苏教版数学初二下期末重点题

苏教版 初二（下 ）期末数学重点题

1．阅读下面的短文，并回答下列问题

我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a ：b ）。设S 甲、S 乙 分别表示这两个立方体的表面积，则

222)(66b a

b

a S S ==乙甲，

V 甲、V 乙 分别表示这两个立方体的体积，则333)(b

a

b a V V ==乙甲

。（1）下列几何体中，一定属于相似

体的是（ ）

A 两个球体

B 两个圆锥体

C 两个圆柱体

D 两个长方体

（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于_______ ；②相似体表面积的比等于_____________ ；③相似体体积的比等于________________________ 。

（3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元。康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意？ 2．如图，在平面直角坐标系内，已知点A (0，6)、点B (8，

0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段DA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒， (1)求直线AB 的解析式；

(2)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似?并求出此时点P 与点Q 的坐标； (3)当t 为何值时， △APQ 的面积为

24

5

个平方单位? 3．“三等分角”是数学史上一个着名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边

OB 在x 轴上、边OA 与函数

x

y 1

=

的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=3

1

∠AOB ．要

明白帕普斯的方法，请研究以下问题：

（1）设)1,

(a a P 、)1

,(b

b R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）． （2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请

说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=3

1

∠AOB ．

（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

4.已知,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD

（1）P 为AD 上一点,满足∠BPC=∠A,求证:△ABP ∽△DPC ；

B

C

D

A

P

E

C

B

A

（2）如果点P 在AD 边上移动（P 与点A 、D 不重合）， 且满足∠BPE=∠A,PE 交直线BC 于点E,同时交直线DC 于点Q ,那么,当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP=x ，CQ=y ， 求关于的函数解析式,并写出函数的取值范围.

5、如图在平面直角坐标系中，已知直角梯形OABC 的顶点分别是O （0，0），点A （9，0），B （6，4），C （0，4）．点P 从点C 沿C —B —A 运动，速度为每秒2个单位，点Q 从A 向O 点运动，速度为每秒1个单位，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．两点同时出发，设运动的时间是t 秒．（1）点P 和点Q 谁先到达终点？到达终点时t 的值是多少？

（2）当t 取何值时，直线PQ ∥AB ？并写出此时点Ｐ的坐标．（写出解答过程）

（3）是否存在符合题意的t 的值，使直角梯形OABC 被直线PQ 分成面积相等的两个部分？如果存在，

求出t 的值；如果不存在，请说明理由．

（4）探究：当t 取何值时，直线PQ ⊥AB ?（只要直接写出答案，不需写出计算过程）．

图 １ 图 ２（备用） 图 ３（备用

6．如图一，等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连结AE 。求证：AE ∥BC ；

（2）如图二，将（1）中等边△ABC 的形状改成以BC 为底边的等腰三角形，所作△EDC 改成相似于△ABC 。请问：是否仍有AE ∥BC ？证明你的结论。

7．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F.

（1）求证：△APE ∽△ADQ ；

（2）设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？

（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）

8、⑴如图①，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 与BC 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为F ，试回答图中，△DEF ∽△ ，△BEF ∽△ ，△ABE ∽△

⑵、如图②，工地上有两根电线杆，分别在高为4m 、6m 的A 、C 处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 处离地面的高。

⑶、如图③，已知：AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交AB 于点F ，分别对AB 、CD 取几组简单的值，并计算

CD

EF

AB EF

的值，你有什么发现？请给予说明。 9、已知：如图，在⊿ABC 中，AB=3，AC=2，能否在AC 上（不同于A 、C ）找到点D ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ，过点E 作EF ∥AC 交AB 于F ，连

结FD ，将⊿ABC 分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1？若能，求出点D 的位置；若不能，请说明理由。 10. 在△ABC 中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角形尺，将直角顶点放在斜边BC 边的中点O 处，顺时针方向旋转（如图1）；使90°角的两边与Rt △ABC 的两边AB ，AC 分别相交于点E ，F （如图2），设BE=x ，CF=y 。 （1）求

y 与x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；

（2）将三角尺绕O 点旋转的过程中，△OEF 是否能成为等腰直角三角形？若能，请证明你的结论；

A

B

C

D P E

F

Q

图②

M

F E D C

B H A A B E

F C

D

图③

A

C

B

D F

E 图①