勾股定理专题训练--折叠问题--课件
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八年级下册数学习题专题训练利用勾股定理解决折叠与展开问题PPT公开课
品．陈莉同学制作手工作品的前两个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD；
类型二 利用勾股定理解决立体图形的展开问题
②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．请你根据①②步骤计算EC，FC的长．
专题训练 利用勾股定理解决折叠与展开问题
5．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，BC′
1．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，
折痕为AD，则CE的长为(
)
A．3 B．4 C．5 D．6
C．2 cm D．3 cm
类型二 利用勾股定理解决立体图形的展开问题
A．3 B．4 C．5 D．6
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝5 cm，BC＝10 cm， 将△ ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 CD 的长为( D ) A．225 cm B．125 cm
C．245 cm D．145 cm
解：由题意得DE＝FE，AD＝AF.
A．3 B．4 C．5 D．6
交AD于点E，若AB＝4，AD＝8，则DE的长为(
)D
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 是 AB 边的中点，F 是线段 BC 上的运动点，将△ EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△ EB′F，连 接 B′D，则 B′D 的最小值是( A ) A．2 10 －2 B．6 C．2 13 －2 D．4
____________．
11．为庆祝国庆节，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作
2024八年级数学下册练册第4招巧用勾股定理解决折叠问题课件新版新人教版
(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；
【证明】由题意知AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE.
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC.∴∠AEF＝∠CFE.
∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF.
∴AE＝AF＝CE＝CF.
(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出a，b，c三者之间的数
量关系式.
【解】由题意知AE＝CE＝a.
人教版八年级下
第4招
巧用勾股定理解决折叠
问题
利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤： 1.运用折叠图
形的性质找出相等的线段或角； 2.在图形中找到一个直角三
角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的
三边长用数或含有x的式子表示出来；3.利用勾股定理列方程
求出x；4.进行相关计算解决问题.
如图，纸片ABCD为长方形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B
在Rt△A'B'E中，A'B'＝AB＝4，A'E＝
AE＝3，
∴B'E 2 ＝A'B' 2 ＋A'E 2 ＝4 2 ＋3 2 ＝25.
∴B'E＝5.∴BF＝B'E＝5.
巧用方程思想求折叠中线段的长
3.[2023·成都七中期中]已知：如图，在边长为12的正方形
ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将△DCE沿DE折叠
由勾股定理得x2＋62＝(8－x)2，
解得x＝ .
即CE的长为 .
(2)如图②，如果点B'是AC的中点，求CE的长.
【解】∵点B'是AC的中点，
∴CB'＝ AC＝3.
【证明】由题意知AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE.
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC.∴∠AEF＝∠CFE.
∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF.
∴AE＝AF＝CE＝CF.
(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出a，b，c三者之间的数
量关系式.
【解】由题意知AE＝CE＝a.
人教版八年级下
第4招
巧用勾股定理解决折叠
问题
利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤： 1.运用折叠图
形的性质找出相等的线段或角； 2.在图形中找到一个直角三
角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的
三边长用数或含有x的式子表示出来；3.利用勾股定理列方程
求出x；4.进行相关计算解决问题.
如图，纸片ABCD为长方形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B
在Rt△A'B'E中，A'B'＝AB＝4，A'E＝
AE＝3，
∴B'E 2 ＝A'B' 2 ＋A'E 2 ＝4 2 ＋3 2 ＝25.
∴B'E＝5.∴BF＝B'E＝5.
巧用方程思想求折叠中线段的长
3.[2023·成都七中期中]已知：如图，在边长为12的正方形
ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将△DCE沿DE折叠
由勾股定理得x2＋62＝(8－x)2，
解得x＝ .
即CE的长为 .
(2)如图②，如果点B'是AC的中点，求CE的长.
【解】∵点B'是AC的中点，
∴CB'＝ AC＝3.
勾股定理专题训练折叠问题PPT课件
纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8 AD,点D落在BC边上的点F处,
㎝。现将直角边AC沿直线AD折 已知AB=8CM,BC=10CM,求
叠，使它落在斜边A突B破上重，点且：学与生动手1.折CF叠、观2.E察C，.
AE重合，求CD的长．将变已换知中量的折和叠未A知找量到通相过等图的形线
D
A
段转换到 一个直角三角形中。
顶点B与学教生师顶小适点组当合引D重作导，，合也然在就后是各一通抒起过己辅见,助，EF为折 痕。AB线=构3,造B直C角=9三,角试形求得到：等以线段E代F为边
长正方换个形。直的将角已三面知角积量形和中？未利知用量勾转股E 化定到理一找
到解决问题的A 突破点。通过这道
D
小组题问合让题作学，生加知深道学用生方对程勾思股想定来理1解 和0 决转
.
4
说教学目标
(1)知识与技能
理解折叠问题的实质，建立方程思想，找 到解决的突破口。
(2)过程与方法
经历观察、比较折叠的过程，在讨论类比中 探索勾股定理解决折叠问题。
(3)情感态度与价值观
锻炼学生的应用能力，感受数学带来的乐趣。体现 数学与生活的紧密联系。
.
5
说教学重难点
教学重点
探究折叠前后图形的变化及元素的对应关系。
人教版八年级数学下册 《勾股定理专题训练-折叠问题》
.
1
教材分析学情分析教/学法分析教学程序
五 教学反思
四
教学程序
三 教、学法分析
二
学情分析
一
教材分析
.
2
说教材
本节教材是人教版数学八年级下册第18章内容，是在掌握勾股 定理及逆定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材注重培养 学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过分析，使学生获 得较为直观的印象,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。折 叠问题在中考中的应用也日趋突出。（举例）
2022八年级数学上册第一章勾股定理专项1利用勾股定理解决折叠问题作业课件新版北师大版2022120
A.6 cm2
C.10 cm2
)
B.8 cm2
D.12 cm2
答案
3.A 由题意可知BE=ED.设AE=x cm,则BE=(9-x)cm.在Rt△ABE中,根据勾股定理可知,A
1
1
(9-x)2,解得x=4,即AE=4 cm,所以△ABE的面积为2×AB×AE=2×3×4=6(cm2).
类型2
长方形中的折叠问题
△ABC沿MN折叠,使得点C与点A重合,求折痕MN的长.
答案
2.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,
因为AB=AC=5,BC=6,
所以BD=CD=3,所以AD=4.
因为将△ABC沿MN折叠,使得点C与点A重合,
1
5
所以AM=CM,AN=2AC=2,MN⊥AC.
设AM=CM=x,则MD=x-3,
在Rt△ADM中,由勾股定理得,AD2+MD2=AM2,
在长方形纸片ABCD中,AD∥BC,
所以∠B'EF=∠BFE,
所以∠B'FE=∠B'EF,易得B'F=B'E,
所以B'E=BF.
(2)a,b,c之间的关系是a2+b2=c2.理由如下:
由(1)知B'E=BF=c,
由折叠的性质,得∠A'=∠A=90°,A'E=AE=a,A'B'=AB=b.
在△A'B'E中,∠A'=90°,
AC2=AD2+CD2,所以AB2-AC2=AD2+BD2-AD2-CD2=BD2-CD2=(BD+CD)(BDCD)=BC·BE.因为BC=8,BE=2,
所以AB2-AC2=8×2=16.
C.10 cm2
)
B.8 cm2
D.12 cm2
答案
3.A 由题意可知BE=ED.设AE=x cm,则BE=(9-x)cm.在Rt△ABE中,根据勾股定理可知,A
1
1
(9-x)2,解得x=4,即AE=4 cm,所以△ABE的面积为2×AB×AE=2×3×4=6(cm2).
类型2
长方形中的折叠问题
△ABC沿MN折叠,使得点C与点A重合,求折痕MN的长.
答案
2.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,
因为AB=AC=5,BC=6,
所以BD=CD=3,所以AD=4.
因为将△ABC沿MN折叠,使得点C与点A重合,
1
5
所以AM=CM,AN=2AC=2,MN⊥AC.
设AM=CM=x,则MD=x-3,
在Rt△ADM中,由勾股定理得,AD2+MD2=AM2,
在长方形纸片ABCD中,AD∥BC,
所以∠B'EF=∠BFE,
所以∠B'FE=∠B'EF,易得B'F=B'E,
所以B'E=BF.
(2)a,b,c之间的关系是a2+b2=c2.理由如下:
由(1)知B'E=BF=c,
由折叠的性质,得∠A'=∠A=90°,A'E=AE=a,A'B'=AB=b.
在△A'B'E中,∠A'=90°,
AC2=AD2+CD2,所以AB2-AC2=AD2+BD2-AD2-CD2=BD2-CD2=(BD+CD)(BDCD)=BC·BE.因为BC=8,BE=2,
所以AB2-AC2=8×2=16.
专题训练二--利用勾股定理解决折叠问题(共13张PPT)
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子
陕西省八年级数学上册第1章专项突破练1利用勾股定理解决折叠问题pptx课件新版北师大版
1
2
3
4
5
6
7
D
)
8
9
2. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝8， BC ＝4，
点 E ， F 分别是直角边 AB 和斜边 AC 上的点，把△ ABC
沿着直线 EF 折叠，点 A 恰好落在 BC 边的中
点 D 上，则线段 BE 的长度为
1
2
3
4
5
6
7
.
8
9
3. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝3， BC ＝
EF 折叠，使 D 点与 BC 边的中点D'重合.若 BC ＝8， CD
＝6，则 CF 的长为123.45
6
7
8
9
7. [2024西安铁一中二模]如图，已知四边形 ABCD 是长方
形， CD ＝3，在 CD 上存在一点 E ，沿直线 AE 将△ AED
折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，且 S△ AFB ＝6，则
B'处，B'C交 AB 于 D ，则B'D的最大值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.
题型2 四边形中的折叠问题
5. 如图，将长16 cm，宽8 cm的矩形纸片 ABCD 折叠，使点
A 与点 C 重合，则 EC 的长等于
1
2
3
4
5
6
10
7
8
cm.
9
6. [2024济宁任城区阶段练习]如图，将长方形纸片 ABCD 沿
2
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D
)
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2. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝8， BC ＝4，
点 E ， F 分别是直角边 AB 和斜边 AC 上的点，把△ ABC
沿着直线 EF 折叠，点 A 恰好落在 BC 边的中
点 D 上，则线段 BE 的长度为
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3. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝3， BC ＝
EF 折叠，使 D 点与 BC 边的中点D'重合.若 BC ＝8， CD
＝6，则 CF 的长为123.45
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7. [2024西安铁一中二模]如图，已知四边形 ABCD 是长方
形， CD ＝3，在 CD 上存在一点 E ，沿直线 AE 将△ AED
折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，且 S△ AFB ＝6，则
B'处，B'C交 AB 于 D ，则B'D的最大值为
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题型2 四边形中的折叠问题
5. 如图，将长16 cm，宽8 cm的矩形纸片 ABCD 折叠，使点
A 与点 C 重合，则 EC 的长等于
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cm.
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6. [2024济宁任城区阶段练习]如图，将长方形纸片 ABCD 沿
专题：勾股定理折叠问题 PPT课件
∴Rt△EAD和Rt△EB′D ∴B′D=AD=6． 分析：当∠BFE=∠EFD，点B′在FD上时，根据三角形的 三边关系，此时B′D的值最小，易证△AED≌△B′ED， B′D=AD=6． 点评：本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与
性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时， B′D的值最小，是解决问题的关键．
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x， OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值 范围；
如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2，
3、某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动. 活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处， FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：△AEF的边AE= cm，EF= cm； 乙：△FDM的周长为16 cm； 丙：EG=BF. 你的任务：
5、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落 在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时， B′D的值最小，是解决问题的关键．
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x， OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值 范围；
如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2，
3、某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动. 活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处， FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：△AEF的边AE= cm，EF= cm； 乙：△FDM的周长为16 cm； 丙：EG=BF. 你的任务：
5、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落 在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
勾股定理在折叠问题应用课件
（3）请谈一谈我们解决这个问题的思路和方法。
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边
AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求
CD的长．
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
8
解题步骤
1、标出已知量和未知量。 2、利用折叠的性质，找出相等的量。 3、设出未知数，将已知边和未知边（用含x 的代数式表示）转化到同一直角三角形中表 示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
长方形中的折叠
例2：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边 的点F处，AE为折痕。已知AB=CD=8cm， BC=AD=10cm，求EC的长。
A
10
D
心得：先标已知量和未知量，再
找出相等的量，设出未知数把条
8
B
10 6
10
E
8-x ？x
F 4C
件集中到一个Rt△中，根据勾股 定理得方程。
如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将
矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部
分△BFD的面积。
解：42+x2=(8- A
8
D
x)2 X=3 8-X=5
8-x
4
B S△BFD=5×4÷2=10
； 3、设未知，利用勾股定理，列方程； 4、解方程，得解。
结束寄语
“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞。” 同学们，愿你们在数学的王国里 遨游的更远、更广！祝你们学习 更上一层楼！
腰屯中学：信红霞
动手操作
思考: 折纸过程中你发现了什么？
探究一：折叠三角形问题
如图，小颖同学折叠一个直角三角形的纸片，
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边
AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求
CD的长．
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
8
解题步骤
1、标出已知量和未知量。 2、利用折叠的性质，找出相等的量。 3、设出未知数，将已知边和未知边（用含x 的代数式表示）转化到同一直角三角形中表 示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
长方形中的折叠
例2：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边 的点F处，AE为折痕。已知AB=CD=8cm， BC=AD=10cm，求EC的长。
A
10
D
心得：先标已知量和未知量，再
找出相等的量，设出未知数把条
8
B
10 6
10
E
8-x ？x
F 4C
件集中到一个Rt△中，根据勾股 定理得方程。
如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将
矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部
分△BFD的面积。
解：42+x2=(8- A
8
D
x)2 X=3 8-X=5
8-x
4
B S△BFD=5×4÷2=10
； 3、设未知，利用勾股定理，列方程； 4、解方程，得解。
结束寄语
“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞。” 同学们，愿你们在数学的王国里 遨游的更远、更广！祝你们学习 更上一层楼！
腰屯中学：信红霞
动手操作
思考: 折纸过程中你发现了什么？
探究一：折叠三角形问题
如图，小颖同学折叠一个直角三角形的纸片，
专题：勾股定理折叠问题 PPT课件
的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC 20cm宽，AB 16cm
的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落
在BC边上的F处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：
（1）找出图中∠FEC的余角；
A
D
（2）计算EC的长．
E
B
FC
３．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，现将A、
二、矩形的折叠
１．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD， 再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1， 求AG。
D
C
• A´
AG
B
2.为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的
庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都
在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品
5、动ห้องสมุดไป่ตู้操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落 在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，
①求DF的长；
②求重叠部分△AEF的面积；
③求折痕EF的长。
Ｄ´
④着色部分的面积为多少？ Ａ
ＦＤ
ＢＥ
Ｃ
人教部初二八年级数学下册 利用勾股定理解决折叠问题 名师教学PPT课件
∠1=∠2, CF=C'F
∴BF+CF=BF+C'F=8 设BF=x,则C'F=8-x 在Rt△BFC'中，由勾股定理得 x2-（8-x）2=16 解得x=5，BF=5
又∵AD∥BC ∴∠2=∠3
又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴BE=DE=BF=5
∴AE=AD-DE=8-5=3
A
E
D
3
B
F
C
C'
导入
八年级-下册十七 章17.1节
课题：利用勾股定理解决折叠问题
难点名称：找规律和目标三角形
参赛教师：陈雪 时间：2020.8.18
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小节
2
1、折叠角 2、折叠线段
பைடு நூலகம்
顶点落在对边上
沿对角线折叠
不相邻的两顶点重合
活动与探究 知识讲解
（温馨提示：规范操作、注意安全）
解析：由折叠关系知，AD'=AD= 4 , CD'=CD= 2 , ∠1=∠2
又∵AD∥BC ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3
∴AF=FC
∴FC+FD'=AF+FD'=AD'=4
设FC=x，则FD'= 4 -x
A 1
2
B
F
D
3 C
D'
在Rt△CFD'中，由勾股定理得 FC2-FD'2=CD'2，即x2-（4 -x）2= 4
解题步骤
1.
标出已知，标出问题；
2. 3.
利用折叠，找相等关系；
明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x. （用含 x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来；
∴BF+CF=BF+C'F=8 设BF=x,则C'F=8-x 在Rt△BFC'中，由勾股定理得 x2-（8-x）2=16 解得x=5，BF=5
又∵AD∥BC ∴∠2=∠3
又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴BE=DE=BF=5
∴AE=AD-DE=8-5=3
A
E
D
3
B
F
C
C'
导入
八年级-下册十七 章17.1节
课题：利用勾股定理解决折叠问题
难点名称：找规律和目标三角形
参赛教师：陈雪 时间：2020.8.18
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小节
2
1、折叠角 2、折叠线段
பைடு நூலகம்
顶点落在对边上
沿对角线折叠
不相邻的两顶点重合
活动与探究 知识讲解
（温馨提示：规范操作、注意安全）
解析：由折叠关系知，AD'=AD= 4 , CD'=CD= 2 , ∠1=∠2
又∵AD∥BC ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3
∴AF=FC
∴FC+FD'=AF+FD'=AD'=4
设FC=x，则FD'= 4 -x
A 1
2
B
F
D
3 C
D'
在Rt△CFD'中，由勾股定理得 FC2-FD'2=CD'2，即x2-（4 -x）2= 4
解题步骤
1.
标出已知，标出问题；
2. 3.
利用折叠，找相等关系；
明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x. （用含 x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来；
八年级数学上册 专题复习十四 利用勾股定理解决折叠问题课件
得 GF＝(8－x)cm，在 Rt△EFG 中，EF2＝GF2＋EG2， ∴x2＝(8－x)2＋62，∴x＝245，∴EF＝245 cm
第九页，共十页。
内容(nèiróng)总结
专题(十四) 利用勾股定理解决折叠问题(wèntí)。A．3 B．4 C．6 D．8。2．如图，有一块直角 三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝ ____．。2≤x≤6
解：∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，∴AC＝
AB2－BC2＝8.由折叠知 AE＝EC＝4，易知点 D 为 AB 的中点，则 DE＝21BC＝3，BD＝12AB＝5，∴四边形 DBCE 的周长为 BD＋DE＋EC＋BC＝5＋3＋4＋6＝18
第四页，共十页。
类型二 折叠长方形 4．如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的 中点 C′上，若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为( A ) A．4 B．3 2 C．4.5 D．5
专题(zhuāntí)(十四) 利用勾股定理解决折叠问题
第一页，共十页。
类型(lèixíng)一 折叠直角三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是BC的中点，E为AB上的一点，沿DE翻 折△BDE，点B正好与点C重合，连结CE，若AE＝3，BE＝5，则边AC的长为( ) A．3 B．4 C．6 D．B 8
第六页，共十页。
6．如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠(zhédié)，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知 CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积．
解：由折叠(zhédié)可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，故
AF＝AD，EF＝DE＝DC－CE＝8－3＝5，∴CF＝4，设 BF＝x cm，则AF＝AD＝BC＝x＋4.在Rt△ABF中，由勾 股定理得82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6，故BC＝10，∴阴
第九页，共十页。
内容(nèiróng)总结
专题(十四) 利用勾股定理解决折叠问题(wèntí)。A．3 B．4 C．6 D．8。2．如图，有一块直角 三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝ ____．。2≤x≤6
解：∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，∴AC＝
AB2－BC2＝8.由折叠知 AE＝EC＝4，易知点 D 为 AB 的中点，则 DE＝21BC＝3，BD＝12AB＝5，∴四边形 DBCE 的周长为 BD＋DE＋EC＋BC＝5＋3＋4＋6＝18
第四页，共十页。
类型二 折叠长方形 4．如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的 中点 C′上，若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为( A ) A．4 B．3 2 C．4.5 D．5
专题(zhuāntí)(十四) 利用勾股定理解决折叠问题
第一页，共十页。
类型(lèixíng)一 折叠直角三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是BC的中点，E为AB上的一点，沿DE翻 折△BDE，点B正好与点C重合，连结CE，若AE＝3，BE＝5，则边AC的长为( ) A．3 B．4 C．6 D．B 8
第六页，共十页。
6．如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠(zhédié)，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知 CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积．
解：由折叠(zhédié)可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，故
AF＝AD，EF＝DE＝DC－CE＝8－3＝5，∴CF＝4，设 BF＝x cm，则AF＝AD＝BC＝x＋4.在Rt△ABF中，由勾 股定理得82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6，故BC＝10，∴阴
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方法，体现了数学源于生活，并用于生活。
12
B
B
学后反思：
学生通过自我评价及形成性评价逐渐养成了正确的价 值观和科学的学习观，同时也养成了良好的反思习惯。
课堂小结：归纳折叠问题的解题步骤： （1）标（已知、未知量） （2）设（未知数） （3）找（找直角三角形） （4）换（转换） （5）列（方程）
板书设计：
说教学过程
教学流程图
学 后反思
学习 检测
质 疑导学
合作学习
自学展示
自学展示
荷花问题 平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立, 忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前, 花离原位二尺远; 能算诸君请解题, 湖水如何知深浅.
体现文理结合的思想 激发学生学习的兴趣， 用课件展示图形动态 变化的直观性，刺激 学生的学习热情。 引
长正方换个到形。直解的将角决已三问面知角题积量形的A和中突？未利破知用点量勾。转股通E化定过到理这一找道
D
小组题问合让题作学，生加知深道学用生方对程勾思股想定来理1解和0决转
化思想的理解与应用。
B 教师适当引导
HF
C
G
学习检测
台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、
宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台
D
认识，并能B 够从总结出
的方法中学会解决问A题。
E
D
也为质疑导学做铺垫。
是方程思想在勾股定理
A
中的应用得到升华。
E
B
C
质疑导学
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使
顶点B与学教生师顶小适点组当合引D重作导，，合也然在就后是各一通抒起过己辅见,助，EF为折
痕。AB线=构3,造B直C角=9三,角试形求得到：等以线段E代F为边
AE重合，求CD的长．过图形变换中A 的折叠找到相
D
A
等的线段转换到 一个直角三
E
角形中。最终运用本章学习
的勾股定理求得线段的长度，
E
做到用数形结合来解决几何
CＤ
பைடு நூலகம்
第8题图
B
问题。 B
F
C
解题步骤:
1、标已知，标问题，明确目标在 哪个 直角 三角形中，设适当的未知数x。
2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转换到同一直角三角形中表示出来。
在现实情境中捕捉折叠三角形和四 边形，构造直角三角形，在实际问题中 学会运用勾股定理转化为方程的思想来 解决问题。
说教法、学法
1、教法
根据本课内容特点和八年级学生思维活动特 点，我采用了合作探究教学法，逐步渗透教 学法和师生共研相结合的方法。
2、学法
新课改提倡以学生发展为本，引导学生主动 探究新知，合作交流，体现学习的自主性， 从不同层次发掘学生的创新精神。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
变式1
变式2：
如图，小颍同学折叠一个 如图，在矩形ABCD中，
直B知能重角A求合C三出=，1角C0折Ec形的m变边巩这痕的，长式 形 固 一为纸B吗训折类，DC片？E=练叠问目，，6c是问题的若使m对题有是,已A你三的更使与角全练学B折重形面习生C=叠叠四的和对8，，部C点分D=△C4落，B在E将DC的矩′C面形处’积沿，B求D：
阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B
立点足去于吃学可生口的的认食知物基.请础你来想选一择想身，边这的只素蚂材蚁从A点
进出行发教，学沿，着将台立阶体面图爬形到转B点化，为最平短面线图路形是构多少？
成直角三角A形，利用勾股定理解决问题，
培养学生空间想像5 能力。使教学A 内容充满5
C
趣味性和吸引力，使学3 生在轻松愉悦的学 习氛围中理解了用勾1股定理解决际问题的
本节课由情景创设激发学生学习兴趣，再解决问题的过程 中弄清楚问题的本质，借助运动、变化的直观现象，在边演示、 边思考的过程中推进对知识的理解。
本节课的亮点是题型设计的有梯度，由易到难。并且能将 本章知识点汇集到一起。使学生有综合性的练习。不足之处是 学生在折叠问题中不能快速的锁定直角三角形，应用定理解决 实际问题还应多练，我的教学没有彻底放开和新的课程理念的 要求存在着差距，在教学时没有照应到所有学生。
教材分析学情分析教/学法分析教学程序
五 教学反思 四 教学程序 三 教、学法分析 二 学情分析 一 教材分析
说教材
本节教材是人教版数学八年级下册第18 章内容，是在掌握勾股定理及逆定理的 基础上对勾股定理的应用之一。教材注 重培养学生的动手操作能力和分析问题 的能力。通过分析，使学生获得较为直 观的印象,了解勾股定理在实际生活中的 广泛应用。折叠问题在中考中的应用也 日趋突出。（举例）
勾股定理（折叠问题）
板书的设计让学生对本
解题步节骤课：的（重1）点标一（目已了知然、未，知量）
以提高（学2生）的设记（未忆知效数率），
从而更（好3的）达找（到找本直节角课三角形） D E
C
的（（教45学））目换列（（标转方。换程））
F
A
B
今
日 课本P39习题第12 作 题、第13题。
业
说教学反思：
出方程思想：
0.5 2
x
x+0.5
合作学习
例1、如图，一块直角三角形的 例2：折叠矩形ABCD的一边
纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8 AD,点D落在BC边上的点F处,
㎝。现将直角边AC沿突直破线重AD点折：学已生知动A手B折=8叠CM、,BC=10CM,求
叠，使它落在斜边AB观上察，，且将与已知量1.和CF未知量2.E通C.
说学情
八年级的学生已经具备了一定的几何知识基 础。从心理和生理特征都比较喜欢较为直观且能 吸引他们的内容。在本节内容之前，学生已经能 准确的理解勾股定理及逆定理的内容，同时也具 备了建立数学模型的能力。但学生探究问题的能 力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的 联系还不明确，特别是用方程的思想解决数学问 题还有困难，自主学习能力也有待于加强。
说教学目标
(1)知识与技能
理解折叠问题的实质，建立方程思想，找 到解决的突破口。
(2)过程与方法
经历观察、比较折叠的过程，在讨论类比中 探索勾股定理解决折叠问题。
(3)情感态度与价值观
锻炼学生的应用能力，感受数学带来的乐趣。体现 数学与生活的紧密联系。
说教学重难点
探究折叠前后图形的变化及元素 的对应关系。