正弦定理与余弦定理的证明

一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。

由此，得sin sin abA B =，同理可得sin sin cbCB=，故有sin sin abAB=sin cC =.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。

由此，得=∠sin sin abAABC ，同理可得=∠sin sin cbCABC故有=∠sin sin abAABCsin cC =.由(1)(2)可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin abAB=sin cC =.2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为则Rt △ADB中,ABAD B =sin ∴ ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=∙同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 21sin 21sin 21==∴ 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即CcB b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C由向量的加法原则可得ABCB AC =+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量ab DABCAB CDbaD C BAj 的数量积运算,得到AB j CB AC j ∙=+∙)( 由分配律可得ABj CB j AC ∙=∙+B∴|j |AC Co s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-Aj∴asinC=c∴CcA a sin sin =A另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B∴CcB b A a sin sin sin ==(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j ,则j与AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C由AB CB AC=+,得j ·ACj ·CB =j ·AB j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-∴asinC=c∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为B .同理,可得C cB b sin sin =.∴ Cc B b simA a sin sin == 4.外接圆证明正弦定理在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R c B C 2sin sin ='=∴R Cc2sin = 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==∴R CcB b A a 2sin sin sin === 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式ACCBACcB b A a sin sin sin ==法一(平面几何)：在△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求c 。

过A 作sin sin AD BC D AD AC C BC C ⊥=于，是＝，cos cos ,CD AC b c ==在Rt ABD ∆中，2222222(sin )(cos )2cos AB AD BD b c a b c a b ab c =+=+-=+-，法二（平面向量）：222()()22||||AB AB AC BC AC BC AC AC BC BC AC AC BC ⋅=+⋅+=⋅⋅+=+⋅ 222cos(180)2cos B BC b ab B a -+=-+，即：2222cos c a b ab c =+-法三（解析几何）：把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b ，CB=a ，AB=c ，则A ，B ，C 点的坐标分别为A(b ，0)，B(acosC ，asinC)，C(0，0)．|AB|2=(acosC －b)2+(asinC －0)2 =a 2cos2C －2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2－2abcosC ， 即c 2=a 2+b 2－2abcosC ．.法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形ABC 中，∠A=α，AB=a ，BC=b ，AC=c 。

现在以B 为圆心，以长边AB 为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C 点在圆内。

BC 的延长线交圆B 于点D 和E这样以来，DC=a-b ，CE=a+b ，AC=c 。

因为AG=2acos α，所以CG=2acos α-c 。

根据相交弦定理有：DC×CE=AC×CG ，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acos α-c)化简以后就得b 2=a 2+c 2+2accos α。

也就是我们的余弦定理。

如图，在△ABC 中，AB ＝4 cm ，AC ＝3 cm ，角平分线AD ＝2 cm ，求此三角形面积.分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ，需求出ACBsin A ，而△ABC 面积可以转化为S △ADC ＋S △ADB ，而S △ADC ＝12 AC ·AD sin A 2 ，S △ADB ＝12AB ·AD ·sin A 2 ，因此通过S △ABC ＝S △ADC ＋S △ADB 建立关于含有sin A ，sin A2 的方程，而sin A ＝2sin A 2 cos A 2 ，sin 2A 2 ＋cos 2A2＝1，故sin A 可求，从而三角形面积可求.解：在△ABC 中，S △ABC ＝S △ADB ＋S △ADC ， ∴12 AB ·AC sin A ＝12 ·AC ·AD ·sin A 2 ＋12 ·AB ·AD sin A 2 ∴12 ·4·3sin A ＝12 ·3·2sin A 2 ，∴6sin A ＝7sin A 2 ∴12sin A 2 cos A 2 ＝7sin A 2∵sin A 2 ≠0，∴cos A 2 ＝712 ，又0＜A ＜π，∴0＜A 2 ＜π2∴sin A 2＝1－cos 2A 2 ＝9512，∴sin A ＝2sin A 2 cos A 2 ＝79572，∴S △ABC ＝12 ·4·3sin A ＝79512（cm 2）.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为BC 中点，且AD ＝4，求BC 边长. 解：设BC 边为x ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝x2 ，在△ADB 中，cos ADB ＝AD 2＋BD 2－AB22AD ·BD ＝42＋（x2 ）2－522×4×x2在△ADC 中，cos ADC ＝AD 2＋DC 2－AC22AD ·DC ＝42＋（x2 ）2－322×4×x2又∠ADB ＋∠ADC ＝180° ∴cos ADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cos ADC . ∴42＋（x 2 ）2－522×4×x 2 ＝－42＋（x 2）2－322×4×x 2解得，x ＝2所以，BC 边长为2.2.在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB . 解：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22AC ·DC ＝72＋32－522×7×3 ＝1114，又0＜C ＜180°，∴sin C ＝5314在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314· 2 ·7＝562.3.在△ABC 中，已知cos A ＝35 ，sin B ＝513 ，求cos C 的值.解：∵cos A ＝35 ＜22＝cos45°，0＜A ＜π∴45°＜A ＜90°，∴sin A ＝45∵sin B ＝513 ＜12 ＝sin30°，0＜B ＜π∴0°＜B ＜30°或150°＜B ＜180° 若B ＞150°，则B ＋A ＞180°与题意不符. ∴0°＜B ＜30° cos B ＝1213∴cos （A ＋B ）＝cos A ·cos B －sin A ·sin B ＝35 ·1213 －45 · 513 ＝1665又C ＝180°－（A ＋B ）.∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－1665 .。