第一讲 二次方程含参问题(教师版)

九年级·十一短期课·特色课程数学第1讲二次方程含参问题知识导读带有参数的二次方程，要确定参数的值或取值范围，使它的根满足某些条件，此类题型主要利用一元二次方程的定义、根的判别式和韦达定理求解，选择题、填空题和解答题中均有涉及，属于中档题．多结论判断题是近年来中考数学中出现的新题型，含有多个或真或假的命题，让考生判断正确或错误命题的序号或个数，主要考查同学们对二次函数相关概念的准确理解和分析、推理、计算的能力，一般位于选择题第10题，综合性很强，且考查频率较高，属于拔高题．【例1】若关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一根为0，则m =（ ）．A ．2-或2B ．2-CD ．2答案：B 提示：240m -=且20m -≠．【巩固】若一元二次方程220170ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=__________． 答案：2017 提示：直接代入．【例2】如果关于x 的方程2(2)210m x x -++=有实数根，那么m 的取值范围是（ ）．A ．3m ≤B ．3m ≥C ．3m ≤且2m ≠D ．3m <答案：A 提示：只需考虑0∆≥．【巩固】若关于x 的一元二次方程22(1)(21)10m x m x --++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是__________．答案：54m >-且1m ≠± 提示：0∆>且210m -≠．【变式1】已知a 、b 、c 分别是直角三角形的三边长，则方程2()20a b x cx a b +++-=的根的情况是（ ）．A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根答案：B 提示：2224()c a b ∆=-+．【变式2】若2b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ）．A ．两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．两个相等的实数根D ．不能确定答案：A 提示：2240a c ∆=+>．【变式3】实数a 、b 、c 满足20a ab ac ++<，则一元二次方程20ax bx c ++=（ ）．A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定根的情况答案：A 提示：2444ac a ab ->+，222444b ac a ab b ∆=->++．根与判别式典型例题【例3】已知关于x 的方程220x x m +-=． （1）若2x =是方程的根，求m 的值．（2）若方程总有两个实数根，求m 的取值范围． 提示：直接代入解得8m =；440m ∆=+≥，解得1m -≥．【巩固】已知关于x 的一元二次方程2(23)20mx m x m -+++=没有实数根，求证：关于x 的一元二次方程2210x x m ---=没有实数根．提示：方程①中0∆<，解得94m <-，则方程②中840m ∆=+<．【变式】已知关于x 的一元二次方程(3)(2)x x m --=．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根． 提示：140m ∆=+>；直接代入解得2m =±，原方程为2540x x -+=，11x =、24x =．【例4】若函数221y mx x =++的图像与x 轴只有1个交点，则常数m 的值是__________． 答案：0或1 提示：0m =时21y x =+成立；0m ≠时440m ∆=-=，解得1m =．【巩固】二次函数263y kx k =-+图象与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）． A ．3k <B ．3k <且0k ≠C ．3k ≤D ．3k ≤且0k ≠答案：B 提示：0∆>且0k ≠．【变式】当直线23y x t =+-与函数2221(1)23(1)x x x y x x x ⎧-+⎪=⎨+-<⎪⎩≥的图象有且只有两个公共点时，t的取值范围是__________．答案：1t >或0t =提示：直线过点(1,0)时有3个交点，代入解得1t =，观察图像可知1t >时有两个交点； 直线与函数图象相切时有2个交点，联立解得0t =．【例1】若方程2(1)30x k x+--=的一个根是1，则另一个根是__________．答案：3-提示：123cx xa==-．【巩固】若方程210x px++=的一个根为1-则它的另一个根等于__________，p的值为__________．答案：1--提示：2111xx===-12()p x x=-+．【变式】王刚解关于x的方程230x x c-+=时，误将3x-看作3x+，解得11x=、24x=-，则原方程的解为（）．A．11x=-、24x=-B．11x=、24x=C．11x=-、24x=D．12x=、23x=答案：C 提示：124c x x==-．【例2】若1x、2x是方程214x x m m⎛⎫-+=<⎪⎝⎭的两根，则221122x x x--=__________．答案：1-提示：22112112122()2()()x x x x m x x m x x--=----=-+．【巩固】已知1x、2x是一元二次方程222130x x m-+-=的两个实数根，且1x、2x满足不等式12122()0x x x x++>，则实数m的取值范围是__________．答案：1563m<≤提示：0∆≥且13202m-+>．【变式1】抛物线2(21)6y x m x m=---交x轴于1(,0)x、2(,0)x，已知121249x x x x=++，要使此抛物线经过原点，应将它向右平移__________个单位．答案：4或9提示：62149m m-=-+，解得6m=-，则(4)(9)y x x=++．根与系数的关系典型例题【变式2】已知抛物线22y x x a =-+的图象与x 轴的两个不同交点与原点的距离之和不超过4，则a 的取值范围是__________．答案：31a -<≤ 提示：0∆>且124x x +≤．【例3】关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=有实数根． （1）求k 的取值范围．（2）若此方程的两个实数根互为倒数，求出k 的值． 提示：0∆≥，解得54k ≤；21211x x k =-=，解得1k =（舍）、2k =【巩固】已知关于x 的一元二次方程22(12)10k x k x +-+=． （1）若此方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（2）设方程的两根分别为1x 、2x 且121223x x x x +-=-，求k 的值． 提示：0∆>且20k ≠，解得14k <且0k ≠； 12122221223k x x x x k k -+-=-=-，23210k k --=，解得113k =-、11k =（舍）．【变式】已知关于x 的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-=有两个不相等的实数根．（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）设该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且1221x x m +=+，求m 的值．提示：2(3)10m ∆=-+>；121212213221x x m x x m x x m +=-⎧⎪⎪=-⎨⎪+=+⎪⎩，解得1712m =．【例4】菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于点O ，且AO 、BO 的长度分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 的值为（ ）．A ．3-B ．5C ．5或3-D ．5-或3答案：A 提示：0∆>且221225x x +=．【巩固】已知ABC △的一条边BC 的长为5，另外两条边AB 、AC 的长恰好是关于x 的方程22(23)320x k x k k +++++=的两个实数根． （1）求证：AB AC ≠．（2）如果ABC △是以BC 为斜边的直角三角形，求k 的值．（3）填空：当k =__________时，ABC △是等腰三角形，其周长为__________． 提示：10∆=>；222212(23)2(32)25x x k k k +=---++=，解得15k =-、22k =（舍）；AB AC ≠，则BC 为腰，将5x =代入解得16k =-、27k =-，周长为14或16．【变式】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤ D ．314m ≤≤答案：C 提示：对于方程220x x m -+=，0∆≥且121x x -<．【例5】已知实数a 、b 分别满足2640a a -+=、2640b b -+=，且a b ≠，则b aa b+的值为（ ）．A ．7B ．7-C ．11D ．11-答案：A 提示：a 、b 可看作方程2640x x -+=的两根．【巩固1】已知方程20x bx c ++=有两相等实数根，x 取m 和2m +时，代数式2x bx c ++的值都等于n ，则n =__________．答案：1 提示：24022(2)b c m b m m c n ⎧-=⎪+=-⎨⎪+=-⎩．【巩固2】已知方程20x bx c ++=有两相等实数根，x a =、x a n =+满足2x bx c m ++=，则m 、n 的关系为（ ）．A ．12m n =B ．14m n =C ．212m n =D ．214m n =答案：D 提示：2402()b c a n b a a n c m ⎧-=⎪+=-⎨⎪+=-⎩．【变式1】已知2720m m +-=，2270n n --=，其中m 、n 为实数，求1mn n+的值． 答案：17- 提示：m 、1n可看作方程2720x x +-=的两根．【变式2】已知1x 、2x 是关于x 的方程220x m x n ++=的两个实数根，1y 、2y 是关于y 的方程2570y my ++=的两个实数根，且满足112x y -=、222x y -=，则m =__________，n =__________．答案：4、29- 提示：2121254x x y y m m +--=-+=．【例6】已知1x 、2x 是关于x 的方程20x x t -+=的两个非负实数根，设4412y x x =+的最大值为M 、最小值为m ，则M m -=__________． 答案：78提示：222(12)22(1)1y t t t =--=--，0∆≥且120x x ≥，解得104t ≤≤，故1M =、18m =．【巩固】已知t 是实数，若a 、b 是关于x 的一元二次方程240x x t -+-=的两个非负实根，则22(4)(4)a b --最大值与最小值的差为__________． 答案：3316提示：222(4)(4)4a b t --=-，0∆≥且120x x ≥，解得1744t ≤≤，2217334416⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【变式】关于x 的方程2680x x t -+-=有两个实数根，且12(2)(2)y x x =--，则y 与t 的函数关系式为__________．答案：(1)y t t =--≥ 提示：0∆≥，解得1y -≥，8264y t t =--⨯+=-．【例1】抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,3)D --，与x 轴的一个交点A 在(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图像如图所示，则以下结论：①0abc >；②0a b c ++<；③3a c -=；④方程230ax bx c +++=有两个相等的实根，其中正确的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A提示：①错0a ≠（0a >、0b >、0c <）；②错误（另一个交点在(1,0)左侧，故1x =时0y >）；③正确（3a b c -+=-、12ba-=-）； ④错误（30-<）．【巩固】二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下，下列结论：①0abc >；②20a b +=；③当1m ≠时，2a b am bm +>+；④0a b c -+>；⑤如果221122ax bx ax bx +=+，且12x x ≠，则122x x +=．其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤答案：D提示：①错误（0a <、0b >、0c >）；②正确（12ba-=-）； ③正确（1x =时函数有最大值，故2a b c am bm c ++>++）； ④错误（另一个交点在(1,0)-右侧，故1x =-时0y <）； ⑤正确（1x 、2x 关于1x =对称）．多结论判断典型例题x【例2】二次函数2y ax bx c =++图象如下，对称轴为1x =，且经过点(3.5,0)，则下列结论：①24b ac >；②420a b c -+<；③不等式20ax bx c ++>解集为 3.5x >；④若1(2,)y -、2(5,)y 是抛物线上两点，则12y y <．其中正确的有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C提示：①正确（抛物线与x 轴有两个交点）；②错误（另一交点为(1.5,0)-，故2x =-时0y >）；③错误（解集为 3.5x >或 1.5x <-）；④正确（点1(2,)y -距对称轴较近，故12y y <）．【巩固】二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如下，其顶点坐标为(1,3)A ，与x 轴的一个交点为(4,0)B ，直线2(0)y mx n m =+≠与抛物线交于A 、B 两点，则下列结论：①20a b +=；②0abc >；③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(1,0)-；⑤当14x <<时，有21y y <．其中正确的是（ ）． A ．①②③ B ．①③④ C ．①③⑤ D ．②④⑤答案：C提示：①正确（12ba-=）； ②错误（0a <、0b >、0c >）；③正确（3y =与抛物线交于顶点A ）； ④错误（122x x +=）；⑤正确（14x <<时抛物线在直线上方）．【例1】已知抛物线2248y x mx m =-+-的顶点为A ．（1）求证：该抛物线与x 轴总有两个交点．（2）当1m =时，直线:2BC y kx =-与该抛物线交于B 、C 两点，若线段BC 被x 轴平分，求k 的值．（3）以A 为一顶点作该抛物线的内接正AMN △（点M 、N 在抛物线上），请问：AMN △的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 提示：24(2)160m ∆=-+>；联立得2(2)20x k x -+-=，12(2)40y y k k +=+-=，解得1k =-；设2(,248)M a a ma m -+-，则2248(48))ma m m m m a -+---+--，化简可得m a -=，132AMN S=⨯=△【例2】已知关于x 的一元二次方程21202k x x -++=有两个不相等的实数根，k 为正整数． （1）求k 的值．（2）当此方程有一根为0时，直线2y x =+与关于x 的二次函数2122k y x x -=++的图象交于A 、B 两点，若M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN x ⊥轴，交二次函数的图象于点N ，求线段MN 的最大值及此时点M 的坐标． （3）若直线12y x b =+与函数2122k y x x -=++的图象恰好有三个公共点，求b 的值．提示：0∆>，解得3k <，故k 的值为1或2；设(,2)M m m +，则2(,2)N m m m +， 22192(2)24MN m m m m ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭；直线过A 点时11b =， 直线与翻折部分相切时22516b =．能力提升【2016-2017东湖高新区期中】已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-=． （1）求证：无论m 取任何实数，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-图象与x 轴两交点之间的距离为2时，求抛物线的解析式．提示：0m =时方程20x -=有实数根，0m ≠时2(1)0m ∆=+≥；12123122m x x m m x x m -⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，1212m x x m +-==，解得11m =、213m =-．【2016-2017C 组联盟期中】设二次函数112()()y a x x x x =--（0a ≠，12x x ≠）的图象与一次函数2y dx e =+（0d ≠）的图象交于点1(,0)x ，若函数12y y y =+的图象与x 轴仅有一个交点，则（ ）．A ．212()a x x d -=B ．212()a x x d +=C ．12()a x x d -=D ．21()a x x d -=答案：D 提示：12121()()()y y y a x x x x d x x =+=--+-与x 轴交于点1(,0)x ．真题链接【习题1】如果关于x 的方程2(5)410a x x ---=有两个实数根，则a 满足（ ）．A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠答案：C 提示：0∆≥且50a -≠．【习题2】如果3x =-是一元二次方程2ax c =的一个根，那么该方程的另一个根是（ ）． A ．3B ．3-C ．0D ．1答案：A 提示：120bx x a+=-=．【习题3】若(2)350m m x mx -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为__________． 答案：2- 提示：2m =且20m -≠．【习题4】关于x 的方程2(3)(2)0x x p ---=根的情况是（ ）．A ．有两个不等实数根B ．没有实数根C ．有两个相等实数根D ．无法确定 答案：A 提示：2140p ∆=+>．【习题5】已知219M a =-、279N a a =-（a 为实数），则M 、N 大小关系为（ ）．A ．M N <B ．M N =C ．M N >D ．不能确定 答案：A 提示：22131024N M a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭．【习题6】若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=无实数根，则满足条件的k 的最小整数值是__________．答案：2 提示：0∆<，解得116k >．【习题7】已知关于x 的方程2210x mx m -+-=两根的平方和为7，则m =__________．答案：1- 提示：0∆≥且222121212()27x x x x x x +=+-=．【习题8】已知m n ≠，且23m m -=、23n n =+，那么代数式2222005m mn n -++的值为__________．答案：2017 提示：m 、n 是方程230x x --=的两根，2226m m =+．课后作业【习题9】设实数s 、t 满足2199910s s ++=、299190t t ++=，并且1st ≠，则41st s t++=__________．答案：5- 提示：s 、1t可看作方程2199910x x ++=的两根．【习题10】已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象如图所示，下列结论：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++>；④0a b c -+>．其中错误的个数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：A提示：①错误（12ba-=-，故20a b -=）； ②正确（0a <、0b <、0c <）；③错误（1x =时0y <）； ④正确（1x =-时0y <）．【习题11】已知抛物线2(0)y ax bx c b a =++>>与x 轴最多有一个交点，现有以下结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程220ax bx c +++=无实根；③0a b c -+≥；④a b cb a ++-的最小值为3．其中正确的结论个数为（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个答案：D 提示：①正确（02ba-<）； ②正确（240b ac -≤，则2480b ac a --<）； ③正确（1x =-时0a b c -+≥）；④正确（2x =-时420a b c -+≥，33a b c b a ++-≥，3a b cb a++-≥）．【习题12】关于x 的方程22(23)0x a x a +-+=． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围． （2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求a ． 提示：0∆>，解得34a <； 122121211321x x a x x x x a +-+===，解得11a =（舍）、23a =-．【习题13】若关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不等实根1x 、2x ． （1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根1x 、2x 满足1212x x x x +=，求k 的值． 提示：0∆>，解得34k >； 2211k k +=+，解得10k =（舍）、22k =．。