梁的弯曲变形与刚度计算

连续性条件
wA＝0 A＝0
(Continuity condition)
A
c
B
在挠曲线的任一点上, 有 唯一的挠度和转角。如:
A
wC wC C C
不可能
B
不可能
例1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁, 在自由端
受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角
方程, 并确定其最大挠度wmax和最大转角max 。
转角(): 横截面 y
绕中性轴(即Z轴)转 A 过的角度（或角位 移）, 称为该截面 的 转 角 (Slope rotation angle) 。
F CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。
转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
解：以梁左端A为原点, y
取直角坐标系, 令x轴
F
向右, y轴向上为正。
A
B
x
(1) 列弯矩方程
x
l
M (x) F(l x) Fl Fx
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M (x) Fl Fx
EIw M (x) Fl Fx
EIw
Flx
Fx2 2
C1
(a)
Flx2 Fx3 EIw 2 6 C1x C2 (b)
挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程: w f (x)
式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该
点的挠度。
y
F
A
挠曲线
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
y
F
A
C Bx
w(挠度) C1
挠度与转角的关系：
(转角)
tan w f (x)
9.2 挠曲线的近似微分方程
积分常数
C1
ql 3 24
w
EIw
q 2
lx2 (
2
x3 3
)
C1
C2
q
0
(l 3
6lx2
EIw
4x3)
q 2
( lx3 6
x4 ) 12
C1x
C2
24EI
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
7-1
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
度量梁变形后横截面位移的两个基本量:挠度和转角
取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。
挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方 向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。
EIw M (x)
上式积分一次得转角方程
EIw M (x)dx C1
来自百度文库
再积分一次, 得挠度方程
EIw
M
(
x)dx
dx
C1x
C2
式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界 条件和变形的连续性条件来确定。
边界条件(boundary condition)
简支梁
A wA＝0
悬臂梁
A
B
wB＝0 B
第9章 梁的弯曲变形与刚度计算 §9-1 工程中的弯曲变形问题 §9–2 梁的挠曲线近似微分方程 §9-3 积分法计算梁的变形 §9-4 叠加法计算梁的变形 §9-5 梁的刚度计算及提高梁刚度的措施 §9-6 简单超静定梁 §9-7 梁的弯曲应变能
9.1 工程中的弯曲变形问题
弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条 件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。
y
F
A
C Bx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题 必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向
也有线位移。
但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长,
横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于
高阶微量, 可略去不计。
y
F
A
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
y
(3) 确定积分常数
A
在x＝0处, w＝0
x
在x＝0处, ＝0
代入式(a)和(b), 得： C1＝0,
F B
x
l
C2＝0
(4) 建立转角方程和挠度方程
将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁
的转角方程和挠度方程分别y 为：
w Flx Fx2
EI 2EI
A
F B
w Flx2 Fx3 2EI 6EI
(b)
2
y
FA
q
FB
A x
B x
l
EIw M (x) q (lx x2 )
(b)
2
积分两次
EIw
q 2
( lx 2 2
x3 3
)
C1
(c)
EIw
q 2
lx3 (
6
x4 )
12
C1x
C2
(d)
y
简支梁的边界条件是 FA
q
FB
在x＝0处, w＝0
A
B x
在x＝l处, w＝0
x
l
代入(c)、(d)式确定出
max
x
wma
x
x
l
(5) 求最大转角和最大挠度
自由端B处的转角和挠度绝对值最大。
max
xl
Fl 2 2EI
wmax
w xl
Fl3 3EI
所得的挠度为负值, 说明B点向下移动; 转角为
负值, 说明横截面B沿顺时针转向转动。
例2: 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在全梁上受
集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方
程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax和最大转
角max 。
y
解: 由对称性可知, FA
q
FB
梁的两个支反力为
A
B x
ql FA FB 2
x l
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 ) (a)
22
2
EIw M (x) q (lx x2 )
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。
(Approximately differential equation of the deflection curve)
称为近似的原因: (1) 略去了剪力的影响; (2)略
去了w'2项。
9.3 积分法求弯曲变形
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 k 1 M
EI 横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁
的位移的影响, 则
k(x) 1 M (x)
(x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
( x)
(1
w w2
3
)2
M (x) EI
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0
y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
(1
w2
)
3 2
M (x) EI
M＞0 w’’>0
x
w (1 w2 )32
M (x) EI
由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计, 于是上式可写成
w M (x) EI