高中数学 第一章 三角函数章末复习课 新人教版必修4

答案 π4 ＋2kπ，54π＋2kπ，k∈Z
规律方法 数形结合思想是重要的数学思想，它能把抽象 的问题转化为形象、直观的问题，从而使问题变得简单明 了.本章中，数形结合思想贯穿始终，主要体现在以下几个 方面：(1)利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出同角 三角函数的基本关系；(2)利用三角函数线画正(余)弦及正切 函数的图象；(3)利用正(余)弦及正切函数图象解决有关的三 角函数问题.
方法二 分类讨论思想在三角函数求值中的应用
【例2】 已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ、tan θ的值.
解 (1)当 m＝0 时，θ＝2kπ±π2 ，k∈Z；
当 θ＝2kπ＋π2 时，sin θ＝1，tan θ不存在；
π 当 θ＝2kπ－ 2 时，sin
θ＝－1，tan
θ不存在.
(2)当 m＝1 时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.
章末复习课
1.三角函数的概念 重点掌握以下两方面内容： (1)理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度 与角度的换算. (2)掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速 利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的 定义域和一些简单三角函数的值域.
2.同角三角函数的基本关系式 能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒 等式的证明；能逆用公式sin2 α＋cos2α＝1巧妙解题. 3.诱导公式 能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函 数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式. 善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使 用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能 力和逻辑思维能力提高的目的.
4.三角函数的图象与性质(表中k∈Z)
函数 y＝sin x
y＝cos x
图象
y＝tan x
定义域
R
值域 [－1，1]
R [－1，1]
kπ－π2 ，kπ＋
π 2
(－∞，＋∞)
最值
x＝2kπ＋π2 时， x＝2kπ时，
ymax＝1；x＝2kπ－ π
ymax＝1；x＝2k π＋π时，ymin
无最大、最 小值
方法一 数形结合思想在三角函数中的应用
【例1】 函数f(x)＝lg(sin x－cos x)的定义域为_____.
解析 要使函数有意义，则 sin x－cos x>0， 即 sin x>cos x，在同一坐标系中作出函数 y＝sin x，y＝cos x 在一个周期上的图象如图所示. 由图象可知在[0，2π]上，当 x∈π4 ，54π时，sin x>cos x， ∴函数定义域为π4 ＋2kπ，54π＋2kπ，k∈Z.
2 时，Biblioteka Baidumin＝－1 ＝－1
周期性 周期 T＝2kπ 周期 T＝2kπ 周期 T＝kπ
奇偶性
奇函数
偶函数 奇函数
π
在[2kπ－ 2 ，2kπ 在[2kπ－ 在每个区间
π 单 ＋ 2 ]上都是增函
π，2kπ]上
π
都是增函 (kπ－ 2 ，k
调 性
数；在[2kπ＋π2 ， 2kπ＋3π 2 ]
数 2kπ；在＋[π2k]π上，π＋π2 )上都 是增函数
的示意图如图所示：
∵f(x)的最大值为 2，令 lg x＝2，得 x＝100，令1112π＋kπ <100(k∈Z)，得 k≤30(k∈Z)，而1112π＋31π>100，∴在区间(0， 100]内有 31 个形如1112π＋kπ，1172π＋kπ(k∈Z，0≤k≤30) 的区间，在每个区间上 y＝f(x)与 y＝lg x 的图象都有 2 个交点， 故这两个函数图象在111π2 ，100上有 2×31＝62 个交点，另外 在0，1112π上还有 1 个交点，∴方程 f(x)－lg x＝0 共有实根 63 个.∴函数 g(x)＝f(x)－lg x 共有 63 个零点.
当 m＝－1 时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.
(3)当 θ 在第一、二象限时，
sin θ＝
1－m2，tan θ＝
1－m2 m.
(4)当 θ 在第三、四象限时，
sin θ＝－
1－m2，tan θ＝－
1－m2 m.
规律方法 由于三角函数的值及性质受角所在象限的
影响，这就需要对角在不同象限的情况进行分类讨论.
【训练 2】 函数 g(x)＝a－bsin 3x(b≠0)的最大值为32，最小值为
－12，求函数 f(x)＝－4asin 3bx 的周期和最值.
解
若 b>0，则aa＋ －bb＝ ＝32－，12，解得ab＝ ＝121， .
所以函数 y＝f(x)＝－2sin 3x.所以其周期为2π 3 ，
都是减函数
上都是减函数
轴对称图形，对 轴对称图形，对
称轴方程是 x＝ 称轴方程是 x＝ 中心对称图
对称 性
kπ＋π2 ，中心 对称图形，对称 中心(kπ，0)
kπ；中心对称 图形，对称中心 kπ＋π2 ，0
形，对称中心 kπ2 ，0
5.三角函数的图象与性质的应用 (1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能 从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分 之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低 点与对称中心之间位置关系等.能从三角函数的图象归纳出 函数的性质. (2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、 奇偶性和对称性.在运用三角函数性质解题时，要善于运用 数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较 强的试题完整准确地进行解答.
又111π2 ，0是图象上的点，则 f111π2 ＝0，
即 sin111π2 ω＋π6 ＝0，由图象可知，111π2 ，0是图象在 y 轴右侧
部分与 x 轴的第二个交点.
∴111π2 ω＋π6 ＝2π.
∴ω＝2，因此所求函数的解析式为
π f(x)＝2sin(2x＋ 6 ).
以下，在同一坐标系中作函数 y＝2sin2x＋π6 和函数 y＝lg x
【训练 1】已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0， |φ|<π2 )在一个周期内的简图如图所示，求函数 g(x)＝f(x)
－lg x 零点的个数.
解 显然 A＝2.由图象过(0，1)点，则 f(0)＝1，即 sin φ＝12，
π
π
又|φ|< 2 ，则 φ＝ 6 .