第十一章 贝叶斯决策分析

3.验后分析 根据预后验分析，如果认为采集信息和 进行调查研究是值得的，那么就应该决 定去做这项工作。 验后分析就是根据实际发生的调查结果 的信息修正验前概率的方法。


4.序贯分析 含有多阶段的信息搜集和数值计算的决 策情况，属于序贯分析的范围。 序贯分析包括一系列的先验分析和预后 验分析，采集新的信息和作出后验分析 和决策。
3.6 2 3.6 1
调查 不调查 采用新产品
销路好(0.6）
8 -3
7.153
Q1(0.923) Q2(0.077) Q1(0.923)
销路差(0.4)
8
-3 -4 10 8 -3 -4 10 8 -3 4 -10
7.153
d1
7
z1
(0.52)
4
d2 ∥ 8
∥ d1 d2 9
-2.92
6.84 (0.36) 7.66 Z2 3 5 z3
例2：某厂在考虑是否大批量投入投产一种新产品税的决策， 根据以往经验，预计该产品大批量投入市场后有三种销售远 景，具体见下页表。因亏损的先验概率较大，故该厂还要研 究是否要采用“试销法”进行市场调查。 经财务部门预算，进行一次试销调查花费60万元。而试销所 得到的调查信息的可靠性是有限的，这有过去产品进入市场 的统计资料可供借鉴，见下页表。 试问在这种情况下是否值得应用试销的方式进行市场调查。
计算修正概率：
P (Q1 | Z1 ) P (Q1Z1 ) 0.48 0.923 P ( Z1 ) 0.52
P (Q2 Z1 ) 0.04 P (Q2 | Z1 ) 0.077 P ( Z1 ) 0.52 同理可得: P (Q1 | Z 2 ) 0.167 P (Q1 | Z 3 ) 0.50 P (Q2 | Z 2 ) 0.833 P (Q2 | Z 3 ) 0.50
P(Q1)P(Z1|Q1)=P(Z1Q1)=0.48 P(Q1)P(Z2|Q1) =P(Z2Q1)=0.06
调查为差z2
销路好
P(Q1)=0.6
销路差
调查为不确定z3 P(Q1)P(Z3|Q1) =P(Z3Q2)=0.06
调查为好z1
P(Z1|Q2)=0.10
P(Q2)P(Z1|Q2)= P(Z1Q2)=0.04 P(Q2)P(Z1|Q2) =P(Z2Q2)=0.30
j 1 n
故有 : P( Z1 ) P( j ) P( Z1 j )
j 1 n
0.25 0.65 0.30 0.25 0.45 0.10 0.2825 同理可得: P( Z 2 ) 0.2650 P( Z 3 ) 0.4520
(2)按贝叶斯定理修正先验概率，其计算公式如下：
一、先验分析应用




例1(见课本P329） 某工厂要研究开发一种新型童车，首要的问题是要研 究这种新产品的销路及竞争者的情况。经过必要的风 险估计后，他们估计出： 当新产品销路好时，采用新产品可盈利8万元；不采用 新产品而采用老产品时，则因其他竞争者会开发新产 品而使老产品滞销，工厂可能亏损4万元。 当新产品销路不好时，采用新品就要亏损3万元，当不 采用新产品时就有可能用更多的资金来发展老产品可 获利10万元。 现确定销路好的概率为0.6，销路差的概率为0.4。


贝叶斯定理： 设B1，B2，……Bn是一组互斥的完备事件集， 即所有Bi互不相容，∪Bi=Ω，且P(Bi)>0，则 对任一事件有： P( Bi A) P( Bi | A) P( A)

P( Bi ) P( A | Bi )
P( B ) P( A | B )
i 1 i i
n
其中： P(Bi)为试验前就已知道了的概率，称为验前概率或先验概率； P(A)为边际概率，它按全概率公式求得； P(Bi|A)表示试验发生后，由于事件A发生而引起Bi发生的条件概率， 它是对先验概率P(Bi)的一种修正，故称验后概率或修正概率。
P( j Z i ) 故有 : P(1 Z1 )
P( j ) P( Z i j ) P( Z i ) P(1 ) P( Z1 1 ) P( Z1 )
,
i 1,2,3; j 1,2,3; 0.25 0.65 0.575 0.2825

同理可得：
P( 2 Z1 ) 0.266 P( 3 Z1 ) 0.159
第十章 贝叶斯决策分析

第一节 引言 第二节 贝叶斯Bayes定理 第三节 贝叶斯分析过程
第一节 引言
Leabharlann Baidu 一、问题的提出



在实际进行决策时，我们一直强调要调查研究， 注意预测，以掌握机会，制订对策，明确结果， 改进决策过程，提高决策水平。 但在实际工作中，既有未掌握必要信息就匆忙 作出决策的现象发生，也有为一点小事就四出 调研的情况存在。前者忽略了信息对决策的价 值，后者又没有注意到获取信息本身也有个经 济性问题。那么，怎么权衡新信息带来的价值 是否能补偿为其支出的费用呢？ 贝叶斯决策原理为我们提供了解决策这类问题 的手段。
例：一批产品来自三个工厂，通过调查得知：其中甲厂产 品合格率为95%，乙厂产品合格率为80%，丙厂产品合格 率为65%。这批产品中有60%来自甲厂，30%来自乙厂， 余下10%来自丙厂。 1.求这批产品的合格率。 2.若抽查出一产品为合格品，求这个产品来自甲厂的概率。 解： 1.记事件A=“产品合格”，B1=“产品来自甲厂”，B2=“产品 来自乙厂”，B3=“产品来自丙厂”。则据已知条件可知： P(A|B1)=0.95 P(A|B2)=0.80 P(A|B3)=0.65 P(B1)=0.60 P(B2)=0.30 P(B3)=0.10 则由全概率公式可知： P( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) P( B3 ) P( A | B3 )
第二节 贝叶斯(Bayes)定理
一、条件概率和乘法公式

条件概率的定义： 设A与B是基本空间Ω中的两个事件，且 P(B)>0，在事件B已发生条件下事件A的 条件概率P(A|B)定义为：P(AB)/P(B)，即：
P( AB) P( A | B) P( B)


乘法公式： 对任意两个事件A与B，有： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 对任意三个事件A1，A2，A3，有： P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 依次可以推广到四个或更多的事件上去。
二、全概率公式

设B1、B2、……Bn是基本空间Ω中的一 个互不相容的完备事件集，则对Ω中任一 事件A，有： n
P( A) P( ABi )
i 1 n
P( A | Bi ) P( Bi )
i 1
三、贝叶斯定理

贝叶斯定理主要用来研究事物发生的原 因，即要知道在A发生的条件下，某个 “原因”Bi发生的概率。这个概率又称验 后概率。

例：接前例（见P330）。 根据以往市场调查经验，调查结果的准 确程度见下表：
调查 条件概率 结果 P（Zj|Qi) 自然状态
Z1 Z2 Z3 （不确定） （销路好）（销路差） 0.10 0.10 Q1(销路好) 0.8 Q2(销路差) 0.10 0.75 0.15
调查为好z1
P(Z1|Q1)=0.8 P(Z2|Q1)=0.1 P(Z3|Q1)=0.1
表1 大批量生产的销售估计
销售远景 θj θ1 θ2 θ3
概率 P(θj) 0.25 0.30 0.45
条件盈利 (百万元) 15 1 -6
表2 过去试销资料记录
条件概率 P(zi| θj) 调查结果 市场实 际情况
θ1 (盈)
0.65 0.25 0.10
θ2 (平)
0.25 0.45 0.30
P(1 Z 2 ) 0.236 P( 2 Z 2 ) 0.509 P( 3 Z 2 ) 0.255
0.95 0.60 0.80 0.30 0.65 0.10 0.875
2.由贝叶斯公式可得：
P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B1 | A) P ( A) 0.95 0.60 0.875 0.6514
同理可计算得：P(B2|A)=0.2743 P(B3|A)=0.0743
第三节 贝叶斯分析过程


引：如前所述，贝叶斯分析包括四种类 型。但在实际的贝叶斯决策过程中，并 不一定全部包括这四种类型的分析，一 般情况是，进行验前分析，后验预分析 和验后分析。 如果调查经费可以忽略，则只需要进行 验前分析和验后分析，在时间、人力和 财力不允许搜集更完备的住处或者这种 搜集没有必要时，则常常只进行验前分 析。
(0.12) 3.0
Q2(0.077) -1.16 Q1(0.167)
7.66
Q2(0.833) Q1(0.167) Q2(0.833) Q1(0.50) Q2(0.50) Q1(0.50) Q2(0.50)
10
2.5
6
d1∥
d2
11
12
3.0








从以上决策分析过程可知： 若不作进一步调查研究，则采用方案1（即采用新产品） 可获期望利润3.60万元。 若进一步调查研究，则可获期望利润值6.84 万元。 当调查研究的费用小于6.84-3.60=3.24万元时，作进一步 的调查研究是值得的。 3.24万元为取得信息的价值，即信息价值。 所谓信息价值：指利用取得的信息进行决策所得到的期望 值减去没有这种情报而选取出的最优方案的期望值。 完全信息：是指在进行决策时，对于所有可能出现的自然 状态都可以提供完全确切的情报。 补充信息:是指通过各种手段如抽样调查、咨询等得到的 追加信息。 在进行补充信息的调查之前，还需要就是否值得进一步收 集补充信息的问题作出判断，并选择最佳的收集补充信息 的方案。该环节称为后验预分析
θ3 (亏)
0.10 0.15 0.75
Z1 Z2 Z3
1.进行验前分析: θ1(0.25) 1.35 2
15
1 -6
θ2(0.30)
θ3(0.45)
1.5 1
大批量生产
∥
不投产
0
2.进行后验预分析: (1)按全概率公式求边际概率，其计算公式为：
P( Z i ) P( j ) P( Z i j ) , i 1,2,3;
P(Q2)=0.4
调查为差z2
P(Z2|Q2)=0.75
调查为不确定z3 P(Q )P(Z |Q ) =P(Z Q )=0.06 2 1 2 3 2
P(Z3|Q2)=0.15
根据上图可计算各状态的全概率为： P( Z1 ) P( Z1Q1 ) P( Z1Q2 ) 0.52
P( Z 2 ) P( Z 2Q1 ) P( Z 2Q2 ) 0.36 P( Z 3 ) P( Z 3Q1 ) P( Z 3Q2 ) 0.12
销路好(0.6）
3.6 1
采用新产品
3.6 2
8 -3 -4 10
销路差(0.4)
销路好(0.6）
∥
不采用新产品
1.6 3
销路差(0.4)
以期望作为标准，应选择行动方案“采用新产品”。
二、后验预分析



后验预分析的目的，是要确定在采取最后行动之前是 否值得去搜集附加信息(调查或抽样)。 具体步骤： 1.根据决策问题过去有关的资料或某些途径得到的类 似资料拟定搜集新息的新决策方案，通常在验前分析 结论的基础上画出新支路。 2.根据全概率公式求有关的边际概率，并根据贝叶斯 定理修正先验概率，由此得出的后验概率就是新决策 支路的概率分布。 3.计算新决策支路的期望值。 4.权衡新方案最终的期望值、先验分析的结论和搜集 新信息所必须支出的费用，再进行选择得出结论。

例：
二、贝叶斯决策分析的类型


1.验前分析 在验前分析中，决策者要详细列出各种 状态及其概率，各种方案及其与状态组 合的条件值，决策者根据这些信息对各 方案进行评价和选择。 当时间、人力和财力不允许搜集更完备 的信息时，决策者就常常进行验前分析。


2.后验预分析 有时由于决策的重要性而且时间许可，要求决 策者在搜集和分析追加信息之前，暂缓作出决 策。企业必须为这些信息付出代价，而这些信 息又几乎不可能完全准确。 这种对验前概率分布要否采取一些方法、途径 和手段以获取新信息来进行修正，其效果如何， 是否值得等一系列分析就称为后验预分析。