第2讲-基本概念

1 t 0 = 0, t1 = , t 2 = 1, 或 2

1 t 0 = 0, t1 = , t 2 = 1, 3
其中每个参数值称为节点(knot)。
31
1.2 参数曲线—参数化
与其参数域 P0 , P 1 ,L, P n
对于一条插值曲线，型值点
t ∈ [t 0 , t n ] 内的节点之间有一种对应关系。对于一组有
ΔPi = Pi +1 − Pi
这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服 型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的 问题，使插值曲线具有较好的光顺性。
33

矢量
具有方向和大小的量.

矢函数
对于自变量t的每一个数值都有变矢量a的确定量与之对应， 则变矢量a称为变量t的矢函数。
参数表示的优点： （3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、 曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲 面可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的 ，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲 面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学 公式处理几何分量。
1.2 参数曲线和曲面
¾
参数表示
曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。 假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：
P (t ) = [x(t ), y (t )]
空间曲线上任一三维点P可表示为：
P (t ) = [x (t ), y (t ), z (t )]
26
1.2 显式表示：

参数曲线
19


1.几何造型技术
20
1.几何造型技术

实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无 实体模型 歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。 是最高级的模型。
这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用 的要求。
21
1.几何造型技术
22
1.1 几何造型技术发展历史

曲面造型：60年代，法国雷诺汽车公司、Pierre Bézier、 汽车外形设计的UNISURF系统。
29
1.2 参数曲线
参数表示的优点：
（6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有 界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
1.2

参数曲线—参数化
过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数 这是因为对应的参数t, 在[0, 1]区间中有无数种取法。即 P1和P2可对应不同的参数值，比如，
1.2 参数曲线
位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
曲线上任一点的位置矢量可表示为：
P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；
35
1.2 参数曲线

切向量(切矢量)
曲线上R、Q两点，参数分别为t 和t+∆t，矢量∆P=P(t+ ∆t)P(t)，大小为弦长∆s.如果R处存在切线，当Q趋近于R时，即 ∆tÆ0时，导数矢量趋近于该点的切线方向。
IGES（基本图形转换规范）
-- Initial Graphics Exchange Specification -- 作用：不同的CAD/CAM系统之间交换数据。 --文件格式是ASCII码，五节：开始节，目录入口(DE)， 参数(DP)节，整体节和结束节。
STEP（产品模型数据转换标准）
-- Standard for the Exchange of Product model Data. -- 覆盖产品整个生命周期 -- 强调建立能存入数据库中一个产品模型的完整表示。 --克服IGES中的问题和缺点。
1.2 参数曲线

切向量(切矢量)

dP ΔP lim 选择弧长s作为参数，则 T = ds = Δ s →0 Δs 是单位切矢
根据弧长微分公式有：
(ds )
2
2
= (dx ) + (dy ) + (dz )
2 2
2 2
2
' 2
(ds / dt )
2
= (dx / dt ) + (dy / dt ) + (dz / dt ) = P (t )
P′(t ) × P′′(t ) B= P′(t ) × P′′(t )
把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢 我们可以推导出：
( P′(t ) × P′′(t )) × P′(t ) N = B ×T = ( P′(t ) × P′′(t )) × P′(t )
1.2 参数曲线

T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动标架
序的型值点，所确定一种参数分割，称之这组型值点 的参数化。
32
1.2 参数曲线—参数化

参数化常用方法有：

均匀参数化(等距参数化)

节点在参数轴上呈等距分布，
t i + 1 = t i +正常数。

累加弦长参数化
⎧t0 = 0 ⎨ ⎩ti = ti −1 + ΔPi −1 ,i = 1,2,⋅ ⋅⋅,n
ds = P ' (t ) ≥ 0 dt

于是有
dP dP dt P ' (t ) = ⋅ = ' ds dt ds P (t )
，即为单位矢量
当曲线以弧长为参数时，其切矢为单位矢量。
37
1.2 参数曲线

法矢量
dT 与 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢 N ds
矢量积
B = T × N 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。
参数方程表示曲线、曲面的优越性表现在：
（1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关,满足几 何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维 三次曲线的显式表示为：
只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数 表达式为：
有8个系数可用来控制此曲线的形状。
1.2 参数曲线
数据传送和通信的接口标准，以及供图形应用程序调用的 子程序功能及其格式标准，前者称为数据及文件格式标准 ，后者称为子程序界面标准。

图形系统标准分类

面向图形设备的接口标准：
计算机图形文件(CGM)，(CRT,Mouse,…) 计算机图形接口(CGI).设备驱动程序
图形系统标准

面向应用软件的标准：
程序员层次交互式图形系统（PHIGS）,GL (图形程序包) （三维）图形核心系统（3D-)GKS

面向图形应用系统中工程和产品数据模型及其文件格式
基本图形转换规范（IGES） 产品数据转换规范（STEP）
CGI（ISO DP 9636)
-- 提供控制图形硬件的一种与设备无关的方法。 -- 也可看作图形设备驱动程序的一种标准。 -- 在用户程序和虚拟设备之间，以一种独立于设备 的方式提供图形信息的描述和通信。
1.2 参数曲线和曲面

表示曲线和曲面的基本方法有两种：参数法和非参数法。
¾
非参数法
显式表示: 隐式表示:
y=f（x）不能表示封闭或多值的曲线 f（x，y）=0
方程的根很难求
显式或隐式表示存在下述问题： 1）与坐标轴相关； 2）对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化 函数表示； 2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； 3) 不便于计算机编程。 25
17
1.几何造型技术
18
1.几何造型技术

表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面 表面模型 的边界。
表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数 控加工等需要。 该模型只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一 侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体 性质。如表面积、体积、重心等。也不能将这个物体作为 一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相 交等。
车 身 CAD
吴
山东交通学院
娜
汽车工程学院
第3章 车身曲线曲面的数学模型基础

了解参数曲线曲面的基本知识； 贝齐尔曲线曲面； B样条曲线曲面； 具有一定实践体会和相关的编程能力。
2
主要讲授内容

CAGD发展与图形标准； 几何造型技术； 参数曲线和曲面； Bezier 曲线与曲面； B样条曲线与曲面； NURBS曲线与曲面；
N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切面，B、 T构成的平面称为从切面。 当参数连续变化时，活动标架就连续发生平移和旋转，，曲 线在任一点处临近的几何行为或几何性质就可在该点处的活 动标架内考察。
法平面

B
从 切 面
N T
1.几何造型技术
几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物 几何造型技术 体模型形状的技术。 描述物体的三维模型有三种:

线框模型 曲面模型 实体模型。


16
1.几何造型技术

线框模型用顶点和棱边来表示物体。 线框模型
由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体；不能 明确地定义给定点与物体之间的关系（点在物体内部、外部 或表面上）。
3
CAGD发展 (Computer Aided Geomatric Design)

1963，美国波音的弗格森最早引入参数三次曲线，提 出了将曲线曲面表示为参数的Leabharlann Baidu函数方法；

1964，美麻省理工的孔斯曲面（用四条封闭曲线定义）； 1964，舍恩伯格提出参数样条曲线曲面的形式； 1971，雷诺的贝齐尔曲线曲面，出色的解决了整体形 状控制问题；（连接问题和局部修改问题）
CGM（ISO IS8632)
-- 与设备无关的语义、词法定义的图形文件格式。 -- 规定了生成、存储、传送图形信息的格式。 -- 面向系统和系统开发者，和CGI配套提供。 -- 通用性是其关键属性。
GKS
-- 提供了在应用程序和图形输入输出设备间的功能接口 -- 与语言无关。 -- GKS提供了一个称为元文件的顺序文件接口 -- 应用程序的所有图形资源由GKS控制(通过GKS元文件GKSM) -- GKSM用于:图形信息存档；系统传送图形信息； 在GKS应用程序间传送图形信息； 与图形信息相关的非图形信息存储和复用 实现图形应用程序在源程序级地可移植性

实体造型：1973英国剑桥大学CAD小组的Build系统、 美国罗彻斯特大学的PADL-1系统等。

独立发展起来，又合二为一。 主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示的造型设 计系统
23
1.1 几何造型技术发展历史
在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、观测 或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线，以描述 事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶的等产品的外形设 计中，要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。
参数表示例子： 直线
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参 数方程可表示为：
P (t ) = P1 + ( P2 − P1 )t , t ∈ [0,1]

圆
⎡1 − t 2 2t ⎤ P(t ) = ⎢ , 2 2 ⎥ ⎣1 + t 1 + t ⎦
t ∈ [0,1]
27
1.2 参数曲线

1969，雪铁龙的德卡斯特里奥同样的算法； 1972，德布尔与考克斯独立最早提出B样条方法；
4
图形系统
CAGD系统包括：
硬件：计算机主机、存储器 图形I/O设备：数字化仪和图形输入板、扫描仪、数码相机、
显示器、打印机、绘图仪等

系统软件：UNIX、Windows、Linux等 图形软件
图形系统
图形软件：通用编程软件包，专用应用软件包。
通用类：提供一个可用于高级程序语言的图形功能扩展集
(比如，OpenGL).
基本功能：图元生成，属性设置（颜色，材质….）选择
观察及实施变换等。
专用类：不关心图形操作过程（比如，CAD系统）。
图形系统标准

图形标准：图形系统及其相关应用系统中各界面之间进行
PHIGS（ISO IS9592）
-- 向应用程序员提供的控制图形设备的图形系统接口； -- 图形数据按层次结构组织； -- 提供动态修改和绘制显示图形数据的手段。是一个高 度动态化和交互式图形系统。
GL
--图形程序库， -- UNIX下运行， -- OpenGL—微机， --分类：基本图素；坐标变换；设置属性和显示 方式；I/O 处理；真实图形显示。

矢函数求导（导矢）
矢函数求导和数量函数的求导相同，设矢函数r(t)在区间 [t1,t2]内连续，并设t0和t0+∆t都在该区域内，若极限
lim Δt →0
r (t0 + Δt ) − r (t0 ) Δt
存在，则r(t) 在t0处可微，该极限称为r(t)在t0的导矢。 导矢用于计算曲线的切矢、法矢、曲率、法平面等。