人教版垂径定理

B D
5个条件中，任满足2个，剩下3个结论都成立。
由 (2)、(3)，得(1)、(4)、(5)。 常用此方法来确定圆心的位置
C A
B O
例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA.
OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4 22
证明：∵ AB⊥ AC于A， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E
∴ OEA ODA EAD 90
∴四边形ADOE为矩形，
C
又由垂径定理：AE 1 AC AD 1 AB
2
2
E
且 AC=AB
∴ AE=AD
A
·O
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D
B
∴ 四边形ADOE为正方形.
C
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧．
·O
E
A
2.垂径定理推论：
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧．
（5）平分弦所对的劣弧 AD=BD
C
· 如图，若CD是直径，且CD平分弦AB （不是直径）， O
是否能得到CD⊥AB，且平分弧ACB和弧
AB？为什么？
E
A
CD⊥AB AC=BC AD=BD
B
垂径定理推论：
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
思考：如果AB也是直径，
上述结论是否成立？
不一定.
符号语言：
∵ CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径）， C
AC
且AE=BE，
AO B
O
∴ CD ⊥ AB ，
，
.
D
B D
C
（1）过圆心（CD是直径）；
（2）垂直于弦（CD ⊥AB于E）； （3）平分弦（AE=BE）；
·O
E
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=B）D ； A （5）平分弦所对的优弧（ AC=BC）.
C. 4 2 D. 4 3
·O
Ｐ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
6. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨
度ＡＢ的长为２４米，拱桥的半径为１３米，则拱高
ＣＤ的长为（ B）米。
C
A. ５ C. ７
B. ８ D. 5 3
D
A
B
O
巩固练习
7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。 求证：四边形ADOE是正方形．
·
在Rt AOE中，由勾股定理得：
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
1. 如图，在⊙O中，直径为10cm， A
E
B
弦AB的长为8cm，求圆心O到AB 的距离.
·
O
2. 如图，在⊙O中，直径为10cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求弦 AB的长.
OC
４. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E， 若B
AB=20，CD=16，则线段OE等于（ ）。B
A. 4 B. 6
A
C. 8 D.10
O
C ED B
巩固练习
5. 如图，⊙O的直径ＡＢ垂直弦ＣＤ于Ｐ，且 Ｐ是半径ＯＢ的中点，ＣＤ＝６，则直径 Ａ AB的长为（ D）。
A. 2 3 B. 3 2
教学目标：
1. 理解圆是轴对称图形.
2. 掌握垂径定理和推论的推理过程，并能解决一些简单的计算、 证明和作图问题。
3. 使学生了解垂径定理及推论在实际中的应用，培养学生把 实际问题转化成数学问题的能力。
教学重点：
1.垂直于弦的直径的性质、推论及应用。 2.利用垂径定理及推论解决实际问题。
教学难点：
rd
B
即: r2=18.72+（r－7.2）2
解得：r≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
AB=37.4m CD=7.2m
巩固练习
1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，下列结论不一定成
立的是（ ）
C
Ａ． CM=DM
A
Ｂ．
Ｃ． AAD=C2B=DAD
O
Ｄ．∠BCD=∠BDC
相等的弧： AC=BC AD=BD
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． A
·O
E B
符号语言：∵ CD是⊙O的直径，CD⊥AB于E，
D
∴AE=BE, AC=BC，AD=BD .
若一条直线满足：（1）过圆心 CD是直径 （2）垂直于弦 CD ⊥AB于E
则可推出（：3）平分弦 AE=BE （4）平分弦所对的优弧 AC=BC
CM
D
B
2. 如图，在⊙O中，P是弦ＡＢ的中点，ＣＤ是 过点Ｐ的直径，则下列结论不正确的是（ ）Ｄ
C
Ａ．CD ⊥AB
Ｂ．AC=BC
C． AD=BD Ｄ．ＰＯ＝ＰＤ
·O
Ｐ
A
B
D
巩固练习
３. 如图，周长为10 的⊙O中，弦AB的弦心距OC等于3，那么
弦AB的长为（ ）。 A. 2 B. 4
D
A
C. 6 D. 8
过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，
∵半径OC⊥弦AB AB=37.4，CD=7.2，
∴ AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
C
∴ OD=OC－CD=r－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2
r2 =d2+(a2)2 h+d=r A
h
a/2 D
1.对垂直于弦的直径的性质、推论的说明过程的理解。 2.应用垂径定理及推论解决实际问题。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
实践探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直 径对折，重复几次，你发现了什么？由 此你能得到什么结论？
C
可以发现：
圆是轴对称图形，任何
·O
一条直径所在直线都是
它的对称轴．
D
如图 ，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
相等的线段： AE=BE
3. 设⊙O的半径是r，圆心到弦
的距离为d，弦长为a，这三者 间有怎样的关系式？
rd
r2 =d2+(a2)2
a
2 构造直角三角形，利用垂径定理 和勾股定理，解决问题。
解决求赵州桥拱半径的问题？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 解: 如图，用弧AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为r．