下册 小专题训练 与圆的基本性质有关的计算-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件
北师大版九年级数学下册练习：小专题(十四) 与圆的基本性质有关的计算-最新学习文档
第 1 页 小专题(十四) 与圆的基本性质有关的计算类型1 求角度1.(2019·北京)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ︵＝CD ︵，∠CAD＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB＝70°.2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点E ，AB ＝2CE ，∠E＝25°，则∠BOD ＝75°.3.如图，A ，B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点(P 不与A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角.已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角.(1)若AB 是⊙O 的直径，则∠APB 的度数是90°；(2)若⊙O 的半径是1，AB ＝2，则∠APB 的度数是45°或135°__.4.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB 的度数为100°.5.如图，在⊙O 中，∠OAB＝22.5°，则∠C 的度数为112.5°__.6.(2019·南京)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝27°.类型2 求长度7.(2019·咸宁)如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD.若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为(B)A .6B .8C .5 2D .5 38.如图，⊙O 的半径是3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP.若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB 的长是25.9.如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC.若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为213__.10.如图，AB ，AC ，AD 为⊙O 的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB ＝4，AD ＝6，则CD 的长为13.11.(2019·十堰)如图，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.若AC ＝6，BD ＝52，则BC 的长为8.。
北师大版九年级数学下册第三章《圆》专题测试含答案
《圆》专题训练含答案一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是（填序号）11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于°．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．圆专题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B．2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①正确；②在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；③圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；因此正确的结论是①②；故选：B．3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°【解答】解：连接BD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°．故选：B．5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定【解答】解：∵r＝3，d＝5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：B．6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角【解答】解：∵EF与⊙O相切于点D，∴点D有圆上，∴∠AOB和∠BOD是圆心角，∠ADB是圆周角，∵点F不在圆O上，∴∠BDF不是圆周角，故选：C．7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°【解答】解：∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB＝∠AOB＝70°．故选：C．8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．【解答】解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OF A，∴S阴＝S扇形OF A，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OF A＝＝．故选：C．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是②③（填序号）【解答】解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确，正确的结论有②③，故答案为：②③．11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于18°．【解答】解：由题意这是正二十边形，中心角α＝＝18°，故答案为18．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是8．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．【解答】解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，∴OC＝＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AD＝＝＝，∵E为的中点，∴OE⊥BD，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，∴DE＝＝＝；故答案为：．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于2+．【解答】解：∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，∵F是AB的中点，∴OC⊥AB，设OF为x，则DF＝x﹣4，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，在Rt△BOC中，OB2＝OF2+BF2，∵OB＝OC＝6，∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）∴OF的长的最大值等于2+，故答案为2+．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是70°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．故答案为：70°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于10．【解答】解：根据正n边形内接于半径为R的圆，则可将分割成n个全等的等腰三角形，其中等腰三角形的腰长为圆的半径R，顶角为，∵个n边形的面积为3R2，∴n××R×R×sin＝3R2n sin＝6解得n＝10．故答案为10．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为30cm．【解答】解：根据题意得，r＝30cm，故答案为30cm．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．【解答】（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DF A，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．【解答】解：（1）如图1，连接OD，则OD⊥DE，∵∠∠ODA+∠EDC＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵OA⊥OB，∴∠OAD+∠OCA＝90°，且∠OCA＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDC；（2）由（1）知，∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC，在Rt△ODE中，设ED＝x，则OE＝CE+OC＝2+x，∵OD2+DE2＝OE2，∴82+x2＝（2+x）2，解得，x＝15，∴DE的长为15；（3）如图2，连接OD'，过点O作OH⊥AD'于点H，延长AO交⊙O于点M，过点D作DN⊥AM于点N，设弦AD在圆内扫过的面积为S，则S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'，由题意知，∠OAH＝30°，∴在Rt△OAH中，∠AOH＝60°，AH＝OA＝4，OH＝OA＝4，∴AD'＝2AH＝8，∠AOD'＝120°，∴S弓形ABD'＝S扇形OAD'﹣S△OAD'＝﹣×8×4＝﹣16，在Rt△ODN中，∠DON＝2∠OAD＝30°，∴DN＝OD＝4，∴S△OAD＝OA•DN＝×8×4＝16，∵∠AOD＝180°﹣∠DON＝150°，∴S扇形OAD＝＝，∴S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'＝﹣16﹣（﹣16）＝+16﹣16，∴弦AD在圆内扫过的面积为+16﹣16．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．【解答】证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CF A+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．【解答】解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．【解答】（1）证明：连结OC，如图1，∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，即∠ACO+∠FCD＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∴∠CAO+∠AFH＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠AOC，∴∠FCD＝∠AFH，而∠AFH＝∠DFC，∴∠DFC＝∠DCF，∴△FCD是等腰三角形；（2）解：连结OF，OC，如图2，在Rt△COE中，∠E＝30°，BE＝2，∴OE＝2OC，即OB+2＝2OC，而OB＝OC，∴OC＝2，∴⊙O的半径为2；∵∠EOC＝90°﹣∠E＝60°，∴∠ACO＝∠AOC＝30°，∴∠FCD＝90°﹣∠ACO＝60°，∴△FCD为等边三角形，∵F为AC的中点，∴OF⊥AC，∴AF＝CF，在Rt△OCF中，OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC；（2）解：过点O作OF⊥AC于点F，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD．∵OD∥AC，∴DE⊥AC．∴四边形OFED是矩形．∴OF＝DE．在Rt△AOF中，∠A＝45°，∴OF＝OA＝2，∴DE＝2．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．。
下册 3.1圆-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件
与任何人接触时，要常常问自己，我有什么对他有用？使他得益。如果我不能以个人的道德学问和修持的力量，来使人受益，就等于欠了一份 债。 要做的事情总找得出时间和机会；不愿意做的事情也总能找得出借口。 人而无信，不知其可也。——《论语·为政》 君子不器。——《论语·为政》 只要面对现实，你才能超越现实。
身体健康，学习进步！ 在任何时候都要坚信：“方法会比困难多一点”。
北师大版2019-2020九年级数学下册圆综合练习题1(培优 含答案)
北师大版2019-2020九年级数学下册圆综合练习题1（培优 含答案）1．用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，甲、乙两人的作法如图：根据两人的作法可判断（ ）A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误 2．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD ∽；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个3．如图的44⨯的网格图，A 、B 、C 、D 、O 都在格点上，点O 是（ ）A.ΔACD 的外心B.ΔABC 的外心C.ΔACD 的内心D.ΔABC 的内心 4．下列图形中，能确定12∠>∠的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A ，B ，C 在O 上，CD 垂直平分AB 于点D ，现测得8dm AB =，2dm DC =，则圆形标志牌的半径为（ ）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm6．考虑下面六个命题（1）任意三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；（3）90°的圆周角所对的弦是直径；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等；（5）相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的命题有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．如图，AB AC 、都是圆O 的弦，OM AB ON AC ⊥⊥，，垂足分别为M N 、，如果MN =，那么BC =（ ）A ．3BC ．D ．8．中心角为30°的圆内接正n 边形的n 等于( )A ．10B ．12C ．14D ．159．如图，在正方形ABCD 中，边长AD ＝2，分别以顶点A 、D 为圆心，线段AD 的长为半径画弧交于点E ，则图中阴影部分的面积是_____．10．已知P 是⊙O 内一点，OP=4cm ，过点P 的最长弦为10cm ，则过P 点最短弦长为 ________cm ．11．直径相等的两个圆是等圆．（______）12．如图，AC 1=，BAC 60∠=，弧BC 所对的圆心角为60，且AC ⊥弦BC.若点P 在弧BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上.则PE EF + FP +的最小值为______．13．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x＋48＝0的两根，则Rt△ABC内切圆的半径为________．14．圆心角相等，所对的弦也相等．（______）15．如图1 是台湾某品牌手工蛋卷的外包装盒，其截面图如图2 所示，盒子上方是一段圆弧（弧MN ）.D，E 为手提带的固定点，DE 与弧MN 所在的圆相切，DE=2.手提带自然下垂时，最低点为C，且呈抛物线形，抛物线与弧MN 交于点F，G.若△CDE是等腰直角三角形，且点C，F 到盒子底部AB 的距离分别为1，94，则弧MN 所在的圆的半径为_____．16．如图，在O中，若AB MN于C，AB为直径，试填写一个你认为正确的结论：________．17．等边三角形ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，延长AO分别交BC于点P，弧BC于点D，连接BD，CD．（1）判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由；（2）若等边三角形ABC的边长，求⊙O的半径；（3）在劣弧BD上有一点Q，请求出弓形BQD的面积．18．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点D，与△ABC的外接圆相交于点E ，连接BE ．⑴ 求证：BE IE =；⑵ 若6AD =，2DE =，求AI 的长．19．如图，在O 中AB 是直径，点F 是O 上一点，点E 是AF 的中点，过点E 作O 的切线，与BA 、BF 的延长线分别交于点C 、D ，连接BE .(1)求证：BD CD ⊥.(2)已知O 的半径为2，当AC 为何值时，BF DF =，并说明理由.20．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ． （1）当△ABC 的外接圆半径为1时，且∠BAC=60°，求弧BC 的长度．（2）连接BD ，求证：DE=DB ．21．如图，在△ABC 中，∠90C =，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC 交于点F ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，连接BE ． （1）求证：EH EC =；（2）若4BC =，2sin 3A =，求AD 的长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD ⊥CE 于点 D ，AC 平分∠DAB ． （1） 求证：直线 CE 是⊙O 的切线；（2） 若 AB ＝10，CD ＝4，求 BC 的长．23．如图，D 、E 分别是⊙O 两条半径OA 、OB 的中点，AC=CB ．（1）求证：CD=CE ．（2）若∠AOB=120°，OA=x ，四边形ODCE 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．24．如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧)(1)求点A 、B 的坐标； (2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；(3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．C【解析】【分析】甲的做法是根据直径所对的圆周角为直角得出；乙的做法根据线段的垂直平分线性质得出．此题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解本题的关键．【详解】解：观察可得甲、乙两人的作法均正确，故选：C ．【点睛】此题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解本题的关键．2．A【解析】【分析】由切线的性质得CBO 90∠=，首先连接OD ，易证得()COD COB SAS ≅，然后由全等三角形的对应角相等，求得CDO 90∠=，即可证得直线CD 是O 的切线，根据全等三角形的性质得到CD CB =，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO DB ⊥，故②正确；根据余角的性质得到ADE BDO ∠∠=，等量代换得到EDA DBE ∠∠=，根据相似三角形的判定定理得到EDA EBD ~，故③正确；根据相似三角形的性质得到ED OD BE BC=，于是得到ED?BC BO?BE =，故④正确． 【详解】解：连结DO ． AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，CBO 90∠∴=，AD //OC ，DAO COB ∠∠∴=，ADO COD ∠∠=．又OA OD =，DAO ADO ∠∠∴=，COD COB ∠∠∴=．在COD 和COB 中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()COD COB SAS ∴≅，CDO CBO 90∠∠∴==． 又点D 在O 上，CD ∴是O 的切线；故①正确，COD COB ≅，CD CB ∴=，OD OB =，CO ∴垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，EDO ADB 90∠∠∴==，EDA ADO BDO ADO 90∠∠∠∠∴+=+=，ADE BDO ∠∠∴=，OD OB =，ODB OBD ∠∠∴=，EDA DBE ∠∠∴=，E E ∠∠=，EDA EBD ∴~，故③正确；EDO EBC 90∠∠==，E E ∠∠=，EOD ECB ∴~，ED OD BE BC∴=， OD OB =，ED ?BC BO ?BE ∴=，故④正确；故选：A ．【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．3．B【解析】【分析】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，利用勾股定理分别求出OA、OB、OC、OD 的长，根据O点与三角形的顶点的距离即可得答案.【详解】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，∴∵∴O为△ABC的外心，故选B.【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握三角形的外心和内心的定义是解题关键.4．B【解析】【分析】根据对顶角相等对选项A进行判断；根据三角形外角性质对选项B进行判断；根据平行线的性质和对顶角相等对选项C 进行判断；根据圆周角定理对选项D 进行判断．【详解】解：A 、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故本选项不合题意；B 、∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项正确；C 、若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，故本选项不合题意；D 、∵∠1、∠2是同弧所对的圆周角，∴∠1=∠2．故本选项不合题意.故选：B ．【点睛】本题考查的是对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．5．B【解析】【分析】连结OD ，OA ，设半径为r ，根据垂径定理得4,2AD OD r ==- ，在Rt ADO ∆中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.【详解】连结OD ，OA ，如图，设半径为r ，∵8AB =，CD AB ⊥，∴4=AD ，点O 、D 、C 三点共线，∵2CD =，∴2OD r =-，在Rt ADO ∆中，∵222AO AD OD =+，，即2224(2)r r =+-，解得=5r ，故选：B.【点睛】本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．6．A【解析】【分析】根据圆中的定理进行分析．确定圆的定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等；90°的圆周角所对的弦是直径．【详解】解：根据圆中的定理及其推论，知（1）当三点共线的时候不能确定一个圆，故错误；（2）当该弦是直径的时候，不一定能够垂直，故错误；（3）和（4）根据圆周角定理的推论，故正确；（5）必须在同圆或等圆中，故错误．故选：A ．【点睛】此题考查了圆中的重要定理及其推论．注意：因为等弧的概念已经强调了在同圆或等圆中，所以当等弧做为条件时，不用强调在同圆或等圆中．7．C【解析】【分析】由OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，根据垂径定理易得MN 是△ABC 的中位线，即可求得BC 的长．【详解】∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴AN=CN，AM=BM，即MN是△ABC的中位线，∴MN=12 BC，∴，故选C．【点睛】此题考查了垂径定理、三角形的中位线的性质以及等边三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．B【解析】正n边形的n=360°÷30°=12，故选B．【点睛】本题考查了正多边形的中心角，解题的关键是要知道正多边形的中心角相等，一个周角为360度．9．.【解析】【分析】连接AE、DE，可以阴影部分的面积是扇形ADE的面积与弓形DE的面积之和，由题目中的数据可以用代数式表示出阴影部分的面积，本题得以解决．【详解】如图所示，连接AE、DE，∵AE＝DE＝AD，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴图中阴影部分的面积是：+（﹣×2×2×sin60°）＝.故答案为：.【点睛】题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S＝．10．6【解析】【分析】结合题意画出图形，过点P的最长弦就是直径，最短弦就是垂直于OP的弦，由最长的弦长求出半径的长；在圆中以半径、弦心距和弦长的一半为三边构成直角三角形，根据垂径定理和勾股定理即可求出最短的弦长.【详解】如图所示，OP⊥AB于P.∵过点P的最长弦就是直径，∴半径为10÷2=5cm，∵最短弦就是垂直于OP的弦，OA=5cm，OP=4cm，∴∴弦AB=2AP=2×3=6cm.即过P点最短弦长为6cm.故答案为：6.【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理及推论，解题关键是构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形.11．正确【解析】【分析】根据等圆的定义即可得答案.【详解】∵能够重合的圆叫做等圆，∴半径相等的圆是等圆，∴直径相等的圆是等圆，故答案为：正确【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的有关概念是解题关键．123【解析】【分析】连接AP，OP，OA.分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P 关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，所以==，设AP rAM AP AN=，易求得：MN=，所以++可取得最++=++==，即当AP最小时，PE EF PFPE EF PF ME EF FN MN小值．【详解】连接AP，O，OA.分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P 关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF．∴==，AM AP ANMAB PAB ∠∠=，NAC PAC ∠∠=，BAC PAB PAC MAB NAC 60∠∠∠∠∠=+=+=，MAN 120∠∴=，M ∴、P 、N 在以A 为圆心，AP 为半径的圆上，设AP r =，易求得：MN =，PE ME =，PF FN =，PE EF PF ME EF FN MN ∴++=++==，∴当AP 最小时，PE EF PF ++可取得最小值AP OP OA +≥，AP OA OP ∴≥-，即点P 在OA 上时，AP 可取得最小值，在Rt ABC 中，AC 1=，BAC 60∠=，BC ∴=，BOC 60∠=，OB OC =， OBC ∴是等边三角形，OC BC ∴==OH AC ⊥交AC 的延长线于H ．在Rt OCH 中，OC 3=OCH 30∠=，1OH OC 2∴==，3CH 2==，在Rt AOH 中，AO ===此时AP r ==，PE EF PF ∴++3，3．【点睛】本题考查圆的有关知识，涉及轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，等边三角形的性质与判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．13．2【解析】【分析】先解一元二次方程可得AC和BC的长，根据勾股定理计算AB的长，再用直角三角形内切圆公式进行解答即可.【详解】∵AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x＋48＝0的两根可得(x−6)(x−8)=0，解得方程的两个根为x=6或8，∵∠C＝90°∴由勾股定理可得10AB=∴Rt△ABC的内切圆的半径为68122+-=【点睛】本题主要考查解一元二次方程、勾股定理、直角三角形内切圆公式，熟悉公式定理是关键. 14．错【解析】【分析】利用圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断即可．【详解】根据圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断可知原命题为假命题，故答案为×．【点睛】此题考查圆心角定理，解题关键在于熟悉定理概念.15．21 8.【解析】【分析】以DE的垂直平分线为y轴，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y=ax2+1，因为△CDE是等腰直角三角形，DE=2，得点E的坐标为（1，2），可得抛物线的表达式为y =x 2+1，把当y 94=代入抛物线表达式，求得MH 的长，再在Rt △FHM 中，用勾股定理建立方程，求得MN 所在的圆的半径．【详解】如图，以DE 的垂直平分线为y 轴，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设MN 所在的圆的圆心为P ，半径为r ，过F 作y 轴的垂线交y 轴于H ，设抛物线的表达式为y =ax 2+1．∵△CDE 是等腰直角三角形，DE =2，∴点E 的坐标为（1，2），代入抛物线的表达式，得：2=a +1，a =1，∴抛物线的表达式为y =x 2+1，当y 94=时，即2914x =+，解得：x =，∴FH =．∵∠FHM =90°，DE 与MN 所在的圆相切，∴222924r r =++-（），解得：218r =，∴MN 所在的圆的半径为218． 故答案为：218．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，待定系数法求抛物线的表达式，垂径定理．解题的关键是建立合适的平面直角坐标系得出抛物线的表达式．16．CM CN =（答案不唯一）【解析】【分析】根据垂径定理的要求即可解题.【详解】解：∵AB MN 于C ，AB 为直径，∴CM=CN （垂径定理）.【点睛】本题考查了垂径定理的应用,属于简单题,熟悉垂径定理的内容是解题关键.17．（1）四边形BDCO 是菱形理由见解析；（2）6；（3）6π．【解析】【分析】（1）可先由四边形各角的大小求出各边之间的关系，然后即可判断四边形BDCO 为何种特殊四边形；（2）先由菱形性质求出BP 的长，再由等边三角形性质及求出∠POB 的角度，然后即可由三角形边角关系求出OB 的长，即⊙O 的半径；（3）弓形BQD 的面积可由求扇形OBD 与三角形OBD 之差间接求得．【详解】解：（1）四边形BDCO 是菱形，理由如下：∵AB ＝BC ＝AC ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，∴∠BOD ＝180°﹣∠AOB ＝60°，∴∠COD ＝180°﹣∠AOC ＝60°；又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为正三角形，∴OB ＝OD ＝BD同理可得OC ＝CD ，∴OB ＝OC ＝BO ＝CD 即四边形BDCO 是菱形；（2）由菱形性质可知，BP=12BC=12× ∵△ABC 为等边三角形，∠PBO ＝30°，OP ＝3，BO ＝6，∴⊙O 的半径OB 为6．（3）S 弓形BQD =S 扇形-S △BOD =2606360π⨯62 ＝6π． 【点睛】本题考查了正三角形与圆，正三角形的性质，菱形的性质与判定及面积求法，具有较强的综合性．18．（1）详见解析；（2）4AI =．【解析】【分析】（1）要证明BE IE =只需证出BIE EBI ∠=∠；（2）求出△EBD ∽△EAB ，可得4IE BE ==，进而可得到4AI =．【详解】⑴ 连接BI ，∵点I 是△ABC 的内心，∴ABI IBD ∠=∠，BAE EAC ∠=∠．∵EBC EAC ∠=∠，∴BIE BAI ABI ∠=∠+∠，EBI EBC IBD ∠=∠+∠．∴BIE EBI ∠=∠，BE EI =． ⑵ ∵EBC EAC BAE ∠=∠=∠，BED AEB ∠=∠，∴△EBD ∽△EAB ．∴()222616BE ED EA =⋅=⨯+=，4IE BE ==．∴2644AI AD DE IE =+-=+-=．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、三角形的内切圆和内心和相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.19．(1)证明见解析；(2)当4AC =时，BF DF =.理由见解析.【解析】【分析】（1）连接OE ，由点E 是AF 的中点，过点E 作⊙O 的切线，可得OE ⊥CD ，BD ∥OE ，进而得出BD ⊥CD ；（2）当AC=4时，连接AF ，证明△AFB ∽△BCD ，所以12BF BA BD BC ==，即BF=DF. 【详解】(1)如图1，连接OE ，∵CD 与O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒.∵点E 是AF 的中点，∴AE EF =，∴23∠∠=，∵OB OE =，∴21∠=∠，∴13∠=∠，∴OE BD ，∴90D CEO ∠=∠=︒，∴BD CD ⊥.(2)当4AC =时，BF DF =.理由如下：如图2，连接AF ，∵AB 是O 的直径，∴90AFB ∠=︒，由(1)知90D ∠=︒，∴D AFB ∠=∠，∴△AFB ∽△BCD ， ∴BF BA BD BC=， 当4AC =时，∵O 的半径为2，∴4AB =，∴BC=AB+AC=8， ∴4182BF BA BD BC ===， ∴1BF DF =， ∴BF DF =.【点睛】本题考查圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．解题的关键是掌握圆的切线的性质．20．（1）2π3；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）设△ABC 的外接圆的圆心为O ，连接OB 、OC ，由圆周角定理得出∠BOC=120°，再由弧长公式即可得出结果；（2）连接BE ，由三角形的内心得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB=∠DBE ，即可得出结论．【详解】（1）解：设△ABC 的外接圆的圆心为O ，连接OB 、OC ，如图1所示：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∴弧BC的长度=120π1180=2π3．（2）证明：连接BE，如图2所示：∵E是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠DEB=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠5∠5=∠2，∴∠DEB=∠DBE，∴DE=DB．【点睛】本题考查了三角形的外心与内心、圆周角定理、弧长公式、三角形的外角性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键．21．（1）见解析；（2）6 5【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AC，根据平行线的性质、角平分线的性质证明结论；（2）根据正弦的定义求出AB，根据相似三角形的性质求出半径，计算即可．【详解】证明：（1）连结OE∵AC为⊙O切线，∴OE⊥AC∵∠C=90°，∴OE∥BC ∴∠EBC=∠BEO∵OE=OB，∴∠EBO=∠BEO∴∠EBC=∠EBO∵EH⊥AB,∠C=90°，∴EH EC=（2）∵∠C=90°，∴2sin3BCAAB==，∴AB=6，设⊙O半径为r，∵OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴OE AO BC AB=，∴646r r-=∴125r=，∴AD=AB-12626255 BD AB r=-=-⨯=.【点睛】本题考查的是切线的性质、解直角三角形、圆周角定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）BC＝【解析】【分析】(1)如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；(2)证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可. 【详解】(1)如图，连接OC∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠OCA=∠DAC，∴AD∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O直径且C在半径外端，∴CD为⊙O的切线；(2)∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴DC AC BC AB，∴BC•AC=DC•AB=4×10=40，∵BC2+AC2=100，∴(BC+AC)2=BC2+AC2+2BC•AC=180，(BC-AC)2= BC2+AC2-2BC•AC=20，∴AC ﹣BC ﹣，∴【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）x 2． 【解析】【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB ，证明△COD ≌△COE ，根据全等三角形的性质证明；（2）连接AC ，根据全等三角形的判定定理得到△AOC 为等边三角形，根据正切的定义求出CD ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OC ，∵AC=CB ，∴∠COA=∠COB ，∵D 、E 分别是⊙O 两条半径OA 、OB 的中点，∴OD=OE ，在△COD 和△COE 中，OD OE COD COE OC OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△COD ≌△COE （SAS ）∴CD=CE ；（2）连接AC ，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，又OA=OC ，∴△AOC 为等边三角形，∵点D 是OA 的中点，∴CD ⊥OA ，OD=12OA=12x ，在Rt △COD 中，CD=OD•tan ∠COD=2，∴四边形ODCE 的面积为y=12×OD×CD×2． 【点睛】 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键． 24．(1)点A 坐标为(﹣4，﹣4)，点B 坐标为(﹣1，﹣2)；(2)S △OA 'M ＝8；(3)点D 坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.【解析】【分析】(1)把x ＝﹣4代入解析式，求得点A 的坐标，把y=-2代入解析式，根据点B 与点A 的位置关系即可求得点B 的坐标；(2)如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点B'作B'G ⊥x 轴于点G ，先求出点A'、B'的坐标，OA＝OA'=F 2解析式为：21y x 3x 44=-+，对称轴为直线：x 6=，设M(6，m)，表示出OM 2，A'M 2，进而根据OA'2+A'M 2＝OM 2，得到)2+m 2+8m+20＝36+m 2，求得m ＝﹣2，继而求得A'M ＝再根据S △OA'M ＝12OA'•A'M 通过计算即可得； (3)在坐标轴上存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似，先求得直线OA 与x 轴夹角为45°，再分点D 在x 轴负半轴或y 轴负半轴时，∠AOD ＝45°，此时△AOD 不可能与△OA'C 相似，点D 在x 轴正半轴或y 轴正半轴时，∠AOD ＝∠OA'C ＝135°(如图2、图3)，此时再分△AOD ∽△OA'C ，△DOA ∽△OA'C 两种情况分别讨论即可得.【详解】(1)当x ＝﹣4时，()()217y 44433=⨯-+⨯-=-， ∴点A 坐标为(﹣4，﹣4)，当y ＝﹣2时，217x x 233+=-， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣6，∵点A 在点B 的左侧，∴点B 坐标为(﹣1，﹣2)；(2)如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点B'作B'G ⊥x 轴于点G ，∴∠BEO ＝∠OGB'＝90°，OE ＝1，BE ＝2，∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A'OB'，∴OB ＝OB'，∠BOB'＝90°，∴∠BOE+∠B'OG ＝∠BOE+∠OBE ＝90°，∴∠B'OG ＝∠OBE ，在△B'OG 与△OBE 中B B B OG BEO OG OBE O BO ∠=∠⎧⎪∠=='∠'⎨'⎪⎩，∴△B'OG ≌△OBE(AAS)，∴OG ＝BE ＝2，B'G ＝OE ＝1，∵点B'在第四象限，∴B'(2，﹣1)，同理可求得：A'(4，﹣4)，∴OA ＝OA'=∵抛物线F 2：y ＝ax 2+bx+4经过点A'、B'，∴164444241a b a b ++=-⎧⎨++=-⎩， 解得：143a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线F 2解析式为：21y x 3x 44=-+， ∴对称轴为直线：3x 6124-=-=⨯， ∵点M 在直线x ＝6上，设M(6，m)，∴OM 2＝62+m 2，A'M 2＝(6﹣4)2+(m+4)2＝m 2+8m+20，∵点A'在以OM 为直径的圆上，∴∠OA'M ＝90°，∴OA'2+A'M 2＝OM 2，∴2+m 2+8m+20＝36+m 2，解得：m ＝﹣2，∴A'M=∴S △OA'M ＝12OA'•A'M＝182⨯=； (3)在坐标轴上存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似，∵B'(2，﹣1)，∴直线OB'解析式为y ＝﹣12x ， 2121x 344y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：11x 2y 1=⎧⎨=-⎩(即为点B')，22x 8y 4=⎧⎨=-⎩， ∴C(8，﹣4)，∵A'(4，﹣4)，∴A'C ∥x 轴，A'C ＝4，∴∠OA'C ＝135°，∴∠A'OC ＜45°，∠A'CO ＜45°，∵A(﹣4，﹣4)，即直线OA 与x 轴夹角为45°，∴当点D 在x 轴负半轴或y 轴负半轴时，∠AOD ＝45°，此时△AOD 不可能与△OA'C 相似， ∴点D 在x 轴正半轴或y 轴正半轴时，∠AOD ＝∠OA'C ＝135°(如图2、图3)，①若△AOD ∽△OA'C ， 则OD OA 1A C OA ''==， ∴OD ＝A'C ＝4，∴D(4，0)或(0，4)；②若△DOA ∽△OA'C ，则DO OA OA A C ''===∴OD OA'＝8，∴D(8，0)或(0，8)，综上所述，点D 坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似.【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合题，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.。
北师大版九年级数学下册习题课件：小专题(十四) 与圆的基本性质有关的计算 (共11张PPT)
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 9:54:18 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/312021/8/312021/8/31Aug-2131-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/312021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础达标训练题1(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础达标训练题1（附答案详解） 1．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 外一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为B ，连接AC 交⊙O 于点D ，∠C=40°，点E 在AB 左侧的半圆上运动（不与A 、B 重合），则∠AED 的大小是（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°2．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB AC ，夹角为120，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ）A ．2100cm πB ．2400cm 3πC ．2800cm πD ．2800cm 3π 3．下列命题正确的是（ ）A ．相等的圆周角对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．三点确定一个圆D ．平分弦的直径垂直于弦4．过A ，B ，C 三点能确定一个圆的条件是（ ）①AB =2，BC =3，AC =5；②AB =3， BC =3，AC =2；③AB =3，BC =4，AC = 5．A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①③5．如图，梯形ABCD 内接于半圆O ，BC∥AD，AB=CD ，且AB =1，BC =2，则OA 长为（ ）．A ．132B 2C ．323+D ．152+ 6．如图，△ABC 是⊙O 的一个内接三角形，AB ＋AC ＝6，E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交O 于点D ，且OE ⊥AD ．当△ABC 的形状变化时，边BC 的长（ ）.A ．有最大值4B ．等于3C ．有最小值3D ．等于47．Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（ ）A ．点D 在⊙A 外B ．点D 在⊙A 上C ．点D 在⊙A 内 D ．无法确定 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 的度数为60°，∠ABC 、∠ACB 的角平分线分别交于AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，以下四个结论：①1cos 2BFE ∠=；②BC BD =；③=EF FD ；④2BF DF =；其中结论一定正确的序号数是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ②④ 9．如图，已知⊙O 中∠AOB 度数为100°，C 是圆周上的一点，则∠ACB 的度数为（ ）A ．130°B ．100°C ．80°D ．50°10．如图，在ABC △中，1086AB AC BC ，，===，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB CA ，分别相交于点E F ，，则线段EF 长度的最小值是（ ）A ．2B ．4.75C ．4.8D ．511．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（）A．26πB．13πC．965πD．39105π13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于点F，D为AC的中点，且CD的度数为70°则∠BAF=__________度14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为_______________.15．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交ACB于M、N两点，则∠APB的范围是______．16．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACO=_______°．17．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是______．18．圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是；侧面展开扇形的圆心角是．19．如图，AE，AD，BC分别切⊙O于点E、D和点F，若AD=8cm，则△ABC的周长为_______cm.20．如图，已知点C是AB的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB=_______度.21．如图，的半径为2，点，在上，，则阴影部分的面积为．22．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于点B，CD交⊙O于点D，且BC ＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______。
北师大版2020九年级数学：圆的知识点总结及典型例题
【文库独家】圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
北师版数学九年级下册课时练 第三章 圆 专项11 圆中常见的计算问题
北师版数学九年级下册第三章圆类型1有关角度的计算圆中角的计算，首先应该从弧入手，圆的弧与角是紧密相连的，然后再从特殊三角形入手．1．如图，AB是⊙O的直径，C，D分别为圆周上直径AB两侧的点，若∠ADC＝3∠CAB.求∠CAB的度数．解：如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.∵∠ADC＝∠B，∠ADC＝3∠CAB，∴4∠CAB＝90°，∴∠CAB＝22.5°.2．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；(2)若∠DCB＝37°，求∠EBD的度数．解：(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB＝∠CBD＝90°.在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB (HL)． (2)∵BE 是切线，∴AB ⊥BE ， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠DBE ＋∠ABD ＝90°.∵∠C ＋∠BDO ＝90°，∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠EBD ＝∠C ＝37°. 类型2 有关线段的计算计算线段长的方法主要有：勾股定理，三角函数，相似三角形等，因此遇到求半径或弦长问题时，应该从构造三角形入手．3．如图，在⊙C 中，CA ⊥CB ，且CA ＝3，CB ＝4，求AD 的长． 解：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5.如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则由垂径定理，得AD ＝2AE . ∴cos A ＝AC AB ＝AE AC ＝35，∴AE ＝35AC ＝95，∴AD ＝2AE ＝185.4．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且AB ＝4，AC ＝CD ＝1，求BD 的长．解：如图，连接OC ，AD . ∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝4， ∴∠ADB ＝90°，OA ＝2. ∵AC ＝CD ＝1，∴AC ︵＝CD ︵，∴AD ⊥OC .设OE ＝x ，则CE ＝2－x .在Rt △ACE 中，AE 2＋CE 2＝AC 2，即AE 2＝AC 2－CE 2；在Rt △AOE 中，AE 2＋OE 2＝OA 2，即AE 2＝OA 2－OE 2，∴AC 2－CE 2＝OA 2－OE 2，即12－(2－x )2＝22－x 2，解得x ＝74.∵∠ADB ＝∠AEO ，点O 是AB 的中点， ∴OE 是△ABD 的中位线， ∴BD ＝2OE ＝72. 类型3 有关弧长的计算弧长的计算可以用公式，公式中的关键量是半径和圆心角，因此求弧长就是先要求出这两个量．角度1：直接应用公式求弧长5．如图，边长为2的正方形ABCD 的四个顶点分别在扇形OEF 的半径OE ，OF 和 EF ︵上，且点A 是线段OB 的中点，则EF ︵的长为( D )A.55πB.54πC.12πD.52π6．(2019·浙江湖州吴兴区期末)如图，探究：用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为2)，设经过图中M ，P ，H 三点的圆弧与AH 交于点R ，则HR ︵的长为( D )A.π2B.24πC.34π D .52π 角度2：点旋转后的路径长问题7．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么点B 从开始至结束所走过的路径长度为( B )A.3π2B.4π3 C ．4D ．2＋3π28．如图，Rt △ABC 的斜边AB 在直线l 上，AC ＝1，AB ＝2.将Rt △ABC 绕点B 在平面内按顺时针方向旋转，使边BC 落在直线l 上，得到△A 1BC 1，再将△A 1BC 1绕点C 1在平面内按顺时针方向旋转，使边A 1C 1落到直线l 上，得到△A 2B 1C 1，则点A 所经过的两条弧的长度和为__136π__.类型4 有关扇形面积的计算简单的扇形面积公式相关的量是半径和圆心角，因此求扇形面积首先从这两个量入手．复杂图形的面积方法比较灵活，如和(差)法、割补法、等积转化法等．近几年图形旋转扫过面积问题是个热点，通常也需要用到扇形面积求解． 方法1：直接计算法9．如图，AD 是半圆O 的直径，AD ＝12，B ，C 是半圆O 上两点．若AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，则图中阴影部分的面积是(A)A．6π B．12π C．18π D．24π10．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝6，则扇形(图中阴影部分)的面积是__6π__.方法2：利用作差法求面积11．如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为(A)A．1 B.12 C. 2 D.2212.(2019·山东德州模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A，B两点，点B的坐标为(0，23)，OC与⊙D相交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为__2π－23__.方法3：利用等积转化法求面积13．如图，矩形ABCD的长和宽分别为2 cm和1 cm，以D为圆心，AD为半径作弧AE，再以AB的中点F为圆心，FB的长为半径作弧BE，则阴影部分的面积是(A)A．1 cm2B．2 cm2 C．3 cm2D．4 cm214．(2018·广东东莞中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O 与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为__π__.(结果保留π)。
下册 3.1圆-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件
对于儿童，做父母，做教师的责任，便是如何教导他们，使之成为健康活泼，有丰富知识，有政治觉悟和良好体现的现代中国儿童，现代中国 人。——陈鹤琴 如你想要拥有完美无暇的友谊，可能一辈子找不到朋友。
身体健康，学习进步！ 生命在闪光中显出灿烂，在平凡中显出真实。
只要有信心，人永远不会挫败。 每一片绿叶都有向阳的需要，每一朵花都有盛开的理由，每一个孩子都需要教师的呵护。（刘玉春） 君子喻于义，小人喻于利。——《论语·里仁》 知人者智，自知者明。胜人者
精品九年级数学下册专题课堂九与圆有关的计算课件新版北师大版可编辑
8．(2015·无锡)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC ＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长； (2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)连接 AD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，在 Rt△ACB 中，AB2＝AC2＋BC2，且 AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＞0，∴AB＝10 cm.∵∠ABD＝ 45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝5 2 cm (2)连接 OD.S 阴影＝S 扇形 ODB－S△ODB ＝39600°°π×52－12×5×5＝245π－225(cm2)
度； (2)求某一锐角的三角函数值．
【例】如图所示，⊙O 的弦 AB＝16，点 C 在⊙O 上且 sinC＝45，求⊙O 的 半径的长．
分析：由已知条件 sinC＝45想到构造直角三角形，利用锐角三 角函数的知识解决问题．故可作直径 AD，并连接 BD，则∠D＝
∠C，且∠ABD＝90°，由此易解．
如图所示，作直径 AD，连接 BD，则∠ABD＝90°，∠D＝ ∠C.∵sinC＝45，∴sinD＝45.在 Rt△ABD 中，sinD＝AADB＝45.又∵AB ＝16，∴AD＝20，∴OA＝12AD＝10
1．(2015·湖州)如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，OA 交小圆于点 D，若 OD＝2，tan∠OAB＝12，则 AB 的长是( C )
A．4 B．2 3 C．8 D．4 3°
2．(2015·黄石)如图，圆 O 的直径 AB＝8，AC＝3CB，过 C 作 AB 的垂线
1 交圆 O 于 M，N 两点，连接 MB，则∠MBA 的余弦值为_2___．
5．若圆内接正六边形的边长为10，则它的边心距为____5. 3
2020年北师大版九年级数学下册课件：专项训练六 与圆的基本性质有关的计算与证明 (共12张PPT)
• 4．一些不便于直接测量的圆形 孔道的直径可以用如下方法测 量．如图，把一个直径为10 mm的小钢球紧贴在孔道边缘， 测得钢球顶端离孔道外端的距 离为8 mm，求这个孔道的直径
A解B：连．接 OA，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D．则 AB＝2AD．∵钢珠的直径是 10 mm，
－150°－120°＝90°，∴AC＝ OA2＋OC2＝ 2．
• 7．【2019·内蒙古包头中考】如图，在⊙O 中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦 AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连
接MA、MC．
• (1)求⊙O半径的长；
• (2)求证：AB＋BC＝BM.
(1)解：连接 OA、OC，过点 O 作 OH⊥AC 于点 H.∵∠ABC＝120°，∴∠AMC ＝180°－∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝12∠AOC＝60°.∵AH ＝12AC＝ 3，∴OA＝sinAH60°＝2，故⊙O 的半径为 2．
(1)求证：AD＝AN； (2)若 AE＝2 2，ON＝1，求⊙O 的半径．
(1)证明：∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°.∵∠ANE＝∠CNM.
∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝∠BAD．在△ANE 和△ADE
∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN. (2)∵AE＝2 2，AE⊥CD，
(2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE.∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴△EBC 是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°， ∴∠BCD＋∠DCE＝60°.∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°，∴∠ ECM＝∠BCD．∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM 是等 边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME.∵ME＋EB＝BM，∴AB ＋BC＝BM．
(版)北师版九年级下册第三章圆知识点及习题
九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段．．．O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙．．O，读作“圆O〞集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆．．．．．．心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心〔即定点〕，二是半径〔即定长〕。
2、与圆相关的概念①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
．．②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒〞表示，以CD为端点的弧记为“〞，读作“圆弧CD〞或“弧CD〞。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)．．③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.．．．3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为 d，那么①点在圆上<===>d=r;②点在圆内<===>d<r;③点在圆外<===>d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明假设干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题1(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题1（附答案详解）1．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，6BC =，30B ∠=，则AB 的长为（ ）A ．12B ． 43C ． 23D ．1?232．如图，已知圆周角∠BAC =40°，那么圆心角∠BOC 的度数是（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1003．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．22D ．234．已知圆柱的底面直径为4cm ，高为5cm ，则圆柱的侧面积是（ ）A ．21?0cmB ．21?0? cm πC ．2 20cm πD ．2 40cm π5．如图，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AC 是⊙O 的直径，CD 交⊙O 于点B ，连接OB ，若AB 的度数为70°，则∠D 的大小为（ ）A ．70°B ．60°C ．55°D ．35°6．半径为8cm 的圆的内接正三角形的边长为（ ）A ．3B ．3C ．8cmD ．4cm7．如图，⊙O 的半径为5，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，CD=6，则弦AC 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为4cm ，则点P 在⊙O 的（ ） A ．外部 B ．内部 C ．圆上 D ．不能确定9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°10．将一个半径为R ，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r ，则R 与r 的关系正确的是（ ）A ．R=8rB ．R=6rC ．R=4rD ．R=2r11．已知一个正六边形的边心距为3，则它的半径为______ ．12．如果正六边形的两条平行边间的距离是23，那么这个正六边形的边长为_____． 13．在Rt ABC 中，90C ∠=，3AC =，4BC =，以C 为圆心，2.4为半径作C ，则C 和AB 的位置关系是________．14．如图，O 是等边三角形ABC 的外接圆，D 、E 是O 上两点，则D ∠=________度，E ∠=________度．15．在△ABC 中，∠A=120°，若BC=12，则其外接圆O 的直径为_____．16．已知⊙O 直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，则∠P ＝____．17．已知直角坐标内，半径为2的圆心坐标为（3，-4），当该圆向上平移m 个单位长度时，若要此圆与x 轴没有交点，则m 的取值范围是 _______________．18．四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A=∠C，则∠A=___ ___度.19．如图，已知ABC 内接于O ，BC 是O 的直径，MN 与O 相切，切点为A ，若MAB 30∠=，则B ∠=________度．20．我们把有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形叫做友好三角形。
北师大版九年级数学下册 第三章《圆》阶段归类专训 圆中常见计算题的四种技巧、四种应用【名校课件】
7．(2020·内江)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点 D，过点 C 作⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 BE.
∴AE＝ AB2－BE2＝ 42－（2 3）2＝2. ∴AE＝12AB.∴∠ABE＝30°. ∴∠AOE＝60°.∴∠BOE＝120°. ∵E︵C＝B︵C，∴∠COE＝∠BOC＝60°. 连接 CE，∵OE＝OC，∴△COE 是等边三角形．
∴∠ECO＝∠BOC＝60°. ∴CE∥AB.∴S△ACE＝S△COE. ∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°.
2．(2020·江西)已知∠MPN 的两边分别与⊙O 相切于点 A，B， ⊙O 的半径为 r.
(1)如图①，点 C 在点 A，B 之间的优弧上，∠MPN＝80°，求 ∠ACB 的度数；
解：如图①，连接 OA，OB， ∵PA，PB 为⊙O 的切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∵∠APB＋∠PAO＋∠PBO＋∠AOB＝360°， ∴∠APB＋∠AOB＝180°. ∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°. ∴∠ACB＝50°.
∴OF′＝ OC′2－C′F′2＝30 cm. ∴水位上升的高度 EF′＝OE＋OF′＝40＋30＝70(cm)． 综上所述，水位上升的高度为 10 cm 或 70 cm.
【答案】10或70
9．如图是一个暗礁区(弓形)的示意图，两灯塔 A，B 之间的距离 恰好等于圆的半径，为了使船(S)不进入暗礁区，那么 S 对两 灯塔 A，B 的视角∠ASB 必须( ) A．大于 60° B．小于 60° C．大于 30° D．小于 30°
新版北师大初三数学九年级(下册)第三章圆练习题(分节练习)【含答案】
新版北师大初中数学九〔下〕第三章圆分节练习第1节圆01、【基础题】已知⊙O的面积为25 . 〔1〕假设PO＝5.5，则点P在_____；〔2〕假设PO＝4，则点P在_____；〔3〕假设PO＝_____，则点P在⊙O上.01.1【综合Ⅰ】如左以下图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，5cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_______，在圆上的有_______，在圆内的有_______.01.2、【综合Ⅲ】如右上图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，那么E、F、G、H是否在同一个圆上？说明理由.01.3、【综合Ⅲ】假设⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P的位置是〔〕A、在⊙A内B、在⊙A上C、在⊙A外D、不能确定02、【综合Ⅰ】设AB＝3 cm，作图说明满足以下要求的图形：〔1〕到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；〔2〕到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形；〔3〕到点A的距离小于2 cm，且到点B的距离大于2 cm的所有点组成的图形.03、【提高】海军部队在某灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3 km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A有2 km远的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应往哪个方向航行？请给予证明.03.1【提高】已知点P不在⊙O上，且点P到⊙O上的点的最小距离是5，最大距离是7，求⊙O的半径.第2节圆的对称性04、【基础题】如左以下图，在⊙O中，⌒AC ＝⌒BD ，∠1＝30°，那么∠2＝_____.04.1、【基础题】如右上图，在⊙O中，弧AB等于弧AC，∠A=30°，则∠B＝_____.05、【综合Ⅰ】如左以下图，点A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC，那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？05.2【基础】如左以下图，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且⌒AD ＝⌒CE，那么BE 和CE 的大小有什么关系？为什么？05.3【综合Ⅰ】 如右上图，AB 是⊙O 的直径，OD ∥AC ，那么⌒CD 与⌒BD的大小有什么关系？为什么？ 06、【综合Ⅰ】如左以下图，A 、B 是⊙O 上两点，∠AOB ＝120°，C 是⌒AB的中点，试确定四边形OACB 的形状.06.1、【综合Ⅱ】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD ＝______.* 第3节 垂径定理07、【基础题】如左以下图，已知⊙O 中，OC ⊥弦AB 于C ，AB ＝8，OC ＝3，则⊙O 的半径等于______.07.1、【基础题】如右上图，已知⊙O 的半径为30 mm ，弦AB ＝36 mm ，求点O 到AB 的距离及∠OAB 的余弦值.08、【综合Ⅱ】如左以下图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16 m ，拱高CD=4 m ，那么拱形的半径是____m.08.1、【综合Ⅱ】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以D C BA09、【综合Ⅰ】如右图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.〔1〕如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？〔2〕如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？为什么？10、【综合Ⅰ】 已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB ∥弦CD ，AB ＝6 cm ，CD ＝8 cm ，试求AB 与CD 间的距离.10.1、【综合Ⅱ】 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？11、【综合Ⅲ】如右图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，假设AC ＝2 cm ，则⊙O 的半径为______ cm .第4节 圆周角和圆心角的关系〔包括圆内接四边形〕12、【基础题】如左以下图，在⊙O 中，已知∠BOC ＝100°，则∠BAC 的度数是_____°12.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中，∠BAC ＝25°，则∠BOC ＝_____°12.2、【综合Ⅰ】 如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A ＝40°，求∠OBC 的度数.13、【基础题】如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD ＝100°，求∠BOD 〔弧BCD 所对的圆心角〕和∠BAD 的大小.C B A OD C B A O 13.1、【基础题】左以下图，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是_____.13.2【基础题】如右上图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，假设∠BAD ＝105°，则∠DCE 是_____°.13.3【综合Ⅰ】在圆内接四边形ABCD 中，对角∠A 与∠C 的度数之比是4：5，求∠C 的度数.13.4、【综合Ⅱ】如左以下图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E 、F ，且∠E ＝40°，∠F ＝60°，求∠A 的度数.14、【基础题】如右上图，⊙O 的直径AB ＝10 cm ，C 为⊙O 上的一点，∠B ＝30°，求AC 的长.14.1、【基础题】如左以下图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝15°，求∠BAD 的度数.14.2、【综合Ⅰ】如右上图，⊙O 的弦AB ＝16，点C 在⊙O 上，且sin C ＝54，求⊙O 的半径的长.14.3、【中考题】A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点〔P 不与A 、B 重合〕，我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角.〔1〕假设AB 是⊙O 的直径，则∠APB 是多少度？〔2〕假设⊙O 的半径是1，AB ＝2，则∠APB 是多少度？15、【基础题】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是〔 〕16、【提高题】如右图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 的长是一元二次方程01272＝＋－x x 的两根，求tan ∠DPB.第5节 确定圆的条件17、【基础题】分别作出下面三个三角形的外接圆，并指出它们外心的位置有什么特点17.1、【基础题】如左以下图，MN 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？17.2、【基础题】如右上图，A 、B 、C 三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置〔尺规作图，不写作法，保留作图痕迹〕.18、【综合Ⅰ】 在△ABC 中，AC ＝10，BC ＝8，AB ＝6，求△ABC 外接圆的半径18.1、【综合Ⅰ】 等边三角形的边长为a ，求这个三角形外接圆的面积.第6节 直线和圆的位置关系19、【基础题】 如右图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝8 cm ，AC ＝4 cm.〔1〕以点C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙C 相切？〔2〕以点C 为圆心，分别以2 cm 和4 cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与AB 分别有怎样的位置关系？19.1【基础题】直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为5，求r 的取值范围.19.2、【综合Ⅰ】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，O 是AB 上一点，OA ＝m ，⊙O 的半径为r ，当r 与m 满足怎样的关系时， 〔1〕AC 与⊙O 相交？ 〔2〕AC 与⊙O 相切？ 〔3〕AC 与⊙O 相离？20、【基础题】如左以下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，假设∠A=25°，则∠D=______．20.1【基础题】如右上图，PA切⊙O于点A，该圆的半径为3，PO=5，则PA的长等于_____．20.2、【综合Ⅰ】如左以下图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，则∠C＝( )A.70°B.55°C.110°D.140°20.3、【综合Ⅱ】如右上图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．〔1〕求证：CA=CD；〔2〕求⊙O的半径．20.4【综合Ⅱ】如右图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC，求证：AD·BC=OB·BD．21、【中考题，2014陕西23题】〔此题总分值8分〕如右以下图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1) 求证：AD平分∠BAC(2) 求AC的长22、【基础题】如左以下图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，那么直线AB是⊙O的切线吗？为什么？22.1、【中考题，2013年孝感市23题，10分】如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．23、【基础题】如图，已知锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，分别作出它们的内切圆. 请问，三角形的内心是否都在三角形的内部？23.1、【基础题】等边三角形的边长为a，求这个三角形内切圆的面积.23.2、【综合Ⅰ】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝__ _ ．24、【综合Ⅰ】如左以下图，在△ABC中，∠A＝68°，点I是内心，求∠I的度数.24.1、【综合Ⅰ】如右上图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠DCB＝80°，∠D＝100°，假设P、Q两点分别为三角形ABC和三角形ACD的内心，那么∠PAQ的度数是多少？24.2、【综合Ⅲ】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，求其内心和外心之间的距离.*第7节切线长定理25、【基础题】如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点. 求证：PA＝PB25.1、【基础题】已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm，过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.25.2、【综合Ⅰ】如左以下图，PA和PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D、E两点. 已知PA＝PB＝5 cm，求△PDE的周长.25.3、【综合Ⅲ】如右上图，PA和PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠P＝40°，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD＝BE，BD＝AF，求∠EDF的度数.26、【综合Ⅰ】如左以下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，求⊙O的半径. 〔利用切线长定理来解题〕26.1、【综合Ⅲ】如右上图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF、BD、CE的长.26.2、【综合Ⅲ】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6 cm，CB＝CD＝8 cm，且∠B＝90°，该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径.第8节圆内接正多边形27、【基础题】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.27.1、【综合Ⅱ】有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为______.27.2、【综合Ⅱ】如右图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE，求这个正六边形的面积.27.3、【基础题】请求出半径为6的圆内接正三角形的边长和边心距.28、【基础题】已知正方形的边长是a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝______. 28.1、【基础题】请利用尺规作一个已知圆的内接正四边形.28.2、【综合Ⅰ】请利用尺规作一个已知圆的内接正八边形.29、【综合Ⅲ】如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、内接正方形ABCD、内接正五边形ABCDE、……、内接正n边形的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON.〔1〕求图1中的∠MON的度数；〔2〕在图2中，∠MON的大小是______，在图3中，∠MON的大小是______；〔3〕根据图n，请说明∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系〔直接写出答案〕.第9节弧长及扇形的面积〔含圆锥侧面积题目〕30、【中考题，2014年云南省第7题3分】已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为〔〕A、B．2πC．3πD．12π30.1、【中考题，2014四川自贡第8题4分】一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为〔〕30.2、【基础题】已知圆上一段弧长为4 cm，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径是_____.cm.31、【中考题，2014成都，3分】在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是________2 31.1、【中考题，2014山东东营第5题3分】如左以下图，已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则图中弓形〔阴影〕面积是_________.31.2、【中考题，2014·浙江金华第10题4分】如右上图，一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，两个正方形的边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是〔〕A．5:4B．5:2C．5:2D．5:2cm.32、【中考题，2014杭州第2题3分】左以下图，已知一个圆锥体的三视图如下图，则这个圆锥的侧面积为______233、【综合Ⅲ】如右上图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是________. 33.1、【中考题，2014山东泰安第19题3分】如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OBcm.为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________233.2、【中考题，2014福建泉州第17题4分】如右图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：〔1〕AB的长为_____ 米；〔2〕用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为______ 米．新版北师大初中数学九〔下〕第三章圆分节练习答案第1节答案01、【答案】〔1〕圆外；〔2〕圆内；〔3〕501.1、【答案】在圆外的有点B，在圆上的有点M，在圆内的有点A和点C.01.2【答案】E、F、G、H四个点共圆.证明:连接OE、OF、OG、OH∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA,DB⊥AC∵E、F、G、H分别是各边的中点∴1111,,,2222OE AB OF BC OG CD OH AD====〔直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〕∴OE OF OG OH===∴E、F、G、H四个点都在以O为圆心、OE长为半径的圆上.01.3【答案】选A02、【答案】〔1〕如图1，所求图形即P、Q两点；〔2〕如图2，所求图形为阴影部分〔不包括阴影的边界〕；〔3〕如图3，所求图形为阴影部分〔不包括阴影的边界〕.03、【答案】往射线AB方向航行【证明】如图，设航线AB交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D〔不包括C关于A的对称点〕连接AD、BD；在△ABD中，∵AB+BD＞AD，AD=AC=AB+BC，∴AB+BD＞AB+BC，∴BD＞BC．答：应沿AB的方向航行．03.1【答案】当点P在圆外时，半径是1；当点P在圆内时，半径是6.第2节答案04、【答案】30°04.1【答案】75°05、【答案】全等，可先证AC＝DB.05.1、【提示】证弧CD和弧AB相等.05.2【答案】相等.【提示】先证弧BE和弧AD相等.05.3、【答案】相等【提示】连接OC06、【答案】四边形OACB是菱形【证明】连接OC∵C是弧AB的中点，∠AOB=120°∴∠AOC=60°∴△AOC是等边三角形∴OA=AC同理可得BC=OB∴OA=OB=BC=AC∴四边形OACB是菱形06.1、【答案】120°【提示】连接OC、OD，可证△BOC和△COD都是等边三角形.* 第3节答案07、【答案】半径等于5.【提示】如右图，利用垂径定理和勾股定理来算半径.07.1、【答案】点O到AB的距离是24 mm，∠OAB的余弦值是0.608、【答案】10 m.【提示】 在如图的圆弧形中，CD 是拱高，根据圆的对称性可知CD 垂直平分AB ，则CD 所在直线过圆心，延长CD ，作圆心O ，并且连接OB.设拱形的半径OB 为r ，则OD 为〔r －4〕,根据勾股定理可得24）－（r ＋28＝2r ，解得r ＝10 m. 【总结】求圆的直径或半径常常过圆心作弦的垂线或连接圆心和弦的端点构造直角三角形，再根据勾股定理来求出半径. 有些题目不能直接求出半径则需列方程来解决.08.1【答案】 直径CD 是26寸.【解析】09、【提示】〔1〕用HL 证明Rt △AOE 与Rt △COF 全等；〔2〕用HL 证明Rt △AOE 与Rt △COF 全等.10、【答案】 AB 与CD 间的距离为7 cm 或1 cm.【提示】 如图，假设AB 和CD 在圆心两侧，则可求出OE ＝3，OF ＝4，则AB 、CD 距离是7 cm ；假设AB 和CD 在圆心同侧，则距离是1 cm.10.1、【答案】 相等.【解析】如图示，过圆心O 作垂直于弦的直径EF ，由垂径定理得：弧AF=弧BF ，弧CF=弧DF ，用等量减等量差相等原理，弧AF-弧CF=弧BF-弧DF ，即弧AC=弧BD ，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．11、【答案】2【解析】第4节答案12、【答案】∠BAC的度数是50°.12.1、【答案】∠BOC＝50°12.2、【答案】∠OBC＝50°13、【答案】∠BOD＝160°，∠BAD＝80°13.1【答案】∠CBD 的度数是70°13.2【答案】∠DCE＝105°13.3【答案】∠C＝100°13.4【答案】∠A＝40°14、【答案】AC＝5 cm14.1、【答案】∠BAD的度数是75°14.2【答案】半径的长为10.【提示】连接AO，延长AO交⊙O于D，连接BD.14.3、【答案与解析】15、【答案】选C716、【答案】tan∠DPB＝3【解析】第5节答案17、【答案】锐角三角形的外心在内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在外部.17.1、【答案】最少使用两次17.2、【提示】连接AB、AC，分别作线段AB和AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为供水站的位置.18、【答案】 △ABC 外接圆的半径是5.18.1、【答案】 π312a 第6节 答案19、【答案】 〔1〕当半径长为32 cm 时，AB 与⊙C 相切.〔2〕当半径为2 cm 时，⊙C 与AB 相离；当半径为4 cm 时，⊙C 与AB 相交.19.1【答案】 5＞r19.2【答案】 〔1〕m r 23＞ 〔2〕m r 23＝ 〔3〕m r 23＜20、【答案】 40°20.1【答案】 PA ＝420.2、【答案】 选B20.3【答案】 〔1〕提示：证∠A ＝∠D ＝30°〔2〕半径是10.20.4【提示】 证明Rt △CBO ∽ Rt △BDA21、【答案】证明：〔1〕连接OD∵BD 是⊙O 的切线，D 为切点∴BC OD ⊥∵BD AC ⊥∴OD ∥AC∴∠ODA=∠CAD又∵OD=OA∴∠BAD=∠CAD∴AD 平分∠ABC(2)解：∵OD ∥AC ， ∴ΔBOD ∽ΔBAC ， ∴=， ∴=， ∴ AC ＝320 22、【提示】 连接OC ，证明OC ⊥AB22.1、【答案与解析】〔1〕证明：连接OA ，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC ，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC ﹣∠P=90°，∴OA ⊥PA ， ∴PA 是⊙O 的切线．〔2〕在Rt △OAP 中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD ，又∵OA=OD ，∴PD=OA ，∵， ∴． ∴⊙O 的直径为．23、【答案】 都在内部23.1、【答案】 1212a23.2、【答案】 r ＝2.24、【答案】 ∠I ＝124°24.1、【答案】 ∠PAQ 的度数是60°24.2、【答案】 5 cm【解析】*第7节 答案25、【解析】3cm25.1、【答案】325.2、【答案】△PDE的周长是10 cm.25.3、【答案】∠EDF＝70°26、【答案】⊙O的半径是426.1、【答案】AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm.【提示】设AE＝AF＝x，BF＝BD＝y，CE＝CD＝z2426.2、【答案】存在内切圆，内切圆半径是7第8节答案2.27、【答案】中心角是60°，边长是4，边心距是327.1、【答案】外接圆的半径为4627.2、【答案】正六边形的面积是36，边心距是3.27.3、【答案】边长是328、【答案】1∶2∶228.1、【提示】用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到圆的内接正四边形.28.2、【提示】如图，先作出两条互相垂直的直径，再作出两条直径所形成的直角的角平分线，即可在圆周上得到圆内接正八边形的顶点29、【答案】第9节答案30、【答案】根据弧长公式：l==3π，故选C．30.1、【答案】选B30.2、【答案】7.2 cm.31、【答案】12π2cm31.1、【答案】4332－π31.2【答案】选A 【解析】32、【答案】 π15 2cm33、【答案】 33π－【解析】33.1、【答案】 〔﹣1〕 cm 2 【解析】分析：假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P ，Q 面积相等．连接AB ，OD ，根据两半圆的直径相等可知∠AOD =∠BOD =45°，故可得出绿色部分的面积=S △AOD ，利用阴影部分Q 的面积为：S 扇形AOB ﹣S 半圆﹣S 绿色，故可得出结论．解：∵扇形OAB 的圆心角为90°，假设扇形半径为2，∴扇形面积为：=π〔cm 2〕，半圆面积为：×π×12=〔cm 2〕，∴S Q +S M =S M +S P =〔cm 2〕， ∴S Q =S P ，连接AB ，OD ，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD =∠BOD =45°，∴S 绿色=S △AOD =×2×1=1〔cm 2〕，∴阴影部分Q 的面积为：S 扇形AOB ﹣S 半圆﹣S 绿色=π﹣﹣1=﹣1〔cm 2〕．33.2、【答案】 〔1〕1 米； 〔2〕41 米. 【解析】分析： 〔1〕根据圆周角定理由∠BAC =90°得BC 为⊙O 的直径，即BC =，根据等腰直角三角形的性质得AB =1；〔2〕由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr =，然后解方程即可．解答： 解：〔1〕∵∠BAC =90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC =，∴AB =BC =1； 〔2〕设所得圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr =， 解得r =．故答案为1，．。
北师大版九年级数学下册 第三章 与圆有关的性质 同步训练
圆的有关性质同步训练【基础演练】1.已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2.下列说法正确的是（）A．顶点在圆上的角是圆周角B．相等的圆心角所对的弧C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半3.下列说法错误的是（）A．等弧所对圆周角相等B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等;D．同圆中，等弦所对的圆周角相等4.下列命题中，正确的命题个数是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个5.下列命题中，真命题的个数是( )①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形必为矩形；③90°的圆周角所对的弦是直径；④任意三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．A.5B. 4C. 3D. 26.已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．80°C．160°D．120°7.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC＝AB B．∠C＝12∠BOD C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD第9题图第10题图8.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【能力提升】9．已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定10.菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定第11题图11.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC＝3，PB＝1，则⊙O的半径等于( )A25B 3C 4 D29第12题图12．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E.若∠AOB＝3∠ADB，则（）A．DE＝EB B.2DE＝EB C.3DE＝DO D．DE＝OB13．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB＝120°，则∠ACB ＝_____°.第13题图第14题图14．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O的直径AB的延长线于点D.若∠D＝40°，则∠A的度数为_____.15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为_______.第15题图第16题图ABCOAB D C第17题16.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=∠OAC,OA=8㎝,则AC的长等于_______㎝。
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2 、有时费尽唇舌，争执一个不易化解的问题，还不如来一个简单的行动容易。这样的话，你就能化解敌人的攻势于无形。 5 、每个人都有美好的梦想，只有坚持，你的梦想才能实现。 18 、须交有道之人，莫结无义之友。饮清静之茶，莫贪花色之酒。开方便之门，闲是非之口。 1 、勇敢的人不是天生的，需要你经过很多的磨炼。但是在磨炼的过程中你能不能变得勇敢，那就取决于你的决心了。 11 、这个世界从不缺乏有才能的人，但缺少有精神的人。生活是没有路标的单程轮回，固守心的航向，需要非凡的勇气。以微笑驾驭人生之 舟情，友情还是爱情，平安就是福。且行且惜，且走且悟，人生之中唯有自强不息，勇敢向前，方可走 出一条阳光大道。
1 、成功就是凭着勇气和努力，不断地超越自己，做最好的自己。 14 、男人最大的武器是眼神，女人最大的武器是眼泪。 14 、不管你干什么，都会有两种结果： 一种是笑话，一种是神话。如果你半途而废，只能成为别人眼中的笑话;但如果你成功了，你就变成她 们眼中的神话。社会就是现实!要么不做，要么做好。 7 、准备种子，就收获果实;准备努力，就收获成功;准备今天，就收获明天。 3 、行动是通向成功的唯一途径。 1 、人应该活到老学到老，我们不应该取笑那些勤奋好学的老年人，相反，我们应该鼓励和支持他们的精神。 10 、争分夺秒巧复习，勤学苦练创佳绩、攀蟾折桂，舍我其谁。 3 、尊严来自实力，实力来自拼搏! 14 、自动自发地做事，同时为自己的所作所为承担责任，那么你终究会获得回报，取得最后的成功。 10 、以前喜欢一个人，可以任由招之即来，挥之即去。现在喜欢一个人，仍可以招之即来，但不再接受挥之即去。因为我现在知道，我很好 ，所以你爱我，也只有一次机会。