结构可靠指标计算的蒙特卡罗法(第二次)讲解

， Xˆ n
2.根据上述抽样值，计算功能函数的值Z：
Z g(Xˆ1, Xˆ 2 ,Xˆ n )
3.进行了N次这样的试验（抽样），则失效概
率可由下式近似给出：
Pf
n(Z 0) N
5.2蒙特卡罗法研究结构可靠度的优缺点
优点：回避了结构可靠度分析中的数学困难， 不需要考虑极限状态曲面的复杂性。
——可通过0-1均匀分布的适当变换得到。
下面介绍几种常用的方法
连续型随机变量的抽样方法——反函数法、随机变 量函数法、舍选法
离散型随机变量的抽样方法
1.连续型随机变量的抽样方法
I用反函数方法产生任意分布随机变量的抽样 基本思想： r为（0-1）均匀分布的随机数， 如果随机变量X的概率分布函数为FX( x), 则对于给定的分布函数值FX(x)=r,x的值为 x=FX-1(r)
数学方法产生随机数
用数学方法产生的“随机数”，由于是按确定 的算法计算出来的，所以并不是真正的随机数， 但如果计算方法选择得当，它们就近似地是相 互独立和均匀分布的，经得起数理统计中的独 立性检验和均匀分布检验。鉴于此，人们把这 种数叫作伪随机数。
用数学方法产生的“随机数”，常用的方法是 同余法，包括加同余法、乘同余法和混合同余 法。
高精度，必须将抽样模拟总数提高
5.4随机变量的抽样
抽样方法：首先产生在开区间（0，1）上 的均匀样本值（随机数） ，在此基础上通 过一定的计算再变换成给定分布变量的随 机数。
5.4.1随机数的产生
产生随机数的方法 随机数表：将利用某种方法（高速转盘、电子装置） 产生的随机数记录于磁盘中，使用时输入计算机即可 （一些数学手册中还附有随机数表）。 物理方法：由物理随机数发生器（安装在计算机上） 将具有随机性质的物理过程变换为随机数。是真正的 随机数，不会出现循环现象，但不便于对结果复查， 也不便于对不同方法进行对比，且发生器的稳定性检 查和维护是一项繁琐的工作，该法不常用。 数学方法：根据数论方法通过数学递推公式运算来实 现。速度快，即产即用，可重复生产。会出现循环现 象且随机数之间存在一定的相关性，被称谓伪随机数。
) )
标准正态分布与 均匀分布随机变 量之间的关系。
（2）根据上式，由（0-1）均匀分布随机数，再产生标准正态
分布随机数。
（3）再由下式得到正态分布N(μ,σ) 随机数
yi xi
正态分布y与标准正
y1 y2
2 ln 2 ln
R1 R1
c os (2R2 sin(2R2
A(
f y0 a)B (b f y0 )C
c
c
0.0781
r fx (u) / f0
f0

f fy ( fy0)
A(
f y0 a)B (b f y0 )C
c
c
0.0781
7.8110 2
（2）钢筋屈服强度样本值的产生过程
产生随机数 产生样本值 产生随机数
r'
f
fy
(
f
y
)

A(
fy c
a)B
b (
c
fy
)C
fy 310Mpa; fy 35Mpa
A 4.106, B 2.21,C 3.82
a 228Mpa,b 428Mpa, c 200Mpa
由于贝塔分布的分布函数不能用显式表达—— 采用舍选法。
f
fy
(
fy
对伪随机数的检验
用这种方法产生的伪随机数能否作为 （0-1）均匀分布的随机数，需要进行检 验。可在计算机上产生序列，然后用统 计检验方法检验其独立性和均匀性。
应用《数理Fra Baidu bibliotek计》的知识
5.4.2随机变量的抽样
实际工程中，所涉及的随机变量并不服从0-1 均匀分布，因此需要研究其它分布类型的随机 变量样本值的产生方法。
n
P
p1
p2
pn
（1）一般离散型随机变量的抽样方法
定义
i
p(0) 0, p(i) p j (i 1,2,) j 1
产生随机数r，计算满足条件 p(i1) r pi
的 i值，所对应的 i 即为离散型随机变量 的一个样本。 该法适用于任何离散型随机变量的情况
) )
态分布x之间的关系。
r fx (u) / f0
III舍选法产生随机数——图示
当样本点落入概 率密度曲线下面 时，抽样结果才 有效。
III舍选法产生随机数——举例
例4.5产生某钢筋屈服强度的5个样本值。
统计显示钢筋屈服强度符合上下有界的贝塔分布。
贝塔分布的概率密度函数为 据统计
（2）泊松分布的抽样方法（常见的离散型随机变量：活载变 化次数、地震次数均可用此描述）
N服从泊松分布，则其取值为n的概率为
P(N n) e n (n 1,2,3)
n!
若产生随机数 r0 , r1, r2 满足条件
的n值，即为随机变量N的一个样本值。
n1
n
ri e ri
试产生设计基准期内楼面荷载变化次数的5个样本值
n1
n
ri e ri
i0
i0
解
P[N(T) n] e-T (T )n （n 0,1,2,)
n!
（1）设计基准期内楼面荷载的平均变化次数 T 0.12550 6.25
eT 0.00193
II随机变量函数法产生随机数——举例
例4-4 X1,X2是两个相互独立的标准正态分布N（0，1）的随
机变量；R1,R2是两个相互独立的（0，1）均匀分布随机变量，
试产生N(μ,σ)的随机数。
（1）可以证明右式成立
X1 X2
2 ln 2 ln
R1 R1
c os (2R2 sin(2R2
例4-2产生具有指数分布概率密度
的一个抽样。
F(x) 1- ex (x 0)
设 F(x) r
r 1- ex
x 1 ln(1 r)

F (x) exp[ e (xu) ]
I反函数方法产生随机变量的抽样——实例
例4-3产生极值I型渐进分布的一个抽样
A 4.106, B 2.21,C 3.82 a 228Mpa,b 428Mpa, c 200Mpa
2.离散型随机变量的抽样方法
结构可靠度分析中存在离散随机变量的情况：设计基 准期内可变荷载的变化次数；建筑场地一定时期内地 震的次数等。
设随机变量的分布律为：

1
2
ch5结构可靠度计算的蒙特卡罗法
5.1蒙特卡罗法概述 5.2蒙特卡罗法的优缺点 5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法的精度 5.4随机变量的抽样 5.5蒙特卡罗法计算可靠指标举例 5.6蒙特卡罗的重要抽样法
5.1蒙特卡罗法概述
5.1.1蒙特卡罗（随机模拟法）的基本思想 对于设计阶段的结构，其功能函数及所包含变
u a (b a)r'
r
6.0349x10-3
229.207
7.5437x10-1
2.9639x10-1
287.2799
4.9929x10-2
2.4123x10-1
276.2463
1.5392x10-1
2.4082x10-1 8.7616x10-1 3.5622x10-1 5.3020x10-1
n1
ri
i0
eT
n
ri
i0
r0r1r2r3r4 3.6613 10 2
1.930410-3
276.1648 403.2333 299.2444 334.0401
1.03x10-1 5.2079x10-1 5.2774x10-1 2.7505x10-1
f fy (u) / f0
取 舍
6.3940x10-4舍
选定的样本
f ( j) y
9.3402x10-1取 287.2799
7.9053x10-1取 276.2463
其合理性评述1） FX(x)=r；（2）x 的 分布；（3）作为随机数的可信性。
FX(x)=r I用反函数方法产生任意分布随机变量的抽样
这就意味着,如果（r1,r2,…rn) 是R的一组值， 则相应得到一组值x=FX-1(ri)（i=1,2,…n),具 有分布FX( x)。
I反函数方法产生随机变量的抽样的实例
7.8920x10-1取 1.3442x10-1舍
9.9861x10-1取
276.1648 299.2444
7.2184x10-1取 334.0401
III舍选法产生随机数——评价
用该法继续产生样本值1000个，发现 fy 309 .9113 Mpa fy 32.9217 Mpa
fy 310Mpa; fy 35Mpa
2.用某种方法产生样本 (x1, x2 xn )i
当然，样本的统 计特征应与已知
3.计算结构的状态
值一致。
0可靠
Z g(x1, x2 , xn ) 0极限状态 统计时以 为失效。

0失效
5.1.3蒙特卡罗（随机模拟法）的数学基础
利用随机模拟方法研究结构安全问题是一种很自然的方 法，因为结构建造和使用本身就是一个随机实验。 在结构设计阶段，由于设计变量存在着不确定性，其 具体的量值是未知的，只能通过对以往实验、实测和 调查资料的统计分析，从概率角度来推断结构未来的 性状； 在结构建成并使用到设计规定期后，设计中所用的变 量都成了规定值，结构的最终状态也完全得以确定 （完好或失效）；
i0
i0
例4-5
建筑结构楼面持久活荷载是一个与时间有关的随机过程，
（即荷载变化的次数和大小是随机的），用泊松过程来描
述荷载变化的次数N ，即 T为设计基准期，一般为 P[N(T)
n] e-T
(T )n
n!
50年；
（n 0,1,2,)
为活荷载单位时间内的
平均变化次数
据以往统计居民搬家平均一次/8年 1/ 8 0.125
F(x) exp exp[ (x u)]
设 F(x) r
同样可以得到：
x u 1 ln(ln 1)
r
II随机变量函数法产生随机数
基本思想：设随机变量X是其它随机变量 Y1,Y2,…Yn的函数，即X=g(Y1,Y2,…Yn),如 果能容易的产生Y1,Y2,…Yn的随机数 y1,y2,…yn,则可得X的随机数 x=g(y1,y2,…yn)
缺点：计算工作量大（借助于计算机） 现状：不作为一种常规的结构可靠度分析方法
来使用，只是用于一些复杂情况的可靠度分析 （国防、航天领域）。
抽样模拟多少次？ 如何随机抽样？如 何保证样本与实际 情况大体相符合？
5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法精度
N

4
pˆ f 2
结论：精度与抽样模拟总数有关。换句话说，要想提
量的统计特征都是已知的，通过某种方法,根据 已知的概率特性(统计特征），产生大量设计 变量的样本值，将其代入功能函数，“计算” 结构的状态，并对计算结果进行分析统计,直接 计算其失效概率。
5.1.2对蒙特卡罗法简明的理解
1.已知 Z g(x1, x2 xn )
x1 , x2 xn ; x1 , x2 xn ;
(2)首先产生随机数r，然后按公式确定荷载变化次数的样本值
n1
n
ri e ri
i0
i0
ri
r0 7.0318 10 2 , r1 7.8982 10 1, r2 7.2767 10 1, r3 9.5955 10 1, r4 9.6900 10 1, r5 1.2617 10 1,
)

A(
fy c
a )B (b
c
fy
)C
f0

max
x[ a ,b ]
fx (x)
（1）确定概率密度函数的最大值
据
f fy ( f y0 ) 0
f y
f0

max
f y[a,b]
f fy
(
f
y)
得
bB aC f y0 B C 301.3Mpa
从而
f0

f fy ( fy0)
所以结构从建造到使用期内的表现，就是对所设计结构 的一次随机实验结果。
5.1.4蒙特卡罗（随机 显而易见，在蒙特卡罗法中，
模拟法） 法的的数学 失效概率就是结构失效次数占
描述
总试验次数的比例，这就是该 方法的基本出发点。
从数学的角度描述为：
1.利用随机抽样以获得每一个变量的样本
， ，… 值：Xˆ 1 Xˆ 2