2020 中考数学复习解析：9一线三等角(二)

第九讲：一线三等角（二）

教师：______ 学生：______ 上课时间：_____

例1：数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图所示，在正三角形ABC 中，M 是BC 边（不含端点B ，C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠ACP 的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN 。

（1） 经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。

证明：在AB 上截取EA=MC ，连结EM ，得△AEM 。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN ，∠2=180°-∠AMB -∠B ，∠AMN=∠B=60°，

∴∠1=∠2.

又∵CN 、平分∠ACP ，∴∠4=1/2∠ACP=60°。∴∠MCN=∠3+∠4=120°。

又∵BA=BC ，EA=MC ，∴BA-EA=BC-MC ，即BE=BM 。

∴△BEM 为等边三角形，∴∠6=60°。∴∠5=10°-∠6=120°。

由①②得∠MCN=∠5.在△AEM 和△MCN 中，∵__________,

____________,___________,∴△AEM ≌△MCN （ASA ）。∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC ”改为“正方形A 1B 1C 1D 1”(如图)，N 1是

∠D 1C 1P 1的平分线上一点，则当∠A 1M 1N 1=90°时，结论A 1M 1=M 1N 1是否还成立？

（直接给出答案，不需要证明）

（3）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，请你猜想：

当∠A n M n N n =__ °时，结论A n M n =M n N n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

例2：如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.

（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

秒杀秘籍：一线三等角与全等

（一）①等边三角形的一条边BC 上构造一个60°的角∠APE ；②∠ACB 外角平分线与∠APE 相交于F ；③ ∠APE 的两条边相等，即AP=PF 。

（二）①正方形的一条边BC 上构造一个90°的角∠APE ；②∠DCB 外角平分线∠APE 相交于F ；③ ∠APE 的两条边相等，即AP=PF 。

这里都是知二定一（知道两个条件推出第三个条件），证明的关键是△AGP ≌△PCF

E B C E D A

F P

A D

B

C F

例3：如图，在梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD ＝3，AB ＝

6．在

底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得

∠DEF ＝120°．(1)当点E 是AB 的中点时，DF ＝ ；

(2)若射线EF 经过点C ，则AE ＝ ．

例4：在直角ABC ∆中，4

3tan ,5,90===∠B AB C o ，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F （1）、求AC 和BC 的长（2）、当BC EF //时，求BE 的长。（3）、连结EF,当DEF ∆和ABC ∆相似时，求BE 的长。

例5.：在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．

秒杀秘籍：一线二等角构造成一线三等角

1.由一个不等腰梯形构造成等腰梯形，实现一线三等角；

2.凡遇到一个直角三角形的一条直角边上有直角时，需要作垂线构造一线三等角；

F C B A E D F D C

A B E

1.已知D、E、F分别为等腰△ABC边BC、CA、AB上的点，如果AB=AC，BD=2，CD=3，CE=4，AE=，∠FDE=∠B，那么AF的长为（）

A ．5.5 B

．

4.5 C

．

4 D

．

3.5

第1题第2题第3题第4题

2.如图，已知：在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则BE长为（）

A ．1 B

．

2.5 C

．

2.25 D

．

1.5

3.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD交AC于点E，EF⊥BC于点F，若AB=4，BD=2，则CE的长为（）

A ．2

B

．

C

．

D

．

4.△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC按如图的位置放在直角坐标系中，若点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（1，0），点B的横坐标为4，则点B的纵坐标为（）

A ．1 B

．

1.2 C

．

1.5 D

．

1.8

5.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（）

A ．1对B

．

2对C

．

3对D

．

4对

第5题第6题第7题第8题6．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）

A ．B

．

C

．

D

．

7如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7cm，AD=2cm，BC=3cm，动点P从点A出发沿着线段AB方向以1cm/s的速度向点B运动，到达点B运动结束，设点P的运动时间为t秒，若以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，则t的值不可能是（）

A ．1

B

．

6

C

．

D

．