线性代数方程组的解法

说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化 为梯矩阵呢？ 定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第 一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作 行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)， 矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0
−2 −2 1 1
D3 = 2 −1
故方程组的解为: D1 D2 x1 = = 1, x2 = = 2, D D
D3 x3 = = 1. D
4 − 12 ⎡0 ⎢ 3 −1 − 6 A=⎢ ⎢− 1 − 1 6 ⎢ 0 ⎣ 2 −2
第三个方程两边同乘以（－1/11）得：x3＝－2； 将x3＝－2代入第二个方程得：x2＝9； 再将x2＝9，x3＝－2代入第一个方程得：x1＝－3。 从而，方程组的解为：
x1 = − 3, x 2 = 9, x 3 = − 2
分析上例： 我们对方程组反复进行了三种变换，即： （1）互换两个方程的位置； （2）用一个非零数乘某个方程； （3）把一个方程的k倍加到另一个方程上。 我们称着三种变换为线性方程组的初等变换。
(1)
x1 , x2 ,L , xn 代表n个未知量； aij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) 称为方程组的系数； b1 , b2 ,L , bm 称为常数项。方程的个数 m 没有限制，可以：
⎧ m < n，方程组是否有解？ ⎪ ⎨ m = n，方形线性方程组，Cramer法则； ⎪ m > n，解是怎样的？ ⎩
Байду номын сангаас
Step2 把第一步中得到的方程组的第一个 方程的－2倍加到第二个方程上，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ − x2 − 5 x3 = 1, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第 一个方程的－3倍加到第三个方程上，得
⎛ a11 ⎜ ⎜ a 21 =⎜ L ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 L am 2 L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L a mn ⎟ ⎠
记作 A = Am×n
= (aij )m×n = (aij )
⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 A=⎜ L ⎜ ⎜a ⎝ m1
a12 a22 L am 2
⎛ 13 6 2i ⎞ ⎜ ⎟ 是一个 3 × 3 复矩阵, ⎜ 2 2 2⎟ ⎜ 2 2 2⎟ ⎝ ⎠
是一个 3 × 1 矩阵,
(2 3 5 9 )
是一个 1× 4 矩阵,
(4 )
是一个 1× 1 矩阵.
几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶 方阵.也可记作 An . 例如
由于方程组的系数行列式 1 −2 1 D= 2 1 − 3 = 1 × 1 × ( − 1) + ( − 2 ) × ( − 3 ) × ( − 1) −1 1 −1
+ 1 × 2 × 1 − 1 × 1 × (− 1) − (− 2 ) × 2 × (− 1) − 1 × (− 3 ) × 1 = − 5 ≠ 0,
⎡1 1 r2 − 2r1 ⎢0 −1 ⎢ ⎣ r3 − 3r1 ⎢0 2 1 − r3 , r2 − 5r3 11
4⎤ −5 1 ⎥ r3 + 2r1 ⎥ −1 20 ⎥ ⎦ 1 ⎡1 0 0 −3⎤ ⎢0 1 0 9 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 −2 ⎥ ⎣ ⎦
1 4⎤ ⎡1 1 ⎢0 −1 −5 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 −11 22 ⎥ ⎣ ⎦
2.1 高斯消元法 2.2 矩阵的秩 2.3 线性方程组解的判定
第二章
线性方程组
回顾: 根据克拉默法则
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n = b1 ⎪a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn ⎩
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ − x2 − 5 x3 = 1, ⎪ 2 x − x = 20. ⎩ 2 3
Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第 一个方程的－3倍加到第三个方程上，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ − x2 − 5 x3 = 1, ⎪ 2 x − x = 20. ⎩ 2 3
解
Step1 交换第一、第二个方程位置，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ 2 x1 + x2 − 3 x3 = 9, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
Step2 把第一步中得到的方程组得第一个 方程的－2倍加到第二个方程上，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ − x2 − 5 x3 = 1, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
例2 解线性方程组
⎧ 2 x1 + x2 − 3 x3 = 9, ⎪ ⎨ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
解 Step1 交换第一、第二个方程位置，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ 2 x1 + x2 − 3 x3 = 9, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
−r2 , r1 − r2 − r3
以最后一个矩阵为增广矩阵的方程组为
⎧ x１ =-3 ⎪ x2 =9 ⎨ ⎪ x3 =-2 ⎩
因此方程组有唯一解，这个结果和消元法一致！
定义3 满足下列两个条件的矩阵称为梯（行阶梯）矩阵。 （1）若有零行，则零行位于非零行的下方； （2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的 元）前面零的个数逐行增加。
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21 L an1 a12 L a1n b1 a22 L a2 n b2 L L L L an 2 L ann bn
矩阵
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.
定义1 矩阵的定义 由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表 a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n 称为 m × n矩阵. M M M am 1 am 2 L amn
ri + (−
aij1
a1 j1
)r1 ,
i = 2,3,..., m.
得到：
⎛0 ⎜ ⎜0 A→ ⎜M ⎜ ⎜0 ⎝
L 0 L 0 L M L 0
a, a
1 j1
1, j1 +1
L
a
1n
0 M 0
A1
⎞ ⎟ ⎟=B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
其中A1是（m－1）x（n－j1）矩阵，对施行上面 同样的步骤，如此下去，即可得梯矩阵。
的解取决于 系数
aij (i, j = 1,2,L, n),
常数项 bi (i = 1,2,L,n)
线性方程组的一般形式
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ⎪ a x + a x +L + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm ⎩
第一节 高斯消元法
是求解线性方程组的一种基本方法。 其基本思想是通过消元变形，把方程组化成 容易求解的同解方程组。 即得到能直接求出解或者能够直接判断其无 解的通解方程组。
例1 解线性方程组
⎧ x1 − 2 x2 + x3 = −2, ⎪ ⎨ 2 x1 + x2 + −3 x3 = 1, ⎪ − x + x − x = 0. ⎩ 1 2 3