32种结晶学点群

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结晶学第六讲—点群(2)

{2[100]}{3[111]} = {?}
-0 -0 -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -0 = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
立方晶系
x
-0 -0 -1 -0 -0 -1
(110)
(111) (111)
(111)
(111)
100 (001) (010) (100)
001 010
001
010 001
010
z
100
100
x
(101) (011) (110)
y
110 011 011
110 101 101
110 011 011
(110)
110
100
110
(111) (111)
4、操作的乘法满足结合律
1 (L1)
三斜晶系
极射赤面（平）投影
一般形
1 (C)
三斜晶系
2 (L2)
单斜晶系 ( 主轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
m (P)
单斜晶系 ( 主轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
2/m (L2PC)
y
x
四方晶系
4 (L4)
y
x
4/m (L4PC)
四方晶系
x y
4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
{4[001]}{m[001]} = {43[001]}

山东大学结晶化学课件第三节 2013-10-15上课

第三节晶体的32点群(point group)•晶体32点群的推导 •晶体的分类 •点群的符号1•晶体32点群的推导原则晶体的宏观对称性允许有L1, L2, L3, L4, L6, L4 , m和i. i因为旋转轴之间的组合不会产生反映面，而反映面的组合却会产生旋转轴。

所以推导从轴的组合开始。

所以推导从轴的组合开始组合原理：两个反映面相交，其交线为旋转轴组合原理：两个反映面相交其交线为旋转轴.2晶体32点群的推导1. 旋转轴的组合 2. 旋转轴与反映面的组合 3. 旋转轴与对称中心的组合 4. 四次反轴与其它对称元素的组合31. 旋转轴的组合•单单一旋转轴旋转轴•高次轴与二次轴的组合 •高次轴的组合4单一旋转轴单旋转轴：L1, L2, L3, L4, L6。

由对称性定律：晶体中只能出现1， 2， 3， 4， 6次旋转轴。

次旋转轴5L16L27L38L49L610•高次轴与二次轴的组合：组合原理欧拉定理：两个旋转轴的适当组合产生第三个旋转轴112次轴与2次轴（高次轴与2次轴）每个2次轴均可看作两互相垂直的反映面的连续动作把两个反映面重合于两个L2决定的续动作，把两个反映面重合于两个平面中，另两个反映面将垂直于此平面，这两个反映面交成新的旋转轴。

两个反映面交成新的旋转轴以两个2次轴的组合为例说明之： L2 + L2 = m1•m2 • m3•m4 = m1•I•m4 = m1•m4 = L2 m2, m3重合于两个L2决定的平面， m1，m4 垂直于此平面12图示推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，则有n个二次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为次轴相交且相邻两二次轴的交角为n 次轴基转角的一半。

13L2 + L2 = 3 L214L3 + L2 = L3 3 L215L4 + L2 = L4 4 L216L6 + L2 = L6 6 L217高次轴与二次轴的组合总结L2 + L2 = 3 L2 L4 + L2 = L4 4 L2 L3 + L2 = L3 3 L2 L6 + L2 = L6 6 L218•高次轴的组合几个高次轴组合时，如 Ln 和Lm （m, n ＞ 2), 两高次轴交于O点，Ln周围能找到n个Lm ，连接在每个Lm 上距O等距离的地方的点得到正n边形。

32种点群

表 1 32 种点群的符号及对称情况[2]
晶序
晶类
符号
系
号
熊夫利符号
国际符号 (全写)
国际符号 (简写)
三1
C1
1
1
斜2
Ci (S2)
1
1
对称素 —— γi
对称素数目
具体对称操作
对称操作数
—— E= 1
1
1
E= 1 反演
2
3
C s (C 1h)
m (= 2)
m
单
4
C2
2
2
斜5
C 2h
32 种点群按是否为纯旋轴对称, 可分为两类: 第一类是纯旋转轴点群; 第二类是除旋转轴外, 还可以通过其它对称操作与自身重合.
第一类点群——纯旋转轴点群, 包括单轴点群 Cn, D n 点群和多面体群. Cn 点群指只有 1 根 n 次旋转对称轴的点群. 由于晶体中只能有 5 种旋转轴, 所以它只有 5 种, 即 C1, C2, C3, C4, C6; D n 点群即指具有 n 次旋转轴及 n 个与之垂直的 2 次旋转轴, 共 4 种: D 2, D 3, D 4, D 6 (D 1 即 C2 已并入 Cn 群内) ; 多面体群只有 2 种: 即四面体群 T 和八面体群O. 四面体群 T 表示有 4 个 3 次旋转轴和 3 个 2 次轴. 八面体群O 表示 3 个互相垂直的 4 次旋转对称轴及 6 个 2 次旋转轴, 4 个 3 次旋转轴. 至此, 我们已找出了点群中所有可能的纯旋转群, 合计 11 种.
D nh点群是在 D n 群的基础上, 再加上 (n+ 1) 个平面形成的. (这些平面分别垂直主轴和 2 次轴) 共有 4 种: D 2h , D 3h , D 4h 和 D 6h (D 1h 等效于 C 2v).

第五章 32种结晶学点群

第五章 32种结晶学点群 32种结晶学点群
这一章我们将学习32种结晶学点群这一章我们将学习32种结晶学点群，种结晶学点群，它们的推演方案和它们的表示方法. 它们的推演方案和它们的表示方法.
推导方案：
从晶系的特征对称元素出发，从晶系的特征对称元素出发，在保持晶系不变的前提下，确定镜面，系不变的前提下，确定镜面，反演中心和二次旋转轴是否能够加到晶系的特征对称元素上( 对称元素上(如果有主轴则加上垂直与主轴的镜面, 轴的镜面 , 包含主轴的镜面或垂直与主轴的二次旋转轴) 的二次旋转轴)，把这种方法应用于每种晶系就将得到全 32种结晶学点群种结晶学点群. 部32种结晶学点群.
这个点群对称操作的集合为这个点群对称操作的集合为{1, 2, m, 集合为{ 2 ī }, 点群的国际符号为 m , 熊夫利符号为点群的国际符号为 C2h, 分母上的 m 指这个镜面与二次旋转分母上的m 2 轴垂直. 轴垂直. 这样 m 点群等效点的极射赤面投影图应有4个点. 投影图应有4个点.
2 m
(C2h )。
3 正交晶系正交晶系的特征对称元素是两个互相垂直的二次旋转轴或两个互相垂直的镜面. 相垂直的镜面.
由正交晶的特征对称元素所要求，素所要求，正交晶系的晶胞参数必须是
0，a≠b≠c. α=β=γ=90 a≠b≠c. α=β=γ=90
（为什么？）为什么？）
定理: 定理 : 两个互相垂直的二次旋转轴决定另一个二次旋转轴, 决定另一个二次旋转轴 , 三个二次旋转轴互相垂直. 旋转轴互相垂直.
图5.1 极射赤面投影图
图5.1 极射赤面投影图
1. 三钭晶系
在我们学习七个晶系时知道, 在我们学习七个晶系时知道,三钭晶系要求对称操作对晶轴和轴间角没有任何限制,满足这个条件的对称操作有1(C1), ī(i). 因满足这个条件的对称操作有1(C 三钭晶系拥有(而且只有)点群1(C ī(i). 此三钭晶系拥有(而且只有)点群1(C1), ī(i).

晶体结构空间群点群

(二)点群、单形及空间群点群：晶体可能存在的对称类型。

通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。

只能有32种对称类型，称32种点群表1- 3 32种点群及所属晶系*2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。

其余类推同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。

如错误!未找到引用源。

，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。

理想晶体的形态―单形和聚形：单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。

32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。

，错误!书签自引用无效。

所示聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。

大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。

属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。

F：代表面心格子。

I：代表体心格子。

C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。

A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。

R：代表三方原始格子。

其它符号：意义与前述相同表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4点群符号m 43m2晶系等轴晶系晶族高级晶族/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。

7大晶系对应的32种点群

7大晶系对应的32种点群
晶体学中共有7大晶系，它们分别是三方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱斜晶系、三斜晶系和立方晶系。

每一种晶系都对应着若干个点群，下面是这些点群的具体介绍：
1. 三方晶系：三方晶系共有4个点群，分别是32、31、34和33。

其中，32点群对应的晶体有最高的对称性，具有6重旋转轴和反演中心。

2. 四方晶系：四方晶系共有10个点群，分别是16、14、13、12、11、10、8、7、6和4。

其中，16点群对应的晶体具有最高的对称性，具有4重旋转轴和反演中心。

3. 正交晶系：正交晶系共有4个点群，分别是222、mm2、2mm 和mmm。

其中，222点群对应的晶体具有最高的对称性，具有3个互相垂直的2重旋转轴和反演中心。

4. 单斜晶系：单斜晶系共有2个点群，分别是2和m。

其中，2点群对应的晶体具有最高的对称性，具有2重旋转轴和反演中心。

5. 菱斜晶系：菱斜晶系共有2个点群，分别是222和mm2。

其中，222点群对应的晶体具有最高的对称性，具有3个互相垂直的2重旋转轴和反演中心。

6. 三斜晶系：三斜晶系只有1个点群，即1。

该点群对应的晶体具有最低的对称性，只有反演中心。

7. 立方晶系：立方晶系共有5个点群，分别是432、23、4、3和m3。

其中，432点群对应的晶体具有最高的对称性，具有4重旋转
轴和反演中心。

12-晶体学点群

第四章：晶体的对称性 § 4.4 晶体学点群
32种晶体学点群 1) 旋转群：n(Cn)，n阶总：5
1
3
⇒ ∞
2
4
6
极性：主轴方向，奇数群中所有方向；非极性：偶数群中垂直于主轴的方向。 2) 反演转动群： (Sn)，（奇：2n阶；偶：n阶）总：10 n
1
2=m
3
4
6=3 m
⇒ ∞ m
极性：偶数群中垂直于主轴的方向； 3 非极性：主轴方向，、1 中垂直于主轴的方向。
⇒ ∞ mm
(1 m = 2 m)
22 → 2
1→2 m
mm → 2
2mm(C2v)，4阶
mm → 2
3 2 m (D3d)，12阶源自3→6 mmm → 2 62 → 2
4 2 m (D4d)，8阶
6 2 m (D6d)，12阶
6=3 m
mm → 2
n m 总：27 （ 7) m (Dnh)，（4n阶） m ⊥ n、 || n ） m 1 3 ⇒ ∞ mmm ( m = mm 2 ) ( m = 6 2 m ) m m 2 4 6 m = mmm m = 4 mmm m = 6 mmm m m m
222(D2)，4阶
A ′′′
A ′′
A′
A
32(D4)，6阶
422(D3)，8阶
A ′′′ A ′′ A′
A
622(D6)，12阶
4) n/m (Cnh)，2n阶 m ⊥ n）（
总：17
(1 m = m )
(3 m = 6 ) 2 m 4 m
6 m
⇒ ∞ m
极性&非极性：同3)； 2) 、 4)极限群相同，可看作同一族的两个子族。

晶体与空间群概述

个位构成，每个位代表一个窥视方向。每个晶系的晶轴选择都有特别的规定：
极射赤面投影
m3m-Oh点群极射赤平投影图
研究点群的意义
对晶体进一步分类：所有晶体分属32种晶类，每种晶类对应一种点群；
点群是空间群的基础；固体的性质与点群有关。
在32种晶体点群中，有 21种没有对称中心，其中20 种点群的晶体具有压电效应： 10种极性、10种非极性。极性压电晶体指具有永久偶极矩，如钛酸钡、铌酸锂晶体等。
下面一个空间群推导的简单例子，可以帮助我们理解
空间群是如何由对称操作的组合得到的。单斜晶系中的2/m点群，可能具有2次轴、21螺旋轴、m镜面和c滑
移面这些对称性。为了简明，这里不考虑非标准设置的单斜晶系空间群及其对称性，即取平行于2次旋转轴或21螺旋轴方向为b轴，则镜面m和c滑移面垂直于b轴，则镜面m和c滑移面垂直于b轴。单斜晶体的晶格类型可能是简单P晶格和底心C晶格。P和C晶格与2次轴、21螺旋轴、m镜面和c滑移面对称性进行组合，共有8种可能性：P2/m, P2/c, P21/m, P21/c, C2/m, C2/c, C21/m和 C21/c。由于21螺旋轴可以由C格子和2次旋转对称操作组合产生，C21/m与C2/c也是等价的，因此，属于2/m 点群的空间群只有6个：P2/m, P2/c, P21/m, P21/c, C2/m 和C2/c。
分子与晶体点群
n? ？
230种空间群
点群一般用于研究有限图形的对称性—对称元素有限且必相交于一点。晶体的内部构造是由无数个化学质点在三维空间组合而成的，任何相邻两质点之间均仅有以nm为单位的微小距离。
晶体构造可认为是沿三维
空间延伸的无限图形，所有对称元素(包括对称元素的交点) 在三维空间作平行排列，也不交于一点。

32种结晶学点群

表1-4 7大晶系和14种布喇非格子
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2013/8/28 1:13
在32种点群中具有中心对称的有11种非中心对称的有21种其中点群432o晶类对称性很高通常也不下显压电线性电光二次非线性等特性
32种结晶学点群
/course/course/10/build/32.htm
在32种点群中，具有中心对称的有11种，非中心对称的有21种，其中，点群432（O）晶类对称性很高，通常也不下显压电、线性电光、二次非线性等特性。极性晶类10种：1，2，3，4，6，m，mm2，4mm，3m，6mm 非极性晶类11种：222，32，422，622，23，432，4，4m2，6，6m2，43m 11种中心对称点群： 1，2/m, 3, 4/m, 6/m，mmm，3m，4/mmm，6/mmm，m3，m3m 介电晶体32种晶类晶体，压电晶体存在于20种非中心对称的晶类中（需三阶张量）；热释电晶体存在于10种极性晶类中（需一阶张量）；铁电晶体存在于热释电晶体中自发极化可随外加电场反向的晶体。一阶张量：热释电系数二阶张量：电导率对称中心无关）三阶张量：压电模量四阶张量：弹性顺服常数，电光系数（非中心对称），弹光系数（与对称中心无关）（电极化矢量的改变，介电常数）（存在于10种极性晶类），介电不-渗透性，热导率（与
，电极化率
，弹性劲度常数
1. 循环点群（5种）：1，2，3，4，6 2. 二面体点群（4种）：222，32，422，622 循环点群+加旋转轴（垂直于循环点群旋转轴方向，要保证主轴仍是对称轴，就只能加2次轴） 3. 立方旋转点群：23，432 4. 11种纯旋转结晶学点群：1，2，3，4，6，222，32，422，622，23，432 5. 11种中心对称点群： 1，2/m, 3, 4/m, 6/m，mmm，3m，4/mmm，6/mmm，m3，m3m 用反演算符乘所有纯旋转结点群 6. 10种新点群：m，mm2， 4，4m2，4mm，3m ，6，6m2，6mm，43m从11种中心对称点群可以找到10种新点群，他们没有中心对称（I或I），但有除了纯旋转以外的其它对称操作。

晶体学点群

单斜 2,m,2/m
，正交 2，m
，四方 4,4，4/m Z
三方 3,3 六方 6,6, 6/m
Z Z
无， 2，m ，无， 2，m ，
X X
无无， 2，m ，
立方 2,m,4, 4
X
3,3
，体对无， 2，m 角线
点群推导方法
• 外延推演法：从7种晶系的主要点对称特征出发外延推演，外延推演法：种晶系的主要点对称特征出发外延推演，种晶系的主要点对称特征出发外延推演可以推导出32种点群。可以推导出种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十种点群分明确。分明确。 • 旋转群推导法：先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演旋转群推导法：先推导出种纯旋转晶体学点群种纯旋转晶体学点群，操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外操作组合可得种中心对称的晶体学点群，种中心对称的晶体学点群 10种非中心对称的点群。优点是速度快。种非中心对称的点群。优点是速度快。种非中心对称的点群 • 循环群推导法：先确定5种循环群，1、2、3、4、6，再在循环群推导法：先确定种循环群种循环群，、、、、，每种循环群上加上新对称操作，代替n轴每种循环群上加上新对称操作，或用 n 代替轴。优点是透彻了解各种点群的对称操作。透彻了解各种点群的对称操作。 • 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 32
1. 三斜晶系对称操作是1(C1)或 1 (i) 对称操作是或则形成最简单的点群。（1）如果只有对称操作）如果只有对称操作1(C1) ，则形成最简单的点群。该点群的阶数h是，满足群的定义：该点群的阶数是1，满足群的定义：一个元素只能自乘： 1(C1)，具有封闭性封闭性；一个元素只能自乘： 1(C1)· 1(C1)= 1(C1)，具有封闭性；单元素也可有结合律：单元素也可有结合律： 1(C1)· 1(C1) · 1(C1)=1(C1) · [1(C1)· 1(C1)]; 有单位元素：有单位元素： 1(C1)· 1(E) = 1(E) · 1(C1)= 1(C1)；； 1(C1)的逆阵仍是的逆阵仍是1(C1)。。的逆阵仍是

32种晶体学点群

一．32种晶体学点群点群是至少保留一点不动的对称操作群。

点群=晶体+非晶体32种晶体学点群是满足“晶体制约”的点群。

点群的Schönflies符号Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。

Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。

Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。

Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。

Sn:具有一个n次反轴的点群。

T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。

O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群1.旋转轴(C=cyclic) ：C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,62. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m, ,4/m,6/m 3.旋转轴加通过该轴的镜面：C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm4.旋转反演轴S2= Ci, S4,S6=C3d5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴：D2,D3,D4,D6; 222,32,422,6226.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：D2h,D3h,D4h,D6h; mmm, ,4/mm,6/mmm7. D群附加对角竖直平面： D2d,D3d; ，8. 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral)T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432, ,m3m六方 6,`6, 6/m Z无， 2，m X无， 2，m 底对角线6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm立方 2,m,4, `4 X3,`3 体对角线无， 2，m 面对角线23,m3,432,`43m, m`3m七大晶系1、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。

其中两个水平轴（X 轴、Y轴）长度一样，Z轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。

32点群的晶体的对称分类体系

晶族晶系对称特点点群晶类名称序号对称型符号圣佛里斯符号国家符号低级晶族（无高次轴）三斜晶系无2L ，无P1 1L1C1单面晶类 2 Ci C1平行双面晶类单斜晶系2L 或P 不多于1个 3 2L2C2轴双面晶类 4 Ph C 1 m反映双面晶类 5 PC L 2 h C 22/m斜方柱晶类斜方晶系2L或P 多于1个6 23L2D =V222斜方四面体晶类 7 P L 22ν2C 2mm斜方单锥晶类 8PC L 332h D 2=h Vmmm斜方双锥晶类中级晶系（有一个高次轴）四方晶系m 24复四方偏三角面体晶类4C 4 四方单锥晶类 10244L L4D422 四方偏方面体晶类 11 PC L 4h C 4 4/m四方双锥晶类 12 P L 44ν4C mm 4复四方单锥晶类 13 PC L L 5424h D 44/mmm复四方双锥晶类 14 4iL 4S 4四方四面体晶类 15PL L i 2224 d D 2=d Vm 24复四方偏三角面体晶类三方晶系只有1个3L 或3iL 16 3L3C 3 三方单锥晶类 17 233L L3D32三方偏方面体晶类183iL 3i C3菱面体晶类 19P L 33 v C 3 mm 3复三方单锥晶类 20 PL L i 3323 d D 3m 3 复三方偏三角面体晶类六方晶系只有1个6L 或6i L21 6L6C 6 六方单锥晶类 22266L L 6D 622 六方偏方面体晶类 23 PC L 66 h C 66/m 六方双锥晶类 24 P L 66 v C 6 mm 6复六方单锥晶类 25 PC L L 7626h D 6 6/mmm复六方双锥晶类 26 6iL h C 36三方双锥晶类 27 PL L i 3326 h D 3m 26复三方双锥晶类高级晶族（有多个高次轴）立方晶系有4个3L 283243L L T23 五角三四面体晶类 29 PC L L 34332 h T3m偏方复十二面体晶类30 P L L i 64334 d T m 34六四面体晶类 31 234643L L L O 432 五角三八面体晶类 32PC L L L 9643234h Om m 3六八面体晶类dD 2dV。

X射线晶体学讲义

｝晶体1晶体结构几何理论1.1引言晶体学的研究目的是研究晶体中原子（分子、分子团）的分布规律。

晶体的几何理论建立在人类对矿物晶体结构早期唯象知识基础之上，有了X 射线技术之后，才从理论和实验逐渐完善。

（1）晶体：原子在空间呈规律性（周期性和对称性）分布的物质。

既具有对称性又具有周期性原子在空间分布规律性不同，材料的物理、化学和力学性能不同，如：C 的石墨结构（层状）和金刚石结构（共价键）。

α铁素体（体心结构，铁磁性，硬）与γ铁素体（面心结构，顺磁性，软）。

（2）非晶体：内部结构排列的不十分规则或毫无规则，如：石英（SiO 2）（3）实际晶体结构（a ）实际晶体与完整理想晶体实际晶体中存在各种缺陷，如点缺陷，线缺陷，面缺陷，体缺陷等。

产生各种缺陷的原因为：● 晶体中的原子并非完全不动；● 实际上晶体中某个位置上的原子是由该处该原子出现的几率大小决定的； ● 受到热力学条件及环境的变化会影响原子在某处的出现几率，形成所谓的缺陷；因此，现实中不存在完全理想的晶体。

实际上，由于各种缺陷、界面、表面的客观存在，都会影响晶体结构完整理想性。

（b ）单晶与多晶单晶——各向异性多晶——各向同性晶体中粒子的周期分布与空间点阵晶体物质有几万种，它们之间的差别主要有两方面，一是晶体中原子（分子，分子团）等物质种类不同，另外一方面是，原子等物质的排列、分布不同。

由于晶体物质中的粒子具有周期性分布的特征，因此如果忽略原子本身的性质以及原子间距的差别，原子的排列、分布规律可由以下几个概念表述：（1）同类等同点定义：晶体结构中物理环境和几何环境完全一样的点称为同类等同点。

晶体结构中存在无穷多类等同点，如：NaCl 晶体结构中，Na +所在的点是一类等同点；Cl -所在的点是一类等同点。

（2）空间点阵定义：晶体结构中，同一类等同点的集合所形成的集合图形。

如对于NaCl 的空间点阵（如图1-1所示），图中○为Cl -离子所在位置，●为Na +离子所在位置，可见，Na +周围的几何环境和物理环境都一样，Cl -周围的几何环境和物理环境也都一样，并且，由Na +离子构成的空间点阵图形与由Cl -构成的空间点阵图形一样，因此图1-1（b ）中的几何点为NaCl 的空间点阵，图1（b ）中●点称为结点或格点，结点既可代表Na +，又可代表Cl -或NaCl 结构中其它同类等同点。

种晶体学空间群的记号及常见矿石的名称分子式与所属晶系

种晶体学空间群的记号及常见矿⽯的名称分⼦式与所属晶系230种晶体学空间群的记号Symbolsofthe230CrystallographicSpaceGroups晶系(Crystalsystem)点群(Pointgroup)空间群(Spacegroup)国际符号(HM)圣佛利斯符号(Schfl.)三斜晶系1C1P1C i P单斜晶系2P2P21C2m P m P c C m C c2/m P2/m P21/m C2/m P2/c P21/C C2/c正交晶系222P222P2221P21212P212121C2221C222F222I222I212121 mm2Pmm2Pmc21Pcc2Pma2Pca21Pnc2Pmn21Pba2Pna21Pnn2Cmm2Cmc21Ccc2Amm2Abm2Ama2Aba2Fmm2Fdd2Imm2Iba2Ima2mmmPmmm Pnnn Pccm Pban Pmma Pnna Pmna Pcca PbamPccn Pbcm Pnnm Pmmn Pbcn Pbca Pnma Cmcm CmcaCmmm Cccm Cmma Ccca Fmmm Fddd Immm Ibam IbcaImma四⽅晶系4P4P41P42P43I4I41P I4/m P4/m P42/m P4/n P42/n I4/m I41/a422P422P4212P4122P41212P4222P42212P4322P43212I422I41224mm P4mm P4bm P42cm P42nm P4cc P4nc P42mc P42bc I4mmI4cm I41md I41cd2mP2m P2c P21m P21c P m2P c2P b2P n2I m2I c2I2m I2d4/mmm P4/mmm P4/mcc P4/nbm P4/nnc P4/mbm P4/mnc P4/nmm P4/ncc P42/mmc P42/mcm P42/nbc P42/nnm P42/mbc P42/mnm P42/nmc P42/ncm I4/mmm I4/mcm I41/amd I41/acd三⽅晶系3P3P31P32R3P R32P312P321P3112P3121P3212P3221R32 3m P3m1P31m P3c1P31c R3m R3cm P1m P1c P m1P c1R m R c六⽅晶系6P6P61P65P62P64P63P6/m P6/m P63/m622P622P6122P6522P6222P6422P6322 6mm P6mm P6cc P63cm P63mcm2P m2P c2P2m P2c6/mmm P6/mmm P6/mcc P63/mcm P63/mmc⽴⽅晶系23P23F23I23P213I213m Pm3Pn3Fm3Fd3Im3Pa3Ia3432P432P4232F432F4132I432P4332P4132I41323m P3m F3m I3m P3n F3c I3dm mPm m Pn n Pm n Pn m Fm m Fm c Fd m Fd c Im mIa d空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。