运用Matlab进行线性规划求解实例

8.2 线性规划

线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。

8.2.1 基本数学原理

线性规划问题的标准形式是：

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112

121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 或

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j

j ,,2,1,0,,2,1,min 1

1ΛΛ

写成矩阵形式为：

⎪⎩

⎪⎨⎧≥==O X b AX CX z min

线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。

MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。

8.2.2 有关函数介绍

在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。

linprog 函数的调用格式如下：

●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。

●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。

●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。

●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。

●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。

●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。

●[x,lambda,exitflag]=linpro g(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到

lambda 参数中。

调用格式中，lambda 参数为解x 处包含拉格朗日乘子的结构。它有以下一些字段：

lower —下界lb

upper —上界ub

ineqlin —线性不等式

eqlin —线性等式

exitflag 参数表示算法终止的原因，下面列出不同值对应的退出原因：

1 函数在解x 处有解

0 迭代次数超过options.MaxIter

-2 没有找到可行点

-3 问题无解

-4 执行算法时遇到NaN

-5 原问题和对偶问题都不可行

-7 搜索方向太小，不能继续前进。

8.2.3 应用实例

例8－2 某河流边有两个化工厂，流经第一个化工厂的河水流量是每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为200万立方米的支流（如图8－1所示）。第一个化工厂每天排放工业污水2万立方米，第二个化工厂每天排放工业污水1.4万立方米，从第一个化工厂排出的污水流到第二个化工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%，因此两个化工厂都必须各自处理净化一部分污水，第一个化工厂处理污水的成本是0.1元∕立方米，第二个化工厂处理污水的成本是0.08元∕立方米。问在满足环保要求的条件下，各化工厂每天应处理多少污水，才能使两厂总的处理污水费用最少？

第一化工厂 第二化工厂

图8－1

解：设1x ，2x 分别表示第一个化工厂和第二个化工厂每天处理的污水量（万立方米∕天）。

则目标函数：218001000x x f +=（元∕天）

约束条件1：

%2.0500

21≤-x ，即11≥x ； 约束条件2：%2.0700

)4.1()2(8.021≤-+-x x ，即6.18.021≥+x x ； 约束条件3：⎩⎨⎧≤≤4.1221x x 。

因此，该问题的线性规划模型归结为：

218001000m in x x f +=

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≤---≤-0,4.12

6.18.01..2121211x x x x x x x t s 求解程序：

%线性规划问题

f=[1000 800];

A=[-1 0;-0.8 -1;1 0;0 1];

b=[-1;-1.6;2;1.4];

lb=zeros(2,1);

[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb)

运行结果：

x =

1.0000

0.8000

fval =1.6400e+003

exitflag =1

由上可知，第一个化工厂每天处理的污水量为1万立方米∕天，第二个化工厂每天处理的污水量为0.8万立方米∕天，才能使两厂总的处理污水费用最少。