电磁仿真算法中的有限元法

1电磁仿真算法中的有限元法

1.1常规的电磁计算方法简介

从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。

⑴矩量法

矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。

(2)单矩法

单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。

(3)时域有限差分法

时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界

条件自动满足。吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播过程的数字拟合,它是法拉第电磁感应定律的很好体现。在时域有限盖分法中,还应该注意色散的问题。因为色散会致严重的后果,比如绕射、波形畸变以及各向异性等。造成色散是因为在时域有限差分法剖分的网格中,模拟的波的波速会随着传播方向、波长等发生变化。与此同时,为了保证时域有限差分算法的精确性,对不同剖分的网格以及介质边界产生的色散,也要做定量的分析研究。对计算自由空间的电磁问题,由于计算机只能模拟有限的空间,所以网格不可能无限大,这就要求网格在引起明显的色散的情况下进行截断,就能使得在剖分区域内的传播就像在自由空间一样。

(4)传输线矩阵法

传输线矩阵法( Transmission-Line Matrix, TLM )利用的是电磁场传播与电压和电流在空间传输线中传播的类似性, 基于惠更斯波动原理, 通过将连续波的离散化,分析出不同子波在不同传输线中的传输特性。然而从电磁场问题求解的角度讲, TLM仍然是求解满足一定边界条件的麦克斯韦方程组, 不过该方法利用的是时间和空间的离散, 应用相互平行且连接的传输线来模拟所要求解的导波结构。通过研究脉冲(单或者连续)在网格中的传播获得波导结构的时域响应, 并对时域响应进行傅里叶变换, 从而可以在很宽的频率范围内得到波结构的频率特性。另外,根据等效原理,传输线上的电流可以看作磁场作用的结果,电伍可以看作电场作用的结果,因此,同时可以得到波结构内场区的特性。

传输线矩阵法的这些特点，可以克服一般频域分析方法所难以克服的困难: ①不能处理具有事变特性的结构和介质的场问题；②由于频域分析方法基于叠加原理,所以较难处理非线性问题；③由于一般来说，频域分析方法都需要进行空间的傅里叶变换,所以很难处理拥有复杂结构、不规则的结构和边界的场问题。

除此之外,传输线矩阵法还具有以下一些优点: ①该方法并不需要对对复杂的代数方程组进行求解，从而节约了运算时间和资源; ②它可以通过改变激励脉冲的形状和位置, 同时获得到波结构的主模和高次模的传输线以及场分布; ③它可以将有源器件中信号的传播与作用过程重现，有很大的现实意义; ④该方法的理论依据充分,易于编写代码实现且容易移植,处理不同的对象,仅仅改动相

应的文件信息如介质电磁参数等,计算起来很方便。

(5)高频近似法

高频近似法的应用范围有一定的局限性。大尺寸的物体,如果其电磁特性参数随着其他一些参数变化的范围较小,即这种情况下电磁场的传播具有区域性,这种情况下可以釆用高频近似法。

1.2有限元法

有限元法是上世纪50年代开始在工程上投入应用的,当时还仅仅用于分析飞机的应力,而现在在工程领域已成为标志性的数值算法。1965年有限元法才被引入到电磁领域。从这以后,关于电磁场方面的有限元法的讨论层出不穷,其中具有代表性的研究有80年代电磁材料特性的实验研究、电磁规范的新研究等,直到90年代,技术上的突破,使得有限元法又迈上了新的台阶。近些年,自适应网格剖分技术和加密技术的发展,为有限元法的发展提供了很好的平台。自适应网格剖分技术根据对待求场量函数的求解结果进行网格剖分的调整,使其剖分的更细更密,然后在一些网格剖分比较密的区域,采用高阶的插值函数,使得测量精度更一步提高。

同时,有限元法与相关学科的紧密结合,也有了新的进展,比如三维场的建模求解、耦合问题等。

有限元法自身的特点：

(1)网格剖分的疏密以及形状具有机动性。即同一剖分区域,根据场变化的情况,一些地方剖分的较密,其他地方较疏,这样可以根据需要相应的减小计算量，提高效率。网格形状的优劣,也会对结果造成影响,因此,常常还需耍对网格进行调整优化等。

(2)用有限元法最终把分析对象转化成代数方程组后,其高阶系数組阵具有对称等特征,可以采用特殊的处理方法,如对非零元素的变带宽压缩存储等,最终生成的总系数矩阵将是系稀疏矩阵。这样就会给计算机内存和运算带来便利，提高效率。

(3)由于第二、三类边界条件是自动满足的,所以无需特殊处理,仅需要对第一类边界条件做特殊处理。

⑷有限元法的各个步骤不是紧密相连,环环相扣的,容易用代码进行移植。目前应