第9讲.数论中的组合.答案

第9讲 数论中的组合
1. 下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125.在这些自然数中，请问：
（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？
（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？
答案：(1)能被2整除的数末位应是2的倍数，有：14，80，152，650，434，9064,； 能被4整除的末两位应为4的倍数，有：80,152,9064；
能被8整除的末三位应为8的倍数，有：80,152,9064；
（2）能被5整除的末位应为5的倍数，有35,80,650,4375,24125；
能被25整除的末两位应为25的倍数，有：650,4375,24125；
能被125整除的末三位应为125的倍数，有：4375,24125；
2. 一个三位数64的十位数字未知.请分别根据下列要求找出“
”中合适的取值：
（1）如果要求这个三位数能被3整除，“
”可能等于多少？ （2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？ 答案：（1）数字和保证是3的倍数，则可填写2,5,8；
（2）能被4整除，则末两位能被4整除，则可填写0、2、4、6、8；
3. 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？
答案：一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9的倍数，而4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．
4.从自然数1，2，3，，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？
答案：设a ，b ，c ，d 是所取出的数中的任意4个数，则18a b c m ++=，18a b d n ++=，其中m ，n 是自然数.于是()18c d m n -=-.上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同.设这个余数为r ，则118a a r =+，118b b r =+，118c c r =+，其中1a ，1b ，1c 是整数.于是()111183a b c a b c r ++=+++.因为()18|a b c ++，所以18|3r ，即6|r ，推知0r =，6，12.因为1000551810=⨯+，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，
，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被
18整除.
5. 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

答案：方法一：设补上数字后的六位数是865abc ，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应满足以下三个条件：
第一：数字和(865)a b c +++++是3的倍数；
第二：末两位数字组成的两位数bc是4的倍数；
第三：末位数字c是0或5。

由以上条件，4|bc，且c只能取0或5，
又能被4整除的数的个位数不可能是5，∴c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一。

又3|8650
ab，且（8+6+5）除以3余1，∴a b
+除以3余2。

为满足题意“数值尽可能小”，只需取0
b=。

∴要求的六位数是865020。

a=，2
方法二：利用试除法，由于要求最小数，用865000进行试除分别被3、4、5整除，就是被60整除，865000601441640
+=能被60整除
÷=，所以86500020865020∴要求的六位数是865020。