《球》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修2(北师大版)】

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二、知识应用： 题型二 三视图中的球
例 3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ C ）
A． 4 1
B．
4
3
1
4 C． 3
8
D． 4 8
2
2
主视图
2
左视图
俯视图
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二、知识应用：
题型三 正方体外接球与内切球
例 4. (1) 若一个球内切于棱长为 a 的正方体内，则该球的表面积为 ；体积为 ． (2) 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 a ，则球的表面积 ；体积为 ．
设正方体边长为 a ，球的半径为 R .
R 1a 2
⑵ 正方体的外接球： 正方体的体对角线为球的直径 设正方体边长为 a ，球的半径为 R .
R 3a 2
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二、知识应用： 题型一 计算球的体积、表面积问题 例 1. (1) 已知球的半径为 2cm，求这个球的体积、表面积.
解：V球 =
4 R3
S球 4 R2 .（R 为球的半径）
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一、新课讲授： 4.球的截面问题
用一个平面去截一个球，截面是圆面： （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；
（2）球心到截面的距离 d 与球的半径 r，有下面的关系：d＝ R2－r2．
O
R
r
d
O
a
P
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一、新课讲授：
5.正方体的内切球和外接球
⑴ 正方体的内切球： 正方体的边长为球直径
北师大版·统编教材高中数学必修2
第一章·第七节
柱、锥、台的体积
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一、新课讲授：
1．球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做 球面．球面所围成的几何体，叫做球体，简称球．
球心
半径
O
直径
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一、新课讲授： 2.球的体积：
公式推导： ri
R2
[R n
(i
1)]2
（i
1,2,3,,n
3
4
3
33
36
cm 2
S球 =4 R2 4 32 36 cm2
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二、知识应用： 题型一 计算球的体积、表面积问题
例 1. (2) 已知球的表面积为 4 cm2 ，求球的半径及体积.
解：
4 R2 =4 ，
则 R=1
，V
=
4 3
R3
4 3
.
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二、知识应用： 题型一 计算球的体积、表面积问题
(3) 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为
a, b, c ,则此球的表面积为
；体积为
．
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二、知识应用： 题型四 球的截面问题
例 5. 若与球心距离为 4 的平面截球所得的截面圆的面积是 9π,求球的表面积.
解：∵与球心距离为 4 的平面截球所得的截面圆的面积是 9π，∴d=4 时， r=3 故 R=5∴球的表面积 S=4πR 2 =100π.
）
第 i 层“小圆片”的体积为：
V
ri2
R n
R3 n
1
i
1
2
n
，（ i
1,2,3,,n ）
半球的体积：V半 =V1 V2 Vn
≈
R 3 n
{1＋（1－ 12
n2
）＋（1－
22 n2
）＋···＋［1－ (n 1)2
n2
］}
＝ R3
n
［n－ 12
源自文库2
• • • (n 1)2 n2
例 2.如图所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证：
(1)
球的体积等于圆柱体积的
2 3
；
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积．
证明：（1）设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R.
则有
V球
=
4 3
R3
，
V圆柱
=
R
2
2R=
2
R3
，所以
V球
=
2 3
V圆柱
.
（2）因为 S球 =4 R2 ，S圆柱侧 =2 R 2R=4 R2 ，所以 S球 =S圆柱侧 .
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二、知识应用： 题型五 计算球表面积、体积的实际问题
例 6.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3cm，瓶里所装的水深为 8cm，将一个钢球 完全浸入水中，瓶中水的高度上升到 8.5cm，求钢球的半径.
解：设钢球的半径为 R，由题意得：
32
8
4
3
R3
32
8.5 ，
解得，R=1.5cm.
再见
］（注：12
22
••• n2
1 n(n 1)(2n 1) ）
6
＝ R3
n
［n－
1 n2
• (n 1)n(2n 1) ＝R3 (1
6
(n
1)(2n 6n 2
1)
）=
R
3
1
(1
1 n
)(2 6
1 n
)
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一、新课讲授： 2.球的体积：
V球
4 3
R3
.（R
为球的半径）
3.球的表面积：