梁的弯曲变形与刚度计算
材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2
3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据： 若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？能够改善刚度吗？
梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
梁的变形及刚度条件
f
三、梁的刚度条件
• 1、最大挠度：在建筑工程中，通常只校核 梁的挠度，不校核梁的转角，一般用f表示 梁的最大挠度。 • 2、许用挠度：用[f ]梁的允许挠度，通常用 允许挠度和跨长的比值 作为校核标准， • 3、刚度条件：梁在荷载作用下产生的最大 挠度与跨长的比值不能超过许用的单位长 度的挠度来表示刚度条件：
• 梁的变形与跨长l的三次或四次冪成正比，设法减小梁的跨度，将 会有效地减小梁的变形 • 1、将简支梁的支座向中间适当移动， • 2、在梁的中间增加支座。
（三）改善荷载的分布情况
• 1、将集中力分散作用 • 2、改为分布荷载
第七节梁的变形
• 一、挠度与转角
• 1、挠曲线：梁在荷载作用下产生弯曲变形后， 其轴线为一条光滑的平面曲线； • 2、挠度：梁任一横截面形心在垂直于杆轴方向 竖向位移CC'； • 3、转角：梁内任一横截面在梁变形后，绕中性 轴转过的角度，称为该截面的转角， • 4、挠度与转角的关系：
二、用叠加法求梁的变形
• 一般钢筋混凝土梁的
• 钢筋混凝土吊车梁的
例题9-25
• 一简支梁由№28b工字钢制成，跨中承受一集中 荷载，已知F=20kN，l=9m，E=210Gpa，［］ ＝170MPa， 。试校核梁正应力强度和 刚度。
•最大弯矩
•查表№28b工字钢 •强弯曲刚度EI • 1、由于同类材料的E值相差不多； • 2、增大惯性矩 I • 使材料尽量分布在远离中性轴的地方 • 通常采用工字形、箱形、圆环形截面 （二）减小梁的跨度
• 1、根据：由于梁的变形与荷载成线性关系。 所以，可以用叠加法计算梁的变形。 • 2、方法：即先分别计算每一种荷载单独作 用时所引起梁的挠度和转角，然后再将它 们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作 用下的挠度或转角。
工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
梁的弯曲刚度计算
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
【解】 1) 求梁的最大挠度。查表6.1知，该梁最大挠度发生在 自由端B截面处，其值为
wmax
ql4 8EI
(↓)
2) 刚度校核。梁的最大挠跨比为
wmax l
ql3 8EI
80kN/m 23m3 8 2.2 104 kN m2
力学
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行
刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
有关设计规范中查得。
在建筑工程中，通常采用最大挠度wmax与跨度l之比，即最大挠 跨比限制在许用的挠跨比范围内，即
3.64103
w l
1 200
该梁满足刚度条件。
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
【例6.7】 图示悬臂工字钢梁，长度l=3.5m，荷载F=12kN，已知
材料的许用应力=170MPa，弹性模量E=210 MPa，梁的许用挠跨
比
w l
=
1 。试按强度条件和刚度条件选择工字钢型号。
400
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
目录
力学
wmax l
w l
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
梁的许用挠跨比
w l
可从设计规范中查得，一般在
1 200
～1
1000
之间。并且，如果梁的强度条件满足，一般刚度条件也能满足。但
刚度计算公式
刚度（Stiffness）是描述材料或结构在受到外力作用时抵抗变形的能力。
对于线性弹性材料，刚度可以通过应力（Stress）与应变（Strain）之间的比例关系来计算，这个比例常数被称为弹性模量（Elastic Modulus）。
对于一维情况（例如拉伸或压缩），刚度计算公式为：
[ K = \frac{\sigma}{\epsilon} ]
其中：
( K ) 是刚度（N/m 或Pa）
( \sigma ) 是应力（N/m²或Pa）
( \epsilon ) 是应变（无量纲）
对于二维情况（例如梁的弯曲），刚度计算公式可能会涉及到弯矩（M）和曲率（κ）：
[ EI = \frac{M}{\kappa} ]
其中：
( EI ) 是梁的弯曲刚度（N·m²）
( M ) 是弯矩（N·m）
( \kappa ) 是曲率（1/m）
对于三维情况（例如杆的扭转），刚度计算公式为：
[ GJ = \frac{T}{\phi} ]
其中：
( GJ ) 是杆的扭转刚度（N·m²）
( T ) 是扭矩（N·m）
( \phi ) 是扭转角（rad）
请注意，以上公式仅适用于线性弹性材料，并且在弹性范围内有效。
对于非线性材料或超出弹性范围的情况，刚度可能会发生变化，并且需要使用更复杂的模型来描述材料的力学行为。
此外，对于复杂的结构或组件，刚度可能需要通过有限元分析（FEA）或其他数值方法来计算。
这些方法可以考虑材料的非线性、几何非线性以及多种加载条件。
梁的变形分析与刚度问题
在Oxw坐标系中，挠度与转角 存在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠曲线较为
平坦，即很小，因而上式中 tan。于是有
dw
dx
w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
梁的变形分析与刚度问题
wD0,D0
wC wC
光滑条件： C C 或 写C左 成C右
梁的变形分析与刚度问题
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续 条件）确定。
优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
梁的变形分析与刚度问题
梁的曲率与位移
根据上一章所得到 的结果，弹性范围内的挠 度曲线在一点的曲率与这 一点处横截面上的弯矩、 弯曲刚度之间存在下列关 系：
1＝ M
EI
梁的变形分析与刚度问题
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后，横截面的 位置将发生改变，这种位置的 改 变 称 为 位 移 ( displacement)。 梁的位移包括三个部分：
另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的 变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧 即为一例。这种情形下也需要研究变形。
此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补 充方程。
梁的变形分析与刚度问题
梁的位移分析与刚度问题
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方 程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方 程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变 形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定梁 的求解问题。
第八章叠加法求变形(3,4,5)
用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形——简捷方法 叠加法应用的条件 在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 即挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系 计算梁变形时须记住梁在简单荷载作用下 的变形——转角、挠度计算公式（见附录Ⅳ）。
3 3
pl 7 pl 3 pl wc wc1 wc 2 24 EI 48EI 16 EI
B
c
c
p
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
例题2 用叠加法求AB梁上E处的挠度 E
p
p
p
wE 2
wE 1
B
wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2
wB=?
P
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构 件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
例题 2
按叠加原理得
wC wC 1 wC 2
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql 3 ql 3 3ql 3 A A1 A2 48EI 384EI 128EI ql 3 ql 3 7ql 3 B B1 B 2 48EI 384EI 384EI
c
c
A
P M =Pl/2 B C B
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
6第四章平面弯曲3--变形与刚度
EIw M x dx dx Cx D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即边 界条件确定。
如：
A
F B
边界条件： wA=0
F A
wB=0 边界条件：
wA=0 θA=0 边界条件：
F A C
D a B
△a
l
wA=0
wB=△a
EIw EI M x dx C
Fb( l 2 b2 ) Fb 2 F DB : w2 2 x ( x a )2 6EIl 2EIl 2EI
Fb( l 2 b2 ) Fb 3 F w2 x x ( x a )3 6EIl 6EIl 6EI
当a＞b时
wmax 在AD段。
由w1 0，x0
EIw M x dx dx Cx D
积分常数C,D的几何意义是什么？
EIw'(0)=EIθ0 =C EIw (0)=EIw0 =D
例：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的转 角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。 设梁的抗弯刚度为EI。
F
A l B
思考题:作出图示梁弯矩图，并根据边界条 件和连续条件画出挠曲线大致形状.
F
Fl A
D
l y l
B
l
C
x
§4－10 奇异函数法计算梁的变形
一、弯矩的通用方程:
Me
A
F
D E
q
G
B
x
FA
am
C
aF aq1
FB
aq2
y
l
Me
A
F
D
E
q
梁弯曲变形的计算
第7章 梁弯曲变形的计算§7-1 挠度与转角及梁的刚度条件梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。
梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。
在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用v 表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用θ表示。
而dxx dv x )()(=θ，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程Y=f(x)。
梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件][][max max θθ≤≤v v式中的和][v ][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。
§7-2 挠度曲线的近似微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 式（a）表明梁轴线上任一点的曲率)(1x ρ与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度)(x M EI 成反比。
如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程v 之间存在下列关系：)(xEIx M x )()(1=ρ （a） 232221)(1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±dx dv dx vd x ρ （b）将上式代入式（a），得到EIx M dx dv dx v d )(12322=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±（c） 小挠度条件下，1<<=θdxdv，式（c）可简化为： EI x M dxv d )(22=±（d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着22dx vd 的正值（图7-3a），负弯矩对应着22dxvd 的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值EI x M dx v d )(22= （8-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。
显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
梁线刚度计算公式
梁线刚度计算公式
梁线刚度可以通过弯曲、拉伸和剪切三种形式进行计算。
具体的公式如下：
弯曲刚度计算公式：
梁线的弯曲刚度可以通过以下公式计算：
EI = k * D / (2 * Phi)
其中EI表示梁的弯曲刚度，k表示梁的弹性系数，D表示梁的弯曲变形，Phi表示梁的弯曲角度。
如果梁的截面形状、材料和长度确定，那么EI值也是固定的。
拉伸刚度计算公式：
梁线的拉伸刚度可以通过以下公式计算：
EA = F / deltaL
其中EA表示梁的拉伸刚度，F表示梁的受力大小，deltaL表示梁的拉伸变形。
如果梁的截面积和材料确定，那么EA值也是固定的。
剪切刚度计算公式：
梁线的剪切刚度可以通过以下公式计算：
GA = k / tau
其中GA表示梁的剪切刚度，k表示梁的剪切模量，tau表示材料的剪切应力。
剪切刚度与梁线的剪切变形有关，当材料的剪切应力发生变化时，剪
切变形也会相应改变。
需要注意的是，梁线的刚度计算公式根据不同的应力状态而有所不同。
在实际工程中，根据梁的材料、截面形状和受力情况，通常采用适当的刚
度计算公式来计算梁线的刚度。
梁线刚度的计算是结构力学中的基础问题之一，通过准确计算梁线的
刚度，可以帮助工程师在设计过程中确保结构的稳定性和安全性。
同时，
梁线刚度的计算也为设计者提供了选择材料和截面形状的依据，以满足实
际工程要求。
材料力学 第八章叠加法求变形(3,4,5)
解：
wC
5q(2a)4
384EI
Pa (2a)2 16 EI
P 5 qa 6
0
[例8-5] 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解: qa2
B
2 2aqa(2a)2
3EI
16EI
qa3 顺时针
12EI
CB6 qa E 3 I4 qa E 3 I 顺 时 针
wCBa8 qE4a I2 5qE 44a I
（3）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除 约束处的位移；
（4）比较两次计算的变形量，其值应该满足 变形相容条件，建立方程求解。
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法
解超静定梁的基本思 路与解拉压超静定问题 相同。求解图a所示一次 超静定梁时可以铰支座
B为“多余”约束，以 约束力FB为“多余”未 知力。解除“多余”约
解：将支座B看成多 余约束，变形协调条件为：
wB wBq
0 ql 4
8EI
wBR
RBl3 3EI
wB wBq wBR
wB
ql4 8EI
RBl3 3EI
0
RB
3 ql 8
三.用变形比较法解静不定梁的步骤
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B端 解除多余约束，代之以约束反力；
（2）求静定基仅在原有外力作用下于解除约 束处产生的位移；
如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。 由叠加原理可得
wmax wC
4 i1
Fibi 48EI
(3l
2
4bi
2
)
1 [(120103N)(0.4m)(32.42m2 40.42m2) 48EI
(30103N)(0.8m)(32.4m2 40.82m2)
6-3梁弯曲时的变形和刚度条件、7-1
§6-3 梁弯曲时的变形和刚度条件课时计划：讲授3学时教学目标：1．理解梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．掌握梁的刚度计算方法及刚度条件。
教材分析:1．重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．难点为梁的刚度计算方法及刚度条件。
教学设计：本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念以及梁的刚度计算方法。
重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念，在此基础上进一步掌握梁的刚度计算方法并建立梁弯曲时的刚度条件。
通过对教材例题的讲解，使学生在此过程中进一步理解弯曲变形，进而学会利用弯曲梁的刚度条件解决工程实际问题。
第1学时教学内容：一、挠度和转角本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念。
因为材料力学研究强度与刚度，强度问题要计算应力，刚度问题要计算变形，本节讲梁的弯曲变形。
图示为简支梁弯曲变形时，变形前梁轴线是直线，受力F 弯曲变形后轴线是光滑平面曲线，变形前后梁轴线简化如下图所示。
横截面nn 移''n n ，形心C 到'C 点。
横截面形心在垂直于原轴线方向的位移，称为截面的挠度，用ω表示；横截面相对于原来位置转过的角度，称为该截面的转角，用θ表示。
截面形心轴线方向位移很小,高阶微量,可省略不计。
弯曲变形后梁的轴线变成一条连续而光滑的平面曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。
在图示的Oxw 坐标系中，表示挠曲线的方程为w ＝w(x)称为挠度方程。
由于轴线是各截面形心的连线，故该方程中的x 为变形前截面位置的横坐标，ω为变形后该截面的挠度。
由于截面转角等于挠度曲线在该截面的切线与x 轴的夹角，小变形有：()x w x w '==≈d d θθtan即任一截面转角近似等于挠度方程对x 的一阶导数。
所以挠度和转角的数值都可以由挠度方程及其一阶导数确定，只要有了挠度方程，就可以计算挠度和转角。
公式中挠度向上为正值,向下为负值；转角逆时针方向为正值,顺时针方向为负值。
由表可知，在一定外力作用下，梁的挠度、转角都和材料的弹性模量E 与截面惯性矩z I 的乘积z EI 成反比。
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
在自由端承受集中力P作用的悬臂梁AB长度为l，
EI为常数。试求其转角与挠度方程，以及最大的转角
θmax与挠度ymax。
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
一、单项选择题
1、通常我们用（
A.挠度和转角 答案：A
）度量梁的弯曲变形。
C.角应变 D.应变
B.单位长度扭转角
bh3 8b 4 I1 12 12
hb 2b 1 I2 I1 12 12 4
3 4
bh2 4b 3 W1 6 6
hb 2 2b 3 1 W2 W1 6 6 2
wmax 2 4wmax 1
max 2 2 max 1
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
就能减小 max 。而梁的最大挠度和转角却与整个梁的 EI 都有关， 局部加大
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
2、如图所示，高宽比h/b=2的矩形截面梁，若将梁的横截 面由竖放改为平放，其它条件不变，则梁的最大挠度和最大正
应力分别为原来的——倍。
A.2和2 B.4和2 F
F
C.4和4
D.8和4
c h
z
y b
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
答案：B
wmax 与 EI 成反比， max 与 W 成反比。
一、单项选择题
3、在等直梁的最大弯矩所在截面附近，局部加大横截面的尺寸（ ）。
A.仅对提高梁的强度是有效的 C.对提高梁的强度和刚度都有效 B. 仅对提高梁的刚度是有效的 D. 对Wz
，式中 W z 是 M max 所在截面的抗弯截面系数，加大它 并不能显著地减小变形。 I
材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算
x
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
C1x
D1
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
C2 x
D2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 6
qx3
C1
EIw2
1 16
ql
3l 2
2
x
C2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
4 边界条件、连续条件 5 梁的转角方程和挠曲线方程
2
2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql 4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
qx 4
ql 12
x3
C1x
D1
C1
ql 2 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q ] 0.30
3，影响变形的因素
L 10时, Q的影响只有M的3% h
由小变形条件， x不计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
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纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 k 1 M
EI 横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁
的位移的影响, 则
k(x) 1 M (x)
(x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
( x)
(1
w w2
3
)2
M (x) EI
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0
解：以梁左端A为原点, y
取直角坐标系, 令x轴
F
向右, y轴向上为正。
A
B
x
(1) 列弯矩方程
x
l
M (x) F(l x) Fl Fx
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M (x) Fl Fx
EIw M (x) Fl Fx
EIw
Flx
Fx2 2
C1
(a)
Flx2 Fx3 EIw 2 6 C1x C2 (b)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。
(Approximately differential equation of the deflection curve)
称为近似的原因: (1) 略去了剪力的影响; (2)略
去了w'2项。
9.3 积分法求弯曲变形
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成
y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
(1
w2
)
3 2
M (x) EI
M＞0 w’’>0
x
w (1 w2 )32
M (x) EI
由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计, 于是上式可写成
w M (x) EI
程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax和最大转
角max 。
y
解: 由对称性可知, FA
q
FB
梁的两个支反力为
A
B x
ql FA FB 2
x l
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 ) (a)
22
2
EIw M (x) q (lx x2 )
EIw M (x)
上式积分一次得转角方程
EIw M (x)dx C1
再积分一次, 得挠度方程
EIw
M
(
x)dx
dx
C1x
C2
式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界 条件和变形的连续性条件来确定。
边界条件(boundary condition)
简支梁
A wA＝0
悬臂梁
A
B
wB＝0 B
积分常数
C1
ql 3 24
w
EIw
q 2
lx2 (
2
x3 3
)
C1
C2
q
0
(l 3
6lx2
EIw
4x3)
q 2
( lx3 6
x4 ) 12
C1x
C2
24EI
第9章 梁的弯曲变形与刚度计算 §9-1 工程中的弯曲变形问题 §9–2 梁的挠曲线近似微分方程 §9-3 积分法计算梁的变形 §9-4 叠加法计算梁的变形 §9-5 梁的刚度计算及提高梁刚度的措施 §9-6 简单超静定梁 §9-7 梁的弯曲应变能
9.1 工程中的弯曲变形问题
弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条 件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
7-1
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
度量梁变形后横截面位移的两个基本量:挠度和转角
取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。
挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方 向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。
y
F
A
C Bx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题 必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向
也有线位移。
但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长,
横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于
高阶微量, 可略去不计。
y
F
A
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
连续性条件
wA＝0 A＝0
(Continuity condition)
A
c
B
在挠曲线的任一点上, 有 唯一的挠度和转角。如:
A
wC wC C C
不可能
B
不可能
例1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁, 在自由端
受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角
方程, 并确定其最大挠度wmax和最大转角max 。
转角(): 横截面 y
绕中性轴(即Z轴)转 A 过的角度（或角位 移）, 称为该截面 的 转 角 (Slope rotation angle) 。
F CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。
转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
(b)
2
y
FA
q
FB
A x
B x
l
EIw M (x) q (lx x2 )
(b)
2
积分两次
EIw
q 2
( lx 2 2
x3 3
)
C1
(c)
EIw
q 2
lx3 (
6
x4 )
12
C1x
C2
(d)
y
简支梁的边界条件是 FA
q
FB
在x＝0处, w＝0
A
B x
在x＝l处, w＝0
x
l
代入(c)、(d)式确定出
max
x
wma
x
x
l
(5) 求最大转角和最大挠度
自由端B处的转角和挠度绝对值最大。
max
xl
Fl 2 2EI
wmaxw xl来自Fl3 3EI所得的挠度为负值, 说明B点向下移动; 转角为
负值, 说明横截面B沿顺时针转向转动。
例2: 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在全梁上受
集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方
挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程: w f (x)
式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该
点的挠度。
y
F
A
挠曲线
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
y
F
A
C Bx
w(挠度) C1
挠度与转角的关系：
(转角)
tan w f (x)
9.2 挠曲线的近似微分方程
y
(3) 确定积分常数
A
在x＝0处, w＝0
x
在x＝0处, ＝0
代入式(a)和(b), 得： C1＝0,
F B
x
l
C2＝0
(4) 建立转角方程和挠度方程
将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁
的转角方程和挠度方程分别y 为：
w Flx Fx2
EI 2EI
A
F B
w Flx2 Fx3 2EI 6EI