线性规划问题的标准型

ï ï
( ) -3x1' + x2 - 3 x3' - x3'' = 5
îï x1' ³ 0, x3' ³ 0, x3'' ³ 0, x4 ³ 0, x5 ³ 0
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非标准型转化举例（一）
max z = 70x1 +120x2
ì ï
9x1 + 4x2 £ 360
ï s.t. í
4x1 + 5x2 £ 200
ï 3x1 +10x2 £ 300
ï î
x1³ 0, x2 ³ 0 max z = 70x1 +120x2
ì ï
9x1 + 4x2 + x3 = 360
ï s.t. í
大值 不等式约束的转化:
åaij xij £ bi加入松弛变量
åaij xij ³ b减i 去剩余变量
当约束条件中第个方程出现ai1x1+ai2x2+…+ainxn≥bi时， 则减去一个“松弛变量”xi1≥0，使它成为等式ai1x1+ ai2x2+…+ainxn − xi1=bi。
8
2.1.2 非标准型线性规划问题的标准化
min z = 3x1 - 2x2 + 4x3
ì ï
2x1 + 3x2 + 4x3≥ 300
ïï s.t.í
x1 + 5x2 + 6x3 ≥ 400
ï x1 + x2 + x3≥ 200
ï îï
x1≥ 0, x2 ≥ 0, x3
2.1.2 非标准型线性规划问题的标准化
解 按照前面的变换方法，执行下列步骤。 ①将min z转化为max (−z)。 ②令x3 = x'3− x"3，且x'3≥0，x"3≥0。 ③将第一个约束方程的左边减去一个非负 的松弛变量x4，将第2、第3个约束方程的 左边分别加上一个非负的松弛变量x5和x6 ④这样，可以将原来的线性规划问题标准 化为
ï ï î
3x1 + x2 -
(( )) x1£ 0, x2
3x3 = 5 ³ 0, x3
max
ì ï
z
=
x1' - 2x2 + - x1' + x2
3 -
x3' - x3'' x3' - x3''
+ x4 = 9
ï ï s.t. í
( ) x1' - 2x2 + x3' - x3'' - x5 = 2
第2章 线性规划单纯形法
线性规划单纯形法
2.1 线性规划问题的标准型
2.2 改进的单纯形法和对偶问题
2.3 线性规划问题的应用案例
2.4
单纯形法的原理
2.5 线性规划问题的Excel处理
2.1 线性规划问题的标准型
由上一章可知，线性规划模型有各种不同的形 式；即目标函数可以求极大值，也可以求极小值； 约束条件可以是等式也可以是不等式，不等号可 以是“≤”也可以是“≥”；决策变量一般是非 负的，但在理论模型中可能会允许在区间（−∞， +∞）内取值。
4x1 + 5x2 + x4 = 200
ï
3x1 +10x2 + x5 = 300
ï î
x1³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0, x4 ³ 0, x5 ³ 0
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非标准型转化举例（二）
min z = x1 + 2x2 - 3x3
ì ï
x1 + x2 + x3 £ 9
ï s.t. í
-x1 - 2x2 + x3 ³ 2
为适应通用的代数求解方法，将不同形式的线 性规划模型转化为统一的标准形式是十分必要的。
3
2.1 线性规划问题的标准型
一般线性规划问题的标准型为（SLP）
代
max z = CX
数 式
ì s.t.í
AX
=
B
：
îX,B≥ 0
4
2.1 线性规划问题的标准型
矩阵式：
5
2.1 线性规划问题的标准型
和式：
向量式：
6
2.1 线性规划问题的标准型
标准型有以下4个特征 1. 目标函数值总为求最大。 2. 约束条件全为线性等式。 3. 约束条件右端常数项全部为非负数。 4. 决策变量全大于或等于零。
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2.1.2 非标准型线性规划问题的标准化
目标函数极小化转为极大化： minZ=-max(-Z)，求z的最小值就是求−z的最
当决策变量xj不满足xj≥0时，则增加两个新的 非负决策变量xj’≥0和xj"≥0，用xj’-xj"替代 xj，即令xj=xj’-xj"。 当约束条件中第i个方程右端出现常数项bi＜0 时，则在方程两边同时乘(-1)，得到bi＞0。
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2.1.2 非标准型线性规划问题的标准化
例2.1 将下列非标准型线性规划问题化 为标准型。