蒙特卡罗方法ppt课件
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第六讲 蒙特卡洛方法ppt课件
蒙特卡罗方法的特点
优点 能够比较逼真地描述具有随机 性质的事物的特点及物理实验 过程。 受几何条件限制小。 收敛速度与问题的维数无关。 具有同时计算多个方案与多个 未知量的能力。 误差容易确定。 程序结构简单，易于实现。 缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 在粒子输运问题中， 计算结果与系统大小 有关。
2 2 t / 2 P X E ( X ) e dt 1 N 0 N 2
f(X)是X的分布密度函数。则
0 ( x E ( X )) f ( x ) dx
2 2
平均值
当N充分大时，有如下的近似式
X N
MC方法随机理论的基础
MC方法的随机理论基础
g(u)均匀分布
N 1 x 2 t/ 2 P X E ( X ) x e dt N lim x N 2
MC方法随机理论的基础
• 大数法则
MC方法随机理论的基础
中心极限定理
该定理指出，如果随机变量序列 X1 ，X2，…， XN独立 同分布，且具有有限非零的方差σ2 ，即
MC方法概述
• 为了得到具有一定精确度的近似解，所需随机试 验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验 相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方 法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使 用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出 现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试 验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成， 使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的 科学技术中发挥应有的作用。
• 目前，已经广泛的应用于社会科学，材料， 物理，系统工程，科学管理，生物遗传等 领域。可以说，有随机工程事件的领域， 就可以应用Monte Carlo模拟。
计算材料学概述之蒙特卡洛方法详解课件
组合优化方法
针对组合优化问题，通过随机搜索和迭代优 化求解。
分子动力学模拟中的蒙特卡洛方法
01
分子动力学模拟是一种基于物理 模型的模拟方法，通过蒙特卡洛 方法可以模拟分子间的相互作用 和运动轨迹。
02
蒙特卡洛方法在分子动力学模拟 中主要用于求解势能面和分子运 动轨迹，通过随机抽样和迭代优 化实现分子运动状态的模拟。
重要性
随着科技的发展，计算材料学已成为 材料科学研究中不可或缺的工具，有 助于加速新材料的发现和优化现有材 料的性能。
计算材料学的主要研究方法
分子动力学模拟
01
基于原子或分子的动力学行为，模拟材料的微观结构和动态性
质。
蒙特卡洛方法
02
通过随机抽样和概率统计方法研究材料的宏观性质和相变行为
。
密度泛函理论
蒙特卡洛方法可以与分子动力学模拟结合，实现更精确的原子尺 度模拟。
元胞自动机
蒙特卡洛方法可以与元胞自动机结合，模拟复杂系统的演化过程。
有限元分析
蒙特卡洛方法可以与有限元分析结合，实现更高效的数值计算。
蒙特卡洛方法在材料设计中的应用前景
新材料发现
蒙特卡洛方法可用于预测新材料性能，加速新材料发现和开发进 程。
总结词
通过蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，包括界面润湿性、粘附力和传质过程等。
详细描述
利用蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，分析不同组分间的相互作用和界面结构， 预测材料的界面润湿性、粘附力和传质过程等性能，为复合材料的制备和应用提供理论
依据和技术支持。
蒙特卡洛方法的发
05
展趋势与展望
蒙特卡洛方法的未来发展方向
计算统计量
根据模型和抽样结 果，计算所需的统 计量或系统参数。
《蒙特卡罗方法》PPT课件
5
1.引言
Monte Carlo方法简史 简单地介绍一下Monte Carlo方法的发展历史
1、Buffon投针实验： 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的值
完整版ppt
L
d
p
2L d
6
1.引言
7 完整版ppt
1.引言
8 完整版ppt
1.引言
9 完整版ppt
23 完整版ppt
1.引言
注意以下两点： • Monte Carlo方法与数值解法的不同: ✓ Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问题;
✓数值解法:从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一 系列的微分方程来的导出系统的未知状态;
• Monte Carlo方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题:
28 完整版ppt
2.MC基本思想
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和 电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方 法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了 应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科 学试验中就已发现，并加以利用。
➢ 两个例子 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏）
4. 编程进行计算机模拟
5. 获得统计量
j
17 完整版ppt
1.引言
MC的模拟方法－1 确定统计方案
1 确定统计模型 1) 现象 模型
随机现象Y＝Y(Xi)， Xi={X1, X2, X3,…}
2) 确定随机变量Xi的分布特征fi(x) 平均分布，指数分布，正态分布，Γ分布…
2 确定统计量
j
i lnim1nkn1ik(xi,...)
1.引言
蒙特卡洛分析PPT课件
5
Cadence simulation setup (Normal)
Monte Carlo simulation
1.Choose setup model libraries
2.Browse and choose model file in the directory
Choosing model file,which contains all MOS,reg.,cap model parameters.
18
Monte Carlo simulation (Analyzing waveform)
Stability:A Kf value >1,is desired for an stable amplifier Kf value has become <1,and consequently creating a potential unstability,hence a large margin is required at initial design phase.
VSWR1
VSWR2
Variations in VSWR
Normal simulation Monte Carlo simulation
17
Monte Carlo simulation (Analyzing waveform)
Matching(forward and reverse transmission gain)
Monte Carlo simulation
……for better yield and performance
--A tutorial
1
Monte Carlo simulation
……for better yield and performance
Cadence simulation setup (Normal)
Monte Carlo simulation
1.Choose setup model libraries
2.Browse and choose model file in the directory
Choosing model file,which contains all MOS,reg.,cap model parameters.
18
Monte Carlo simulation (Analyzing waveform)
Stability:A Kf value >1,is desired for an stable amplifier Kf value has become <1,and consequently creating a potential unstability,hence a large margin is required at initial design phase.
VSWR1
VSWR2
Variations in VSWR
Normal simulation Monte Carlo simulation
17
Monte Carlo simulation (Analyzing waveform)
Matching(forward and reverse transmission gain)
Monte Carlo simulation
……for better yield and performance
--A tutorial
1
Monte Carlo simulation
……for better yield and performance
《蒙特卡罗方法》课件
蒙特卡罗方法的优缺点
REPORTING
优点
高效性
蒙特卡罗方法在处理大规模、复杂问 题时，相对于解析方法，具有更高的 计算效率。
适用性强
该方法适用于各种类型的问题，无论 是数学、物理还是工程领域。
灵活性高
蒙特卡罗方法允许使用各种随机抽样 技术，可以根据问题的特性灵活调整 。
易于实现
蒙特卡罗方法的算法相对简单，容易 编程实现。
估计精度
统计估计的精度与样本数量和估计方法的选 择有关。
误差分析
误差来源
蒙特卡罗方法的误差主要来源于概率模型的近似和随机抽样的不 确定性。
误差控制
通过增加样本数量、改进概率模型等方法来减小误差。
误差评估
通过方差、置信区间等统计方法对误差进行评估和检验。
PART 03
蒙特卡罗方法的实现步骤
REPORTING
《蒙特卡罗方法》 PPT课件
REPORTING
• 蒙特卡罗方法简介 • 蒙特卡罗方法的原理 • 蒙特卡罗方法的实现步骤 • 蒙特卡罗方法的应用实例 • 蒙特卡罗方法的优缺点 • 蒙特卡罗方法的未来发展与展望
目录
PART 01
蒙特卡罗方法简介
REPORTING
定义与特点
定义
蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的 数值计算方法，通过随机抽样和统计 模拟来求解数学、物理、工程等领域 的问题。
代。
PART 04
蒙特卡罗方法的应用实例
REPORTING
金融衍生品定价
总结词
蒙特卡罗方法在金融衍生品定价中应用广泛 ，通过模拟标的资产价格变化，计算衍生品 价格和风险。
详细描述
蒙特卡罗方法通过随机抽样和概率统计，模 拟标的资产（如股票、外汇或商品等）的价 格变化，从而计算出衍生品（如期权、期货 或掉期等）的预期收益或风险。这种方法能 够处理复杂的衍生品定价问题，并给出较为 精确的估计。
REPORTING
优点
高效性
蒙特卡罗方法在处理大规模、复杂问 题时，相对于解析方法，具有更高的 计算效率。
适用性强
该方法适用于各种类型的问题，无论 是数学、物理还是工程领域。
灵活性高
蒙特卡罗方法允许使用各种随机抽样 技术，可以根据问题的特性灵活调整 。
易于实现
蒙特卡罗方法的算法相对简单，容易 编程实现。
估计精度
统计估计的精度与样本数量和估计方法的选 择有关。
误差分析
误差来源
蒙特卡罗方法的误差主要来源于概率模型的近似和随机抽样的不 确定性。
误差控制
通过增加样本数量、改进概率模型等方法来减小误差。
误差评估
通过方差、置信区间等统计方法对误差进行评估和检验。
PART 03
蒙特卡罗方法的实现步骤
REPORTING
《蒙特卡罗方法》 PPT课件
REPORTING
• 蒙特卡罗方法简介 • 蒙特卡罗方法的原理 • 蒙特卡罗方法的实现步骤 • 蒙特卡罗方法的应用实例 • 蒙特卡罗方法的优缺点 • 蒙特卡罗方法的未来发展与展望
目录
PART 01
蒙特卡罗方法简介
REPORTING
定义与特点
定义
蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的 数值计算方法，通过随机抽样和统计 模拟来求解数学、物理、工程等领域 的问题。
代。
PART 04
蒙特卡罗方法的应用实例
REPORTING
金融衍生品定价
总结词
蒙特卡罗方法在金融衍生品定价中应用广泛 ，通过模拟标的资产价格变化，计算衍生品 价格和风险。
详细描述
蒙特卡罗方法通过随机抽样和概率统计，模 拟标的资产（如股票、外汇或商品等）的价 格变化，从而计算出衍生品（如期权、期货 或掉期等）的预期收益或风险。这种方法能 够处理复杂的衍生品定价问题，并给出较为 精确的估计。
蒙特卡洛模拟课件PPT
斯密思（Smith） 投计次数：3204次 pi的实验值：3.1553
2021/3/10年9月2日
Monte Carlo方法的发展历史
▪ 20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以实 现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题才有 了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间， 为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数 学家冯.诺伊曼和乌拉姆等提出蒙特卡罗模拟方法.由于当时工作是保 密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌 城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称，既反映了该方法的 部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们的普遍接受。
2021/3/10年9月2日
Monte Carlo方法的基本思想
▪ 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。
▪ 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时。通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡洛方法的基本思想。
Monte Carlo方法的发展历史
历史上的实验
1901
1850
沃尔弗（Wolf） 投计次数：5000次 pi的实验值：3.1596
1855
1894
拉查里尼（Lazzarini） 投计次数：3408次 pi的实验值：3.141592
福克斯（Fox） 投计次数：1120次 pi的实验值：3.1419
2021/3/10年9月2日
例.蒲丰氏问题
▪ 设针投到地面上的位置可以用一组参数 （x,θ）来描述,x为针中心的坐标,θ为针 与平行线的夹角,如图所示。
工艺角分析和蒙特卡洛分析课件
电路性能分析
蒙特卡洛方法可用于分析电路的性能指标，如电压、电流 、功率等。通过随机抽样，可以得到电路性能的统计分布 ，从而评估电路的稳定性和可靠性。
参数提取
蒙特卡洛方法可用于提取电路元件的参数，如电阻、电容 、电感等。通过随机抽样，可以得到元件参数的统计分布 ，从而优化电路设计。
最坏情况分析
蒙特卡洛方法可用于最坏情况分析，即分析电路在极端情 况下的性能。这对于评估电路的可靠性和安全性具有重要 意义。
典型角（TT）
典型角是工艺角的中间值，通常用于评估电路的性能和功耗。在数字电
路中，典型角下的工作频率和功耗都处于中等水平。在模拟电路中，典
型角下的放大器增益和带宽也相对适中。
03
蒙特卡洛分析基础
蒙特卡洛方法简介
定义
蒙特卡洛方法是一种以概率统计 理论为指导的数值计算方法，通 过随机数抽样来估计复杂问题的
工艺角分析和蒙特 卡洛分析课件
目录
• 引言 • 工艺角分析基础 • 蒙特卡洛分析基础 • 工艺角与蒙特卡洛联合分析 • 先进工艺下挑战与解决方案 • 总结与展望
01
引言
课件背景与目的
背景
介绍工艺角分析和蒙特卡洛分析 在集成电路设计中的应用和重要 性。
目的
明确本课件旨在帮助学员掌握工 艺角分析和蒙特卡洛分析的基本 原理、方法和应用技巧，提高集 成电路设计的可靠性和性能。
VS
低功耗ADC设计
在某低功耗ADC电路设计中，应用先进 工艺降低功耗。通过工艺角分析，研究不 同工艺参数对功耗和性能的影响。结合蒙 特卡洛分析，给出性能分布和良率预测。 最终设计出满足低功耗知识点总结
工艺角分析
掌握了工艺角的基本概念、分类和分 析方法，能够针对不同工艺角进行电 路性能分析和优化。
蒙特卡洛方法可用于分析电路的性能指标，如电压、电流 、功率等。通过随机抽样，可以得到电路性能的统计分布 ，从而评估电路的稳定性和可靠性。
参数提取
蒙特卡洛方法可用于提取电路元件的参数，如电阻、电容 、电感等。通过随机抽样，可以得到元件参数的统计分布 ，从而优化电路设计。
最坏情况分析
蒙特卡洛方法可用于最坏情况分析，即分析电路在极端情 况下的性能。这对于评估电路的可靠性和安全性具有重要 意义。
典型角（TT）
典型角是工艺角的中间值，通常用于评估电路的性能和功耗。在数字电
路中，典型角下的工作频率和功耗都处于中等水平。在模拟电路中，典
型角下的放大器增益和带宽也相对适中。
03
蒙特卡洛分析基础
蒙特卡洛方法简介
定义
蒙特卡洛方法是一种以概率统计 理论为指导的数值计算方法，通 过随机数抽样来估计复杂问题的
工艺角分析和蒙特 卡洛分析课件
目录
• 引言 • 工艺角分析基础 • 蒙特卡洛分析基础 • 工艺角与蒙特卡洛联合分析 • 先进工艺下挑战与解决方案 • 总结与展望
01
引言
课件背景与目的
背景
介绍工艺角分析和蒙特卡洛分析 在集成电路设计中的应用和重要 性。
目的
明确本课件旨在帮助学员掌握工 艺角分析和蒙特卡洛分析的基本 原理、方法和应用技巧，提高集 成电路设计的可靠性和性能。
VS
低功耗ADC设计
在某低功耗ADC电路设计中，应用先进 工艺降低功耗。通过工艺角分析，研究不 同工艺参数对功耗和性能的影响。结合蒙 特卡洛分析，给出性能分布和良率预测。 最终设计出满足低功耗知识点总结
工艺角分析
掌握了工艺角的基本概念、分类和分 析方法，能够针对不同工艺角进行电 路性能分析和优化。
《强化学习理论与应用》蒙特卡洛法
0+0.8
0+0.8
0+0.8
0+0.8
0+0.8
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0+0.8
0+0.8
0+0.8 0+0.8 1 0.8 0
=0.811 1=0.086
第2次访问状态16：
G(5)(2) 16
0 0.8
0+0.8
0+0.81 0.8 0
=0.83 1=0.512
➢ 利用情节进行学习，并采用情节到情节（episode-byepisode）的离线学习（off-line）方式来求解最优策 略 *。DP和后续介绍的时序差分算法则采用步到步 （step-by-step）的在线学习（on-line）方式来求解最优 策略；
2024/3/9
7
5.1 蒙特卡洛法的基本概念（6）
9
5.1 蒙特卡洛法的基本概念（8）
实际上，MC泛指任何包含大量随机成分的估计方法，
通常利用采样数据来估算某一事件的发生概率。在数学
领域中，它的应用可以用例5.1来说明。
例5.1 在边长为1米的正方形 S1 内构建一个扇形 S2 ，利用
扇形面积计算公式，可以计算出
S2
1 4
r2
1 4
3.14 12
5
如图所示，选取了5个经过状态16的情节，5个情节依 次设置为情节1、情节2、情节3、情节4和情节5。
2024/3/9
18
5.2 蒙特卡洛法预测（7）
➢ 情节1：16 15 10 5 0
G(1)(1) 16
0 0.8
0+0.8
0+0.81 0.8 0
王洪彬蒙特卡洛MonteCarlo-PPT精品文档
• Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们 所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事 件产生的“频率”来近似事件的“概 率”。 19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。 本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年 来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在 计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可 能。
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法
——简介及算法实现(C++版&Java 版) 物理学院 0510267 王洪彬
蒙特卡洛法是什么？
• 蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机 模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。 这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原 子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、 数学家冯· 诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥 的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上 了一层神秘色彩。
• • • • • • • • • • • • • • • • • •
#include<iostream.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> const long N=2000000000; void main() { int n = 0; double x, y; srand(time(00)); /*定义随机点数*/
5
3.141529 3.141506 3.141538 3.1415279
2
3
s i
(
i 1
n
பைடு நூலகம்
i
)
2
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0.0000033
u s t ( 0 . 6 8 3 , n 1 ) a
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实现从已知概率分布的随机数的抽样，进行大量的计算随 机模拟实验，从中获得随机变量的大量试验值。各种概率 模型具有不同的概率分布，因此产生已知概率分布的随机 变量，是实现Monte Carlo方法的关键步骤。最简单、最基 本、最重要的一个概率分布是(0，1)上的均匀分布 (或称矩 形分布)。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。对 于其他复杂概率模型的概率分布可以用数学方法在此基础 上产生。因此，随机数是Monte Carlo模拟的基本工具。
pij=p(xj | xi) = p(xi →xj)
(5.4)
从 MC模拟的应用来说，马尔科夫链的最重要的性质是，
存在着各个状态的一个不变分布而最终状态应当遵从某一
特定分布。若温度不变，则产生的状态就相应于热平衡分
布
pxi
exp
H xi
kT
(5.5) 8
5.1 基本思想和一般过程
不变分布定义 若一个概率分布{uk}满足以下条件
10
5.1 基本思想和一般过程
5.1.3 蒙特卡罗的一般过程
Monte Carlo的计算过程就是用数学方法在计算机上实现对 随机变量的模拟，以求得对问题的近似解。
用蒙特卡罗方法解题的一般过程可归结为以下三个步骤： (1) 构造或描述问题的概率过程 对于本身就只有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要
14
5.2 随机数和伪随机数
5.2.1 随机数
矩形分布也常称为均匀分布，其中最基本的是单位矩形分 布，其分布密度函数如下：
1, 当0 x 1
f (x) 0, 其他点处
(5.8)
利用某些物理现象可以在电子计算机上产生随机数，但其 产生的随机数序列无法重复实现，使程序无法进行复算， 结果无法验证。同时需要增添随机数发生器和电路联系等 附加设备，费用昂贵。因此，在Monte Carlo方法中一般 不采用随机数，而采用伪随机数。
蒙特卡罗方法
1
5.1 基本思想和一般过程
5.1.1 基本思想
蒙特卡罗方法亦称统计模拟方法
利用随机数进行数值模拟的方法
在物理问题中，通常要研究一些随机变量的分布规律，比 如分布函数的形式，分布参数的估值等。利用解析方法来 求解非常困难，利用实验研究随机变量的分布需要反复进 行大量的实验，不仅耗资巨大，而且有些物理量或物理行 为根本就难以测量或无法测量。这时就可以根据待求随机 问题的变化规律和物理现象本身的统计规律人为地构造出 一个合适的概率模型来模拟实际的物理过程，并按照该模 型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待求
是正确地描述和模拟这个概率过程。对于本来不是随机性 质的确定性问题，比如计算定积分、解线性方程组及偏微 分方程边值问题等，要用蒙特卡罗方法求解，就必须事先 构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求的 问题的解。
11
5.1 基本思想和一般过程
(2) 实现从已知概率分布的抽样 有了明确的概率过程后，为了实现过程的数字模拟，必须
设一个系统的状态序列为x0,x1,…,xn,…,如果对任何n都有概率
p(xn|xn-1 ,…,x1,x0) = p(xn|xn-1)
(5.2)
则称此序列为马尔科夫序列或马尔科夫链。
设将粒子的位置空间(一维，二维或三维)划分为许多大小相 等的网格。如果粒子跳到新的位置后就忘记了原来的格点位 置，这就是随机行走。如果粒子跳到新的位置后还记得原来 的格点位置，并回避与走过的路径交叉或重复，就叫做自回 避行走。
12
5.1 基本思想和一般过程
(3) 建立各种统计量的估计，得到问题的求解 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即可对所得
抽样值集合进行统计处理，从而产生待求数字特征的估计 量，给出问题的求解及解的精度估计。
13
5.2 随机数和伪随机数
由单位矩形分布中所产生的简单子样称为随机数序列，其 中的每一个体称为随机数。而所谓伪随机数，则是指用数 学递推公式所产生的随机数。由于这种办法属于半经验性 质，因此只能近似地具备随机数性质。判断产生伪随机数 的某种方法的好坏，首先是它均匀性和独立性是否能较好 地具备；其次是它的费用大小，在电子计算机上产生伪随 机数，费用即指所用计算机的时间。由蒙特卡罗方法解题 一般过程可知，随机数的产生是实现Monte Carlo方法的关 键步骤，是Monte Carlo模拟的基本工具。
7
5.1 基本思想和一般过程
马尔科夫链是一种随机行走的运动状态。任何一次运动的
结果仅仅依赖于前一次运动的结果，因此序列x0, x1, …, xn发生的概率可以因式分解为
p(x0 x1 … xn-1xn) = p(xn | xn-1)… p(x1 | x0)p(x0) (5.3)
初始状态的绝对概率p(x0)=1。因此将这些条件概率称之为 单步跃迁概率，或转移概率。
5
针相对于平行线的位置可以用一个随机向量表示
A [0, d )
[0, )
随机向量平均分布在区间[0,d)×[0,). 其概率密度函数为1/d. 针与平行线相交的概率为
p
0
l sin 0
1 d
dAd
2l
d
(5.1)
6
5.1 基本思想和一般过程
5.1.2 马尔科夫(Markov)过程
uk>0，k=1，2，….
uk 1
k
u j ui pij
i
(5.6) (5.7)
则称概率分布{uk}是不变的或定常的。其中跃迁概率{pij} 形成一
遍历态定义 一个状态如果是非周期性的并且是经久的，具有一个有限
的平均返回时间，则称这个状态是遍历态。一个由遍历态 组成的马尔科夫链叫做遍历的马尔科夫链。 绝对概率取向定理 一个简约的非周期性链，当且仅当它是一个遍历链时，这 个链具有一个不变分布。这时对于一切的k都有uk>0，并 且不论其初始分布如何，各个绝对概率都趋于uk。 这个条件保证了，不管初始分布如何，马尔科夫链中的状 态最终会遵从某个惟一的分布。这个定律在计算物理学的 模拟领域中具有基础重要性。
问题的解。这种方法称为蒙特卡罗方法 。
2
蒙特卡 罗方法
直接方法
可以分解为各个独立 过程的随机性事件
统计方法 数值求解多维定积分
3
5.1 基本思想和一般过程
Buffon投针实验
1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计值
L
d
p 2L
d 4
长度为 l的针随机地落在相距为d>l 的一组水平线之间， 求针与线相交的概率？
pij=p(xj | xi) = p(xi →xj)
(5.4)
从 MC模拟的应用来说，马尔科夫链的最重要的性质是，
存在着各个状态的一个不变分布而最终状态应当遵从某一
特定分布。若温度不变，则产生的状态就相应于热平衡分
布
pxi
exp
H xi
kT
(5.5) 8
5.1 基本思想和一般过程
不变分布定义 若一个概率分布{uk}满足以下条件
10
5.1 基本思想和一般过程
5.1.3 蒙特卡罗的一般过程
Monte Carlo的计算过程就是用数学方法在计算机上实现对 随机变量的模拟，以求得对问题的近似解。
用蒙特卡罗方法解题的一般过程可归结为以下三个步骤： (1) 构造或描述问题的概率过程 对于本身就只有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要
14
5.2 随机数和伪随机数
5.2.1 随机数
矩形分布也常称为均匀分布，其中最基本的是单位矩形分 布，其分布密度函数如下：
1, 当0 x 1
f (x) 0, 其他点处
(5.8)
利用某些物理现象可以在电子计算机上产生随机数，但其 产生的随机数序列无法重复实现，使程序无法进行复算， 结果无法验证。同时需要增添随机数发生器和电路联系等 附加设备，费用昂贵。因此，在Monte Carlo方法中一般 不采用随机数，而采用伪随机数。
蒙特卡罗方法
1
5.1 基本思想和一般过程
5.1.1 基本思想
蒙特卡罗方法亦称统计模拟方法
利用随机数进行数值模拟的方法
在物理问题中，通常要研究一些随机变量的分布规律，比 如分布函数的形式，分布参数的估值等。利用解析方法来 求解非常困难，利用实验研究随机变量的分布需要反复进 行大量的实验，不仅耗资巨大，而且有些物理量或物理行 为根本就难以测量或无法测量。这时就可以根据待求随机 问题的变化规律和物理现象本身的统计规律人为地构造出 一个合适的概率模型来模拟实际的物理过程，并按照该模 型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待求
是正确地描述和模拟这个概率过程。对于本来不是随机性 质的确定性问题，比如计算定积分、解线性方程组及偏微 分方程边值问题等，要用蒙特卡罗方法求解，就必须事先 构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求的 问题的解。
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5.1 基本思想和一般过程
(2) 实现从已知概率分布的抽样 有了明确的概率过程后，为了实现过程的数字模拟，必须
设一个系统的状态序列为x0,x1,…,xn,…,如果对任何n都有概率
p(xn|xn-1 ,…,x1,x0) = p(xn|xn-1)
(5.2)
则称此序列为马尔科夫序列或马尔科夫链。
设将粒子的位置空间(一维，二维或三维)划分为许多大小相 等的网格。如果粒子跳到新的位置后就忘记了原来的格点位 置，这就是随机行走。如果粒子跳到新的位置后还记得原来 的格点位置，并回避与走过的路径交叉或重复，就叫做自回 避行走。
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5.1 基本思想和一般过程
(3) 建立各种统计量的估计，得到问题的求解 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即可对所得
抽样值集合进行统计处理，从而产生待求数字特征的估计 量，给出问题的求解及解的精度估计。
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5.2 随机数和伪随机数
由单位矩形分布中所产生的简单子样称为随机数序列，其 中的每一个体称为随机数。而所谓伪随机数，则是指用数 学递推公式所产生的随机数。由于这种办法属于半经验性 质，因此只能近似地具备随机数性质。判断产生伪随机数 的某种方法的好坏，首先是它均匀性和独立性是否能较好 地具备；其次是它的费用大小，在电子计算机上产生伪随 机数，费用即指所用计算机的时间。由蒙特卡罗方法解题 一般过程可知，随机数的产生是实现Monte Carlo方法的关 键步骤，是Monte Carlo模拟的基本工具。
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5.1 基本思想和一般过程
马尔科夫链是一种随机行走的运动状态。任何一次运动的
结果仅仅依赖于前一次运动的结果，因此序列x0, x1, …, xn发生的概率可以因式分解为
p(x0 x1 … xn-1xn) = p(xn | xn-1)… p(x1 | x0)p(x0) (5.3)
初始状态的绝对概率p(x0)=1。因此将这些条件概率称之为 单步跃迁概率，或转移概率。
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针相对于平行线的位置可以用一个随机向量表示
A [0, d )
[0, )
随机向量平均分布在区间[0,d)×[0,). 其概率密度函数为1/d. 针与平行线相交的概率为
p
0
l sin 0
1 d
dAd
2l
d
(5.1)
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5.1 基本思想和一般过程
5.1.2 马尔科夫(Markov)过程
uk>0，k=1，2，….
uk 1
k
u j ui pij
i
(5.6) (5.7)
则称概率分布{uk}是不变的或定常的。其中跃迁概率{pij} 形成一
遍历态定义 一个状态如果是非周期性的并且是经久的，具有一个有限
的平均返回时间，则称这个状态是遍历态。一个由遍历态 组成的马尔科夫链叫做遍历的马尔科夫链。 绝对概率取向定理 一个简约的非周期性链，当且仅当它是一个遍历链时，这 个链具有一个不变分布。这时对于一切的k都有uk>0，并 且不论其初始分布如何，各个绝对概率都趋于uk。 这个条件保证了，不管初始分布如何，马尔科夫链中的状 态最终会遵从某个惟一的分布。这个定律在计算物理学的 模拟领域中具有基础重要性。
问题的解。这种方法称为蒙特卡罗方法 。
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蒙特卡 罗方法
直接方法
可以分解为各个独立 过程的随机性事件
统计方法 数值求解多维定积分
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5.1 基本思想和一般过程
Buffon投针实验
1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计值
L
d
p 2L
d 4
长度为 l的针随机地落在相距为d>l 的一组水平线之间， 求针与线相交的概率？