结构可靠指标计算的蒙特卡罗法(第二次)讲解
蒙特卡洛模型方法
二、理论和方法
蒙特卡洛模拟早在四十年前就用于求解核物理方面的问题。当管理问题更为复杂时，传统的数学方法就难以进行了。模拟是将一个真实事物模型化，然后对该模型做各种实验，模拟也是一个通过实验和纠正误差来寻求最佳选择的数值性求解的过程。模拟作为一种有效的数值处理方法，计算量大。以前只是停留在理论探讨上，手工是无法完成的。在管理领域由于规律复杂随机因素多，很多问题难以用线性数学公式分析和解决，用模拟则有效得多。在新式的计算机普及后，用模拟技术来求解管理问题已成为可能。
从表中数据可以看到，一直到公元20世纪初期，尽管实验次数数以千计，利用蒙特卡罗方法所得到的圆周率∏值，还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度。这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原因。
计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及。现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
设有统计独立的随机变量Xi（i＝1，2，3，…，k），其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z＝g（x1，x2，…，xk）。
蒙特卡罗方法
)
其中 c0 2.515517, c1 0.802853,c2 0.010328;
d1 1.432788; d2 0.189269; d3 0.001308
§2 随机数的产生和随机变量的抽样
随机变量的抽样
连续型随机变量的抽样：
3.正态随机变量的抽样方法
(2)基于中心极限定理的方法
N i 1
Xi )2
§1 蒙特卡洛方法该概述---减小误差
减小方差的各种技巧:
显然当给定置信度α（λα）后，误差ε由σ和N决定。要减小ε：
（1）增大试验次数N。在σ固定的情况下，要把精 度提高一个数量级，试验次数N需增加两个数量级。 因此，单纯增大N不是一个有效的办法。
N
（2）减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这 相当于N增大四倍的效果。
理论依据： 大数定理：均匀分布的算术平均收敛于真值 中心极限定理：置信水平下的统计误差
两个例子： Buffen投针实验求π 射击问题（打靶游戏）
§1 蒙特卡罗方法概述---基本思想
Buffon 投针问题:平面上画很多平行线，间距为 a．向此平面投掷长为l (l < a) 的
针,此针与任一平行线相交的概率 p。
数r,计算满足条件：p(i-1) r p(i)的i值，所
对应的i即为离散型随机变量的一个样本值。
§2 随机数的产生和随机变量的抽样
随机变量的抽样
离散型随机变量的抽样：
2.泊松分布的抽样方法
若N是服从泊松分布的离散型随机变量，其取值为n的概
率为
P(N n) e n (n 0,1, 2,...)
3.计算机方法
根据数论方法，通过数学递推公式运算来实现。 这种方法得到的随机数其实是一种伪随机数。
用MATLAB实现蒙特卡罗法计算结构可靠度
[ 作者简介 ] 冯晓波 ,男 ,29 岁 ,助教 ,博士研究生 (收稿日期 :2002 - 04 - 02)
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《中国农村水利水电》1994 年 ,1995 年精装合订本 ,每本各 48. 00 元 ;1996 年 、1997 年 、1998 年 、1999 年精装合订本 ,每本各 96. 00 元 ; 2000 年 、2001 年精装合订本 , 每本 120. 00 元 ; 1992 年简装合订本 , 每本 42. 00 元 。
如果其中某一随机变量为极值型分布 ,则先用均匀分布随
机数发生器指令 r = rand ( m′, n′) ,产生一个 m′行 n′列的均布
随机变量数组 r ,然后用式 x = F- 1 ( r) 解出服从极值分布的随
机变量数组 ,再与用前述方法产生的其余变量一起代入功能函
数求解即可 。程序框图如图 1 :
(2) 在蒙特卡罗法计算中 ,当结构失效概率很小时 ,抽样模
拟次数很大 ,会大大增加计算量 ,尤其当功能函数的计算需要
进行结构整体有限元分析时更是如此 。但随着各种改进方
法[4～5]和高性能计算机的出现 ,这些问题将得到较大的解决 。
(3) MATLAB 的强大功能为结构可靠度计算提供了便利 ,研
究人员可迅速编出科学高效的计算程序 ,大大提高了效率 。在
1 蒙特卡罗法
在结构可靠性分析中运用蒙特卡罗法[1] 方法 ,首先考虑各 基本变量相互独立的情况 。设基本变量 x1 , x2 , …, xn 分别有分 布函数 Fx1 ( x1) , Fx2 ( x2) , …, Fxn ( xn) ,因为 Fxi ( xi) 为[0 ,1 ] 区间 上的一个数 , 可以将其与由蒙特卡罗法产生的随机数 rj 对应 。 这样 ,便可得到 xi = F-xi1 ( rj) , i = 1 ,2 , …, n 。对于每一个 rj 值 , 可以得到一组对应的基本变量 x1 , x2 , …, xn 。将这组值代入功 能函数 g ( x1 , x2 , …, xn) ,便得到一个值 , 该值若小于等于 0 , 则 在程序中记录一次功能函数的实现 ,大于 0 则不记入 。再对另一 随机数重复进行这些计算 , 直到完成预定的循环次数 。假定所 进行的循环次数为 K 次 , g ( x1 , x2 , …, xn) ≤0 的次数为 m 次 , 则可得失效概率为 Pf = m/ K(要求 K 足够大) 。
可靠性和可靠性灵敏度分析的Monte Carlo数值模拟法
E Pˆ f
1 N
E
N
IF (xj )
j1
E IF ( x j )
Pf
EIF (x) IF
E Pˆf IF
1 N
N
IF ( x j ) Pˆf
j1
3 Monte Carlo 可靠性分析
失效概率估计值的方差可以通过对式(1)两边求方差得如下：
Var
Pˆf
Var
1 N
N j 1
如下
将可靠性灵敏度定义式做如下变换，可使可靠性灵敏度变 成数学期望的形式，之后就可以采用 Monte Carlo 数值模 拟来估计可靠性灵敏度。
5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析
Pf
g( x)0 f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
Rn IF f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
Rn IF ( x) f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn E[IF ( x)]
式中，I
F
(
x)
1, 0,
xF xF
为失效域指示函数；Rn为n维变量空
间；E[.]为数学期望算子。
3 Monte Carlo 可靠性分析
失效概率为失效域指示函数的数学期望，依据大数定律，失 效域指示函数的数学期望可以有失效域指示函数的样本均值 来近似。
dxR
1 FS (xR )
fR (xR )dxR
具有n设计变量的机械系统的功能函数可以表示为
Z g( x) g(x1, x2, ..., xn )
则极限状态方程g(x1, x2, …, xn)=0将结构的基本随机变
量空间分为失效域和可靠区域两部分。
《蒙特卡罗方法》ppt课件
I
1 dx 0 1 x2
解：选择分布函数
(x) 1(42x)
3
y(x)
xHale Waihona Puke (x')dx'
4x
x2
0
3
x(y) 2 43y
1.3.3 Metropolis 算法
对积分区间的重要抽样要求我们获得x(y)，而这只对极少数的分 布 (x)可以解析地做到。
Metropolis 算法： 一种很普遍的产生具有任不测形的给定概率分布随机变量的方法。
r (Rt) 来决议是“接受〞还是“回绝〞这 (一R实n ) 验步．假设r大于l，那么接受这一步
(取Rn+1=Rt)；而假设r小于1，那么以概率r 接受这步．这时我们把r和一个 在[0，1]区间上均匀分布的随机数比较，假设 <r就接受这一步．假设这 一实验步不被接受，就舍弃它．而取Rn+1=Rn；这样产生出Rn+1之后，可 以从Rn+1出发迈出一个实验步按照同样的过程产生Rn+2，‘恣意’点R0都 可以用作随机行走的起点．
narea of yellowpart
N area of the square 4
4n N
圆周率的值
π = 3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 41 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 .....
5_机械可靠性的蒙特卡罗方法及应用_v2
直接抽样方法算例
失效概率的估算值：
N
nf
Pf =
∧
100
200
300
400
500
1000
2000
3000
4000
5000
11
24
39
53
65
115
246
381
508
635
0.110 0.120 0.130 0.133 0.130 0.115 0.123 0.127 0.127 0.127
nf N
算法比较
δp =
tf
σp µp
tf
=
1 − Pf NPf
tf
或
N=
1 − Pf
2 δ p Pf
tf
−3 成反比;当 为一小量, 这就说明 Pf 与N 成反比 当 Pf 为一小量 估算精度δ ptf = 0.1即 Pf = 10
才能满足对失效率的抽样估计。 N = 105 才能满足对失效率的抽样估计。 而工程结构破坏的概率通常都是很小的， 而工程结构破坏的概率通常都是很小的，这说明抽样次数必须很大才能给 出这个正确的估计。 出这个正确的估计。 很明显，直接的蒙特卡罗方法很难应用于工程结构可靠分析之中， 很明显，直接的蒙特卡罗方法很难应用于工程结构可靠分析之中，只有利 用减缩方差技术，降低抽样模拟次数才会使蒙特卡罗方法得以应用。 用减缩方差技术，降低抽样模拟次数才会使蒙特卡罗方法得以应用。
pv (v) 和 f X (v) 抽样示意图
重要抽样方法
数学上表示： 数学上表示：Pf = ∫ +∞ I [ g ( v )] f X ( v ) p v ( v ) dv −∞
X
2
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）又称几何表面积法，是用来解决统计及数值分析问题的一种算法。
蒙特卡洛方法利用了随机数，其特点是算法简单，可以解决复杂的统计问题，并得到较好的结果。
蒙特卡洛方法可以被认为是统计学中一种具体的模拟技术，可以通过模拟仿真的方式来估算一个问题的可能解。
它首先利用穷举或随机的方法获得随机变量的统计数据，然后针对该统计数据利用数理统计学的方法获得解决问题的推断性结果，例如积分、概率等。
蒙特卡洛方法在计算机科学中的应用非常广泛，可以用来模拟统计物理、金融工程、统计数据反演、运行时参数优化以及系统可靠性计算等问题，因此广泛被用于许多不同的领域。
蒙特卡洛方法的基本思想是：将一个难以解决的复杂问题，通过把它分解成多个简单的子问题，再用数学方法求解这些子问题，最后综合这些简单问题的结果得到整个问题的解。
蒙特卡洛方法的这种思路，也称作“积分”，即将一个复杂的问题，分解成若干小问题，求解它们的结果，再综合起来，得到整体的结果。
蒙特卡洛方法以蒙特卡罗游戏为基础，用统计学的方法对游戏进行建模。
蒙特卡罗方法完整教程(WORD文档内附有源码)
Monte Carlo 方法法§1 概述Monte Carlo 法不同于确定性数值方法，它是用来解决数学和物理问题的非确定性的（概率统计的或随机的）数值方法。
Monte Carlo 方法（MCM ），也称为统计试验方法，是理论物理学两大主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（用于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态。
它是用一系列随机数来近似解决问题的一种方法，是通过寻找一个概率统计的相似体并用实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的一种手段。
运用该近似方法所获得的问题的解in spirit 更接近于物理实验结果，而不是经典数值计算结果。
普遍认为我们当前所应用的MC 技术，其发展约可追溯至1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。
MCM 的发展归功于核武器早期工作期间Los Alamos （美国国家实验室中子散射研究中心）的一批科学家。
Los Alamos 小组的基础工作刺激了一次巨大的学科文化的迸发，并鼓励了MCM 在各种问题中的应用[2]-[4]。
“Monte Carlo ”的名称取自于Monaco （摩纳哥）内以赌博娱乐而闻名的一座城市。
Monte Carlo 方法的应用有两种途径：仿真和取样。
仿真是指提供实际随机现象的数学上的模仿的方法。
一个典型的例子就是对中子进入反应堆屏障的运动进行仿真，用随机游动来模仿中子的锯齿形路径。
取样是指通过研究少量的随机的子集来演绎大量元素的特性的方法。
例如，)(x f 在b x a <<上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进行估计。
这就是数值积分的Monte Carlo 方法。
MCM 已被成功地用于求解微分方程和积分方程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其用于计算多重积分。
任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要一种产生或获得随机数的方法。
这种仿真的例子在中子随机碰撞，数值统计，队列模型，战略游戏，以及其它竞赛活动中都会出现。
结构可靠指标计算的蒙特卡罗法(第二次)
II随机变量函数法产生随机数——举例
例4-4 X1,X2是两个相互独立的标准正态分布N（0，1）的随
机变量；R1,R2是两个相互独立的（0，1）均匀分布随机变量， 试产生N(μ,σ)的随机数。 X 1 2 ln R1 cos(2R2 ) （1）可以证明右式成立 X 2 2 ln R1 sin(2R2 )
1 / 8 0.125
试产生设计基准期内楼面荷载变化次数的5个样本值
r e
i i 0
n 1
ri
i 0
n
解
P[N(T ) n] e-T
( T ) n n!
（n 0,1,2, )
（1）设计基准期内楼面荷载的平均变化次数 T 0.125 50 6.25
抽样模拟多少次？ 如何随机抽样？如 何保证样本与实际 情况大体相符合？
5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法精度
4 N ˆ p f 2
结论：精度与抽样模拟总数有关。换句话说，要想提 高精度，必须将抽样模拟总数提高
5.4随机变量的抽样
抽样方法：首先产生在开区间（0，1）上 的均匀样本值（随机数） ，在此基础上通 过一定的计算再变换成给定分布变量的随 机数。
5.1.2对蒙特卡罗法简明的理解
1.已知 Z g ( x1 , x2 xn )
x , x x ; x , x x ;
1 2 n 1 2 n
2.用某种方法产生样本 3.计算结构的状态
( x1 , x2 xn )i
当然，样本的统 计特征应与已知 值一致。
0可靠 Z g ( x1 , x2 , xn ) 0极限状态 统计时以 为失效。 0失效
可靠性与风险分析蒙特卡罗方法
可靠性与风险分析蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是一种基于随机数和随机过程的数值计算方法，其核心思想是通过模拟大量的随机事件来近似求解复杂的问题。
蒙特卡罗方法最早起源于20世纪40年代的美国曼哈顿计划，用于核武器设计中的概率统计分析。
现在蒙特卡罗方法已广泛应用于金融、工程、风险管理等领域。
在可靠性与风险分析中，蒙特卡罗方法通常用于评估系统的可靠性水平以及可能出现的风险。
通过建立系统的概率模型，并利用随机抽样的方法产生大量的随机样本，可以利用统计方法对样本进行分析，得到系统的可靠性指标以及风险评估。
蒙特卡罗方法的关键是如何建立合适的概率模型和生成随机数的方法。
在可靠性分析中，蒙特卡罗方法可以用来评估系统的失效概率、可用性、可靠度等指标。
通过随机抽样的方式模拟系统的运行过程，并根据系统的运行状态来判断是否发生失效，最终可以得到系统的失效概率等指标。
蒙特卡罗方法的优势在于能够处理复杂的系统结构和故障模式，具有较好的适用性和灵活性。
在风险分析中，蒙特卡罗方法可以用来评估系统的风险水平以及可能的损失。
通过建立系统损失与系统状态之间的概率模型，并利用随机抽样的方式模拟系统的运行过程，可以得到系统的损失分布，从而评估系统的风险水平。
蒙特卡罗方法的优势在于能够考虑不确定性因素的影响，对于复杂的风险分析问题具有很好的适用性。
蒙特卡罗方法在可靠性与风险分析中有着广泛的应用。
在金融领域，可以用蒙特卡罗方法来评估投资组合的风险以及可能的收益；在电力系统中，可以用蒙特卡罗方法来评估电网的可靠性以及可能的故障损失；在工程领域，可以用蒙特卡罗方法来评估工程项目的可靠性以及可能的延误风险。
总之，蒙特卡罗方法在可靠性与风险分析中的应用非常广泛，为决策者提供了一种可靠和灵活的分析工具。
总结起来，可靠性与风险分析蒙特卡罗方法是一种通过随机模拟和统计分析来评估系统的可靠性和潜在风险的方法。
其原理是基于随机数和随机过程的数值计算方法，通过模拟大量的随机事件来近似求解复杂的问题。
Monte Carlo2
Monte Carlo 方法亦称为随机模型（Random simulation ）方法，有时也称作随机抽样技术或统计试验方法。
是一类通过随机模拟和统计试验求解数学、物理和工程技术问题近似解的数值方法。
其基本思想是：当实验次数充分多时，某一事件出现的频率近似于该事件发生的概率。
蒙特卡洛方法，也叫蒙特卡洛分析，是一种使用随机抽样统计来估算数学函数的计算方法。
它需要一个良好的随机数源。
这种方法往往包含一些误差，但是随着随机抽取样本数量的增加，结果也会越来越精确。
蒙特卡洛方法在纯数学方面一般用来求解一个函数的定积分。
它的计算过程如下：先在一个区间或区域内随机抽取一定数量的独立变量样本，然后求相应的独立因变量的平均值，最后用随机样本所在区间（或区域）的长度（或大小）乘以所求出的平均值。
它与传统的估算定积分的方法有很大差别，传统方法在区间或区域内抽取样本点时是间隔相等、均匀抽取的。
蒙特卡洛方法以其在第二次世界大战时被用于原子弹的设计而闻名于世。
现在它也已经被应用于多种领域，如超高速公路的运输流量分析、行星演变模型的建立以及股票市场波动的预测。
这种方法同样也可应用于集成电路设计、量子力学和通信工程。
根据车比雪夫定理，设x1, x2,…,xn,…,是相互独立的随机变量序列，它们服从相同的分布，且有有限的数学期望a 和方差 ，则x1, x2,…,xn ，的算术平均值当时 按概率1收敛于a ，即对于任意 >0有： 由中心极限定理得到：即当n 很大时，近似服从标准正态分布。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的"图形"，如何求出这个"图形"的面积呢？Monte Carlo 方法是这样一种"随机化"的方法：向该正方形"随机地"投掷N 个点,其中有M 个点落于"图形"内，则该"图形"的面积近似为M/N 。
蒙特卡罗(Monte Carlo method)方法知识详解
蒙特卡罗（Monte Carlo method）方法知识详解蒙特卡罗方法（英语：Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
20世纪40年代，在冯·诺伊曼，斯塔尼斯拉夫·乌拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡罗方法。
因为乌拉姆的叔叔经常在摩纳哥的蒙特卡洛赌场输钱得名，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特卡罗方法在金融工程学、宏观经济学、生物医学、计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）机器学习等领域应用广泛。
一、蒙特卡罗方法的基本思想通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。
例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。
中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向。
科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据。
另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。
通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解。
这种方法多用于求解复杂的多维积分问题。
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡罗方法基于这样的思想：假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
蒙特卡罗方法PPT课件
5.2 随机数和伪随机数
• 5.2.2 伪随机数
• 伪随机数是用数学方法产生的随机数，在给定初值下，由以下的递推公式
• 确定
(n=1，2，…)n。1 T (n )
(5.9)
• 由此产生的随机数n1并不相互独立，可通过适当地选取递推公式来近似满足
独立性要求；另一方面，在电子计算机表示中在(0，1)之间的随机数是有
第25页/共83页
5.3.2 重要抽样
• 把任意陡的被积函数变换成非常平滑的函数且调整积分区间的想法是至要 抽样法的基本思想。换句话．由简单抽样法扩展为重要抽样法，其一个最 主要的改进应当是使用了权重被积函数。这就是说，所使用的伪随机数是 从非均勾分布中选取的。这种操作方法允许我们把精力集中于在空间区域 对函数值的计算与评价，使其对积给出恰当的贡献。引入权重函数g(x)， 则对积分J得估算可以写成：
第4页/共83页
• 针相对于平行线的位置可以用一个随机向量表示 A [0, d )
[0, )
• 随机向量平均分布在区间[0,d)×[0,).
• 其概率密度函数为1/d.
•
针
与
平
行
线p
相
交
0
的0lsin概 d1率d为Ad
2l
d
(5.1)
第5页/共83页
5.1 基本思想和一般过程
• 5.1.2 马尔科夫(Markov)过程
•
初 或
始 转
概
率
p
(
x
0
)=
1
。
因
此
将
这
些
条
件
概率称之
为单步 (5.3)
跃
蒙特卡洛法
蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。 半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机 的发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来， 并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡 罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很 大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由 于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物 理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因 而该方法的应用领域日趋广泛。
N
p f (1 p f )
(1 p f )p f
当选取95%置信度时 p f pf 2
N
用相对误差表示
p f pf pf
2
(1 p f )
N pf
由于一般pf是一个小量，可以近似表示为
2
,
N
4
N pf
如果=0.1
pf 2
N
400
pf
•
减小方差的各种技巧
aP
2nl
ma
计算高维积分、解椭圆和抛物线型偏微分方程解、 代数方程组、计算逆矩阵等
蒙特卡洛方法的收敛性、误差及特点 设某个随机变量的简单样本为
X 1 ,X 2 , X n
其算术平均为
X
由强大数定理
Xi n
1
lim P{| X E(X ) | } 1
当n足够大时,X 依概率收敛于E(X)
针线相交的充要条件：
x l sin
2l
x和φ 的概率密度为1/a和1/ π
P
0
l sin
1
0
a
dxd
结构可靠度分析中蒙特卡洛模拟的应用
结构可靠度分析中蒙特卡洛模拟的应用蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
不确定性是工程中存在的客观现象，它影响着结构的安全性。
结构概率设计考虑了实际工程中设计、施工、使用工程中的不确定因素，因此概率设计方法有广泛的应用价值，结构可靠度分析是以概率理论为基础的。
蒙特卡洛法又称随机抽样法或统计试验法。
该方法是通过随机模拟和统计试验来求解结构可靠性的近似数值方法。
当用蒙特卡洛方法求解某一事件的概率时,可以通过抽样试验的方法,得到该事件出现的频率,将其作为问题的解。
采用蒙特卡洛法进行可靠度分析,可以回避结构可靠度分析中的数学困难,既可以不考虑功能函数的复杂性,而且其收敛速度与随机变量的维数无关,极限状态函数的复杂程度与模拟过程无关,更无需将状态函数线性化和随机变量“当量正态”化,具有直接解决问题的能力。
用蒙特卡洛方法模拟结构失效概率时，由于模拟次数总是有限的，所以模拟结果是一个随机变量。
评价蒙特卡洛方法模拟结果好坏或模拟效率的指标是失效概率模拟结果的变异系数。
当变异系数较小时，说明失效概率的变异性小，模拟的准确性较高，模拟结果的可信度较大。
相反，当变异系数较大时，说明失效概率的变异性较大，模拟的准确性不高，模拟结果的可信度不大。
为了提高蒙特卡洛方法估算的精度，一种方法是增加模拟的次数，称为一般抽样法；另一种方法是采用一定的方法降低失效概率的变异系数，称为重要抽样方法。
一、一般抽样法一般抽样方法是结构可靠度蒙特卡洛模拟最基本的方法，重要抽样方法是以一般抽样法为基础的。
《MonteCarlo方法》PPT课件
f (x)
Sum areas of shapes approximating shape of curve
b
Evaluating the general integral I f ( x ) d x
a
x
n uniformly separated points
Quadrature formula Ixi n1f(xi)b nai n1f(xi)
精选PPT
23
2. 频率检验
检验每组观测频数 ni与理论频数mi ＝ N １/k之间相差的显著性
3. 独立性 按先后顺序排列的 N 个伪随机数中 ， 每个数的出现是否与 其前后各个数独立无关。 对于两组伪随机数来说 ， 独立性 就是指它们不相关 。
4. 组合规律性 将 N 个伪随机数按一定的规律组合起来 ， 则各种组合的出现具 有一定的概率。
提高精度一位数 ， 抽样次数要增加１００ 倍 ； 减小随机变量的标准 差 ， 可以减小误差 。
精选PPT
15
Monte Carlo 方法具有以下四个重要特征 ：
① 由于 Monte Carlo 方法是通过大量简单的重复抽样来实现的 ， 因 此 ， 方法和程序的结构十分简单 。
② 收敛速度比较慢 ， 因此 ， 较适用于求解精度要求不高的问题。
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数学方法产生随机数
用数学方法产生的“随机数”，由于是按确定 的算法计算出来的，所以并不是真正的随机数， 但如果计算方法选择得当，它们就近似地是相 互独立和均匀分布的，经得起数理统计中的独 立性检验和均匀分布检验。鉴于此，人们把这 种数叫作伪随机数。
用数学方法产生的“随机数”，常用的方法是 同余法，包括加同余法、乘同余法和混合同余 法。
276.1648 403.2333 299.2444 334.0401
1.03x10-1 5.2079x10-1 5.2774x10-1 2.7505x10-1
f fy (u) / f0
取 舍
6.3940x10-4舍
选定的样本
f ( j) y
9.3402x10-1取 287.2799
7.9053x10-1取 276.2463
其合理性评述1） FX(x)=r；（2）x 的 分布；（3）作为随机数的可信性。
FX(x)=r I用反函数方法产生任意分布随机变量的抽样
这就意味着,如果（r1,r2,…rn) 是R的一组值， 则相应得到一组值x=FX-1(ri)（i=1,2,…n),具 有分布FX( x)。
I反函数方法产生随机变量的抽样的实例
（2）泊松分布的抽样方法（常见的离散型随机变量：活载变 化次数、地震次数均可用此描述）
N服从泊松分布，则其取值为n的概率为
P(N n) e n (n 1,2,3)
n!
若产生随机数 r0 , r1, r2 满足条件
的n值，即为随机变量N的一个样本值。
n1
n
ri e ri
n1
ri
i0
eT
n
ri
i0
r0r1r2r3r4 3.6613 10 2
1.930410-3
7.8920x10-1取 1.3442x10-1舍
9.9861x10-1取
276.1648 299.2444
7.2184x10-1取 334.0401
III舍选法产生随机数——评价
用该法继续产生样本值1000个，发现 fy 309 .9113 Mpa fy 32.9217 Mpa
fy 310Mpa; fy 35Mpa
A(
f y0 a)B (b f y0 )C
c
c
0.0781
r fx (u) / f0
f0
f fy ( fy0)
A(
f y0 a)B (b f y0 )C
c
c
0.0781
7.8110 2
（2）钢筋屈服强度样本值的产生过程
产生随机数 产生样本值 产生随机数
r'
II随机变量函数法产生随机数——举例
例4-4 X1,X2是两个相互独立的标准正态分布N（0，1）的随
机变量；R1,R2是两个相互独立的（0，1）均匀分布随机变量，
试产生N(μ,σ)的随机数。
（1）可以证明右式成立
X1 X2
2 ln 2 ln
R1 R1
c os (2R2 sin(2R2
) )
态分布x之间的关系。
r fx (u) / f0
III舍选法产生随机数——图示
当样本点落入概 率密度曲线下面 时，抽样结果才 有效。
III舍选法产生随机数——举例
例4.5产生某钢筋屈服强度的5个样本值。
统计显示钢筋屈服强度符合上下有界的贝塔分布。
贝塔分布的概率密度函数为 据统计
n
P
p1
p2
pn
（1）一般离散型随机变量的抽样方法
定义
i
p(0) 0, p(i) p j (i 1,2,) j 1
产生随机数r，计算满足条件 p(i1) r pi
的 i值，所对应的 i 即为离散型随机变量 的一个样本。 该法适用于任何离散型随机变量的情况
) )
标准正态分布与 均匀分布随机变 量之间的关系。
（2）根据上式，由（0-1）均匀分布随机数，再产生标准正态
分布随机数。
（3）再由下式得到正态分布N(μ,σ) 随机数
yi xi
正态分布y与标准正
y1 y2
2 ln 2 ln
R1 R1
c os (2R2 sin(2R2
2.用某种方法产生样本 (x1, x2 xn )i
当然，样本的统 计特征应与已知
3.计算结构的状态
值一致。
0可靠
Z g(x1, x2 , xn ) 0极限状态 统计时以 为失效。
0失效
5.1.3蒙特卡罗（随机模拟法）的数学基础
利用随机模拟方法研究结构安全问题是一种很自然的方 法，因为结构建造和使用本身就是一个随机实验。 在结构设计阶段，由于设计变量存在着不确定性，其 具体的量值是未知的，只能通过对以往实验、实测和 调查资料的统计分析，从概率角度来推断结构未来的 性状； 在结构建成并使用到设计规定期后，设计中所用的变 量都成了规定值，结构的最终状态也完全得以确定 （完好或失效）；
i0
i0
例4-5
建筑结构楼面持久活荷载是一个与时间有关的随机过程，
（即荷载变化的次数和大小是随机的），用泊松过程来描
述荷载变化的次数N ，即 T为设计基准期，一般为 P[N(T)
n] e-T
(T )n
n!
50年；
（n 0,1,2,)
为活荷载单位时间内的
平均变化次数
据以往统计居民搬家平均一次/8年 1/ 8 0.125
——可通过0-1均匀分布的适当变换得到。
下面介绍几种常用的方法
连续型随机变量的抽样方法——反函数法、随机变 量函数法、舍选法
离散型随机变量的抽样方法
1.连续型随机变量的抽样方法
I用反函数方法产生任意分布随机变量的抽样 基本思想： r为（0-1）均匀分布的随机数， 如果随机变量X的概率分布函数为FX( x), 则对于给定的分布函数值FX(x)=r,x的值为 x=FX-1(r)
高精度，必须将抽样模拟总数提高
5.4随机变量的抽样
抽样方法：首先产生在开区间（0，1）上 的均匀样本值（随机数） ，在此基础上通 过一定的计算再变换成给定分布变量的随 机数。
5.4.1随机数的产生
产生随机数的方法 随机数表：将利用某种方法（高速转盘、电子装置） 产生的随机数记录于磁盘中，使用时输入计算机即可 （一些数学手册中还附有随机数表）。 物理方法：由物理随机数发生器（安装在计算机上） 将具有随机性质的物理过程变换为随机数。是真正的 随机数，不会出现循环现象，但不便于对结果复查， 也不便于对不同方法进行对比，且发生器的稳定性检 查和维护是一项繁琐的工作，该法不常用。 数学方法：根据数论方法通过数学递推公式运算来实 现。速度快，即产即用，可重复生产。会出现循环现 象且随机数之间存在一定的相关性，被称谓伪随机数。
(2)首先产生随机数r，然后按公式确定荷载变化次数的样本值
n1
n
ri e ri
i0
i0
ri
r0 7.0318 10 2 , r1 7.8982 10 1, r2 7.2767 10 1, r3 9.5955 10 1, r4 9.6900 10 1, r5 1.2617 10 1,
f
fy
(
f
y
)
A(
fy c
a)B
b (
c
fy
)C
fy 310Mpa; fy 35Mpa
A 4.106, B 2.21,C 3.82
a 228Mpa,b 428Mpa, c 200Mpa
由于贝塔分布的分布函数不能用显式表达—— 采用舍选法。
f
fy
(
fy
对伪随机数的检验
用这种方法产生的伪随机数能否作为 （0-1）均匀分布的随机数，需要进行检 验。可在计算机上产生序列，然后用统 计检验方法检验其独立性和均匀性。
应用《数理统计》的知识
5.4.2随机变量的抽样
实际工程中，所涉及的随机变量并不服从0-1 均匀分布，因此需要研究其它分布类型的随机 变量样本值的产生方法。
缺点：计算工作量大（借助于计算机） 现状：不作为一种常规的结构可靠度分析方法
来使用，只是用于一些复杂情况的可靠度分析 （国防、航天领域）。
抽样模拟多少次？ 如何随机抽样？如 何保证样本与实际 情况大体相符合？
5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法精度
N
4
pˆ f 2
结论：精度与抽样模拟总数有关。换句话说，要想提
A 4.106, B 2.21,C 3.82 a 228Mpa,b 428Mpa, c 200Mpa
2.离散型随机变量的抽样方法
结构可靠度分析中存在离散随机变量的情况：设计基 准期内可变荷载的变化次数；建筑场地一定时期内地 震的次数等。
设随机变量的分布律为：
1
2
u a (b a)r'
r
6.0349x10-3
229.207
7.5437x10-1
2.9639x10-1
287.2799
4.9929x10-2
2.4123x10-1
276.2463
1.5392x10-1
2.4082x10-1 8.7616x10-1 3.5622x10-1 5.3020x10-1
试产生设计基准期内楼面荷载变化次数的5个样本值
n1
n
ri e ri
i0
i0
解
P[N(T) n] e-T (T )n （n 0,1,2,)