复合函数零点问题
高考函数-复合函数的零点-含答案
结合图象可知
a
a
f f
3 3 4 8
，可得 3 a
8
（2）若 a 0 ，则关于的不等式 0 f x a 恰有一个整数解．
结合图象可知{
a a f
f 1 1 1 3
，可得 3 a 1
综上， 3 a 1或3 a 8 ．
例
5.已知函数
f
(x) (x2
3)ex
，当 m
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
的 4 个公共点，由图象可知 7 b 2 ． 4
8 6 4 2
15
10
5 2
5
10
15
4
6
8
例
7.（13
江西改编） 设函数
f
(x)
1 a
x
,
1
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（ 1
a
为常数且
a
0,1
）．
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点，
二 题型攻略·深度挖掘 1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出 现，一般综合性强，难度大．
2.【技能方法】求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： （1）借助数形结合思想，处理问题作出 u f x, y g u 的图像
复合函数零点问题
复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x b f x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
复合函数零点问题(综合)
复合函数零点问题1、定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如下图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是( )A．1 B. 2 C. 3 D. 42、已知函数1)(-=xxf，关于x的方程0)()(2=+-kxfxf，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为________________.3、定义在R的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=2 1221xxxxf，若关于x的函数h（x）=f2（x）+af（x）+有22222于x的方程|()|2f x x=-恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A B C34⎧⎫⎤⎨⎬⎥⎩⎭⎦D34⎧⎫⎫⎨⎬⎪⎩⎭⎭5的零点分别为123,,x x x，则（）A．123x x x<< B．213x x x<< C．231x x x<< D．312x x x<<-af(x)-a-ag(x)a-a6、设函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且()()x f x f -=+22，当[]0,2-∈x 时，()122-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f ，若在区间()6,2-内关于x 的方程()()02log =+-x x f a ()10≠>a a 且有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 B ． ()4,1 C ． ()8,1 D ．()∞+，8 7、已知)(x f 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数)()12(2x f x f y -++=λ只有一个零点，则实数λ的值是 （ ） A8，若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，()()12f x f x =，则()()122x f x f x -的取值范围为 （ ）A ．．．．【命题意图】复合函数的零点问题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力，以及数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【零点问题的处理步骤】（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象；（2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围；（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值．。
2.20复合函数零点问题—利哥
秘籍提示：①先看外层零点，把外层零点一一列出：t1，t2，t3 ；②再在外层函数作直线y =t1，y =t1 ，交点个数即为复合函数零点个数.2.20 抖音直播直播—复合函数零点问题——利哥数学，快乐上分我们来一起看几个题去理解秘籍，如下图，左边为f (x)图像，右边为g(x)图像.【例题1】求 f [f (x)]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为f (x)，f (x)有两个零点：t1=-2 ，t2= 2 ；在内层函数作直线y =-2 、y = 2 ，如右图，显然四个交点，所以f [f (x)]的零点个数为 4.【例题2】求 f [g(x)]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为f (x)，f (x)有两个零点：t1=-2 ，t2= 2 ；在内层函数作直线y =-2 、y = 2 ，如右图，显然两个交点，所以f [g(x)]的零点个数为 2.⎨2x ，x ≤ 0 【例题 3】求 g [g (x )]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为 g (x )，g (x )有三个零点： t 1 = -1，t 2 = 0 ，t 3 = 1；在内层函数作直线 y = -1、y = 0、y = 1 ，如右图，显然七个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 7.【例题 4】求 g [f (x )]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为 g (x )，g (x )有三个零点： t 1 = -1，t 2 = 0 ，t 3 = 1；在内层函数作直线 y = -1、y = 0、y = 1 ，如右图，显然六个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 6.【例题 5】（2019 春•邯郸期末）函数 f (x ) = ⎧| log 2 x | ，x > 0 ，则函数 g (x ) = 3 f 2(x ) - 8 f (x ) + 4 的零点个数是⎩ ( )A ．5B ．4C ．3D ．6【解析】令 f (x )= t ，则 g (x ) = 3 f 2 (x ) - 8 f (x ) + 4 ⇒ h (t ) = 3t 2 - 8t + 4 ，外层函数为 h （t ）， h （t ）有两个零点t 1 = 2 ，t3 2 = 2 ，在内层函数 f (x )作直线 y = 2 、y = 2 ，如图，3显然五个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 5，故选 A ．⎩ 4⎨ 现学现卖⎧x2 - 2x + 4, x 0【卖弄 1】（2019 秋•东莞市期末）已知函数 f (x) =⎨⎩lnx, x > 0，若函数 g(x) =f 2 (x) + 3 f (x) +m(m ∈R)有三个零点，则m 的取值范围为( )A．m <94B．m - 28C． -28 m <94D．m > 28【解析】作出f (x) 的图象如图：设t =f (x) ，则由图象知当t 4时，t =f (x) 有两个根，当t < 4 时，t =f (x) 只有一个根，若函数g(x) =f 2 (x) + 3 f (x) +m(m ∈R) 有三个零点，等价为函数g(x) =h(t) =t2 + 3t +m 有两个零点，其中t < 4 或t 4 ，则满足⎧ = 9 - 4m > 0，1 2⎧m <9⎨f (4) = 16 + 12 +m 0⎪，得m - 28 ，故选B ．⎪⎩m -28【卖弄2】（2019•山东模拟）已知函数f (x) =| x2 - 4x + 3 |，若方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是( )A．(-2, 0) B．(-2, -1) C．(0,1) D．(0, 2)【解析】 f (1)=f (3)= 0 ，f (2)= 1 , f (x) 0 ，若方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根，∴t 2 +bt +c = 0 ，其中一个根为 1，另一个根在(0,1) 内，∴g(t) =t2 +bt +c ，g (1)= 1 +b +c = 0 ，g(-b ) < 0 ，20 <-b< 1，g(0) =c > 0 2方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根∴c =-1 -b > 0 ，b ≠-2 ，-2 <b < 0 ，即b 的范围为：(-2, -1) ，故选B ．得则1【卖弄3】（2019 秋•双流县校级期中）已知函数y =f (x) 和y =g(x) 在[-2 ，2] 的图象如下所示：给出下列四个命题：（1）方程f[g(x)]=0有且仅有6个根；（2）方程g[f(x)]=0有且仅有3个根（3）方程f[f(x)]=0有且仅有5个根；（4）方程g[g(x)]=0有且仅有4个根其中正确命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1【解析】（1）正确，（2）错误，（3）（4）正确，故选B．【卖弄 4】已知函数 f (x) =lnx，关于x 的方程 f (x) -x1f (x)=m 有三个不等的实根，则m 的取值范围是( )A．(-∞, e -1)eB．(-∞,1-e)eC．(e -1, +∞)eD．(1-e, +∞)e【解析】 f '(x) =1 -lnx，当0 <x <e 时， f '(x) > 0 ，当x >e 时， f '(x) < 0 ，x2即函数f (x) 在(0, e) 为增函数，在(e, +∞) 为减函数，则 f (x)max =f (e) =1，则f (x) 的图象如图所示：令t =f (x) ，e则 f (x) -1f (x)=m 可变形为t -1-m = 0 ，t即t 2 -mt - 1 = 0 ，设方程t 2 -mt - 1 = 0 有两个根t ，t ，1 2关于 x 的方程 f (x) -1f (x)=m 有三个不等的实根等价于t =f (x) 的图象与直线t =t1 ，t =t2的交点个数之和为 3，由图可知t < 0 <t 1，设g(t) =t2 -mt -1 ，2 1<eg( ) =1-m- 1 > 0 ，解得：m <1-e ，故选B ．e e2 e e3 3 ⎨ ⎧| lg (-x ) |, x < 0 【卖弄 5】（2019•全国模拟）定义域为 R 的函数 f (x ) = ⎪ ，若关于 x 的函数 y = 3 f 2 (x ) + 2bf (x ) + 1 ⎨ 1 x⎪1 - ( ) , x 0⎩ 2有 6 个不同的零点，则实数b 的取值范围是()A ． (-2, - 3)B ． (-2, 0)⎧| lg (-x ) |, x < 0C ． (-3, - 3)D ． (- ， +∞) 【解析】 函数 f (x ) = ⎪ 1，作出它的图象如图所示：⎪1 - ( ) , x 0⎩ 2关于 x 的函数 y = 3 f 2 (x ) + 2bf (x ) + 1有 6 个不同的零点，则令t = f (x ) ，则关于t 的方程3t 2 + 2bt + 1 = 0 在(0,1) 上有 2 个不同解． 即函数 g (t ) = 3t 2 + 2bt + 1在(0,1) 上有 2 个不同零点，⎧ = 4b 2 - 12 > 0⎪ b ⎪0 < - < 1故有 ⎨ 3 ，求得-2 < b < - ，故选 A ．⎪ f (0) = 1 > 0⎪ ⎪⎩ f (1) = 3 + 2b + 1 > 0x。
专题：复合函数的零点
1复合函数的零点问题1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 的值是 .3、已知函数12)(22+-++=m m mx x x f ,若方程0))((=x f f 无实根，则m 的取值范围为 . 4、已知函数）（R x x x x f ∈=3-)(3.设c x f f x h -=))(()(，其中∈c [-2,2],求函数)(x h y =零点个数.5、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。
6、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________ 7、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.8、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________.9、已知函数31+,>0()3,0x x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________. 10、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为11、函数0.5(x)2log 1xf x =-的零点个数为（ ）12、函数(x)2ln f x =的图像与函数2(x)x 45g x =-+的图像的交点个数为（ ）213、已知函数32, 2(x)(x 1),x 2x f x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程(x)f k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是14、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)415、（2014江苏）已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 16、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g xx ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩则方程[]g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）17、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )B. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)418、关于x 的方程222x 1)x 10k ---+=（，给出下列4个命题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。
浅谈对高中复合函数零点问题的探究
浅谈对高中复合函数零点问题的探究摘要】复合函数的零点问题是高中阶段的数学中的一个重点和难点内容，也是高考命题中的一个热点问题，它不仅涉及了根本函数的知识内容，而且包含了丰富的数学思想的运用.本文先对复合函数的零点问题进行了简要概述，然后对复合函数零点问题的典型例题进行了剖析.【关键词】复合函数;零点问题;求解参数一、复合函数与零点问题复合函数的形式是y=f[φ〔x〕]，其中μ=φ〔x〕是内层函数，y=f〔μ〕是外层函数.设μ=φ〔x〕的定义域为A，值域为B，y=f〔μ〕的定义域为C，值域为M，那么就有BC，且y∈M.这时，定义域A内的每一个自变量x，通过对应关系φ，都能在B中得到一个唯一确定的与之对应的μ;再通过对应关系f，就能在M中得到一个唯一确定的与之对应的y，这就确定了从A到M的一个复合关系，也就是从A到M的复合函数.本文研究的复合函数与零点的问题，不仅与函数有关，还交汇融合了方程、不等式等知识以及数形结合、转化化归、函数与方程、分类讨论等数学思想，是一类复杂的问题.因此，数学教师要寻找便捷的解题途径，帮助学生突破学习数学的难点.以下笔者通过对典型例题的分析来探究一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题.二、复合函数求解零点个数问题问题“设当0≤x≤π时，函数f〔x〕=2sinx;当x这样去分析就会直观容易许多.由于y=f〔t〕的函数关系式是的，因此，可以求出当t的值取π6，5π6，-1时，都有f〔t〕=1，将t=π6，5π6，-1代入到t=f〔x〕的函数关系式当中，结合图1，就可以看出能取到与t=π6对应的x值有3个，与t=5π6对应的x值有1个，与t=-1对应的x值有0个，因此，函数的零点总共有4个.通过这道经典的复合函数求零点个数问题，我们可以将这类问题的解题思路进行一个总结：①将内层函数进行换元;②将零点问题进行转化，一般转化为求函数y=f〔t〕与y=a〔a为常数〕的交点个数的问题;③解出t值;④数形结合通过t值找到x的解的个数.三、复合函数零点个数求解参数问题在复合函数的零点问题中，零点个数去求解参数也是常见的一类问题.求参数问题一直是学生觉得困难的一类问题，在结合复合函数问题之后，教师更要重视引导学生去理清思路，多渗透数学思想，帮助学生有效地掌握解题方法.例如，问题“设当x>0时，函数f〔x〕=|lnx|+2;当x≤0时，f〔x〕=3-x2.函数y=f[f〔x〕]-a有5个零点，求a的取值范围.〞就是一道典型的零点个数求参数的问题.如果学生认识到求零点个数问题的本质，那么就会发现这两类问题其实有异曲同工之妙.我们来分析这个问题，同样也需要将内层函数设为t=f〔x〕，并将问题转化为“求函数y=f〔t〕与y=a〔a为常数〕的交点个数〞或是“求满足f〔t〕=a的x的个数〞，并要结合函数图像〔图2〕去分析.从图2中可以看出，当a以上就是对复合函数零点问题的概述与两类经典问题的分析，我们可以看到，这些问题需要较高的逻輯思维能力，因此，教师必须重视数学思想方法的渗透，让学生在有效的练习中提升求解复合函数零点问题的能力.【参考文献】【1】吴新建.高三微专题复习课的实践与思考——以复合函数y=f〔u〔x〕〕的零点问题的教学为例[J].数学通报，2021〔5〕：43-45.【2】汪正文.例谈复合函数零点问题的求解策略[J].中学数学研究〔华南师范大学版〕，2021〔1〕：45-48.。
专题七复合函数的零点问题
专题七 复合函数的零点问题一、确定复合函数零点的个数或方程解的个数 【例题选讲】A ．3B ．7C ．10 D．14(2)关于x 的方程(x 2－1)2－3|x 2－1|＋ ) A ．3 B ．4 D ．8答案 C 解析 可将|x 2－1|t 2－3t ＋2＝0可解得，t ＝1或t ＝2，则只需作出t (x )＝|x 2－1|5个．(3)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5 解析 由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点有5个．(4)已知定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|－1，0<x ≤2，12f (x －2)，x >2，则关于x 的方程6f 2(x )－f (x )－1＝0的实数根个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B 解析 已知方程6f 2(x )－f (x )－1＝0可解，得f 1(x )＝12，f 2(x )＝－13，只需统计y ＝12，y ＝－13与y ＝f (x )的交点个数即可．由奇函数可先做出x >0的图像，x >2时，f (x )＝12f (x －2)，则x ∈(2，4]的图像只需将x ∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．(5)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于的方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不同实根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 由极值点可得，x 1，x 2为3x 2＋2ax ＋b ＝0①的两根，观察到方程①与3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0结构完全相同，所以可得3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的两根为f 1(x )＝x 1，f 2(x )＝x 2，其中f 1(x )＝x 1，若x 1<x 2，可判断出x 1是极大值点，x 2是极小值点．且f 2(x )＝x 2> x 1＝f 1(x )，所以y ＝f 1(x )与f (x )有两个交点，而f 2(x )与f (x )有一个交点，共计3个；若x 1>x 2，可判断出x 1是极小值点，x 2是极大值点．且f 2(x )＝x 2<x 1＝f 1(x )，所以y ＝f 1(x )与f (x )有两个交点，而f 2(x )与f (x )有一个交点，共计3个．综上所述，共有3个交点．[题后悟通] 确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y ＝f (g (x ))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t ＝g (x )，则y ＝f (t )，再作出y ＝f (t )与t ＝g (x )的图像．由y ＝f (t )的图象观察有几个t 的值满足条件，结合t 的值观察t ＝g (x )的图象，求出每一个t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为y ＝f (g (x ))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．图1图2【对点训练】1．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2，2]的图像如下，给出下列四个命题： (1)方程f [g (x )]＝0有且只有6个根；(2)方程g [f (x )]＝0有且只有3个根； (3)方程f [f (x )]＝0有且只有5个根；(4)方程g [g (x )]＝0有且只有4个根．则正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．答案 C 解析 每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x 的总 数．(1)中可得g 1(x )∈(－2，－1)，g 2(x )＝0，g 3(x )∈(1，2)，进而g 1(x )有2个对应的x ，g 2(x )有2个，g 3(x )有2个，总计6个，(1)正确；(2)中可得f 1(x )∈(－2，－1)，f 2(x )∈(0，1)，进而f 1(x )有1个对应的x ，f 2(x )有3个，总计4个，(2)错误；(3)中可得f 1(x )∈(－2，－1)，f 2(x )＝0，f 3(x )∈(1，2)，进而f 1(x )有1个对应的x ，f 2(x )有3个，f 3(x )有1个，总计5个，(3)正确；(4)中可得g 1(x )∈(－2，－1)，g 2(x )∈(0，1)，进而g 1(x )有2个对应的x ，g 2(x )有2个，共计4个，(4)正确．则综上所述，正确的命题共有3个．2．已知f (x )＝3 0|lg()| 0x x x x ⎧≥⎨-<⎩则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )的零点个数为________．2．答案 5 解析 令y ＝2f 2(x )－3f (x )＝0，则f (x )＝0或f (x )＝32．函数f (x )＝3 0|lg()| 0x x x x ⎧≥⎨-<⎩的图象如图所示：由图可得，f (x )＝0有2个根，f (x )＝32有3个根，故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )的零点个数为5．3．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的解x 1，x 2，x 3，则x 12＋x 22＋x 32＝________．3．答案 5 解析 先作出f (x )的图像如图，观察可发现对于任意的t ，满足t ＝f (x )的x 的个数分别为2个 (t ＞0，t ≠1)和3个(t ＝1)，已知有3个解，从而可得f (x )＝1必为f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0的根，而另一根为1或者是负数．所以f (x i )＝1，可解得，x 1＝0，x 2＝1，x 3＝2．所以x 12＋x 22＋x 32＝5．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．答案 A 解析 由f (f (x ))＋1＝0，得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，得f (x )＝－2或f (x )＝12．若f (x ) ＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2．综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是4．故选A ．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数判断正确的是( )A ．当a >0时，有4个零点；当a <0时，有1个零点B ．当a >0时，有3个零点；当a <0时，有2个零点C ．无论a 为何值，均有2个零点D ．无论a 为何值，均有4个零点5．答案 A 解析 所求函数的零点，即方程f (f (x ))＝－1的解的个数，令t ＝f (x )，先作出y ＝f (t )的图像， 直线y ＝ax ＋1为过定点(0，1)的一条直线，但需要对a 的符号进行分类讨论．当a >0时，如图1所示，先拆外层可得t 1＝－2a ＜0，t 2＝12，如图2所示，而t 1有两个对应的x ，t 2也有两个对应的x ，共计4个；当a <0时，如图3所示，先拆外层可得t ＝12，如图4所示，t ＝12只有一个满足的x ，所以共1个零点．结合选项，可判断出A 正确．图1(a >0)图2(a >0)t6．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，当x ∈R 时，称y ＝[x ]为取整函数，例如[1.6]＝1，[－3.3]＝－4，若f (x )＝[x ]，g (x )的图象关于y 轴对称，且当x ≤0时，g (x )＝－x 2－2x ，则方程f (f (x ))＝g (x )解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．答案 D 解析 根据已知条件可知，当x >0时，－x <0，又函数g (x )的图象关于y 轴对称，故g (x )为 偶函数，所以g (x )＝g (－x )＝－(－x ＋1)2＋1＝－(x －1)2＋1.由f (x )＝[x ]，得f (f (x ))＝[x ]．在同一平面直角坐标系中画出y ＝f (f (x ))与y ＝g (x )的图象如图所示，由图象知，两个图象有4个交点，交点的纵坐标分别为1，0，－3，－4，当x ≥0时，方程f (f (x ))＝g (x )的解是0和1；当x <0时，g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－3得x ＝－3，由g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－4得x ＝－1－5．综上，f (f (x ))＝g (x )的解的个数为4．7．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不 同实根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．67．答案 A 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由极值点定义可得，x 1，x 2为3x 2＋2ax ＋b ＝0 ①的两根，观察 到方程①与3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0结构完全相同，可得3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的两根为f 1(x )＝x 1，f 2(x )＝x 2，其中f (x 1)＝x 1．若x 1<x 2，可判断出x 1是极大值点，x 2是极小值点，且f 2(x )＝x 2>x 1＝f (x 1)，所以y ＝f 1(x )的图象与y ＝f (x )的图象有两个交点，而y ＝f 2(x )的图象与y ＝f (x )的图象有一个交点，共计3个交点(如图(1)所示)；若x 1>x 2，可判断出x 1是极小值点，x 2是极大值点，且f 2(x )＝x 2<x 1＝f (x 1)，所以y ＝f 1(x )的图象与y ＝f (x )的图象有两个交点，而y ＝f 2(x )的图象与y ＝f (x )的图象有一个交点，共计3个交点(如图(2)所示)．综上所述，共有3个交点．故选A ．二、已知函数零点的个数，求参数的取值范围 【例题选讲】图3(a <0)图4(a <0)t[例2](1)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2＋1，x ＞0，－(x ＋3)2＋1，x ≤0，，则方程g [f (x )]－a ＝0（a 为正实数）的实数根最多有______个．答案 6 解析 先通过分析t ＝f (x )，y ＝g (t )的性质以便于作图，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，从而f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)单增，在(0，2)单减，且f (0)＝1，f (2)＝－3，y ＝g (t )为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取t ＝f (x )能对应x 较多的情况，由t ＝f (x )图像可得，当t ∈(－3，1)时，每个t 可对应3个x ．只需判断g (t )＝a 中，t 能在(－3，1)取得的值的个数即可，观察y ＝g (t )图像可得，当a ∈(1，54)时，可以有2个t ∈(－3，1)，从而能够找到6个根，即最多的根的个数．(2)已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|，若方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－2，－1)C ．(0，1)D ．(0，2)答案 B 解析 考虑通过图像变换作出t ＝f (x )的图像（如图），因为[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0最多只能解出2个f (x )，若要出七个根，则t 1＝1，t 2∈(0，1)，所以－b ＝t 1＋t 2∈(1，2)，解得b ∈(－2，－1)．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，8)B ．[2，174)C ．(2，174] D ．(2，8]分析 本题应先求方程t 2－bt ＋1＝0的根，设为t 1，t 2，再根据t 1＝f (x )，t 2＝f (x )的解的个数确定函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1的零点个数．已知函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，先确定两个实数t 的范围，再转化为一元二次方程t 2－bt ＋1＝0根的分布问题来解决．答案 C 解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4＝(x －2)(x 2＋2x －2)，x ≥0，作出f (x )的简图，如图所示．由图象可得，f (x )在(0，4]上任意取一个值，都有四个不同的x 值与之对应．再结合题中函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，可得关于t 的方程t 2－bt ＋1＝0有两个不同的实数根t 1，t 2，且0<t 1≤4，0<t 2≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4>0，0<b 2<4，0－b ×0＋1>0，42－4b ＋1≥0，解得2<b ≤174．归纳总结 本题结合图象可知，一元二次方程t 2－bt ＋1＝0的两个根0<t 1≤4，0<t 2≤4，结合二次函数图象的特点可知，对称轴0<b2<4，且Δ>0，另外t ＝0时的函数值为正，t ＝4时的函数值非负．当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论．(4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≤0，log 12x ，x >0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(0，1) 解析 若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x ≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根，而x >0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根．当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根时，可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a <0或0<a <1． (5)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若方程g (f (x ))－a ＝0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫1，54 解析 令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54．(6)已知函数f (x )＝|x |e x ，若关于x 的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(1e ，2)∪(2，e)B ．(1e ，1)C ．(1，1＋1e )D ．(1e，e)答案 C 解析 f (x )＝⎩⎨⎧xe x，x ≥0，－xe x，x ＜0，分析t ＝f (x )的图像以便于作图，x ≥0时，f ′(x )＝(1－x )e －x ，从而f (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，f (1)＝1e ，且当x →＋∞，y →0，所以x 正半轴为水平渐近线；当x <0时，f ′(x )＝(x －1)e －x ，所以f (x )在(－∞，0)单调递减．由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于f (x )的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0中，t 1∈(0，1e )，t 2∈(1e ，＋∞)，从而将问题转化为根分布问题，则t 2－mt ＋m －1＝0的两根t 1∈(0，1e )，t 2∈(1e，＋∞)，设g (t )＝t 2－mt ＋m －1，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (0)> 0，g (1e )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1> 0，1e 2－m e ＋m －1<0，，解得m ∈(1，1＋1e)．本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
浅析复合函数零点的个数问题
一类是判断零点个数，另一类是已知零点个数求参
数的取值范围．以下本文通过对典型例题的分析来探究
一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题．
１．判断复合函数零点的个数
｛ 例１ 已知函数犳（狓）＝
５ 狓－１ －１（狓 ≥０）， 则 狓２＋４狓＋４（狓 ＜０），
关 于狓的方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０的实数根的个数
零点个数即方程犳（狓）＝０的
根个数，也即犳（狓）的图像与
狓 轴 交 点 的 个 数，若 方 程
犳（狓）＝０犵（狓）＝犺（狓），即
为两函数犵（狓）与犺（狓）图像
图１
交点的个数．该问题只需要确
定零点个数并 不 需 要 求 出 零 点，也 可 画 出 函 数 图 像，
结合图像确定交点的个数，由狋２ －５狋＋４＝０，得狋＝４ 或１，所以犳（狓）＝４或１，由函数图像犳（狓）分别与狔＝ １、狔＝４有４个交点和３个交点，所以犳（狓）＝１、犳（狓） ＝４分别有４个根和３个根，所以方程犳２（狓）－５犳（狓） ＋４＝０共有７个根．
图２ 图３
２．已知复合函数的零点个数求参数的取值范围 例２ 已 知 函 数 犳（狓）的 图 像，若 函 数 犵（狓）＝ ［犳（狓）］２ －犽犳（狓）＋１恰有４个零点，则实数犽 的取值 范围是（ ）．
（ ） Ａ．（－
∞，－２）∪
（２，＋
∞）
８ Ｂ．ｅ２
，２
（ ） ４
Ｃ．ｅ２
若犳（狓）＝１，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝１，解得
狓＝１±ｌｏｇ５２，当狓 ＜０时，即狓２＋４狓＋３＝０，解得狓
＝－１或 －３．
若犳（狓）＝４，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝４，解得
复合函数的零点问题
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出
x 的值.例如：已知 f x 2x ， g x x2 2x ，若 g f x 0 ，求 x .
时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B,点Ｃ下
面穿过就有 4 个零点，所以
解得 ，选 D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程,我们常把方程变形为ｆ（ｘ)=g(x),然后根据 y＝f(ｘ）与 y
＝g(ｘ)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
,再画出两个函数的图像,根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围．
c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
②如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) · f (b) 0 ,那么，函数 f x 在
--
--
区间 (a, b) 内不一定没有零点.
③如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 (a, b) 内有零点时不
1．复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
2.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
③由函数 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点不一定能推出 f (a) · f (b) 0 ,如图所示．所以 f (a) · f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件．
复合函数的零点问题
由图可得，当 k＞－3 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＜－2，t2＞12，即 t＝f(x)＜－2 或 t＝f(x)＞12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 5 个根； 当－4＜k≤－3 时，f(t)＝k 有三个根 t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，14＜t3≤12， 即－2≤f(x)＜－1 或－1＜f(x)≤0 或14＜f(x)≤12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 6 个根； 当 k＝－4 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＝－1，t2＝14，即 f(x)＝－1 或 f(x)＝14，此 时方程 f(f(x))＝k 有 4 个根； 当 k＜－4 时，f(t)＝k 有一个根 t，且 0＜t＜14，即 0＜f(x)＜14，此时方程 f(f(x))＝k 有 2 个根．
设 f(x)＝t，由图可知，当 t＜0 或 t＞2 时，t＝f(x)有且仅有 1 个实根．当 t＝0 或 1≤t≤2 时，t＝f(x)有 2 个实根；当 0＜t＜1 时，t＝f(x)有 3 个实根，则 g(x)恰有 4 个不同的零 点等价于a0－ ＜1a＜ ＋01， ＜1或a1－ ≤1a＝ ＋01， ≤2或0a＜ ＋a1－ ＞12＜1，或11≤ ≤aa－ ＋11≤ ≤22， ，解得－1＜a＜ 0 或 1≤a＜2．
图(2)
由图可知 y＝f(t)与 y＝3t＋12的图象有两个交点，横坐标
分别在(0，1)和(1，2)之间，不妨设交点横坐标为 t1∈(0，
1)，t2∈(1，2)．如图(3)，当 t1＝f(x)时，由 f(x)图象和直
线 y＝t1，t1∈(0，1)可知，二者有两个交点，此时 F(x) ＝f(f(x))－3f(x)－12有两个零点；当 t2＝f(x)时，由 f(x)图
复合函数的零点解题技巧
复合函数的零点解题技巧
一、理解函数定义
在解决复合函数的零点问题之前，首先要理解函数的定义。
函数是一种数学关系，它将一个数集映射到另一个数集。
理解函数的定义有助于我们更好地理解复合函数的结构和性质。
二、识别复合函数
复合函数是由两个或多个函数通过运算组合而成的。
识别复合函数是解决问题的关键步骤。
通过识别复合函数，我们可以更好地理解函数的组成和结构，从而更好地解决零点问题。
三、分解复合函数
在识别出复合函数后，我们需要将其分解为更简单的函数。
通过分解复合函数，我们可以更容易地找到函数的零点。
在分解过程中，需要注意函数的运算顺序和运算规则。
四、寻找零点条件
寻找零点是解决复合函数零点问题的核心步骤。
我们需要找到使复合函数为零的x值。
在寻找零点时，需要注意函数的定义域和值域，以及函数的运算规则。
五、运用数学方法
在寻找零点的过程中，我们需要运用一些数学方法，如代数法、图象法等。
这些方法可以帮助我们更好地理解函数
的性质和变化规律，从而更准确地找到零点。
六、验证解的正确性
在找到零点后，我们需要验证解的正确性。
可以通过代入原函数进行验证，或者通过计算其他相关量进行验证。
如果解不正确，需要重新寻找零点或者调整解题思路。
七、总结解题思路
在解决复合函数的零点问题后，需要对解题思路进行总结。
总结解题思路有助于我们更好地理解问题和掌握解题技巧，从而在未来的问题解决中更加熟练和准确。
同时，也可以将解题思路与其他同学或老师分享，以促进共同学习和进步。
高考 复合函数的零点问题
函数专题（复合函数的零点问题）一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为 ． 【答案】4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x = 解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 .【答案】a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为 ．【答案】14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解． 由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形； 另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+， D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ．4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +【答案】B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考查的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【答案】D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点，画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.6.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =的解集为 ．【答案】{}416，． 【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围．【答案】104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求. 【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ． 同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为 ．【答案】(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3 B ．1或3 C ．4或6 D ．3或4或6【答案】A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .14．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象15．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围． 【答案】（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当1＜a ＜3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有一个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有一个不同的根，不满足条件； 当a ＝3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当a ＞3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件； 综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>【答案】D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解， 所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确；因为()()131f f ==，所以，所以选项A 、C 正确，而选项D 错． 故正确答案选D ．。
分段复合函数零点个数问题
分段复合函数零点个数问题是一个复杂的问题，需要考虑函数的定义域、分段函数的性质以及复合函数的性质等多个因素。
以下是一些可能有用的提示和步骤，帮助您解决这个问题：确定函数的定义域：首先，您需要确定函数的定义域，以确保您在正确的范围内求解零点。
分析分段函数的性质：分段函数可能在不同的区间内具有不同的性质。
您需要仔细分析这些性质，并找出可能影响零点个数的关键点。
分析复合函数的性质：复合函数可能具有更复杂的性质，例如连续性、可导性等。
您需要分析这些性质，以确定如何找到零点。
使用代数方法求解零点：一旦您确定了函数的定义域、分段函数的性质和复合函数的性质，您可以使用代数方法（例如因式分解、求解方程等）来求解零点。
考虑特殊情况：在某些情况下，函数可能在某些特定的x值处具有特定的性质（例如奇函数、偶函数等）。
您需要仔细考虑这些特殊情况，并确定它们是否会影响零点的个数。
需要注意的是，解决分段复合函数零点个数问题可能需要一定的数学技巧和经验。
如果您不确定如何解决这个问题，建议请教数学专家或查阅相关的数学教材和文献。
复合函数零点问题专题
复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
复合函数的零点问题探讨
4 e2
e2
e2
4
,
4
（）
【解析】 f x 2xex x2ex x x 2ex ，
易知， f x 在 , 2 上递增，在 2,0 上递减，在 0, 上递增，
所以 f x 在 x 2 处取得极大值 f 2 4e2 ，在 x 0 处取得极小值 f 0 0 ，
（）
A． b 0且 c 0
B． b 0 且 c 0
C． b 0且 c 0
D． b 0 且 c 0
【答案】C
【解析】
f
x
lg
x
1
,
x
1的图像如下（将
y
lg
x
的图像向右平移
1
个单位，
0 , x 1
再将 x 轴以下的部分向上翻折），
y
O
1
x
令 t f x ，显然，关于 x 的方程 t f x 可能有 4 ， 3 或 0 个不同的解， f 2 x bf x c 0 可化为 t2 bt c 0 ，
则实数 a 的取值范围是
（）
A．
5 2
,
9 4
B．
9 4
,
1
C．
5 2
,
9 4
9 4
,
1
D．
5 2
,
1
【答案】C
【解析】
f
x
图像如下（注意
y
复合函数的零点问题(解析版)
复合函数的零点问题(解析版)复合函数的零点问题(解析版)复合函数是数学中常见的一种函数形式，它由两个或多个基本函数按照一定的规则组合而成。
零点问题是指找出函数在定义域内使得函数取零值的自变量的取值。
一、复合函数的定义和性质复合函数是由两个或多个函数按照一定的运算规则组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量x进行g(x)的运算，然后再对结果进行f(x)的运算。
在复合函数的运算中，需要符合以下性质：1. 结合律：对于三个函数f(x)，g(x)和h(x)，复合函数f(g(h(x)))可以简写为(f∘g∘h)(x)。
2. 基本函数的定义域和值域：复合函数的定义域由其中的基本函数的定义域决定，值域受到基本函数值域的限制。
二、复合函数的求解方法对于复合函数的零点问题，可以通过以下方法进行求解：1. 代数法：将复合函数表示为等式，然后对方程进行变形和化简，最终解得零点的取值。
2. 几何法：将复合函数的图像与直线y=0相交的点作为复合函数的零点。
三、实例分析为了更好地理解复合函数的零点问题，下面以一个实例进行分析：例：已知函数f(x) = sin(x)，g(x) = x-2，求复合函数f(g(x))的零点。
解：首先将复合函数表示为等式：f(g(x)) = 0sin(g(x)) = 0然后对方程sin(g(x)) = 0进行求解：由于sin函数的周期为2π，且在每个周期内有零点，因此可以得到：g(x) = 2kπ，其中k为整数。
将g(x) = 2kπ代入函数g(x) = x-2中：x-2 = 2kπ，解得x = 2kπ+2综上，复合函数f(g(x))的零点为x = 2kπ+2，其中k为整数。
四、结论与总结通过以上例子，我们可以看出复合函数的零点问题是通过将复合函数表示为等式，然后对方程进行求解来解决的。
根据实际情况选择合适的代数法或几何法进行求解，最终得到复合函数的零点的取值。
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复合函数零点问题
一、基础知识：
1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦
2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知()()2
2,x
f x
g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦
解：()2
224
f ==()()2412
g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。
例如：已知()2x
f x =，()2
2g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x
解：令()t f x =，则()2
020g t t t =⇒-=解得0,2t t ==
当()0020x
t f x =⇒=⇒=，则x ∈∅
当()2222x
t f x =⇒=⇒=，则1x =
综上所述：1x =
由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，外层是解关于
g(x)的方程，观察有几个t ，g(t)的值使得等式成立；内层
是结合着()f x =t ，求出每一个()f x =t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数
例1：关于x 的方程()2
22
13120x x ---+=的不相同实根的个数是（
）
A.3
B.4
C.5
D.8
5、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧： （1）作出()(),f x g x 的图像
（2）旋转外层函数的图像使外层函数x 轴对应内层y 轴
（3）先估计关于g(t)=0的方程中解的个数，再根据个数与()f x =t 的图像特点，分配每个t 函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定x 的个数 二、典型例题
例2：设定义域为R 的函数()1
,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩
，若关于x 的方程()()2
f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222
123x x x ++=______
例3：已知函数
11()||||f x x x x x
=+
--，
关于x 的方程2
()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．
例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,02
12,22
x x f x f x x -⎧-<≤⎪
=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程
()()2
610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
例5：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()2
0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）
A. ()2,0-
B. ()2,1--
C. ()0,1
D. ()0,2
例6：已知函数()x
x f x e
=，若关于x 的方
程()()2
10f
x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A. ()1,22,e e
⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C.
11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ D.
1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
例7：已知函数()()()2
32
211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫
-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪
-++≤⎩
，则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的实数根最多有___________个
例8：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根
则正确命题的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
作业：
1、若函数()3
2
f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程
()()()2
320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 2、已知函数()21,0
log ,0
ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确
的是（ ）
A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点
B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点
C. 无论a 为何值，均有2个零点
D. 无论a 为何值，均有4个零点。