云南师大附中2021届高三适应性月考(二)理科数学试题 含答案

秘密★启用前云南师大附中2021届高三适应性月考（二）理科理科数学试卷注意事项:1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题喜上作答无效。

3.考试结束后，请将本试喜和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟.一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合A={}305x xx −<−，集合B={}46x x <<,则A B = A. (3, 6) B. [3, 6) C. [4, 5) D. (4, 5)2.瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程: cos sin i e i θθθ=+ (i 为虚数单位)，根据此公式可知，若i e θ+1=0，则θ的一个可能值为 A.0 B.2π C.π D. 32π3. cos45cos15sin 45sin15︒︒︒︒+的值为A.B. C. 12 D. 12−4.已知双曲线的方程为22143x y −=,双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为A. 1B.C. D. 25.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“一个公公九个儿， 若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是:一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，间老大是多少岁?A. 38B.35.C. 32D.296. 为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了”文明行为进班级”的评比活动，现对甲。

乙两个年级进行评比，从甲。

乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图1所示的茎叶图，通过基叶图比较甲、乙两个年级成绩的平均数及方差大小.A. x x <甲乙，22s s <甲乙B. x x >甲乙，22s s <甲乙C. x x <甲乙，22s s >甲乙D. x x >甲乙，22s s >甲乙7.若AB 是以O 为圆心，半径为1的圆的直径，C 为圆外一点，且OC=2. 则CA CB ⋅= A.3 B. -3 C.0 D.不确定，随着直径AB 的变化而变化8.已知圆M 的方程为22680x y x y +−−=，,过点P(0, 4)的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC,弦长最长的弦为BD,则四边形ABCD 的面积为 A.30 B.40 C.60 D.809.正四面体ABCD 的俯视图为边长为1的正方形，则正四面体ABCD 的外接球的表面积为 A.32π B. 32π C. 3π D. 12π10.已知2()sin cos f x x x =,下列结论中错误的是A. ()f x 即是奇函数也是周期函数B. ()f x 的最大值为33C. ()f x 的图象关于直线2x π=对称 D. ()f x 的图象关于点(,0)π中心对称11.已知抛物线C: 22(0)y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C交于11,)Ax y （、22(,)B x y 两点，则下面陈述不正确的为 A. 2121234x x y y p +=− B. 22sin pAB α= C.112AF BF p+= D.记原点为O,则sin AOB pS α∆=12.下列四个命题:①1ln 22>②2ln 2e>③0.40.40.40.40.220.22log log log log +=⋅④7131331log log <,其中真命题为A. ①②③B. ①③C. ①②④D. ③④ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若x ，y 满足约束条件101024x y x y x y −−≥⎧⎪+−≥⎨⎪−≤⎩,则y x 的最大值为_________14. 二项式()3nn x x−展开式的二项式系数为64，则二项式展开式中的常熟项为_______________15.边长为1的正方体ABCD-A'B'C'D',点P 为面对角线CD'上一点，则AP+BP 的最小值为.____________。

16. ∆ABC 中，22AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅,则sin C 的最大值为_______。

三、解答题(共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷"，并从我校随机选择了55名男生，45 名女生进行问卷调查.问卷调查的统计情况为:男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25:女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15。

根据调查结果制作了如下2×2列联表.(1)请将2×2的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关; (2) 从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望。

18. (本小题满分12分)如图2，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD, AB=2CD=2AD=43,将∆ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ,且26PB =. (1) 求证:平面APC ⊥平面ABC;(2)求二面角A —PB —C 的余弦值.19. (本小题满分12分)设数列{}n a 满足121,3a a ==，当1111(2)n n n n n a a a n a a −+−+=+++.(1) 计算34,a a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明 (2)求证:222124447+1+1+12n a a a +++<（）（）（）20. ( 本小题满分12分)已知点M(-2, 0)，N(2, 0)，点P 满足:直线PM 的斜率为k 1，直线PN 的斜率为k 2，且1234k k ⋅=− (1)求点P(x, y)的轨迹C 的方程;(2)过点F(1, 0)的直线l 交曲线C 于A, B 两点,问在x 轴上是否存在点Q,使得QA QB ⋅为定值?若存在，求出点Q 的坐标;若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分)已知()=e ,()ln xf x xg x x x =+(1)若()()()h x f x eg x =−，求()h x 的最大值;(2)若()()(2)1f x g x b x −≥−+恒成立，求b 的取值范围请考生在第22、23 两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。

如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) [选修4-4: 坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为=2ρ，直线l的参数方程为23x ty t=−−⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数).(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P (−,直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为A, B ，求11PA PB+ 的值.23. (本小题满分10分) [选修4-5: 不等式选讲] 已知函数()123f x x x =−+−. . (1) 求函数()f x 的最小值M;(2)若a >0, b >0, 且a +b =M, 证明:22111a b a b +≥++云南师大附中2021届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112答案 D C A C B A A B C B DB 【解析】1．由题意知，[35)A=，，(46)B=，，所以(45)A B=，，故选D．2．由题意知，iπe1cosπisinπ10+=++=，故选C．3．原式cos45cos15sin45sin15cos(4515)cos30=°°+°°=°−°=°=A．4．由题意知，双曲线的右焦点为0)F，双曲线的渐近线方程为y x=，即2y−0=，所以点0)F到渐近线的距离d=C．5．由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a为首项，公差为3−的等差数列，所以1989(3)2072a×+×−=，解得135a=，故选B．6．由茎叶图可知，甲年级的平均分主要集中在70多分，而且比较集中，而乙主要集中在80分以上，但是比较分散，故选A．7．如图1，()()()CA CB CO OA CO OB CO OA=++=+2222()()()||||3CO OA CO OA CO OA−=−=−=，故选A．8．圆的标准方程为22(3)(4)25x y−+−=，即圆是以(34)M，为圆心，5为半径的圆，且由22(03)(44)925−+−=<，即点(04)P，在圆内，则最短的弦是以(04)P，为中点的弦，所以22592AC=+，所以8AC=，过(04)P，最长的弦BD为直径，所以10BD=，且AC BD⊥，故而1402ABCDS AC BD==，故选B．图19．如图2，该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ，所以正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的，则24π3πS ，故选C ．10．由2()sin cos f x x x =，所以22()sin()cos ()sin cos ()f x x x x x f x −=−−=−=−，所以()f x 是奇函数；22(2π)sin(2π)cos (2π)sin cos ()f x x x x x f x +=++==，所以()f x 又是周期函数；22(π)sin(π)cos (π)sin cos ()f x x x x x f x −=−−==，所以()f x 关于直线π2x =对称；22(2π)sin(2π)cos (2π)sin cos ()f x x x x x f x −=−−=−=−，所以()f x 关于点(π0)，对称，即选项A ，C ，D 正确；又222222()(sin cos )sin (1sin )(1sin )f x x x x x x ==−− 32222sin (1sin )(1sin )12422327x x x −− =≤，当且仅当sin x =，max ()f x =B 选项错误，故选B ． 11．由题意知，令直线2px my =+，11()A x y ，，22()B x y ，，与抛物线C ：22y px =联立方程，消去x 得2220y pmy p −−=，由韦达定理知：122y y pm +=，212y y p =−，如图3所示，过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，记AB 的中点为I ，过I作抛物线准线的垂线，垂足为I ′，由||||AB AA ′=||2||BB II ′′+=，所以以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故A 正确；由12x x =212224p p p my my ++=   ，所以12122121212121111||||()222224x x p x x p p p p p p p AF BF x x x x x x x x ++++++ +++++++ 12122212122()()2424x x px x p p p p p p x x p x x ++++==+++++，故B 正确；由图，抛物线在第一象限的解析图2图3式为y =，所以y ′=，所以过点B抛物线的切线的斜率为1k =同理过点A抛物线的切线的斜率为2k =1212p k k =−=− ，所以两切线垂直，故C 正确；由1πtan 2m αα=≠，所以12||||||AB AF BF x x p =+=++= 22122212()2222(1)21tan sin p m y y p pm p p m p αα++=+=+=+= ； 如图，作OE 垂直AB 于E ，则22112sin22sin 22sin AOB p p p S AB OE ααα=== △ ，当π2α=时，经检验AOB S =△ 22sin p α亦成立，故D 错误，故选D ． 12．由2ln 2ln 4ln e 1=>=，故①正确；由2ln2ln e ln 2e 2e >⇔>，考察函数ln x y x =，21ln xy x −′=，所以当(0e)x ∈，时，0y ′>，即y 在(0e)，上单调递增，当(e )x ∈+∞，时，0y ′<，即y 在(e )+∞，上单调递减，所以e x =时，y 取到最大值1e ，所以ln2ln e2e <，故②错误；令0.2log 0.4a =，2log 0.4b =，所以0.40.40.411log 0.2log 2log 0.41a b+=+==，所以a b ab +=，即0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4+= ，故③正确；由4372401219713=>=，所以133log 74>，由41328561=<32979131=，所以313log 134<，故④错误，故选B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．约束条件所表示的线性区域，如图4所示，由0y y x x −=−，即区域中的点与原点O 的斜率，所以OA 的斜率即为yx的最大值，又有点A 的坐标为(32)，，则y x 的最大值为23． 图414．由3n n x x −展开式的二项式系数为2n ，即264n =，所以6n =，则二项式为62x x− ，故展开式中的常数项为33362C 160x x−=−．15．如图5甲，将等边ACD ′△沿CD ′向后旋转到与面A BCD ′′共面，得到等边1A CD ′△，则AP BP +的最小值即为图乙中线段1A B 的长，取A B ′的中点I ，由题意知：等边ACD ′△的边长为，A BCD ′′是以1BC =，A B ′=的矩形，所以1A B ===16．由题意知，2221cos ()2AB AC bc A b c a ==+− ，同理，2221()2BA BC a c b =+− ，2221()2CA CB a b c =+− ，故由已知，2222222222()3()b c a a c b a b c +−++−=+−，即22223a b c +=，由22222221(2)3cos 22a b a b a b c C ab ab+−++−==36a b b a =+≥所以sin C =当且仅当::a b c =时取等号，所以sin C 的最大． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）补充22×的列联表如下：更擅长理科其他 合计 男生 22 33 55 女生 9 36 45 合计3169100图5所以22100(2236933)100334.628 3.841554531693123K ××−××==≈>××××，所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关．…………………………………………………（6分）（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科， 所以X 的可能取值为0，1，2，故022325C C 3(0)C 10P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，202325C C 1(0)C 10P X ===， 所以X 的分布列为所以3314()012105105E X =×+×+×=． ……………………………（12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：由等腰梯形22AB CD AD ===，则60ABC ∠=°， 又2AB BC =，所以AC BC ⊥①， 又PC BC ==PB = 则222CB CP PB +=， 所以BC CP ⊥②， 又AC CP C = ③，由①②③知，BC ⊥平面APC ，所以平面APC ⊥平面ABC ．…………………………………………………………（6分）（2）解：如图6，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ， 则AECD 为菱形，且60DAE ∠=°， 则AC DE ⊥，记垂足为O ， 由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ， 又PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，同理，EO ⊥平面APC ，所以OA ，OE ，OP 两两垂直，图6如图7，建立分别以OA ，OE ，OP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系， 则6AC =，DO =，所以(300)A ，，，(30)B −，，(300)C −，，，(00P ，，所以(3BP =− ，，(60)BA =− ，，(00)BC =− ，，设平面ABP 的法向量为1111()n x y z =，，， 所以1100BA n BP n = =，，即111116030x x −= −+=，，令1y =111x z = = ，所以平面ABP的一个法向量为1(1n =； 设平面CBP 的法向量为2222()n x y z =，，， 所以2200BC n BP n = =，，即2222030x −= −+=，，令2z =2210x y =− = ，，所以平面CBP的一个法向量为2(10n −，；令二面角A PB C −−为θ，有题意知θ为钝角，所以1212||cos ||||n n n n θ=− ，所以二面角A PB C −−的余弦值为 ………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （1）解：由11a =，23a =， 所以123121(22)5a a a a a +=++=+，234231(32)7a a a a a +=++=+． 图7猜想：21na n =−， 证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立； 假设(2)n k k =≥时成立，即21k a k =−， 所以1111(2)212(1)1k k k k k a a a k k k a a −+−+=++=+=+−+，即当1n k =+时成立， 综上所述，21n a n =−． …………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）知，2241(1)n a n =+， 所以22222212444111(1)(1)(1)12n a a a n +++=++++++ (222111)121311n <++++−−−…11111324(1)(1)n n =++++××−+… 111111111111232435211n n n n =+−+−+−++−+− −−+ …11117112214n n =++−−< + ，证毕．…………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意知：1(2)2y k x x =≠−+，2(2)2yk x x =≠−，由1234k k =− ，即3(2)224y y x x x =−≠±+− ， 整理得点()P x y ，的轨迹C 的方程为221(2)43x y x +=≠±．…………………………………………………………（4分）（2）假设在x 轴上存在点0(0)Q x ，，使得QA QB为定值．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =−≠， 联立方程22143(1)x y y k x += =−，，消去y 得2222(34)84120k x k x k +−+−=，令11()A x y ，，22()B x y ，，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k −=+ ， 由101()QA x x y =−，，202()QB x x y =− ，，所以2102012102012()()()()(1)(1)QA QB x x x x y y x x x x k x x =−−+=−−+−−2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+−++++ 22002(58)1234x k x k−+−=++， 将0x 看成常数，要使得上式为定值，需满足05816x +=，即0118x =， 此时13564QA QB =−； 当直线l 的斜率不存在时，可得312A ，，312B −，，1108Q，，所以3382QA =− ，，3382QB =−− ，，13564QA QB =− ， 综上所述，存在1108Q，，使得QA QB 为定值．…………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）有题意知，()e e(ln )x h x x x x =−+，(0)x ∈+∞，， 所以，1e ()(1)e e 1(1)e x x h x x x x x′=+−+=+−，所以，当(01)x ∈，，()0h x ′<，即()h x 在(01)，上单调递减， 当(1)x ∈+∞，，()0h x ′>，即()h x 在(1)+∞，上单调递增， 故()(1)0h x h =≥，所以()h x 的最小值为0．…………………………………………………………（4分）（2）原不等式等价于e (ln )(2)1x x x x b x −+−+≥， 即e ln 1x x x x bx +−−≥，在(0)x ∈+∞，上恒成立等价于e ln 1x x x x b x +−−≥，在(0)x ∈+∞，上恒成立．令e ln 1()x x x x t x x +−−=，(0)x ∈+∞，， 所以22e ln ()x x xt x x +′=， 令2()e ln x x x x ϕ=+，则()x ϕ为(0)+∞，上的增函数， 又当0x →时，()x ϕ→−∞，(1)e 0ϕ=>，所以()x ϕ在(01)，存在唯一的零点0x ，即0200e ln 0x x x +=，由0200e ln 0x x x +=⇔001ln 0000ln 1e ln e x x x x x x =−=，又有e x y x =在(0)+∞，上单调递增， 所以0001lnln x x x ==−，001e x x =，所以0000min00e ln 1[()]()2x x x x t x t x x +−−===， 所以2b ≤． …………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由222x y ρ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，由2x t y =−− =，(t 为参数)， 消去t 得直线l0y +=．…………………………………………………………（5分）（2）由题意知，关于点(2P −，的直线l的参数方程为22t x y=−−=，，(t 为参数)， 代入曲线C 的直角坐标方程得211270t t ++=，又121108130∆=−=>，所以方程有两个不同的解1t ，2t ， 又12110t t +=−<，12270t t => ， 所以1200t t <<，， 有1t ，2t 的几何意义可知，1212121211111111||||||||27t t PA PB t t t t t t ++=+=−+=−=．…………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （1）解：由绝对值三角不等式可知：()|1|2|3|1||3||13|2f x x x x x x x =−+−−+−−+−=≥|≥， 当且仅当3x =时，两个不等式同时取等号， 所以()f x 的最小值2M =．……………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）知，2a b +=，则(1)(1)4a b +++=， 所以22(11)(11)11(1)2(1)21111a b a b a b a b +−+−+=+−+++−+++++ 11(11)1114a b a b ++++ ++ =， 当且仅当1a b ==，不等式取等号，所以22111a b a b +++≥．…………………………………………………………（10分）。