2011年专升本辅导《应用数学基础》练习题 (1)

2011年《应用数学基础》练习题

1. 求下列函数的极限

（1）236

5lim 222+-+-→x x x x x ；（2）86lim 322--+→x x x x ；（3） 9

34lim 223-+-→x x x x 。

2.求下列极限（1）x x x x x 521

2lim 22-++∞→；（2）1

212lim 23+++∞→x x x x ；（3）121lim 2-+∞→x x x 。 3.设217

lim

2=--+∞→x

bx ax x ，求常数b a ,。 4.求极限x

x x 1

1lim

-+→。 5.当∞→x 时，)(x f 与

x

1

是等价无穷小量，则=

∞→)(2lim x xf x 。

6.当0→x 时，x cos 1-与2

x 是

无穷小。（高阶，低阶，同阶但不等价，等价）

sin

x

（4） 11lim =⎪⎭

⎫

⎝⎛-∞→x

x x ；（5）) 21lim =-∞→x x x ；（6）() 31lim 0=+→x x x ；

（7） 31lim =⎪⎭

⎫

⎝⎛-∞

→n

n n 。

8.求下列各题的极限 （1）()

2

30

1lim +→+x x x ；（2）

x

x x x 32lim ⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞→；

（3） 42

22lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x

x x x

9.求极限（1） ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+→x x x x

x 51sin 5sin lim 0； （2） x x x x sin 12lim 2

-+∞→ 10.30tan sin lim

x

x

x x -→。 11. （1）设⎩⎨⎧≤>=0,0,s i n )(x e x x x f x ，求)(l i m 0x f x →；（2）设⎪⎩⎪⎨⎧≠==0

,10

,s i n )(x x x x x f ，求)(l i m 0x f x →。

12. 求函数的极限⎪⎭⎫

⎝⎛---→311311

lim x x x 。 13. 计算

n

n n x

2sin

2lim ∞

→。 14.若)(lim πx f x →存在，且)(lim 2π

sin )(πx f x x

x f x →+-=，则

)(lim π=→x f x 。 解 由于)(lim πx f x →存在，设A x f x =→)(lim π，则对)(lim 2π

sin )(πx f x x

x f x →+-=

两边取极限，有⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=→→A x x x f x x 2πsin lim )(lim ππ

，A x x A x 2πsin lim

π+-=→，有 1)sin(lim πsin lim

ππ

=---=--=→→π

πx x x x A x x 。

15.设函数⎪⎩⎪

⎨⎧=+≠=0

,0,5sin )(2x a x x x x

x f 在点0=x 处连续，则 =a

16.

设函数⎪

⎪⎧=<=0

,0,2sin )(x k x x x

x f ，求常数k 的值，使函数)(x f 在0=x 处连续。 3

-x （2）函数⎩

⎨

⎧≤>-=1,1

,1)(x e x x x f x

的间断点是 。 18.求1+=x e y 在)1,0(处的切线方程和法线方程。

19.已知物体的运动规律为253

+=t s ，则该物体在1=t 时的速度 =v ，在1

=t 时加速度 =a 。

20.（1）设函数)(x f y =在点1=x 处可导，且3

1

)1()31(lim

=∆-∆+→∆x f x f x ，则

)1(='f 。 （2）已知函数)(x f y =在点0x 处可导，且4

1)()4(lim

000

=--→x f h x f h h ，

则 )(0='x f 。

（3）设0)0(=f ，且2)0(='f ，则 )

(lim

=→x

x f x 。 21.（1）设2ln 343++=x x y ，则 d d =x

y

。 （2）设x x x f e )(=，则

)0(='f （3）设x x y ln =

，求y '。（4）设)11)(1()(2

-+=x x x f ，则 )(='x f 。 （5）设1

1

+=x y ，求y '。

22. 求下列函数的导数y '

（1）21x y +=；（2）x y cos ln =；（3）2

e x y =；（4）x y -=e ；（5）x y 2cos =； （6）)1tan(ln +=x y ；（7）x

y -=

11

；（8）x y x ln e 2=. 23.设)(ln x f y =，其中)(x f 为可导函数，求y '。 24.（1）设)(x y y =由方程1333=+-y xy x 确定，求

x y d d 及0

d d =x x

y 。

（2）求由方程y x xy +=e 所确定的隐函数)(x y y =的导数x

y d 。 。 26.（1）设x x x f ln )(5=，求。 )1(=''f （2）设x xe x f 2)(=，求。

)(=''x f 27.（1）设⎩⎨⎧+==142t y t x ，求x y d d 。（2）设⎩

⎨⎧==t y t x 2

2sin 33，求x y d d 。 28.求下列函数的微分y d

（1）)e 1ln(x y +=；（2）x y x cos e 3=；（3）设)(x y y =由方程0)cos(e =++xy y

x 所

确定；（4）设y x x y ln ln =确定)(x y y =，求y d 及2d e x y =。 29.求极限（1）30

sin lim

x x x x -→；（2） x x x x x 20sin tan lim -→；（3） ⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+→111

lim 0x x e x 30.已知函数131232)(2

3

+--=x x x x f ，求 （1）其单调区间和极值；（2）其凹凸区间和拐点。 31.下列结论正确的是（ ）