函数的表示法(1)
1.2.2函数的表示法(一)
f ( x) x 2x ,画出函数 f ( x)
2
0 x
的图象,并求出函数 f ( x) 的解析式.
例3.(07湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒
法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气
中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释 放完毕后，y与t的函数关系式为 y 1
16 t a（a为常数）， Nhomakorabea图所示，
根据图中提供的信息，回答下列问题： (Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y（毫克
与时间t（小时）之间的函数关系式为_____________ .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25
毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至
少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
就是用图象表示两个两个变量之间 （2）图象法： 的对应关系。 就是列出表格来表示两个变量之间 （3）列表法： 的对应关系。
函数的三种表示法的优点：
1、解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变 量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自 变量的值所对应的函数值。
2、图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化， 相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究 函数的某些性质。 3、列表法的优点是不需要计算就可以直接看出 与自变量的值相对应的函数值。
例1.(1)已知f ( x) 2 x 3, 求f ( x 1)
(2)已知f ( x 1) 2 x 5, 求f ( x)
(3)已知f ( x 1) 2 x +5，求f ( x)
（4）已知f(x)是二次函数,且f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)
函数表示方法(一)
12 14 16
18 20 22 24
x
我们发现,虽然它们都是函数,但表示的方法不同.
2 . 1. 2 函 数 的 表 示 方 法（一）
学习目标
掌握函数的三种表示方法（列表法、解析 法、图象法）. 会根据不同的需要选择适当的方法表示函 数.
自学指导
1.什么是列表法? 2.什么是解析法? 3.什么是图象法? 4.函数的三种函数表示法各有什么优点?
的函数关系为y 4.9 x 2 x 0 .这种用等式来 表示两个变量之间函 数关系的方法称 为 解析 法 .这个等式通常叫做函数 的解析表达式, 简称 解析式.
在第二个问题中 物体下落时间x 与下落距离 y ,
3 气温变化 10 图. 8 ①上 午 6 时的气 温 6 约是多少? 全日的最 4 2 高最 低 气 温分别是 O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x 多少? -2 ②在什么时刻气温 , 为0 0 C ? ③在什么时段内气温在0 0 C以上 ? , 在第三个问题中 我们用图象表示了时刻 , 与气温的 关系.这种用图象表示两个变量之间函数关系的方 法称 图象法.
列表法、解析法、图象 法是表示函数的 三种常用方法 .
特点:
用列表法表示函数关系, 不必通过计算 就可知道自变量取某个值时, 相应的函数值 是 多少 .
用解析法表示函数关系, 便于用解析式 研究函数的性质.
而用图象法表示函数关系, 可以从整体 上直观而形象地表示出函数的变化情况 .
例1 购买某种饮料 x 听, 所需钱数为 y元.若每听
x 1,2,3, 4的函数, 并指出函数的值域 . 解 1解析法: y 2x , x 1,2,3,4 . y 2列表法:
函数的表示法(一)
1.2.2 函数的表示方法（一）一 、学习目标1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系3．会画简单函数的图像学习重难点：图像法、列表法、解析法表示函数二 、 学习过程表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是用 表示两个 之间的例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的 .例如，某班学生的身高 单位：厘米数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用 表示两个变量之间的 关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像例2 作出函数y=∣x ∣的图象例3 已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式三 、当堂检测1、画出函数ψ=∣ξ－2∣的图象2、已知f （x ）= 21x -， 求f （2x ）的解析式3、已知f （x+1）= 223x x ++，求f （x ）的解析式。
函数的表示方法_1
0
1
4
2
3
12
4
5
20
映射f:A→B，可理解为以下4点：
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以 是：一对一，多对一，但不能一对多
例7 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?
(1)集合A=｛P|P是数轴上的点｝，集合B=R，对应关 系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
一般地，我们有：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那 么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
（function），记作：y=f(x)， x A
映射
设A,B是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个映射。
(2)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x 是新华中学的学生｝，对应关系f：每一个班级都对 应班里的学生；
课后作业: 练习本B
由此可知，映射是函数的推广，函 数是一种特殊的映射。
A 求 正弦 B
1
30 0
2
45 02 2ຫໍສະໝຸດ 60 032
90 0
1
A 求 平方 B
3
9
-3
2
4
-2
1
1
-1
A 开 平方 B
3
9
-3
4
2
-2
1
1 -1
A 乘 以 2B
函数的表示方法
设集合A是一个非空数集，按照某种确定的对应 法则f，对A中任意一个实数x，都有唯一确定的实数 值y与它对应，则称这种对应法则为集合A上的一个函 数，记作 y = f ( x ) ， 其中，x 叫做自变量， y 叫因变量。自变量x 的取值 集合 A 叫做函数的定义域，对应的因变量 y 的取值 集合叫做函数的值域.
4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 2000
时间/年
（2）优点：
能直观形象地表示出当自变量变化时相应函数值的变 化趋势，使得我们可以通过图像来研究函数的性质。
1、函数的三种表示方法：
解析法、列表法、图象法。 2、函数的图象：
既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、 离散的点，等等。 3、分段函数是一个函数，而不是几个函数。
能够直接表明函数关系中的一些对应值，不必通过计算 就 可以知道当自变量取某些值时对应的函数值，使用比较方便.
3、图象法
（1）定义：
指用图象来表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法. 例如，我国人口出生率变化曲线，也是用图象法表示函数关系的 （参见课本图２－２）.
出生率/%
我国人口出生率变化曲线：
2、列表法
（1）定义：
把两个变量之间的对应值列成表格来表示函数的关系， 这种方法叫做列表法. 例如： 国民生产总值 单位：亿元 年份 1996 1997 1998 1999 2000
生产总值 66850.5 73142.7 76967.1 80422.8 894：
函数的表示法：
（1）解析法
（2）列表法
（3）图象法
必修一2.1.2函数的表示法1(换元法、待定系数法、方程组法、配凑法)
1
列表法
图像法
可以直观地表示函数 的局部变化规律，进 而可以预测它的整体 趋势 有些函数的图像难以 精确作出
解析法
一是简明、全面地概括了变 量间的关系；二是可以通过 解析式求任意一个函数值。 三是能便利研究函数性质。 不够形象、直观， 一些实际问题难以找到它的 解析式
优 不必通过计算就能 点 知道两个变量之间 的对应关系，比较 直观 缺 只能表示有限个元 点 素间的函数关系
1.如何检验一个图形是否是一个函数的图像？写出你的 检验法则。下图中的四个图形都是函数图像吗？哪些是，哪 些不是，为什么？
×
2.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函 ［－ 3,3 ］ ［－ 2,2 ］ 数的定义域是 ，值域是 .
【解析】由图象可看出 －3≤x≤3，－2≤y≤2
例 1 作函数 y=
2、图像法
人的心脏跳动强度是时间的函数。医学上常用心电图，就是利 用仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化的曲线图。
定义域？ 值域？
像这样，用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，
称为图像法。
图像法的优点：能形象直观的表示出函数的局部变化规律；可从图 中读出 。 图像法的缺点：只能近似求出自变量所对应的函数值，而且有时误 差较大。
0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 24：00
时刻 温度/(OC)
-2
-5
4
9
8.5
3.5
-1
像这样，用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法， 称为列表法。
列表法的优点：不必通过计算就能知道两个变量之间的 对应关系，比较直观; 。 列表法的缺点：它只能表示有限个元素间的函数关系。
新教材人教版高中数学必修1 第三章 3.1.2 函数的表示法(一)
集合B { x, y | x R, y R}
对应关系f : 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆} 对应关系f : 每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合A {x | x是新华中学的班级}, 集合B {x | x是新华中学的学生}, 对应关系f : 每一个班级都对应班里的学生.
f’：平面直角坐标系内的点跟它的坐标对应
f’ : E F
➢映射概念
非空集合、唯一确定的对应关系、任意x、唯一确定的y
1、下列对应中，能构成映射的有（
）
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(1)
A
B
a1
b1 b2
a2
b3 b4
(4)
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(2)
A
B
a1
b1
a2
b2
(5)
(3) f ( x) 2x2 3x 5
[0, )
(, 2) U(2, ) [ 31 , )
8
一、复习回顾
实例1：炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)
变化的规律是 ： h=130t-5t2
解析法
实例2：南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变
化情况：
图象法
实例3：
列表法
二、基础知识讲解
A
B
a1
b1
a2
§1.2.2函数的表示法
§1.2.2函数的表示法
1．映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种 对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应(包括集合A、 B以及A到B的对应法则 f )叫做集合A到集合B的映射。 记作：
2013-1-8
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.2.2函数的表示法
2.这一节我们将学习一种特殊的对应——映射 设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B 分别是两个有限集.
说明：(2)(3)(4) 这三个对应的 共同特点是： 对于左边集合 A中的任何一 个元素，在右 边集合B中都 有唯一的元素 和它对应。
y=
2, 3, 4, 5,
0<x ≤ 5 5 < x ≤ 10 10 < x ≤ 15 15 < x≤20
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 10
2013-1-8
§1.2.2函数的表示法
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
y 5 4 3
○ 2○ ○ ○ ○
有些函数在它的定义域 中，对于自变量的不同 取值范围，对应关系不 同，这种函数通常称为 分段函数。
1
0
5
10 15 20
x
2013-1-8
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
11
§1.2.2函数的表示法
函数的三种表示法的优点：
1.解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变 量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自 变量的值所对应的函数值。 2.图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化， 相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究 函数的某些性质。 3.列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值。
新教材北师大版必修第一册 第二章2.2函数的表示法1函数的表示法 课件(49张)
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.
函数的表示法1(解析法)
数关系的方法叫做解析法.
问题二：股票问题
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
收盘价 12 12.5 12.9 12.45 12.75
列表法: 用表格来表示两个变量之间函数
关系的方法叫做列表法.
问题三：气温问题
下图测温仪记录的图象，它反映了北京 的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化。
例2、按照我国税法规定,个人所得税的缴 付办法是:月收入不超过1600元,免交个人所 得税,超过1600元不超过5000元,超过部分需 缴纳5%的个人所得税;等等.
月收入 （元）
月缴付个 人所得税
1300
0
1600
0
1700
5
2000
20
2500
45
4500
145
(1)试写出月收入在1600元到5000元之间的个人所得 税 y(元)与月收入x(元)的函数解析式（x为精确到 0.01的正数)
T/℃ 8
04
14
24
图象法: 用图象来表示两个变量之间函数
关系的方法叫做列表法.
2、函数的表示法：
(1)解析法 (2)列表法 (3)图象法
解析法：
例1、学校为创建多媒体教学中心，备有资金 180万元，现计划分批购进电脑，每台电脑售 价6千元，求所剩资金与电脑台数之间的函数 解析式，并求出函数的定义域。
(2)求收入为3000元的职工每月需缴纳的个人所得税.
例3、一个等腰三角形的周长为10，设腰长 为x，底边长为y，求出y与x的函数关系式， 并求出函数的定义域．
例4、有长为60米的篱笆,围成一面靠墙的矩 形养鸡场(如图), 设矩形的宽为x米,试求矩形 养鸡场的面积S与x之间的函数关系式,并指出 函数的定义域.
函数的表示方法(1)_韦余玲
小结：
列表法
1．函数的表示方法． 图象法 解析法
2．不同表示法的优缺点．
作业：
P32第1，4，5题．
数学应用：
已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
x
1
2 1
2 4
3 2
4 3
f(x) 3
则f(f(1))＝ g(f(3))＝
g(x) 1
； ；
， f(g(2))＝ 4 ， g(g(4))＝ 2
7 f (x)＝ 7 + 2.4 ( x – 3 ) ， x > 3
7
，
0＜ x ≤ 3
y
O
3
x
巩固练习：
1．1 n mile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x的函数解析式． 2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2) 表示为矩形一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．
情境问题：
定义域 函数的三要素 值域 函数的图象 A＝{x|y＝ f(x)}
函数存在的范围
C＝{y|y＝ f(x)，x A} 函数变化的范围 M＝{(x，y)|y＝ f(x)，xA} 函数本质属性的直观反映
下表的对应关系能否表示一个函数呢？
x y
1 －1
3 －3
5 0
7 0
数学建构：
表示方法
x y
1
2
2
4
3
6
4
8 O x
数学应用： 例2 画出函数 f ( x) x 的图像，并求 f (3), f (3), f (1), f (1) 的值。
练习： （1） f ( x) x 1
（2） f ( x) x 2
函数的表示法(1)
（3）若想直观地看出面积如何随着边长的变化而变 化，用什么方法表示这个函娄比较好？
图象法
小结：
函数关系的三种表示方法：图象法、列表法、公式法
图象法：明显表示变化趋势
列表法：直接给出部分函数值 公式法：明显表示对应规律
使用天然气交纳的费用 y 随所用 天然气的体积x而变化，例如，当 x=10时，y = 28.8 （元）；当x=20 时，y= 57.6 （元）.
像第三个例子那样，用式子表示函数关系的方 法称为公式法. 这样的式子称为函数的解析式.
3. 某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元， 则使用x m3天然气应交纳的费用为y（元）. 怎样用含x的式了表示y呢？ 使用天然气交纳的费用 y 随所用 天然气的体积x而变化，例如，当 x=10时，y = 28.8 （元）；当x=20 时，y= 57.6 （元）.
3
3
Y=2.88x
动脑筋
本节第一个例子中，是怎样表示气温T随时 间t而变化的函数关系的？
用直角坐标系中 的一个图形来表示.
图2-1
结论
像第一个例子那样，建立平面直角坐标系，以 自变量取的每一个值为横坐标，以相应的值（即因 变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有 这些点组成的图形称为这个函数的图象. 这种表示函数关系的方法称为图象法.
小提示
Y=2.88x
用式子表示函数关系的方法称为公式法. 这样的式子称为函数的解析式.
用公式法表示函数关系的好处是，可以方便地 计算函数值.
小提示
用图象法表示函数关系的好处是，可以直观地 看出因变量如何随着自变量而变化，一目了然. 用列表法表示函数关系的好处是，自变量取的 值与因变量的对应值看得很清楚. 用公式法表示函数关系的好处是，可以方便地 计算函数值.
高一数学必修1 函数的表示方法(1)
高一数学必修1 函数的表示方法（1）【学习导航】学习要求1．进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法；2．能根据条件求出两个变量之间的函数解析式；3．培养抽象概括能力和解决问题的能力．自学评价1．二次函数的形式：（1）一般式：()c bx ax x f ++=2()0,,,≠∈a R c b a ；（2）交点式：()()()21x x x x a x f --=，其中，21,x x 分别是()x f 的图象与x 轴的两个交点的横坐标；（3）顶点式：()()121y x x a x f +-=， 其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标；2．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法。
例如，求二次函数解析式的基本步骤是：（1）设出函数的一般式（或顶点式、交点式）；（2）代入已知条件，列方程（组）；（3）通过解方程（组）确定未知系数；3．分别求满足下列条件的二次函数()f x 的解析式： （1）图象与x 轴的两交点为(2,0)，(5,0)，且(0)10f =；（2）图象的顶点是(1,2)-，且经过原点。
答案：（1）2()710f x x x =-+；（2）2()24f x x x =--。
【精典X 例】例1：函数()f x 在闭区间[1,2]-上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．【解】由图象可知，当10x -≤<时，()1f x x =-+；当02x ≤≤时，1()2f x x =-， 所以1,10,()1,0 2.2x x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩例2：（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +；（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．【解】（1）2(1)2f x x x +=-；（2）2(1)43f x x x +=-+。
点评: 已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，将()x f 中的x 用()g x ()]g x ()g x 相当于()x f 中x 一个取值；已知[()]f g x 的解析式，求()f x 法；例3．某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 是开始）的函数，再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数． 【解】从A 地到B 地所需时间为150 2.5()60h =， 从B 地到A 地所需时间为1503()50h =， 所以，当0 2.5t <≤时，60x t =；当2.5 3.5t <≤时，150x =；当3.5 6.5t <≤时，15050( 3.5)50325x t t =--=-+； 所以，60,0 2.5,150, 2.5 3.5,50325, 3.5 6.5.t t x t t t <≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩60,0 2.5,0, 2.5 3.5,50, 3.5 6.5.t v t t <≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩1追踪训练一1．若2(3)21f x x =-，则()f x 的解析式为。
函数的表示法(一)
2021-2022学年高中数学必修一第3章3．1.2函数的表示法(一)学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点函数的表示方法思考函数三种表示法的优缺点？答案1．任何一个函数都可以用解析法表示．(×)2．任何一个函数都可以用图象法表示．(×)3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(√)4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(×)一、函数的表示方法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解(1)列表法：x/台12345678910 y/元 3 000 6 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．反思感悟应用函数三种表示方法应注意以下三点(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．跟踪训练1由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()x 12345y 4532 1A.1 B．2 C．4 D．5答案 B解析由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.二、求函数解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．解(1)方法一(换元法)设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1. 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 整理，得2ax ＋(a ＋b )＝2x .由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. 反思感悟 求函数解析式的常用方法(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－4(x ≥2)解析 因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4， 令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)， 所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)．(2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 答案 2x －13或－2x ＋1解析 因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.三、函数的图象例3 作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．延伸探究 根据作出的函数图象求其值域． 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]．反思感悟 作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练3 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]． 解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 当x ＝1,3时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．函数图象的应用典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．考点函数图象题点函数图象的应用答案[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．考点函数图象题点函数图象的应用解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x 123 4f (x )3 24 1A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 A2．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1 D ．f (x )＝3x ＋4答案 A解析 方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.方法二 因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2， 所以f (x )＝3x ＋2.3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )考点 函数图象题点 函数图象的判断与理解 答案 C 4．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x 1－x(x ≠－1) B.1＋x x －1(x ≠－1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t，即f (x )＝1－x1＋x.5．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f (x )的解析式为__________． 答案 f (x )＝－x 2－4x －1解析 设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)， 由y ＝f (x )过点(－3,2)，得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.1．知识清单： (1)函数的表示方法． (2)求函数解析式． (3)函数的图象． 2．方法归纳：(1)待定系数法、换元法． (2)数形结合法．3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0 答案 B解析 令t ＝x －1，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2－3＝t 2＋2t －2， ∴f (2)＝22＋2×2－2＝6.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如表所示，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x 1 2 3 f (x )23A.3 B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 ∵g (2)＝1， ∴f (g (2))＝f (1)＝2.3．从甲市到乙市t min 的电话费由函数g (t )＝1.06·(0.75[t ]＋1)给出，其中t >0，[t ]为不超过t 的最大整数，则从甲市到乙市5.5 min 的电话费为( ) A ．5.04元 B ．5.43元 C ．5.83元 D ．5.38元 答案 A解析 依题意知g (5.5)＝1.06(0.75×5＋1) ＝5.035≈5.04，故选A.4．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 答案 B解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ， 则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故f (x )＝1x －1.故选B.5．函数y ＝x1＋x的大致图象是( )考点 函数图象题点 求作或判断函数的图象 答案 A解析 方法一 y ＝x1＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．6．已知函数f (x )＝x －mx ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．答案 5解析 将点(5,4)代入f (x )＝x －mx，得m ＝5.7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.答案 19解析 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570，若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.8．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3， ∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 ＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7. ∴5a －b ＝2.9.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a －2x )的正方形，高为x ， 所以此盒子的体积V ＝(a －2x )2·x ＝x (a －2x )2，其中自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2x >0，x >0，即0<x <a 2.所以此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式为V ＝x (a －2x )2，定义域为⎝⎛⎭⎫0，a2. 10．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域． 考点 函数图象 题点 函数图象的应用解 函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ， 列表：x －1 0 1 3 y34描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．11．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，5 B.⎝⎛⎭⎫14，4 C ．(－1,3) D ．(－2,1)答案 A解析 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.12．设函数f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝2x ＋1，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x1－x(x ≠1) B.1＋xx －1(x ≠1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 B解析 令1＋1x ＝t ，则t ≠1，∴x ＝1t －1，t ≠1，∴f (t )＝2t －1＋1＝1＋t t －1，t ≠1，∴f (x )＝1＋xx －1(x ≠1)，故选B.13．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________． 答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)解析 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋mx .由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)．14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值为________.x 1 2 3 4 f (x ) 1 3 1 3 g (x )3232考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 2或4解析 当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3. 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝3. 当x ＝3时，f (g (3))＝f (3)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3. 当x ＝4时，f (g (4))＝f (2)＝3，g (f (4))＝g (3)＝3. 满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值只有2或4.15．已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )的解析式是________． 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 答案 f (x )＝－x ＋14解析 因为f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，①所以把①中的x 换成－x ，得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1.② 由①②解得f (x )＝－x ＋14.16．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为y ＝ax ＋bx .且当x ＝2时，y＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件． (1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝100与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35代入y ＝ax ＋bx 中，得⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x (x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x 12345678910 y 19710068.35344.238.73532.530.829.6x 11121314151617181920 y 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8。
函数的三种表示方法
函数的三种表示方法
函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学中，函数可以用不同的方式来表示，下面我们将介绍函数的三种表示方法。
一、显式表示法。
显式表示法是指通过一个公式或者表达式来表示函数。
例如，函数y = 2x + 3就是一个显式表示法的函数。
在这个表示法中，我们可以直接通过公式或者表达式来计算函数在任意一点的取值，非常直观和方便。
二、参数方程表示法。
参数方程表示法是指用另外一个变量t来表示函数的自变量和因变量。
例如，对于圆的参数方程表示为x = rcos(t)，y = rsin(t)，其中r为圆的半径，t为参数。
这种表示方法在描述一些曲线、曲面等几何图形时非常方便，可以将复杂的曲线简化为参数方程的形式。
三、隐式表示法。
隐式表示法是指用一个方程来表示函数，其中自变量和因变量之间的关系并不是直接展现出来的。
例如，对于圆的隐式表示为x^2 + y^2 = r^2。
在这种表示方法中，函数的形式可能会比较复杂，但是在一些情况下，隐式表示法可以更好地描述函数的性质。
总结。
以上就是函数的三种表示方法，它们分别是显式表示法、参数方程表示法和隐式表示法。
每种表示方法都有着自己的特点和适用范围，选择合适的表示方法可以更好地描述和应用函数。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的表示方
法来进行分析和计算，从而更好地理解和利用函数。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
函数的表示方法(1)
例2、作出下列函数图象并求其值域
(1) y 1 x, x (1,4] (2) y 1 x, x (1,1] [4,) (3) y 2 x 4 x 3, x (2,3)
2
(4) y 2 x 4 x 3, x [0,3)
2
例3、已知 f ( x) x 6 求：(1) f ( x 1)
注意：①解析法：必须注明函数的定义域；
②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定 义域的特征．
③图象法：函数图象既可以是连续的曲线，也可以 是直线、折线、离散的点等。
例1. 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元． 试用函数的三种表示法表示函数y=f(x) ．
函数的表示方法（1）
1、求下列函数的值域: (1)f(x)=(x-1)2+1， x∈R (2)f(x)=(x-1)2+1 ,x ∈[1,3] (3)f(x)=(x-1)2+1 ,x ∈{-1,0,1,2,3}
2、求下列函数的值域
1 x 1 1 （ 1 ）y ； ( 2) y ； (3) y x x x 1 x 2x ( 4) y ； (5) y x 1 5x 1
例5、已知 f ( x) 是二次函数，且满足
f (0) 1, f ( x 1) f ( x) 2 x ，求 f ( x)
思考2：方程
x x 2 0 的根的几何意义?
2
引例一 一枚炮弹发射后，经过40s落到地面击中目标。炮弹的射高 为400m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间（单 位：s）变化的规律是
h=40t-t2
思考以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、10秒、20秒、40秒时炮弹距地面多高？ (2) 此变化过程中共出现几个变量?是不是函数？ (3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和集合B 表示出来。
函数的表示法1
1.2.2函数的表示法1教学目标1明确函数的三种表示方法；2会根据不同实际情境选择适宜的方法表示函数； 3通过具体实例，理解简单的分段函数及应用． 教学重点和难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 学习过程：（认真阅读课本P19~22）1．函数有哪些表示方法呢？ 2．明确三种方法各自的特点？ 3.分段函数：函数在它的定义域中，对自变量x 的不同取值范围的 不同，这种函数通常称为分段函数。
分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数而是 个函数。
一、典例探讨：例1． 某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =，并完成教材20页思考。
分析：注意本例的设问，此处“()y f x =”与三种表示法的关系？例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？例3.画出函数||y x =的图象例4．某市郊空调公共汽车的票价按以下规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（缺乏5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，假如沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
二、巩固训练：1、完成课本P23页练习1~3题2、举例说明生活中用到的函数的三种形式3、已知f（x）=|x-1|-1，x∈R，（1）求f［f（-1）］，f［f（1）］；（2）求f（x）的值域；（3）画出函数的图象.4、如以下图在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，直线x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得的阴影局部面积为f（t），则函数y=f（t）的图象大致是图中的（）三、拓展提升：时间（h）1 2 3 4 5 6 7 8 9完成的百分数（%）15 30 45 60 60 70 80 90 100（1）假如用T（h）来表示h小时后他完成的工作量的百分数，请问T（5）是多少？分别用图像法，解析式法表示.（2）假如该同学在早晨8：00开始工作，什么时候他未工作？。
函数的表示方法(1)
函数的表示方法（第一课时）学习目标：1. 明确函数的三种表示方法2. 通过具体的实例，了解简单的分段函数，并会简单的应用学习难点：分段函数的求值一、函数的三种表示方法1. 解析法回忆初中学习过的函数类型并写出一般表达式一次函数：二次函数：反比例函数：定义：用_______________表示两个变量之间的对应关系的方法。
常用)(),(x g y x f y ==等来表示函数的解析式。
注意：解析法表示函数必须注明函数的定义域。
优点：缺点：2. 图像法定义：用_______________表示两个变量之间的对应关系的方法。
注意：用图像法表示函数必须清楚图像是点还是线。
优点：缺点：3. 列表法定义：用_______________表示两个变量之间的对应关系的方法。
注意：用图像法表示函数必须写出所有自变量与函数值的对应关系。
优点：缺点：二、分段函数知识点1.分段函数的概念如果函数A x x f ∈),(，根据自变量x 在A 中_________________，有着_________________，则称这样的函数为分段函数。
2.分段函数的表示写出下列函数的解析式。
例1 设函数)(x f y =，当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x f 2)(=。
例2设函数)(x f y =，当1-<x 时，1)(+=x x f ；当11≤≤-x 时，0)(=x f ； 当1>x 时，1)(-=x x f ；三、分段函数的图像例3 画出例1和例2中函数的图像例4 画出函数2)(-=x x f 的图像四、重点题型：分段函数的求值1. 根据分段函数的解析式求函数值例5 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0),1(0,2)(x x f x x x f ，则__________)34()34(=+-f f 。
例6 已知⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f 若4)(=a f ，则实数a=________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
20
乙 甲 A.1个 B.２个
O
0.5
1
2
2.5
t/h
C.３个
D.４个
观察与思考：
观察函数的图象要注意一些什么事项呢？
小结：解答图象信息题主要运用数形结合思想,化图像 信息为数字信息. (1)弄清横、纵坐标表示的意义。 (2)自变量的取值范围。 (3)图象中函数随着自变量变化的规律。
(4)抓住特殊点的实际意义
《龟兔赛跑》
路程 (米) 终点 s2 乌龟
从图象上能获得哪些信息
兔子 s1
起点 0
5
20
30 35
时间(分)
《新龟兔赛跑故事》大家说
路程 (米) 终点 乌龟 兔子
100
起点 0
时间(分)
这一次,兔子让乌龟先 跑若干分钟,然后它开始追赶, 结果它们同时到达终点.
你也能用函数图 象表示吗?试试看.
某市民用水费的价格是1.2元/立方米，小红准备收取她所居
住大楼各用户这个月的水费。设用水量为n立方米，应付水 费为m元。
m=1.2n （1）m关于n的函数解析式为_________________
18 （2）当 n=15 时，函数值为________
用15立方米水需付水费18元 它的实际意义是__________________________
3、若函数用图象法表示, 对给定的自变量的 值, 只要在图像上画出相应的坐标，就可以找 到相应的函数值 画一画
书75页例1
例题1 把一块边长是20厘米的正方形铁皮，在四角 各截去边长为x厘米的小正方形，再按虚线折成一个无盖 的长方体盒子．求这个盒子的容积V（立方厘米）关于x （厘米）的函数解析式以及函数的定义域．
S/m
S/m
s1
s1
s2
X/s
S/m
S/m
s1
s1
s2
X/s
s2
O
X/s
s2
O
X/s
O
O
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
D
龟兔赛跑的故事: 领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来, 睡了一觉, 当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙 追赶,但已 经来不及了,乌龟先到达了终点………现在用 s1 和 s2 分别表示乌龟、兔子所走的路程，t为时间， 则下列 图象表示S 和t之间的函数关系式.
学校课外生物小组的同学准备自己动手， 用旧围栏 建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边 长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式 24 y x0 x _______________ _______________
1、正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？
y kx(k 0)
路程 (米) 终点
乌龟 兔子
起点 0
25
时间(分)
《新龟兔赛跑故事》大家说
路程 (米) 终点
它们的比赛规则是什么
乌龟 兔子
150
起点 0
时间(分)
3.小明家距学校m 千米，一天他从 家上学先以a千米 ／时的匀速跑步 锻炼前进，后以 匀速b千米／时步 行到达学校，共 用n小时。右图中 能够反映小明同 学距学校的距离s （千米）与上学 的时间t(小时)之 间的大致图象是 （C ）
o
x/分
你能回答下列问题了吗?
1.从家到菜地用了多少时间? 菜地离小明家有多远? 2.小明给菜地浇水用了多少时间? 3.从菜地到玉米地用了多少时间? 菜地离玉米地有多远? 4.小明给玉米地锄草用了多少时间?
y/千米
2
5.玉米地离家有多远? 小明从玉米地回家的平均速度是多少?
1.1
小 明
15 25 37 55 80
函数的三种表示法的缺点：
1、解析法的缺点：有些问题有时很难用表达式来表 示。 2、图象法的缺点：图像及相对应的点的坐标往往不 准确。
3、列表法的缺点：有时应用有一定的局限性。
同学们，函数的表示方法有哪几种？你能 谈谈它们的优缺点吗？
解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简 单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有 时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解 析式． 用适当的方法表示函数， 列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查 或者把几种方法结合起 找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的所有 来，能够帮助我们更好 值与其对应的函数值都列在表中．
例二
下面的图象，反映的过程是：小明从家去菜地浇水， 又去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y表 示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同 一条直线上.
y/千米
2
1.1
o
15
25
37
55
80
x/分
从玉米地回家
在菜地浇水 从家到菜地 从菜地到玉米地 给玉米地锄草
y/千米
2
1.1
小 明
15 25 37 55 80
y(米） 900 900 y(米）
o y(米） 900
20
40
X(分）
o
20
40
X(分）
A
900
y(米） B
o
20
40
X(分）
o
20
40
C
D
X(分）
龟兔赛跑
龟兔赛跑的故事: 领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉, 当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但已 经来不及了,乌龟先到达了终点………现在用 S 1 和 S 2 分别表示乌龟、兔子所走的路程，t为时间，则下列 图象中，能够表示S 和t之间的函数关系式的是（ C ）
相对应的函数值.
本例中的返回舱距地面的高度与时间的函数关系，是用什么形式 来表示的？ 这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的 方法叫做列表法．
3、观察根据研究，体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的 重要原因．运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在 40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本 消除了疲劳．体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图像， 如图所示．它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓 度随时间变化而变化的函数关系． 图中实线表示采用慢跑等 血乳酸浓度(mg/L) 活动方式放松时血乳酸浓度 200 的变化情况；虚线表示采用 150 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相 静坐方式休息时血乳酸浓度 100 应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通 的变化情况．
S 100t
k y ( k 0) x
C 2r
y 15 x
函 数 解 析 式
把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这 种表示函数的方法叫做解析法．
解析式主要能反映数量关系
函数的表示方法 ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表 达式，简称解析式.
2
C A B
D
1.1
E O
0 15 25 37 55 80
x/分
问题4：小明给玉米地锄草用了多少时间？
y/千米
解：由横坐标看出，小明给玉米地锄草用了18分钟。
2
C A B
D
1.1
E O 0
15 25 37 55 80
x/分
问题5：玉米地离小明家多远？小明从 玉米地走回家的平均速度是多少？
y/千米
20
x
20-2x
x
例题2 A、B两地相距25千米，甲于某日12时30分骑自行车从 A地出发前往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发前往B 地．图中的折线PQR和线段MN分别反映了甲和乙所行驶的路程s与 该日下午的时间t的函数关系．
S(千米） 25
乙
N R
甲
50 20 3 15
10 5 Q
o
P
1 2
o
x/分
解(1)由纵坐标看 问题1：菜地离小明家多远？小明走到菜地 出，菜地离小明 用了多少时间？ 家1.1千米；由横 坐标看出小明走 y/千米 到菜地用了15分 种。 解：由纵坐标看出，菜地离小明家1.1千米，由横坐标看出，
小明从家到菜地用了15分钟。
2
C A B
D
1.1
E O0
15 25 37 55 80
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关 系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数 主要是用解析法表示的函数.
时间
3时45分 4时13分 4时19分 4时20分 4时23分 4时32分 4时33分 350km 100km 15km 10km 6km 1km 0
解：由纵坐标看出，玉米地离小明家用2千米，由横坐 标看出，小明从玉米回家用了25分钟，由此算出平均 速度为0.08千米/分。
2
C A B
D
1.1
E O0
15 25 37 55 80
x/分
小红的爷爷饭后出去散步，从家里出发走20分钟到一个离家900
米的街心花园与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．下面 图形中表示小红爷爷离家距离y(米）与时间x(分）之间函数关 系的是（ D ）
问题1： 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主 要活动是爬山．有一天，小强让爷爷 先上，然后追赶爷 爷．中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米） 与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）， 看图回答下列问题：
y 0 x 0 y x 0 y x 0
y
x
C B D 是 4、下表表示的是y是x的函数吗？_____（填是或不是） x y -2 2 -1 1 0 2 1 -1 5 2
A
能力提升
1.下列图象关系中， 是 y
P（ x ，y ）