《椭圆的简单几何性质》听课实录.doc
高中数学新人教版A版精品教案《椭圆的简单几何性质》
《椭圆的几何性质》教学设计全日制普通高中数学人教版第二册（上）第八章第二节《椭圆的简单几何性质》是人教版内容。
本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上。
通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，通过本节课的学习让学生了解、掌握椭圆的几何性质，初步体会利用曲线方程来研究其性质的方法，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。
2、教学目标：（1）通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形。
（2）通过知识的形成培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力，和运用数形结合思想解决实际问题的能力。
培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识。
3、教学重点和难点：重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。
难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭圆的扁圆程度的给出过程。
4、教法分析：本节课以启发、探究式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、及练习法等教学方法。
在椭圆简单几何性质的教学过程中，让学生发现性质，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
5、学法分析：在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到深化6过程2y25400表示什么样的曲线？怎么画它的图2,0),(a A )b线段12,A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于,2b ，a,=21y b 中,a x a b y b二、从图形看椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
2,0),(a A a 12(0,),(0,)b B b225400y和1259x y的长袖长，短轴长，顶点坐标，并画出它的草图。
c a 。
并用几何画板验证猜想22B F O2211b cea ababae22e1>e223611612x y y 与 2229361610x y y 与思路设计。
椭圆的简单几何性质(省级优质课一等奖)
9
4
1
例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；（2）长 轴的长等于20，离心率等于3/5 。 解：(2) 由已知得， 2a 20, e c 3 ,
a 10, c 6, b2 102 62 64.
a
5
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上， 所以所求椭圆的标准方程为 ：
小 顶点坐标 结
焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c 的关系
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b)
二、导学导思：
x y 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的范围是什么？ [2] 椭圆有几条对称轴？几个对称中心？ [3]上述方程表示的椭圆有几个顶点？顶点坐标是什么？ [4]2a 和 2b表示什么？ a和 b又表示什么？ [5]椭圆离心率是如何定义的？范围是什么？
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
x
x2 y2 2、椭圆 2 2 1( a b 0)的对称性： a b
从图形上看， 椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
x2 y2 从方程上看： 2 2 1(a b 0) a b
（1）把x换成-x方程不变，图象关于 y 轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于 x 轴对称； Y （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 图象关于原点 成中心对称。
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)备课笔记
3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第一节《椭圆》。
以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.1.1椭圆及其标准方程 3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页新教材内容分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。
通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e 的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。
通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。
本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运算的核心素养.重点：直线与椭圆的位置关系难点：直线与椭圆的位置关系的应用（一）新知导入一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。
过对称轴的截口ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1上，片门位另一个焦点2上，由椭圆一个焦点1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点2。
（二）椭圆的简单几何性质知识点一点与椭圆的位置关系【探究1】根据点与圆的位置关系，你能得出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系有哪些？怎样判断？◆点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系：(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.【做一做1】点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为（）A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定【做一做2】若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________.知识点二直线与椭圆的位置关系【探究2】类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？◆直线与椭圆的位置关系(直线斜率存在时)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系判断方法：kx ＋m＋y 2b 2＝1，消y 得一个关于x的一元二次方程.位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交2个2解Δ＞0相切1个1解Δ＝0相离0个0解Δ＜0斜率不存在时，观察可得．【做一做1】直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定【做一做2】(教材P114练习2改编)椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.1.直线与椭圆的位置关系例1.已知直线y ＝x ＋m 与椭圆x 216＋y 29＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m 的取值范围．[分析]将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式Δ判断．【类题通法】代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．【巩固练习1】(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是()A.63B．－63C．±63D．±33(2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．2.弦长问题例2.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[分析](1)将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式Δ的符号，建立关于m 的不等式求解；(2)利用弦长公式建立关于m 的函数关系式，通过函数的最值求得m 的值，从而得到直线方程．【类题通法】1.求直线被椭圆截得弦长的方法：法一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；法二是用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中k 为直线AB 的斜率，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2．有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．【巩固练习2】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点F 为其左焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过左焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当|AB |＝185时，求直线l 的方程．3.中点弦问题例3.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A ，B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．[分析]由于弦所在直线过定点P (2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y －1＝k (x －2)，与椭圆方程联立，通过中点为P ，得出k 的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．【类题通法】关于中点弦问题，一般采用两种方法解决(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．(2)利用“点差法”即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x ，y ＋y 21b2＝1，①＋y 22b2＝1，②①－②：a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·xy.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决．【巩固练习3】已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，求以A (1,1)为中点的弦MN 所在的直线方程．1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为()－233，2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定3.直线y ＝x ＋1被椭圆x24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是()－23，－132，4.椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327（五）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-A 基础练一、选择题1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为()A．2216448x y +=B．2216416x y +=C．221164x y +=D．2211612x y +=2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）A．2B．4C．6D．83．（2020·金华市曙光学校月考）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A．没有公共点B．一个公共点C．两个公共点D．有公共点4.（2019·安徽安庆月考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（）A．22B．2115．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆22116x y m+=的焦距为，则m 的值为（）A．9B．23C．16-D．16+6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A．焦距长约为300公里B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为()1500±，D．离心率约为75994二、填空题7.（2020·全国课时练习）若直线2y kx =+与椭圆22132x y +=有且只有一个交点，则斜率k 的值是_______.8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点1F ,2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成,现一光线从左焦点1F 发出,依次经'Γ与Γ反射,又回到了点1F ,历时1t 秒;若将装置中的'Γ去掉,此光线从点1F 发出,经Γ两次反射后又回到了点1F ,历时2t 秒;若214t t =,则Γ与'Γ的离心率之比为______.9.（2020·福建漳州高二月考）已知1F ，2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点，点P 在C 上，线段1PF 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，若OM 为12PF F △的中位线，且||1OM =，则1PF =________.10．（2020上海华师大二附中月考）已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________三、解答题11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径3400km =R ）的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 时进行变轨，其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．12.（2020全国高二课时练习）已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>经过点3(1,)2M ,12,F F 是椭圆C 的两个焦点，12||F F =P 是椭圆C 上的一个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ,求点的横坐标的取值范围；3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-B 提高练一、选择题1.（2020·江苏省镇江中学开学考试）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ,上顶点为B ,若2122BF F F ==则该椭圆的方程为（）A．22143x y +=B．2213x y +=C．2212x y +=D．2214x y +=2.（2020·安徽省太和中学开学考试）“1a =”是“直线y x a =+与椭圆22:12516xy C +=有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.（2020·辽宁大连月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是115R ，13R ，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（）A．25B．15C．23D．194.（2020山东泰安一中高二月考）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是()A．卫星向径的最小值为a c -B．卫星向径的最大值为a c+C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大5．（多选题）设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（）A．AF BF +为定值B．ABF 的周长的取值范围是[]6,12C．当2m =时，ABF 为直角三角形D．当1m =时，ABF 6.（多选题）（2020江苏扬州中学月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP +的最小值为21a -B．椭圆C 的短轴长可能为2C．椭圆C 的离心率的取值范围为510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．若11PF FQ =，则椭圆C +二、填空题7.（2020·广西南宁高二月考）已知O 为坐标原点，点1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，A 为椭圆C 上的一点，且212AF F F ⊥，1AF 与y 轴交于点B ，则OB =________.8．（2020南昌县莲塘第一中学月考）已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.9.（2020·山东泰安实验中学期末）直线2y x =+交椭圆2214x y m +=于,A B 两点，若AB =，则m的值为__________．10.（2020·河南南阳中学高二月考）过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线0x y +=交于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，则椭圆M 的方程为__________．三、解答题11.（2020·贵港市高级中学期中）已知平面内两定点(1,0),(1,0)M N -，动点P 满足||||PM PN +=.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线1y x =+与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求||AB ．12.（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B 2OB =(O 为原点)（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，求椭圆的方程.。
椭圆的简单几何性质(系列课)
椭圆的简单几何性质（系列课）浙江省象山中学 蒋 亮一、教案描述：椭圆的简单几何性质包括椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、椭圆的第二定义等等，教材中单独地把它分成几块拿出来讨论，显得极不自然。
特别是椭圆的第二定义，教材通过一个例子给出，思路不蹈常规，这一切都是教材的简洁性决定的。
我在教学设计中，创设了问题情境，把这些内容有机地串联起来，整个过程如同一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的展开，增强创新意识的培养。
过程如下：（一）、以问题为中心，注重过程教学。
首先，设计如下情境，提出反常规的问题。
师：上几节课，我们导出了椭圆的标准方程，整个过程严谨周密，现摘录如下： 设M ()y x ,是椭圆上任意一点，焦点F 1和F 2的坐标分别是()0,c -，()0,c （图1）。
由椭圆的定义可得： ()())1(22222a y c x y c x =+-+++ 将这个方程移项，两边平方得 ())2(222y c x a cx a +-=- 两边再平方，整理得)3()0(12222>>=+b a by a x 问题1：为什么将（3）式作为椭圆的标准方程？对于这一问题学生首先会感到奇怪，似乎（3）式作为标准方程那是顺理成章的，进而会展开热烈的讨论，教师总结一下大致有以下几点理由：1、（3）式简捷，具有对称的美感。
2、（3）式为我们提供了求椭圆轨迹的标准方程，方便用待定系数法求解轨迹的方程。
3、根据解析几何用曲线的方程研究曲线的几何性质这一特点，（3）式方便研究椭圆的几何性质。
针对上述理由3，教师可以组织学生就如何利用（3）式从整体上把握椭圆的曲线的形状，展开讨论。
这样便自然引出：范围、对称性、顶点、离心率等课文要求的内容。
若要进一步研究椭圆的曲线，自然需要列表、描点、连线等常用手段，于是课文中的例1便自然出来了。
上述讨论需要一个课时左右。
（二）以探究为热点，培养创新意识。
由于有了第一节课的基础，本节课教师的问题设计显然容易且自然多了。
高二数学：《椭圆的简单几何性质》听课实录
高中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 高中数学 / 高二数学教案编订：XX文讯教育机构《椭圆的简单几何性质》听课实录教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高二数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。
本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。
再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。
在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。
《椭圆的简单几何性质》教学案.doc
《椭圆的简单几何性质》教学案教学目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义.教学重难点重点：掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；难点：通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义.教学过程(1)复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节屮不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率.K板书H §2. I. 2椭圆的简单几何性质.(2)新课讲授过程⑺通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质.提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范闱、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范南、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的儿何性质.⑺)椭圆的简单几何性质2 2%1范围：由椭圆的标准方程可得，匚=1一二no,进一步得：—G S X S G,同理b2a2可得：-b<y<h.即椭圆位于直线兀=±a和y = ±b所围成的矩形框图里；%1对称性：由以一兀代兀，以一y代y和一兀代兀，且以一y代y这三个方而来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以兀轴和轴为对称轴，原点为对称中心；%1顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有川个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；a = y/5.b = y[m,c = y/5-m ,，得加=3 ；②当焦点在y 轴上，即m> 5解法剖析：建立适当的直角坐标系, 设椭圆的标准方程为刍+6T 算出a,b,c 的④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比0 = £叫做椭圆的离心率（0 v e<l ）,a当£ —» 1 日寸，C T Q,,方 T 0 （当£ —» 0时，C -» 0,力—> a〔椭圆图形越扁 ;［椭圆越接近于圆（加）例题讲解与引申、扩展例4求椭圆16x 2+25v 2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. •r分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出.引导学生用椭圆的长轴、短轴、 离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量.扩展：己知椭圆> 0）的离心率为 w =型，求加的值.5解法剖析：依题意，m >0,m ^5,但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在X 轴上，即0 5<5时，有例5如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 B4C 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点人上，片门位于另一个焦点丘上，由椭圆一个 焦点£发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点毘.已知BC 丄片厶,F }B\ = 2.8cm f \F,F 2\ = 4.5cm .建立适当的坐标系，求截口 BAC 所在椭圆的方程.值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上 在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入 预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心鬥为一个 焦点的椭圆，近地点A 距地而20Qkm ,远地点3距地而 350km ,已知地球的半径/? = 6371如?.建立适当的直角 坐标系，求岀椭圆的轨迹方程•例6如图，设M （x,y ）与定点F （4,0）的距离和它到直线人x 的距离的比是常数 4C4一，求点M的轨迹方程.分析：若设点M(x,v),则|MF| =/兀一盯+尸，到直线/：x = ^-的距离d= X-—,则容易得点M的轨迹方程.4引申：(用《几何画板》探究)若点M (兀,y)与定点2F(c,O)的距离和它到定直线/： % 的距离比是常数2e = £(。
椭圆的简单几何性质(说课+授课)
教学目标及重难点
维过程和动手操作的实践过程，发展学生的逻辑推理素养. 教学重点：
1.利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质.
教学策略
2.理解“以数解形”的数形结合思想.
教学过程
教学难点： 学生对椭圆的核心性质——离心率的认识与理解.
应用创新点
本着贯彻“以学生为主体，教师为主导”的理 念，把培养学生的逻辑思维能力作为根本目标，设计 以下的教学方法：
环节二 独思共议，引导探究
1 如何刻画椭圆扁平程度
2 探究离心率的定义
3 离心率如何影响椭圆形状
环节三 类比联想，知识迁移
类比焦点在
标准方程 图形 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
轴上的椭圆的几何性质，得到焦点在 轴上的椭圆的几何性质.
设计意图
让学生体会椭圆焦点位置的 变化对其性质有何影响，提升学 生的逻辑推理素养，并为后续双 曲线和抛物线的学习奠定基础.
环节二 独思共议，引导探究
探究四 椭圆的离心率
1 用什么量可以刻画椭圆的扁 平程度 离心率的大小如何影响椭
2 圆的扁平程度
小组讨论 自主探究
设计意图
学生带着问题以小组为单位 进行自主探究，结合教师给出的 问题进行分析、探讨、归纳、总 结。信息技术的引入不仅可以使 学生深刻地理解定义，而且有助 于培养学生的数学抽象、逻辑推 理等数学素养.
环节四 巩固新知，提升能力
例1.椭圆16x2+25y2=400的长轴长是_____，短轴长是_____，焦点坐标是____， 焦距是__________，顶点坐标是__________，离心率是________.
例2.已知椭圆方程为
,已知△OBF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率.
《椭圆的简单几何性质》第一课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《椭圆的简单几何性质》第1课时教学设计利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，本节在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，第1课时不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a，b，c的几何意义以及a，b，c的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．2．利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．3．通过自主探究、交流合作使学生亲身体验探究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．教学重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．教学难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的教学过程．学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点．引入新课提出问题：方程16x 2＋25y 2＝400表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？活动设计：情形1：列表、描点、连线进行作图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题； 情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；情形3：方程变形，求出a ，b ，c ，联想椭圆画法，利用绳子作图；情形4：只作第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其他象限内的图形．辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯．设计意图：(1)问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决体现了对二元二次方程的研究，为利用方程研究性质打下基础；(2)课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特征：范围、对称性、关键点；(3)实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异和思维认识层次；(4)辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识．点评：(1)能够抓住椭圆的几何特征、范围、对称性、关键点作图；(2)研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；(3)本节课我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法．教师板书：椭圆的简单几何性质．探求新知问题：学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)有什么特点？(1)椭圆方程是关于x ，y 的二元二次方程；(2)方程的左边是平方和的形式，右边是常数1；(3)方程中x 2和y 2的系数不相等．设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备．【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围． 实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维．学生活动过程：情形1：x 2a 2＋y 2b 2＝1变形为y 2b 2＝1－x 2a2≥0，x 2≤a 2|x |≤a －a ≤x ≤a . 这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围－a ≤x ≤a .同理，我们也可以得到y 的范围－b ≤y ≤b .情形2：可以把x 2a 2＋y 2b 2＝1看成sin 2α＋cos 2α＝1，利用三角函数的有界性来考虑x a ，y b的范围．点评：你可能没有意识到，如果将a ，b 乘过去，就得到了⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acosα，y ＝bsinα，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下课后可以阅读有关内容．所以我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的是放宽研究问题的思路，拓宽我们的思维角度．谁还有其他的方法？情形3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以x 2a 2≤1，同理可以得到y 的范围．情景4：利用学习过函数的定义域、值域，这对研究椭圆的范围有何启示呢？由x 2a 2＋y 2b 2＝1，则y ＝±b aa 2－x 2，可通过求这个函数的定义域、值域得范围. 但y ＝±b aa 2－x 2是函数吗？ 学生(思考后)说不是. 教师提问：怎么处理呢？学生活动：把 y ＝b a a 2－x 2和y ＝－b aa 2－x 2分别看作是一个函数. 先求函数y ＝b aa 2－x 2的定义域、值域．利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得 －a ≤x ≤a , 0≤y ≤b ，同样得 y ＝－b aa 2－x 2中 －a ≤x ≤a , －b ≤y ≤0 ，于是得到范围．教师总结：只需求 y ＝b aa 2－x 2(0≤x ≤a ) 的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围. 通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内．有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在 x 轴上的椭圆的草图了．教师在黑板上示范作图(先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，再用光滑曲线连接，并注意对称性)．设计意图：(1)传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；(2)通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现得异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；(3)多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想．结论：由椭圆方程中x ，y 的范围得到椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形里．【问题2】 自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：－x 代替x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称；－y 代替y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称；－x 、－y 代替x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称．问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？辨析与研讨：－x 代替x 后方程不变，就是用(－x ，y )来代换方程中的(x ，y )，方程不变，(－x ，y )和(x ，y )关于y 轴对称，两点坐标都满足方程，而(x ，y )是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于y 轴对称；其他同理．相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．设计意图：(1)抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；(2)在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；(3)多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美．【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：在椭圆的标准方程中，令x＝0，得y＝±b，令y＝0，得x＝±a.顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)．相关概念：线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a 和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a，b，c就有了明显的几何意义．设置问题：在椭圆标准方程的推导过程中令a2－c2＝b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？学生探究：c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，连结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即a2－c2＝b2.多媒体展示特征三角形．设计意图：(1)利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是a2－c2＝b2的几何意义，多媒体课件的展示体现了a，b，c的几何意义，从而得到a2－c2＝b2的本质．运用新知活动设计：阅读课本例4，你有什么认识？活动成果：(1)利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程化为标准方程，然后找出相应的a，b，c.(2)利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边长，以原点为中心画矩形；②由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；③用曲线将四个顶点连成一个椭圆；④画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．设计意图：(1)学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；(2)与开头相呼应，使学生认识到运用椭圆的简单几何性质能够简化作图过程．反思与评价：回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：(1)知识与技能：椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；(2)过程与方法：重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；(3)情感、态度与价值观：善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．设计意图：不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次．课堂小结(1)椭圆的范围、长轴长、短轴长．(2)椭圆的对称性，对称轴、对称中心．布置作业(1)反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；(2)研究y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的范围、对称性、顶点； (3)课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中x 2和y 2的系数不相等”，因此当x 2和y 2的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业(1)强调研究方法的重要性，作业(2)是对学生学习效果的一种检验，作业(3)引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率；1．课堂设计理念授人以鱼不如授人以渔．通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位．2．对教材的研究认识利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，本节课不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．3．课堂教学模式的设置自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力．数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处．因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习．4．课堂练习题的说明如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础．为了不冲淡主题，课堂教学过程重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力．因此，在椭圆几何性质的其他课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用．。
优秀说课稿——《椭圆的简单几何性质》doc
《椭圆的简单几何性质》（第一课时）（说课稿）环节内容理论依据或意图教材分析教材地位与作用“椭圆的简单几何性质”是人教A版高中实验教材选修2-1第二章第二节的内容。
本节课是在学习了椭圆的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，为后面研究双曲线、抛物线的几何性质奠定了基础，是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
该内容分两个课时教学，本节课是第一课时，主要内容是：探究椭圆的简单几何性质及应用。
《高中数学课程标准》教学目标1、知识与技能■探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
■掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。
2、过程与方法■通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。
■通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
根据《高中数学课程标准》的要求，强调积极主动，乐于探究，勤于动手，培养分析和解决问题的能力，逻辑推理及理性思维的能力，结合学生的实际情况确定的。
教学重难点教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进行的。
因此，依教材的地位与作用及教学目标，将之确定为本节课的重点；又因为学生第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘手，所以我将之确定为本节课的难点。
环节内容理论依据与意图学情分析本班学生智力水平参差不齐，基础和发展不平衡，呈现两头尖中间大的趋势。
学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，有亲历体验发现和探究的兴趣，有动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力，有分组讨论、合作交流的良好习惯，从而愿意在教师的指导下主动与同学探究、发现、归纳数学知识。
《椭圆的简单几何性质》听课实录
椭圆的简单几何性质引言椭圆是一种重要的几何图形，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍椭圆的简单几何性质，并通过听课实录的形式，逐步解析椭圆的特点和性质。
第一节椭圆的定义与基本特点教师：同学们，下面我们来学习椭圆的定义和基本特点。
首先，我们需要了解椭圆的定义。
请听：椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和为常数2a的点的轨迹，记为E。
椭圆的基本特点椭圆的特点包括： - 焦点：椭圆的两个固定点F1和F2称为焦点，它们到椭圆上任意一点的距离之和为常数2a。
- 长轴：连接焦点的直线段称为椭圆的长轴，长度为2a。
- 短轴：与长轴垂直且通过椭圆中心的直线段称为椭圆的短轴，长度为2b。
- 离心率：离心率e是一个常数，满足e=c/a，其中c为焦点到椭圆中心的距离。
- 半焦距离：焦点到椭圆中心的距离称为半焦距离，记为c。
第二节椭圆的几何性质教师：现在，我们来探讨一些椭圆的几何性质。
请听：椭圆的对称性•椭圆具有对称性：对于椭圆上的任意一点P，以椭圆中心O为中心，以焦点F1和F2为焦点做圆，该圆与椭圆相切于点P。
椭圆的轴线•椭圆与直线轴线：椭圆的长轴和短轴互相垂直，并且长轴和短轴的中点都在椭圆的中心。
•椭圆的离心角：连接椭圆上一点和两个焦点的线段与椭圆的法线之间的夹角称为离心角，离心角等于其对焦半径之比。
椭圆的切线和法线•椭圆的切线方程：对于椭圆上一点P(x, y)，过该点的切线方程为ax x_1+byy_1=a^2，其中(x1, y1)为切点坐标。
•椭圆的法线方程：对于椭圆上一点P(x, y)，过该点的法线方程为bxx_1+ayy_1=b^2，其中(x1, y1)为法线与椭圆的切点坐标。
椭圆的焦点性质•椭圆的焦点性质1：椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
•椭圆的焦点性质2：对于椭圆上的任意一条弦AB，焦点F1和F2到该弦的距离的和等于常数2a，即AF1 + BF1 = AF2 + BF2 = 2a。
1芦台一中 乔树华《椭圆的简单几何性质》(第一课时)教学设计
2．2椭圆椭圆的简单几何性质（第1课时）（人教A版高中课标教材数学选修2-1）教学设计授课教师：乔树华天津市宁河区芦台第一中学2018年10月《椭圆的简单几何性质》（第一课时）教学设计天津市宁河区芦台第一中学乔树华一、教学内容解析1.内容本节课学习椭圆的几何性质，主要包括范围、长轴、短轴、对称性、离心率，以及性质的应用.2.内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中2.2《椭圆》的第二课时，主要内容是研究椭圆的几何性质. 椭圆的对称性、长轴、短轴描述了椭圆的形状特征，椭圆的范围描述了椭圆的大小，椭圆的离心率是用数值刻画椭圆扁平程度的量.从单元内容看，本单元主要包括三种圆锥曲线的定义、标准方程和性质，以及坐标法的应用，在学习的过程中要深入对数形结合思想的理解.本节课是在学生熟悉了直线和圆的方程、椭圆的定义及其标准方程的基础上，并具有初步运用方程研究曲线的方法的活动经验后，第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.它为之后研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题等内容提供了数学模型和方法指导，因此本节课对体会单元核心思想方法具有举足轻重的地位和作用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了数形结合、分类讨论及类比推理的思想和用代数法研究曲线性质的数学方法.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，理解“以数解形”的数形结合思想.二、教学目标设置1.教学目标（1）在动手画椭圆的过程中，发现并提出椭圆对称性、大小、圆扁程度等几何性质的问题，发展学生发现问题提出问题的能力,培养学生数学抽象的能力.（2）通过对椭圆图形特征的研究，分析椭圆的范围、长轴、短轴、对称性的性质，发展学生分析几何图形和直观想象的能力.（3）结合方程分析椭圆性质，以数解形，提升学生对数形结合思想的理解.（4）通过离心率的探究，使学生经历观察、分析、归纳、概括的思维过程和动手操作的实践过程，发展学生数学逻辑推理的能力.2.目标解析（1）设计画椭圆图形，可以提高学生研究曲线时动手作图的基本技能，并让学生从作图的过程中初步了解椭圆的各项几何性质，发展学生直观想象和数学抽象的数学核心素养，培养学生分析问题和解决问题的操作性思维能力.（2）研究曲线性质时，首先从图形角度研究，可以提高学生发现问题的能力,并让学生体会几何直观在研究曲线性质中的作用.（3）通过方程对椭圆的几何性质的探究，学生进一步感受用代数方法解决几何问题的数形结合的思想，在由数释形的过程中，培养学生的探究习惯，发展学生的理性思维.（4）在椭圆离心率的探究过程中，通过实验发现规律，结合老师的引导点拨，让学生去实现对离心率的发现和理解，培养学生严谨的治学态度和不断发现问题的能力，以及运用所学知识解决新问题的能力.三、学生学情分析学生已经熟悉和掌握椭圆的定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力，但这是学生第一次通过方程研究曲线的几何性质，研究思路并不是很清晰.对于范围、对称性、顶点三个性质，通过老师的点拨引导，学生比较容易掌握.离心率概念比较抽象，学生缺乏研究此类问题的经验.本节课的教学难点是：学生对椭圆的核心性质——离心率的认识与理解.本单元内容的教学，要使学生充分经历“操作、观察、分析、抽象、概括”的学习过程.即从生活中抽象图形的模型，动手操作画图象，观察曲线的特点，探究曲线的方程，根据方程研究曲线.教学中，充分运用类比学习、螺旋提升的方法，不断形成完整的解析几何研究方法和学习策略.在运用方程讨论曲线性质时，主要以独立探究为主，离心率的发现过程要为学生创设适当的情境，使学生在最近发展区中发现问题、解决问题.对于坐标法的理解，教师要为学生创造循序渐进地理解数形结合思想的条件，以代数与几何为什么结合、怎么结合、结合时注意什么等问题为抓手，帮助学生深刻理解此数学思想方法.四、教学策略分析根据本节课教学内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，激发学生的学习兴趣，在课堂教学中让学生通过动手操作画椭圆，亲历知识的生成过程，力求借助信息技术手段，以“几何画板”软件为平台，通过对椭圆的核心性质离心率e 的变化的演示，观察椭圆圆扁程度的变化，让学生体会运用“数形结合”的思想方法建立起高中数学的两条主线——代数主线和几何主线间的密切联系，同时利用展台将学生的研究成果进行实时呈现，能够使本节课重点研究的椭圆的简单几何性质的四方面——椭圆的范围、对称性、顶点及离心率问题及时得到很好的解决.具体来说包括：1.任务驱动教学法：利用问题串作引导，引发学生积极思考并积极探究；2.演示教学法：学生实物投影展示和教师几何画板动态演示相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；3.启发式教学法：在研究范围和离心率时，教师做积极启发并与学生自主探究与合作讨论相结合突破难点；4.学法：以小组合作为基本活动模型，采用自主学习法，结合合作探究法，讨论法，归纳总结法与交流展示法.五、教学过程设计（一） 创设情境、建构概念1.情境创设：让学生观察建筑中国国家大剧院，它与湖中倒影的正视图呈椭圆形，进而引出课题.2.知识回顾：椭圆的标准方程：当焦点在x 轴时，)0(12222>>=+b a by a x 当焦点在y 轴时，)0(12222>>=+b a bx a y 【设计意图】回顾上节课所学内容，巩固知识并为本节课所学做铺垫.3.活动创设课前布置预习作业：你能否利用所学知识，在同一坐标系中画出方程1162522=+y x 和192522=+y x 所表示的曲线.课上分组展示学生的成果,并让学生观察他们有什么几何特征. 预设可能出现的情况：预设1：先判断其为椭圆，再利用定义画图；预设2：先判断其为椭圆，寻找到与坐标轴的交点，画椭圆；评价预设：寻找画图的关键点，提高画图容易度.预设3：先判断其对称性，只需精确画出其第一象限的图象；评价预设：发现椭圆的对称性，可以给画图带来方便.预设4：从函数角度出发，利用描点法作图.评价预设：将其转化为函数，利用函数图象的画法作图.【设计意图】数学是现实世界的反映.从学生感兴趣的问题出发，创设思维情境，让学生在动手操作的过程中重温方程和曲线的关系，直观感受椭圆的几何特征，自然引出本节课的课题.（二）独思共议，引导探究通过画具体的椭圆，由特殊到一般，提出一般的椭圆会有哪些性质.以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 为例研究椭圆的几何性质. 探究一.椭圆的范围 问题1：椭圆大小如何刻画? 问题2：该椭圆上点的横坐标的取值范围是什么?纵坐标呢(预设：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观)问题3： 你能否用方程说明该范围?追问：范围可以由不等关系求出，如何建立y x ,的不等关系?(先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果)从方程上看： 预设1：因为012222≥-=a x b y 所以122≤ax ,故可得a x a ≤≤-，同理可得b y b ≤≤-. o预设2：由椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x 中实数平方的非负性可得122≤a x ，122≤by ， 所以a x a ≤≤-，b y b ≤≤-.预设3：利用三角换元：设θθsin ,cos ==by a x ，则θθsin ,cos b y a x ==， 所以a x a ≤≤-，b y b ≤≤-.教师总结点评：利用方程中变量的非负性，判断其它变量范围的方法，是解析几何中利用方程研究曲线范围的一般方法.【设计意图】通过椭圆的标准方程确定椭圆的范围，使学生感受利用椭圆方程研究椭圆几何性质的方法，理解椭圆)0(12222>>=+b a by a x 位于直线a x ±=和b x ±=所围成的矩形内，为描点法作图提供了参考，体会利用坐标法研究曲线几何性质的优越性.探究二.椭圆的对称性问题1：椭圆具有怎样的对称性?师生活动：学生可以直观感受椭圆的对称性，并引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.学生在必修2《直线的方程》和《圆的方程》的学习中经历过对曲线对称性的探究过程，此外学生还可以类比函数的奇偶性的研究方法得到椭圆的对称性，并给出椭圆中心的定义.预设：学生可能会从图形和方程的角度得到.（教师通过几何画板演示）（此问题对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生回答过程中，要强调在椭圆上“任取一点”）问题2：能否用椭圆的方程说明该对称性?（小组讨论2分钟，找代表发言）（教师动画展示）椭圆上任取点),(y x P ，关于y 轴的对称点),('y x P -也在椭圆上，说明椭圆关于y 轴对称，关于x 轴的对称点),(''y x P -也在椭圆上，说明椭圆关于x 轴对称，关于原点的对称点),('''y x P --也在椭圆上，说明椭圆关于原点对称.即坐标轴x 轴和y 轴是椭圆的对称轴，原点)0,0(O 是椭圆的对称中心，称为椭圆的中心.强调：利用曲线上任意一点关于坐标轴和原点的对称点仍在曲线上来判断曲线的对称性，也是利用方程研究曲线对称性的一般方法.问题3：研究曲线 的对称性【设计意图】学生可以直观感受椭圆的对称性，并引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.教师通过信息技术的引入，让学生理解图形对称性的本质是构成图形的点的对称性，即利用曲线上点的坐标的对称性，可以实现曲线的对称性.并通过练习题，让学生学以致用，体会研究曲线对称性的一般方法.探究三.椭圆的顶点问题1：观察椭圆图形，他有哪些特殊点?问题2：这些点的坐标是什么?利用学生描点画图时的特殊点，引入椭圆的顶点，让学生感受图形中某些特殊点在确定曲线位置时的作用，从而得到顶点定义，即椭圆与对称轴x 轴和y 轴的四个交点.并指出长轴，短轴和长半轴长，短半轴长等相关概念.【设计意图】让学生明确顶点等相关概念，理解顶点与对称性的关系.探究四.椭圆的形状——认识椭圆的离心率e问题1：用什么量可以刻画椭圆的扁平程度?学生活动：小组合作，利用椭圆的定义画椭圆，（小组合作讨论，相互交流，小组展示）预设1：a c ；预设评价：学生可能从椭圆的定义出发，发现画椭圆时ac 的变化对椭圆形状的影响.预设2：ab .预设评价：学生可能观察预习作业中两个椭圆的扁平程度得到. 师生活动：小组展示探究成果.学生观察当a 保持不变时，随着c 的改变，椭圆圆扁程度的变化，发现椭圆随着a c 的增大而变扁，随着a c 的减小而变圆.教师利用几何画板动态展示，并给出离心率的概念，并引导学生求出椭圆离心率的范围，【设计意图】让学生从具体问题中抽象出离心率的定义，信息技术的引入不仅可以使学生体会到定义的科学性、严谨性，让学生深刻地理解定义，更有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学素养，不断积累数学活动的经验.122=-y x问题2：离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度?预设：e 越接近于0，则c 越接近于0,即22c a b -=越接近于a , 椭圆越接近于圆； e 越接近于1，则c 越接近于a ，即22c a b -=越接近于0,椭圆越扁.（让学生用逼近的思想想象当0→e 时，椭圆接近于圆，当1→e 时，椭圆接近于一条线段.）【设计意图】利用等价转化的思想刻画椭圆的扁平程度，加深学生对椭圆的核心性质离心率e 的认识与理解.（三）类比联想，知识迁移类比焦点在x 轴上的椭圆的几何性质，得到焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，让学生体会数学研究中的类比推理的过程与方法.【设计意图】让学生体会椭圆焦点位置的变化对其性质的影响，提升学生的逻辑推理素养，并为后续双曲线和抛物线的学习奠定基础.（四）巩固新知，提升能力例题分析：例1.椭圆400251622=+y x 的长轴长是________，短轴长是_________，焦点坐标是________，焦距是__________，顶点坐标是__________，离心率是________.例2.在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 中，已知B OF 2∆为等腰直角三角形，求椭圆的离心率.问题：你能从三角函数的角度理解离心率对椭圆形状的影响吗? 【设计意图】通过例题分析，巩固椭圆的几何性质，例2旨在引导学生深刻理解椭圆离心率的几何意义，实现认识上的又一次飞跃.（五）回顾反思，归纳总结学生和老师共同回顾、梳理、总结本节课所学的数学知识、思想、方法.（1）椭圆的几何性质（2）用坐标法研究曲线性质的过程与方法（3）所用的数学思想方法：数形结合、化归转化、类比推理师生活动：先由学生总结所学内容，教师补充说明，特别是通过本节课所经历的知识的探究过程，体会类比与数形结合的数学思想.通过本节课，让学生看到数学在生活中的应用，意识到还有很多与椭圆相关的知识需要去探究，从而不断地激发学生的数学学习兴趣.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.（六）目标测试，当堂反馈1.已知椭圆方程为6622=+y x ，它的长轴长是__________,短轴长是___________, 焦点坐标是________,焦距是________,顶点坐标是_________,离心率是________.2.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率32=e ，长轴长为6，则椭圆的标准方程为（ ） (A)1203622=+y x (B)15922=+y x (C)15922=+y x 或15922=+x y (D)1203622=+x y 或1203622=+y x 【设计意图】通过目标检测，可以了解学生对知识的理解和掌握情况，为教学评价提供依据,其中第2题旨在体会分类讨论思想在数学中的应用.接着展示图片：展示椭圆在建筑与天文等方面的应用，让学生看到数学在生活中的应用，意识到还有很多与椭圆相关的知识需要去探究，从而不断激发学生的学习兴趣.（七）布置作业，巩固所学实践作业：查阅椭圆在建筑学与天文学方面应用的资料，每组写一份调研小报告.分层作业：必做：课本P习题2.2A组2,3,4,5题49选做：A组第9题【设计意图】作业分层布置，力求让不同基础的学生都拥有成功学习的体验.必做题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生运用所学知识解决问题的能力，实践作业的设置是为了让学生体验如何检索、搜集资料进行数学学习，这是本节课所学内容的提高与拓展，可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力.。
《椭圆的简单几何性质》听课实录.doc
《椭圆的简单几何性质》听课实录在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。
本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。
再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。
在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。
但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。
还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。
在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
《椭圆的简单几何性质(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
求与椭圆的焦点相同，且经过点(，)的椭圆的标准方程．
第二章 圆锥曲线
椭圆的简单几何性质（2）
1.根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质．2.利用椭圆的知识解决简单的实际问题．
根据几何条件求出椭圆方程．
利用椭圆的知识解决简单的实际问题．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图象
标准方程
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b
焦点
焦距
2c
我们已经学习了椭圆的简单几何性质：
因为点P在圆O上，所以，即．所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆．
求轨迹方程考虑采用相关点代入法.
解： 设点M的坐标为(x，y) ，则点P的坐标为(x ，2y)．
求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；(2)经过点A(0，3)，B(4，0)；(3)一个焦点为(1，0)，一个顶点为(2，0)；(4)一个焦点为(，0)，长轴长为4；(5)一个焦点为(，0) ，离心率为； (6)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6和2．
解：因为地球运行轨道所在椭圆的长半轴长a=1.50×km，离心率e=0.02，所以半焦距3×km，则地球离太阳最远距离为，最近距离为1．47× km．
求椭圆的标准方程
直接法
待定系数法
相关点代入法
在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
《椭圆的简单几何性质》第二课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《椭圆的简单几何性质》第2课时教学设计1．理解椭圆的离心率；2．了解椭圆的第二定义；3．能根据焦距、长轴长、离心率、准线方程，求椭圆的标准方程．离心率对椭圆的影响，直线与椭圆的位置关系．引入新课椭圆的几何性质：x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）； 顶点坐标：（±a ，0），（0，±b ）．对称性：对称轴为坐标轴，对称中心是原点，长轴长2a ，短轴长2b ．焦点坐标：（±c ，0），c ＝a 2－b 2．探求新知问题：利用上节课确定椭圆范围的方法在同一个坐标系中画出方程x 225＋y 24＝1和x 225＋y 216＝1所表示的椭圆，并思考这两个椭圆的形状有何不同．学生活动：运用上节课的知识画图．指出一个扁一些，一个圆一些．教师：实物展台展示画图，问学生有何不同，学生容易看出（指出一个扁一些，一个圆一些），此时追问圆、扁与什么有关系？（提示学生注意两个方程）学生活动：思考后容易发现与 a ，b 有关系． 在 a 不变的情况下与 b 有关系， b 大则圆， b 小则扁，因此与 a 、b 有关系．教师分析：在推导方程中曾令b 2＝a 2－c 2，这又意味着形状还与什么有关系呢？ 学生有的说与 b 、c 有关，有的说与a 、b 、c 有关．（鼓励学生大胆猜测）教师：在给出椭圆的定义中，大家还记得，影响椭圆形状的最关键的要素是什么？ （是 a 和 c ）理解新知椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a 叫做椭圆的离心率（0<e <1），⎩⎪⎨⎪⎧ 当e→1时，c→a ，b→0，椭圆图形越扁，⎩⎪⎨⎪⎧当e→0时，c→0，b→a.椭圆越接近于圆. 教师引导学生发现 a 不变， b 大则 c 小，椭圆较圆， b 小则 c 大，椭圆较扁，特别的，当 a ＝b 时， c ＝0，椭圆为圆．教师指出：当a 不变时， b 大则 c 小，此时c a也变小，学生通过观察指出此时椭圆较圆，反之较扁， c ＝0 时变成了圆．及时总结并给出离心率的定义、符号和范围及特例（强调离心率是焦距与长轴长之比，与坐标系选取无关，并引导学生分析出：固定 a 、 b 、 c 中任何一个量，改变另外两个量可得到同样的结论，即 e 大则扁， e 小则圆，特别e ＝0时为圆）．因此离心率是一个刻画椭圆圆扁程度的量．（此处是难点，教学中借助动画演示，结合教师启发引导，帮助学生理解离心率的定义及离心率对椭圆形状的影响）运用新知1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点P （－3，0）、Q （0，－2）；（2）长轴长等于20，离心率等于35． 分析：目的是熟悉椭圆的标准方程和椭圆的性质．解：（1）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P 、Q 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是得a ＝3，b ＝2．又因为长轴在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1． （2）由已知，2a ＝20，e ＝c a ＝35． 所以a ＝10，c ＝6．所以b 2＝100－36＝64．由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1． 2点M （x ，y ）与定点F （c ，0）的距离和它到定直线l ：x ＝a 2c 的距离比是常数c a（a >c >0），求点M 的轨迹．教材中例题6的目的是进一步熟悉求动点轨迹的方法，认识形成椭圆的另外一种方法． 解：设d 是点M 到直线l 的距离．由题意，所求点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MF|d ＝c a}． 由此得(x －c)2＋y 2|a 2c－x|＝c a ． 将上式两边平方，化简得（a 2－c 2）x 2＋a 2y 2＝a 2（a 2－c 2）．设a 2－c 2＝b 2，上式可化为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0），为椭圆的标准方程． 所以，点M 的轨迹是长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆，这个定点是椭圆的焦点，e ＝c a为离心率．（定直线为这个焦点对应的准线，此点可不介绍．） 说明：x ＝a 2c ＝a ·a c>a ·1＝a ． 3如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F 2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439 km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2 384 km ，并且F 2、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6 371 km ．求卫星运行的轨道方程（精确到1 km ）．解：如图，建立直角坐标系，使点A 、B 、F 2在x 轴上． F 2为椭圆的右焦点（记F 1为左焦点）．因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）． 则a －c ＝|OA |－|OF 2|＝|F 2A |＝6 371＋439＝6 810．a ＋c ＝|OB |＋|OF 2|＝|F 2B |＝6 371＋2 384＝8 755．解得a ＝7 782.5，c ＝972.5．∴b ＝a 2－c 2＝(a ＋c)(a －c)＝8 755×6 810≈77 21．因此，卫星的轨道方程是x27 7832＋y27 7212＝1．课堂小结椭圆离心率的概念，离心率的简单应用，椭圆第二定义，椭圆与生活．布置作业课本本节练习3，5．本节课是在上节课的基础上继续研究椭圆的性质4离心率，以及椭圆性质的简单应用，设计中考虑到上节课椭圆范围的研究方法，引导学生先用上节课的知识方法画出两个椭圆，再引导学生观察它们的异同，找出影响它们异同的关键因素a，c，再给出离心率的定义，这种设计以学生为主体，教师突出引导地位，例题1是为让学生熟悉椭圆的标准方程，和刚学的椭圆性质，例题2是让学生明白椭圆的另一种给出方法．最后给出的是一个实际问题，源于生活实际天体运行规律问题．只要读明白题意就好办了，教师要多做引导．。
从“小”做起,循序渐进地发展学生的数学素质--“椭圆的几何性质”教学实录及反思
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教 学
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教学 目标 ：（ ） １ 感受用 代数方法 研究几何 问题 的过程 ，掌
师 ：说 得 不 错 ！由 椭 圆上 的 点 的坐 标 范 围可 知 点 （ ３ ） ± ，０ ，
到相关的技能 和方法．为此 ，笔者作出在画椭 圆的过程中探讨 其
教学 内容 ：苏 教版 《 普通 高 中课 程标 准实验教科 书 ・ 数学
面对这样 的现 实 ，在课堂教 学中落实新课 程理念 ，就不 应 几何 性 质 的设 计 ． 片面追求问题情境 与学生数学发现 的 “ 大而新 ” ，而应多用适合
这 个 问题 ，至 少 要 认 清 以 下 两方 面 的事 实 ．
一
过 一 系 列 “ 问 题 ” 引 发 学 生 一 系 列 “ 发 现 ” 和 “ 创 造 ” 小 小 小 ，
方面是课 堂 ４ ５分钟 的教学实 际．在课堂 上 ，面对 问题 ， 取 得较 好 的实 际 效 果 ．
二 、教 材 分 析
另 一 方 面是 处 理 好 新 与 旧 的关 系．新 与 旧 是相 对 的 ，有 很 多 质 ．教 学本 节 内容 时 ，如 果 给 出椭 圆 的 图形 和 方 程 ，再 让 学 生 去
教师非常熟悉 的思想方法 ，对学生来说却 是新的 ，他们 的再发 讨 论 椭 圆 的性 质 ，则 学 生 会 从 图形 上 看 出 性 质 ，尽 管 可 以 要 求 现就是极具价值 的创新． 教学上 的创新无可厚非 ，但 已有 的、成 其 从 方 程 进 行 验 证 或 推 证 ，但 与 直 接 从 方 程 出 发 来 探 讨 椭 圆 的 熟 的教育教学研究成果的应用 同样 重要 ， 因为这样做 ，不仅体 性质相 比，后者 不仅更能 突出学科基本思想 ，学生也更容 易学 现出理论研究 的价值 ，而且可 以提升教育教学 的效率．
椭圆的简单几何性质(1)课堂实录
椭圆的简单几何性质（1）课堂实录教学过程一、创设情境引导目标与内容教师： 2003 年 10 月 15 日是每一个中国人为之骄傲的日子（课件展示飞船绕地球运行模拟图），大家还记得这一天吗？学生：神州五号飞船发射成功。
教师：对，神州五号载人飞船顺利发射升空，实现了几代中国人遨游太空的梦想。
你知道照片上这个人吗？（屏幕打出杨利伟照片）学生：杨利伟教师：他是我们民族的英雄，我们应向他学习。
通过前面的学习我们知道，飞船在变轨前是沿着地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的，如果告诉你飞船的轨道方程，你怎样作出飞船的轨迹呢？这个问题的实质是什么？学生：已知一个椭圆的方程，画出这个椭圆。
教师：让学生拿出预习中用描点法画出所示的图形，同时计算机给出作图过程，纠正学生作图中存在的问题后给出：这种作图方法虽然比较准确，同学们通过作图体会到了什么？学生：麻烦。
教师：有简单的方法吗？如果有，需要知道什么呢？学生：研究曲线的特点。
教师：对，如果我们能根据椭圆的方程，探讨出它的几何特征，那么作图就很方便了。
这节课我们就一起来学习椭圆的简单几何性质（引出课题）教师：前面我们学习了椭圆的哪些知识？学生：学习了定义和标准方程。
教师：你还记得标准方程吗？这节课就以（ a ＞ b ＞ 0 ）为例来研究。
二数学建构（ 1 ）范围引导学生用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。
学生 D ：由利用两个实数的平方和为 1 ，结合不等式知识得≤且≤，则有 -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ b. 教师：很好，谁还有不同意见？学生 E ：利用三角换元，令θ，θ，θ∈ R 。
由弦函数有界可得范围。
教师：这个想法也不错，谁还有不同见解？学生 F ：从中解出，利用≥ 0 可得 y 的取值范围，同样可得 x 的取值范围。
教师：这种想法也不错，谁还有不同见解？此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、植域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？学生议论纷纷，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。
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《椭圆的简单几何性质》听课实录在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。
本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。
再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。
在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。
但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。
还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。
在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。
本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。
再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。
在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。
但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。
还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。
在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。
本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。
再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。
在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。
但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。
还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。
在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。
本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。
再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。
在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。
但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。
还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。
在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
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本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
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再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。
在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。
但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。
还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
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在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。
本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。
再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。
在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。
但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。