，16AB =m ，10AD =m ，点O 为边AB 中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（PO PQ =，OM QN =），若草地总面积（两部分阴影之和）为2132m ，求甬路的宽．15．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，正方形ABCD 分割成两个小正方形和两个长方形．(1)若正方形ABCD 边长为10，正方形BFPE 的面积是正方形PGDH 的一半，求正方形BFPE 的边BF 的长．(2)若正方形ABCD 面积为10，设BF x =，四边形APGD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．(3)四边形APGD 的面积是否能够等于正方形ABCD 面积的一半，如果能，请求出BF 长，如果不能请说明理由．16．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，AD 两边）．75m，求AB的长；(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边100m若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为217．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402m的羊圈？(2)羊圈的面积能达到6502m吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．18．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？19．（辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）今年元旦期间，某网络经销商进购了一批节日彩灯，彩灯的进价为每条40元，当销售单价定为52元时，每天可售出180条，为了扩大销售，决定采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低1元，则每天可多售出10条．若设这批节日彩灯的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(条)．(1)求每天的销售量y(条)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为2000元？20．（2023春·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．(1)求樱桃的进价是每千克多少元？(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？21．（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元／件）3025销售价（元／件）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？22．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？23．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？(2)该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．24．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包．(1)已知今年7月份销售A 种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x ，求x 的值；(2)若B 种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B 种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B 种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B 种农产品礼包在10月份可获利2860元?25．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在ABC 中，90B Ð=°，6cm AB =，8cm BC =点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm ；(用含t 的代数式表示)；(2)当t为几秒时，PQ 的长度等于(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由．26．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =．点P 、Q 同时由A 、C 两点出发，分别以1cm 和2cm s 的速度沿线段AC 、CB 匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动．(1)设经过t 秒，用含t 的代数式表示PC 、CQ ．PC =______、CQ =______．(2)几秒后，PCQ △的面积是ABC 面积的1327．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，10cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以3cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm （用含t 的代数式表示）(2)当t 为何值时，PQ 的长度等于10cm ？(3)是否存在t ，使得五边形APQCD 的面积等于278cm ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．28．（2022春·广西梧州·八年级校考期中）如图，在ABC ∆中，90B Ð=°，6cm AB =，8cm BC =点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =___________cm ，PB =___________cm ；（用含t 的代数式表示）(2)当t 为几秒时，PQ 的长度等于8cm ？(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由，29．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%；（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．30．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．(1)求甲工程队每小时修的路面长度；(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，m )小时；甲工程队的修路速度比原计划每乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(25小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．31．（重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a米，时间都各自多走了10a分钟，结果两人又共走了6900米，求a的值．。
人教版九年级上册数学：《一元二次方程的应用》精讲精练(含答案)
一、基础知识（一）用一元二次方程解应用题的步骤审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语．相等关系的寻找应从以下几方面入手：）．①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（v t s②注意总结各类应用题中常用的等量关系．如工作量（工程）问题．常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）．③注意语言与代数式之间的转化．题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式．④从语言叙述中寻找相等关系．如甲比乙大5应理解为“甲=乙＋5”等．⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系．总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键．（二）常见的实际问题数字问题、行程问题、工程量问题、利润问题等等。
每种不同的实际问题都有自己的相等关系，我们要根据不同的题设，找到不同的相等关系进而列出方程解答。
二、重难点分析本课教学重点：相等关系的判定本题教学难点：相等关系的判定方法1. 文字译式法：将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.2.线段表示法：用同一直线的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系.3. 罗列表格法：将已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系.4. 图例演示法：利用图表示题中的数量关系，它可以使量之间的关系更为直观，更方便找出其中的等量关系.典例精析：例1．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒。
新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法
新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法知识点一、配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=??? ??+? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求yx 的值。
例4、分解因式：31242++x x一元二次方程的解法（二）针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1 .★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为，最小值为。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为。
知识点二、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。
而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-；所以：当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。
由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示；即：ac b 42-=? 根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
典型例题：例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。
例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。
人教版九年级数学上册一元二次方程知识点+习题
一元二次方程1.只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++cbxax（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2.把02=++cbxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
3.解一元二次方程的方法：(1)配方法: <将其变为0)(2=+mx的形式>配方法解一元二次方程的根本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+mx的形式；⑥两边开方求其根。
(2)公式法:a acbbx24 2-±-=（留意在找abc时须先把方程化为一般形式）(3)因式分解法: 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”与“十字相乘”） 十字相乘法：（十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，穿插相乘再相加等于一次项系数。
）这个方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21a a 、的积，把常数项c 分解成两个因数21c c 、的积，并使1221c a c a +正好等于一次项的系数b 。
那么可以干脆写成结果:))((22112c x a c x a c bx ax ++=++。
4.韦达定理：假如一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为21,x x ，则有：。
十字相乘法练习题1.（1）()()532,326,32652=+⨯=++=++而其中常数项x x x x （2） ()()=++=++661672其中常数项，x x x x ————————————，————————————=7.(3)x 2()()=++=++12,____128其中常数项x x x ____________,____________=__________（4）x 2()()=++=++12,____127其中常数项x x x _____________,____________=____________.（5）x 2()()12,____1213其中常数项++=++x x x= _____________,____________=____________.（6）x 2()()18,____1811其中常数项++=++x x x= _____________,____________=____________.（7）x 2()()18,_____189其中常数项++=++x x x = _____________ ,____________ =____________ .（8）x 2()()18,1819其中常数项++=++x x x = ___________ ,__________ =____________ .2.分解因式：（1）x 2()()__________187=-+x （2）x 2()()_____________82=--x（3）x 2()()___________20=-+x （4）x 2()()___________365=--x （5）x 2()()__________149=+-x （6）a 2()()__________158=++a（7）m 2()()__________1610=+-m （8）p 2()()_________283=-+p3.（1）()()342++-+b a b a ()()2222-+++y x y x一、选择题1.用配方法解方程432=-x x ，应把方程两边同时（ ）A.加上23 B.减去23 C.加上49 D.减去49 2.下列方程中，用配方法解时需两边同时加上1的是（ ）A. 422=-x xB. 5142=+xC. 822=-x xD. 0142=+-x x3.用配方法解方程03422=+-x x ，配方正确的是（ ）A.434422+=+-x x B. 434422+-=+-x x C. 123122+=+-x x D. 123122+-=+-x x4.用配方法解一元二次方程0782=++x x ，则方程可变形为（ ）A. ()942=-xB. ()942=+xC. ()1682=-xD. ()5782=+x5.若方程()04292=++-k x 的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A.10B.10或14C.-10或14D.10或-146.用配方法解方程01722=--x x ，正确的是（ ） A. 1657472=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x B. 1657472=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C. 1681472=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x D. 1641472=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 二、填空题7.用配方法解方程0242=++x x 可变形为()2_______2=+x .8.当m = 时，()0922=+-+x m x 可用配方法变为()032=+x 的形式.9.将方程0562=+-x x 配方成()R m x =+2的形式，则m = ，R = .10.利用配方法可求得0342=+-x x 的最小值是 .11.已知a 、b 、c 为常数，()c b x a x x ++=+-22943，则a ，b = ，c =12.若n ＞0，且x 取随意实数时，()223369n x mx x +=++恒成立，则n m -= .三、解答题13.完成下面的解题过程：解方程：01242=-+x x .解：移项，得1242=+x x .配方，得________12_______42+=++x x ，即()_________________2=.开平方，得 ，解得______1=x ，______2=x14.用配方法解方程：（1）4322=+-x x （2）01682=++x x（3）61022=+x x （4）03122=++x x（5）7202=+-x x （6）x x x 7492+=+15.已知方程0114492=+-x x ，若老师将等号右边的0变成了代数式：44462-+x x .（1）用配方法求出原方程的解；（2）你能求出重新组合后的一元二次方程的解吗？16.用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?。
人教版九年级上册数学《公式法解一元二次方程》精讲精练(含答案)
一、基础知识（一）公式法公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。
解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
步骤：1.化方程为一般式：2.确定判别式，计算；3.若>0，该方程在实数范围内有两个不相等的实数根：；若=0，该方程在实数范围内有两个相等的实数根:；若 <0，该方程在实数域内无解。
二、重难点分析本课教学重点：公式法的使用当≥0 时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式,由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多于两个。
本题教学难点：公式法的推导任何一元二次方程组都能写成一般形式：.移项，得.二次项系数化1，得.配方即∵a≠ 0∴4a2>0的值有三种情况：（1）得∴（2)得（3)∴实数范围内，此方程无解典例精析：例 1．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠ 0）的两根为x1， x2，则两根与方程系数之间有如1212．根据该材料填空：已知122的两实数根，则+ 的值下关系： x +x =﹣，x ?x =x ，x是方程 x +6x+3=0为（）A． 4B．6C．8D． 10例 2. 已知 a、 b、 c 是△ ABC三边长且方程（ c﹣b） x2+2（ b﹣ a） x+a﹣ b=0 有两相等的实数根，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．直角三角形即： 4（ b﹣ a）2﹣4（ c﹣ b）（ a﹣ b） =0，三、感悟中考1．（ 2013 年河北）若 x1、x2是一元二次方程2x 2﹣3x+1=0的两个根，则22的值是（）x1 +x 2A．B．C．D． 72.（ 2013 年嘉兴）如图，等腰△ ABC中，底边 BC=a，∠ A=36°，∠ ABC的平分线交 AC于 D，∠ BCD 的平分线交BD于 E，设 k=，则DE=（）A． k2a B．k3a C．D．四、专项训练。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．2．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．3．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C．5000（1﹣x）2＝6050 D．5000（1+x）2＝6050D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝6050．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（）A．4 B．5 C．6 D．7B解析：B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x-1）=10，2化简，得x2-x-20=0，解得x1=5，x2=-4（舍去），∴参加此次比赛的球队数是5队．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．5．若关于x的一元二次方程260-+=有两个相等的实数根，则常数c的值为（）x x cA．3B．6C．8D．9D解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．6．一元二次方程20x x -=的根是（ ）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==A 解析：A【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：∵x 2-x=0，∴x （x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得：x 1=0，x 2=1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．方程23x x =的解为（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-C解析：C【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：x 2-3x=0，分解因式得：x （x-3）=0，可得x=0或x-3=0，解得：x 1=3，x 2=0．故选：C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．【详解】解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．∵k 2≥0，∴k 2+8＞0，即△＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．9．已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx （k ≠1），则方程根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两不等实数根C ．有两相等实数根D ．无法确定B解析：B【分析】 根据方程的系数结合根的判别式，可得出△21432k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭＞0，由此即可得出：无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【详解】在方程()21210--+=k x kx 中， ∵1a k =-，2b k =-，1c =，∴()()224241b ac k k =-=--- 214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ∴无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．10．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝0C 解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 二、填空题11．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．13．已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根，则m =__________．-4【分析】根据方程根的定义把代入原方程求出m 的值【详解】解：将代入原方程得解得∵该方程是一元二次方程∴即∴故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程需要注意一元二次方程的二次项解析：-4【分析】根据方程根的定义，把0x =代入原方程，求出m 的值．【详解】解：将0x =代入原方程，得2340m m +-=，解得14m =-，21m =，∵该方程是一元二次方程，∴10m -≠，即1m ≠，∴4m =-．故答案是：4-．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程，需要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．14．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．-1【分析】根据方程的根的判别式得出m 的取值范围然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1）α•β=m2-m 结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的解析：-1【分析】根据方程的根的判别式，得出m 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根，∴△=[2（m-1）]2-4×1×（m 2-m ）=-4m+4≥0，解得：m≤1．∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根α，β，∴α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，∴α2+β2=（α+β）2-2α•β=[-2（m-1）]2-2（m 2-m ）=12，即m 2-3m-4=0，解得：m=-1或m=4（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于m 的一元二次方程．15．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．【分析】利用因式分解法解一元二次方程提取公因式【详解】解：故答案是：【点睛】本题考查解一元二次方程解题的关键是掌握一元二次方程的解法 解析：114x =，22x =- 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式()2x +．【详解】解：()422x x x +=+ ()()4220x x x +-+=()()4120x x -+=114x =，22x =-． 故答案是：114x =，22x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．16．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次解析：0【分析】先将方程化成一般式，然后再运用根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的方程2x m=有两个相等的实数根，∴关于x的方程20x m-=有两个相等的实数根，∴△=02-4m=0，解得m=0．故答案为0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键．17．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．10【分析】设共有x个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x个队参加比赛根据题意得：2×x（x-1）=90整理得：x2解析：10．【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x个队参加比赛，根据题意得：2×12x（x-1）=90，整理得：x2-x-90=0，解得：x=10或x=-9（舍去）．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元二次方程是解题的关键．18．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程_______54（1-x）2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的（1-x）2倍列出方程即可【详解】解：根据题意有：54（1-x）2=42故答案为：54（1-x）2=42【点睛】本题考查解析：5.4（1-x）2=4.2【分析】根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x）2倍，列出方程即可．【详解】解：根据题意有：5.4（1-x）2=4.2故答案为：5.4（1-x）2=4.2【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题．19．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x+1）支队伍参加比赛根据一共比赛66场即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x解析：11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：12x(x+1)=66， 整理，得：x 2+x-132=0，解得：x 1=11，x 2=-12（不合题意，舍去）．所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=解析：3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=，∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．三、解答题21．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC Scm =？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？解析：（1）2或4；（2）2；（3）1082-+【分析】本题可设P 出发x 秒后，QPC S 符合已知条件：在（1）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，2QC xcm =，根据题意列方程求解即可； 在（2）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，()22QC x cm =-，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -，利用勾股定理和PQ BQ =列出方程，即可求出答案．【详解】（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，28QPC Scm =， 由题意得：()16282x x -⋅= ∴2680x x -+=，解得：12x =，24x =．经2秒点P 到离A 点1×2＝2cm 处，点Q 离C 点2×2＝4cm 处，经4秒点P 到离A 点1×4＝4cm 处，点Q 到离C 点2×4＝8cm 处，经验证，它们都符合要求．答：P 、Q 同时出发，经过2秒或4秒，28QPC Scm =． （2）设P 出发t 秒时24QPC S cm =，则Q 运动的时间为()2t -秒，由题意得：()()162242t t -⋅-=， ∴28160t t -+=，解得：124t t ==．因此经4秒点P 离A 点1×4＝4cm ，点Q 离C 点2×（4﹣2）＝4cm ，符合题意． 答：P 先出发2秒，Q 再从C 出发，经过2秒后24QPC S cm =．（3）设经过x 秒钟后PQ ＝BQ ，则()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -， ()()()2226282x x x -+=-，解得：110x =-+210x =--答：经过10-+PQ ＝BQ ．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．22．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？解析：（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．【详解】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得30000（1＋x ）2＝36300，解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．答：预计4月份平均日产量为39930个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 23．5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？（2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价10%3a，红茶每盒降价4a%，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a%，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元，求a的值．解析：（1）至少卖出仙女山红茶800盒；（2）a的值为5．【分析】（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得关于x的不等式，求解即可；（2）根据（1）的结果得出桃片糕最多卖出的盒数，根据题意得出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得：50x+12（2000-x）≥54400，解得：x≥800，∴x的最小值是800，∴至少卖出仙女山红茶800盒；（2）∵（1）中最少卖出仙女山红茶800盒，∴桃片糕最多卖出的盒数为：2000-800=1200（盒）．由题意得：12×（110%3a）×1200×（1+6a%）+50（1-4a%）×800×（1+4a%）=54400-80a，解得：a1=0（舍去），a2=5．∴a的值为5．【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下面的问题：例题：说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．解：m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3．∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，∴m2+2m+4的值一定是正数．（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数．（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为4，请你比较S1与S2的大小关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）S1＞S2，见解析【分析】（1）利用配方法，将原式化成含平方代数式形式﹣（a﹣3）2﹣1，可判断其值为负数；（2）用a 分别表示出S 1与S 2，再作差比较即可．【详解】解：（1）﹣a 2+6a ﹣10＝﹣（a 2﹣6a+9）﹣1＝﹣（a ﹣3）2﹣1，∵（a ﹣3）2≥0，∴﹣（a ﹣3）2≤0，∴﹣（a ﹣3）2﹣1＜0，∴代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数；（2）S 1＞S 2，理由是：∵S 1＝a 2，S 2＝4（a ﹣3），∴S 1﹣S 2＝a 2﹣4（a ﹣3）＝a 2﹣4a+12＝a 2﹣4a+4+8＝（a ﹣2）2+8，∵（a ﹣2）2≥0，∴（a ﹣2）2+8≥8，∴S 1﹣S 2＞0，∴S 1＞S 2．【点睛】本题主要考查配方法的应用，掌握配方法是解题的关键，注意两数比较大小时可用作差法．25．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 解析：每件的售价为70元或80元．【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．【详解】解:设每件的售价为x 元，根据题意，得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=化简整理，得215056000x x -+=()70800()x x --=1270,80x x ∴==答:每件的售价为70元或80元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．26．回答下列问题．（1（2|1-． （3）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．解析：（13；（21+；（3）44）12x =，24x =-． 【分析】 （1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（133=+3=； （2|11)=-1=12=+； （3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x +-=，移项得：2(1)9x +=，∴13x +=或13x +=-，12x =，24x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．27．解下列方程（1）2210x x ++= （2）233x x解析：（1）121x x ==-；（2）123,4x x ==．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】（1）2210x x ++=，2(1)0x +=，解得121x x ==-；（2）233x x ，2330x x ， 3310x x ，即()()340x x --=，30x -=或40x -=，3x =或4x =，即123,4x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．28．某文具商从荷花池小商品批发市场购进一批书包，每个进价50元．调查发现，当销售价为80元时，每季度可售出500个；如果售价每降低1元，那么平均每季度可多售出40个．（1）当降价2元时，平均每季度销售书包_____个．（2）某文具商要想平均每季度赢利18000元，且尽可能让利与顾客，应该如何定价？ 解析：（1）580；（2）70元．【分析】（1）根据降价后销量＝降价前销量＋增加的销量可求得结果；（2）设定价x 元，根据每季度的总利润＝每个玩具利润×降价后每天的销售数量列出方程，解方程可求得定价．【详解】（1）500240580+⨯=（个）．故答案为：580．（2）设定价x 元，根据题意得：(50)[50040(80)]18000x x -+-=，解得：1272.5,70x x ==，∵尽可能让利与顾客，70x ∴=．答：应该定价70元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目隐含的等量关系是解决问题的关键．。
人教版九年级数学上册：《一元二次方程的解法》课后练习及详解
专题：一元二次方程的解法（1）重难点易错点解析题一：题面：已知，关于x 的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a金题精讲题一：题面：方程x (x -2)+x -2=0的解是（ ）A.2B. -2,1C. -1D.2, -1满分冲刺题一： 题面：解下列方程：24(3)(3)0x x x ---=题二： 题面：在一大片空地上有一堵墙（线段AB ），现有铁栏杆40m ，准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃．（1）如果墙足够长，那么应如何设计可使矩形花圃的面积最大？（2）如果墙AB =8m ，那么又要如何设计可使矩形花圃的面积最大？课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：.5-=/a详解：方程12)5(2=-+ax x a 既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数的最高次数是2，因此，二次项系数,05=/+a 故.5-=/a 金题精讲题一：答案：D 。
详解：先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可 由x (x -2)+(x -2)=0，得(x -2)(x +1)=0，∴x -2=0或x +1=0，∴x 1=2，x 2= -1。
故选D 。
满分冲刺题一：答案：4,321==x x .详解：(3)[4(3)]0,x x x ---=03,0)123)(3(=-=--x x x 或,0123=-x 解得4,321==x x题二：答案：（1）矩形的面积最大是200m 2（2）矩形花圃面积最大是144m 2 详解：（1）设DE =x ，那么面积S=x (20 - 2x ) = 22x -+20x = 12-(x -20)2+200 ∴当DE =20m 时，矩形的面积最大是200m 2（2）讨论①设DE =x ，那么面积S=x (20-2x )（0＜x ≤8）=12-(x-20)2+200∴当DE=8m时，矩形的面积最大是128m2．②延长AB至点F，作如图所示的矩形花圃设BF=x，那么AF=x+8，AD=16-x那么矩形的面积S=(x+8)(16-x) = -x2+8x+128= -(x-4)2+144∴当x=4时，面积S的最大值是144．∴按第二种方法围建的矩形花圃面积最大是144m2专题：一元二次方程的解法（2）重难点易错点解析一元二次方程ax 2+bx+c=0，a ≠0的条件。
专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20++=（a≠0）的形式；ax bx c②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（3）公式法：把x b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+ x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+ x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，反过来也成立，x1+ x2=—ba ，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）x|m|−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．a x2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2C．x2+3x−5=0D．3x(x−4)=0【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2)x a2−2−3x−1=0是一元二次方程，则a的值是（ ）A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a=1B．a>1C．a≠1D．a<1【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3=0B．2x2−2x−3=0C．2x2−x+2=0D．2x2−2x+3=0【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为______，它的二次项是_______，一次项是_______，常数项是_______．【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为__．【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为_____．【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为_________．【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是_________．【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为_____．【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为________．【变式4.1】（2022·山东烟台·八年级期末）把一元二次方程x2−4x−8=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值为________．【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是_______．【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1＝_____，x2＝_____．【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为_____．【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法）；(2)3x2−4x−1=0（公式法）；【变式6.1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法）；(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法）；(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3）（x＋2）＝6【变式6.2】（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0【变式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去）；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去）；综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5．问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0．【考点7】根的判别式【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k．(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况．【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+1) x+2=0．(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程p x2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况．【变式7.3】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程k x2+(3k+1)x+2k+2=0(k≠0)．(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值．【考点8】根与系数的关系【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x2+x22+x1x2=19，求k的值．1【变式8.1】（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x＋9＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根．【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−12=0．(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．【变式8.3】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若x1，x2是原方程的两根，且1x1+1x2=−2，求m的值．【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4∵(x+3)2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式x2+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．【变式9.1】（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以分解如下：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=(x−3)2−16=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解．(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y2=0时，求xy的值．【变式9.2】（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5=x2+2+2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【变式9.3】（2022·全国·九年级课时练习）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：将左边分组配方：(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．即(m+1)2+(n−3)2=0．∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，且和为0，∴(m+1)2=0且(n−3)2=0，∴m＝－1，n＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：x2+4x+y2−2y+5=0，求x和y的值．(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=8a+6b−25且△ABC为直角三角形，求c．。
(人教版)九年级数学上册：《一元二次方程》全章知识小结
《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2（2）一元二次方程的一般形式：ax +bx+c=0(a ≠ 0) ，，并且未知数的最高次其中 ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程* （ 4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是 : ①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为 1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（ mx+n）2=p 的形式；⑤如果 p≥ 0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式2－ 4ac≥ 0时， ? ax2+bx+c=0 ，当⊿＝ b将 a、 b、 c 代入求根公式x=bb2 4ac2≥ 0）就得到方程的根．2a（ b -4ac（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0, 从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式22（1）⊿＝ b －4ac 叫一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠ 0) 的根的判别式。
人教版九年级数学上册一元二次方程练习题及答案(含知识点)
一元二次方程练习 附答案一、填空题：1、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。
2、当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。
3、用配方法解方程0642=--x x ，则___6___42+=+-x x ，所以_______,21==x x 。
4、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。
5、当 ≥0时，一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式为 。
6、如果21x x 、是方程06322=--x x 的两个根，那么21x x += ，21x x ⋅= 。
7、若方程032=+-m x x 有两个相等的实数根，则m = ，两个根分别为 。
8、若方程0892=+-x kx 的一个根为1，则k = ，另一个根为 。
9、以－3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 。
10、关于x 的一元二次方程0322=+++m m x mx 有一个根为零，那m 的值等于 。
二、选择题1、下列方程中，一元二次方程是（ ） （A ） 221xx +（B ） bx ax +2（C ） ()()121=+-x x （D ） 052322=--y xy x 2、方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ） （A ）有两个不相等的实数根 （B ）没有实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个实数根3、如果一元二次方程()012=+++m x m x 的两个根是互为相反数，那么有（ ） （A ）m =0 （B ）m =－1 （C ）m =1 （D ）以上结论都不对 4、已知21x x 、是方程122+=x x 的两个根，则2111x x +的值为（ ） （A ）21-（B ）2 （C ）21（D ）-2 5、不解方程，01322=-+x x 的两个根的符号为（ ） （A ）同号 （B ）异号 （C ）两根都为正 （D ）不能确定6、已知一元二次方程()002≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（ ）A 、0=nB 、同号mnC 、的整数倍是m nD 、异号mn7、若的值为则的解为方程10522++=-+a a ，x x a （ ） A 、12 B 、6 C 、9 D 、168、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A 、%10 B 、%15 C 、%20 D 、%25 三、解下列方程1、0152=+-x x （用配方法） 2、()()2232-=-x x x3、052222=--x x 4、()()22132-=+y y四、不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程272=-x x 的两根的2倍。
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一元二次方程
一、一元二次方程
1、一元二次方程
含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项
系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、降次----解一元二次方程
1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)
2、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接
开平方法适用于解形如x 2
=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的
a
看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。
4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。
一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x
当ac b 42->0时，方程有两个实数根。
当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。
当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。
5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。
这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆
四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程
)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出
a b x x -=+21，a c x x =21。
练习
一、选择题。
（每小题5分，共30分）
1、方程2x －9＝0的解是 （ ）
A 、x =3
B 、 x = -2
C 、x =4.5
D 、 3x =±
2、方程24x x =的解是（ ）
Ａ、4x = B 、2x = C 、4x =或0x =
D 、0x =
3、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）
A 、238x x =-
B 、2510x x +=-
C 、271470x x -+=
D 、2753x x x -=-+
4、用换元法解方程2221x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，若设2y x x =+，则原方程可化为（ ） A 、210y y -+=
B 、210y y ++=
C 、210y y +-=
D 、210y y --=
5、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）
A 、2006
B 、2007
C 、2008
D 、2009
6、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，
预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面
所列方程正确的是（ ）
A 、23000(1)5000x +=
B 、230005000x =
C 、23000(1)5000x +=％
D 、23000(1)3000(1)5000x x +++=
二、填空题。
（每小题5分，共30分）
7、方程02=-x x 的解是 。
8、若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______。
9、关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．
10、若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为____________。
11、设一元二次方程2730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ，则12x x +=
，12x x = 。
12、由于甲型H1N1流感的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每
斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的
百分率为x ，则根据题意可列方程为 ____________。
三、解答下列各题。
（每小题8分，共40分）
13、解方程 (x-3)2=(x-3)
14、解方程 2x 2-4x+1=0
15、五个连续偶数中，第一个和第五个两个数的乘积是308，求这五个数。
16、若关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m+4=0两实根的平方和为2，求m的值。
17、党的十六大提出全面建设小康社会，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在21世纪的头二十年（2001—2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，求每个十年的国民生产总值的平均增长率是多少？。