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关于实数连续性的6个基本定理的互证中国人民大学2006级经济学数学双学位实验班张磊首先6个定理表述如下：确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在.单调有界原理:若数列{x n}单调上升有上界，则{x n}必有极限.区间套定理:设{[a n,b n]}是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在∞所有的区间里,即r∩[a n,b n].n=1有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖.紧致性定理：有界数列必有收敛子数列.柯西收敛定理：在实数系中，数列{x n}有极限存在的充分必要条件是：ε> 0, N , 当n>N , m>N时，有x n−x m<ε一、确界定理证明其他定理1、确界定理证明单调有界定理证明：设{x n}是单调上升有上界的实数列.由确界定理可得，r ，使r=sup{x n} .n ,有 x n≤ r ，并且ε>0,x N,有x N>r−εn > N ,有r −ε≤ x N≤ x n≤ r ，即| x n− r |<ε2、确界定理证明区间套定理证明：由[a n+1,b n+1][a n , b n ] ，知{a n } 是单调上升有上界的实数列，{b n } 是单调下降有下界的数列.且b1是a n的上界，a1是b n的下界.设lim a= r，lim b n = r′，由nn →∞n →∞确界定理对单调有界定理的证明知r=sup{a n}，r′ =inf{b n}.由lim(b n−a n)=0得r−r' =0 即r−r' = sup{a n} =inf{b n}n→∞n，有a n≤r≤b n .∞∞最后证明唯一性.若有r,r′满足r∩[a n,b n]，r'∩[a n,b n]，则n=1n=1| r−r′ |≤b n−a n→ 0(n→∞)故r=r′.即这样的r是唯一的.定理证完.3、确界定理证明致密性定理.证明：证明：设数列{x n}是有界数列.定义数集A={x|{x n}中大于x的点有无穷多个}∵{x n}有界 A 有上界且非空.由确界定理可得r,使 r=sup A.则ε> 0 ，有r−ε不是A的上界.{x n } 中大于 r − ε 的项有无穷多个.∵r+ε是A的上界{x n } 中大于 r + ε 的项只有有限个.在（r−ε，r+ε）中有{x n}的无穷多项，即ε>0 ,n，n>N，使x n（r−ε，r+ε）对ε= 1 ，n1，使x n1（r−1，r+1），即| x n1 -r|<1取ε=12，n2>n1，有|x n2-r|<12，……如此继续下去，取ε=1k，n k> n k−1，有|x n k-r|<1k，由此得到{x n}的子数列{x n k}，当k →∞时，x n k→r{x n } 存在收敛子数列.定理证完4、确界定理证明柯西收敛原则.证明：首先证明基本列必有界，取E<1，必有一正整数，当m,n>N0时，有x m− x n<1，特别的当n>N0且m=N0+1时，有x n−x N0+1<1从而当n N0时，有 x n≤ x n− x N0+1+ x N0+1<1+ x N0+1这就证明了{x n}的有界性.记A ={x x n中大于x的有无穷项}显然A为有界集合，则由确界定理知A有上确界记β= sup A.则ε>0，满足x n>β−ε的有无穷多项，且x n>β+ε的有有限项所以{x n}中有无穷多项满足β−ε<x n<β+εε> 0，N> 0，当n>N时，x n−β<εlim x n=βn→∞5、确界定理证明有限覆盖定理证明：设E是闭区间[a，b]的一个覆盖.定义数集A={x[a , b ]|区间[ a ， x ]在 E 中存在有限子覆盖}从区间的左端点x=a开始.由于在E中有一个开区间覆盖a,因此a及其右侧充分邻近的点均在A中.这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可见,若x A,则整个区间[ a，x ] A.若A无上界,则 b A,那么[a，b]在E中存在有限子覆盖.若A有上界,由确界定理可得r,使r=sup A.x ≺ r 都有 x A .事实上，(r−x) > 0, y ,s,t y > r −( r − x )= x .∵[ a，y ]在 E 中存在有限子覆盖， [ a，x ] [ a，y ]在 E 中存在有限子覆盖下证b<r.用反证法.如果不然，r≤b，则r [a，b].因此，在E中存在有一开区间覆盖Eα覆盖r.a0，b0Eα，使a0<r<b0.由上面论证知a0A，也即区间[ a，a0 ]在 E 中存在有限子覆盖，向这个有限子覆盖再加上开区间Eα，即成为[a，b]的覆盖. b 0A，与 r=sup A矛盾.定理证完.二、单调有界定理证明其他定理1、单调有界定理证明确界定理证明 1：已知实数集 A 非空. a A ，不妨设 a 不是 A 的上界，另外，知b是 A 的上界，记 a 1 = a , b 1 = b ，用 a 1 , b 1 的中点a 1+ b1二等分 [a 1 , b 1 ] ，如果a 1 + b1B , 则取a= a 1+ b12= a , b ；如果 a 1 + b 1 A , 则取a = a 1 + b 1 ,b = b ；……2 2 1 22 2 2 2 2 1如此继续下去，便得两串序列{a n }{b n }.其中 a n A 单调上升有上界（例如 b 1 ），b n B 单调下降有下界（例如 a 1）并且 b n − a n = b 1 − a 1( n → ∞ ) .由单调有界定2理，知 r ，使 lim a n = r .由 lim(b n − a n ) = 0 有 lim[a n + (b n − a n )] = rn →∞ n →∞ n →∞∵{b n }是 A 的上界，x A ，有 x ≤ b n （n=1，2，……），令 n → ∞ ， x ≤ lim b = rr 是 A 的上界.n →∞ n而 ε > 0, 由 lim a n = r 知 ε > 0,知 N ，当n > N ，有r − ε < a n ，n → ∞从而 X A , 使r − ε < a n < X ,r=supA.同理可证非空有下界数集有下确界.定理证完.证明 2：设 E 是非空有上界的集合，设 Q 0 为 E 的所有有理数上界. 令 Q = r , r , r ...r ....r ... 令x = min r , r ...r{1 2 3sn}n{ 1 2n } {x n } Q 0且单调下降有下界的数列。

ξ s .t lim x n =ξ ,下面证明ξ =supE 。

n →∞（1）如果 x E ，s .tx > ξ ，则 x 0 −ξ > 0 N ，s .tx < ξ + x 0 − ξ = x 0 + ξ < x 0 0 2 n 2 2 0∵ x N Q 0 这与x N 为E 的上界矛盾.（2）如果 ξ 0 > 0， x E ，s.t x ≤ ξ - ξ0，由有理数稠密性定理知r ' Q , s .t ξ 0 − ξ 0 < r ' < ξ x E , x < r 'r ' 为E 的一个上界 r ' Q 0 这与ξ ≤ x n ≤ r n 矛盾2、用单调有界证明区间套定理证明：已知 a n ≤ a n +1 （ n ）， a n ≤ b n ≤ b 1 ， 由单调有界定理知{ a n }存在极限，设lim a n=r，n→∞同理可知{b n}存在极限，设lim b n=r'，由lim(b n− a n)=0得r−r′=0即r=r′n→∞n→∞∵ n，有a n≤b n，令n→∞，有a n≤r=r′≤b n，n，有a n≤r≤b n .最后证明唯一性.若有r,r∞∞′满足r∩[a n,b n]，r′∩[a n,b n]，则n=1n =1 | r−r′ |≤b n−a n→ 0(n→∞)故r=r′.即这样的r是唯一的.3、用单调有界定理证明致密性定理证明：首先证明有界数列{a n}有单调子数列.称其中的项a n有性质M，若对每个i>n，都有a n≥a i，也就是说，a n是集合{a i|i≥n}的最大数.分两种情形讨论：①数列{a n}有无穷多项具有性质M，将它们按下标的顺序排列，记为a n1，a n2…… a n k，满足n1<n2<......n k<......，那么我们就已经得到一个单调下降的子列{a n}.②数列{a n}只有有穷多项具有性质M，那么N，当n N ，有a n不具有性质M，即i>n,有a n<a i，从中任取一项记为a n1，因为它不具有性质M，∴n2>n1,使a n1<a n2，……，如此继续下去，我们得到一子列{a n k}单调上升，∴有界数列{a n}必有单调子数列，由单调有界定理，可得{a n k}存在极限.4、单调有界证明柯西收敛准则证明：首先证明基本列必有界，取E<1，必有一正整数，当 m,n> N0时，有x m− x n<1，特别的当 n > N 0且m = N0+1时，有 x n− x N0+1<1从而当n>N0时，有x n≤x n−x N0+1+x N0+1<1+x N0+1这就证明了{x n}的有界性.任意有界数列必存在单调子列，由单调有界定理知必有收敛子列{x n}，设lim x n= a ，则对ε>0, K >0, k > K 时有x n− a< εk k →∞kk取一正整数k0=max(K+1,N+1),于是当k0>K且n k0>n N+1≥N+1>N 当n〉N时，由已知条件有x n−x n k0<εx n− a≤x n− x n+x n− a<ε+ε= 2ε即 lim x n=a00n→∞5、单调有界证明有限覆盖定理证明：假设某一闭区间[a,b]的某个开覆盖E的有限个区间覆盖，等分[a,b]为两个部分区间，则至少有一个部分区间不能被E的有限个区间覆盖，把这个区间记为[a1,b1]，再等分[a1,b1]，记不能被E的有限个区间覆盖的那个部分区间为[a 2, b2]，照这样分下去得到一个区间列{[a n,b n]}，这些区间适合下面3个条件：(1)每一个[a n,b n]都不能被 E 的有限个区间覆盖(2)a n单调递增且有界，b n单调下降且有界， a n< b n(3)b n− a n=b2−na→0由单调有界定理知a n极限存在，记lim a n=ξ1n→∞同理由单调有界定理知b n极限存在，记lim b n=ξ2，下面证明ξ1=ξ2n→∞用反证法，如果ξ1≠ξ2，则ξ1<ξ2.ε=ξ2 −ξ1> 0，N> 0, n>N,an −ξ<ε ,即an< ξ+ ε =2ξ1+ξ23 1111 3ε=ξ2 −ξ1> 0，N2> 0, n>N,b−ξ2<ε ,即bn> ξ2−ε=ξ1+ 2ξ23 2n 3 ε> 0，N3，当n>N3时，b n−a n<εN =max( N1，N 2，N 3)，当n>N时，b n− a n>ξ2−ξ1，矛盾3由覆盖概念和定理所设条件，在E中至少存在一个开区间满足ξ( α，β )由数列极限的性质知道，必存在一个正整数N当n>N时，有α<a n<b n<β即当n>N时，有[a n,b n](α，β )与（1）矛盾.所以假设错误，原命题成立.三、区间套定理证明其他定理1、区间套定理证明确界定理证明：由数集A非空，知a A ，不妨设a不是A的上界，另外，知b是A的上界，记[，]=[a ，]，用a1，的中点a1+b1 二等分[a1，]，a1b1b b12b1如果a1+ b1是A的上界，则取[a2 ,b2]=a1, a1+ b1；如果a1+ b1不是A的上2 2 2界，则取取[a2,b2] =a1+ b1, b1；用a2，b2的中点a2+ b2二等分[a2，22b 2]……如此继续下去，便得区间套[ a n，b n].其中a n不是A的上界，b n是A∞的上界.由区间套定理可得，唯一的r∩n =1 x A ，由x≤b n（n=1，2，……），令n→∞，x≤lim b n=r r 是 A 的上界.n→∞[ a n , b n ] ，使 lim a n= lim b n=r，n →∞n →∞而ε>0,由lim a n=r知ε>0,知N,当n>N,有r−ε<a n, n →∞从而X A,使r −ε< a n< X , r=supA.同理可证非空有下界数集有下确界.定理证完.2、用区间套定理证明单调有界定理证明：设{x n}是单调上升有上界的实数列.b是它的一个上界，令a1=x1-1，二等分[a1，b1]，其中必有一区间含{x n}的无穷多项，记其为[a2，b2]，二等分[a2，b2]，……如此继续下去，便得区间套[a n，b n]，满足n ，[a n，b n]∞含{x n}的无穷多项.由区间套定理可得，唯一的r∩[a n,b n]，使n=1lim an = lim b=n →∞n→∞n取n0> N ，an0r ,则对ε>0,N,n>N,r−ε<a n<b n<r+ε.,b含{x}的无穷多项，则M，使xM[ a，b ].n0nnn当m>M时，有x a , b.如果不然，m > M ，有b< xm1，则在[ a，b ]m n0n01n0n0n0中最多只有{x n}的前m1项，与[a n0，b n0]的构造矛盾.从而当 m>M 时，有r −ε< a n≤ x m< b n< r +ε，即|x m-r|<ε. lim x m=r，即lim x n=r .00m→∞n→∞3、用区间套定理证明致密性定理证明：已知a，b，使a≤x n≤b.设[a，b]没有E的有限子覆盖，记[ a，b ]=[ a1，b1 ]，二等分[ a1，b1 ]，其中必有一区间含{x n}的无穷多项，记其为[a2，b2]，二等分[a2，b2]，……如此继续下去，便得区间套[a n，b n]，满足n ，[a n，b n]含{x n}的无穷多项.由区间套定理可得，唯一的r∞[ a, b] ，使 lim a= lim b=r.∩n n nn →∞n→∞nn =1因此n 1，使r−1<a n1≤r≤b n1<r+1.这时存在x n1[ a n1，b n1 ]，归纳地，k >1, n k，使r −1k< a n k≤ r ≤ b n k< r +1ka n k ,bn k{x n}xn kan k,bn knk>nk −1an k≤xn n≤bn k由含的无穷多项，知，，由，令k→∞, lim x n= r. {x n}存在收敛子数列k →∞k4、区间套定理证明柯西收敛原则证明1：首先证明基本列必有界，取E<1，必有一正整数，当m,n>N0时，有x m− x n<1，特别的当 n > N 0且m = N0+1时，有 x n− x N0+1<1从而当n>N0时，有x n≤x n−x N0+1+x N0+1<1+x N0+1这就证明了{x n}的有界性.记a≤x n≤b将区间[a，b]二等分，则必有一个区间上有{x n}的无穷多项，记这个区间为[a1，b1]......依次类推得区间套{[a n, b n]}满足（1）每个[a n，b n]中都含有{x n}的无穷多项（2）a n单调递增且有界，b n单调下降且有界，a n<b n（3）b−a=b−a→ 0n n 2n由区间套定理知唯一的ξ是所有区间的公共点，lim a= lim b=ξn →∞n n→∞n所以{x n}有无穷多项属于[a n,b n]，记这些项组成的子列为{x n k}，则容易证明lim x=ξ，下面证明x的极限也为ξ，若不然，x存在另外k→∞nk{ n}{ n }一个收敛子列使得lim x'=ξ'不妨设ξ>ξ'nk →∞kε=ξ−ξ'> 0，K> 0, k>K ,x−ξ<ε ,即x<ξ+ε=2ξ+ξ' 311n n3ε=ξ−ξ'> 0，K> 0, k>K,x' −ξ'<ε,即x ' >ξ ' −εξ+2ξ' 322n n3则N'=max(N K1,N K2，N)当n>N'时，x m{x n k},x n{x n k'}, s.t x m− x n>ξ−ξ'3与基本数列矛盾，所以{x n}的极限为ξ.证明2：：首先证明基本列必有界，取E<1，必有一正整数，当m,n>N0时，有x m−x n<1，特别的当n>N0且m=N0+1时，有x n−x N0+1<1从而当n N0时，有x n≤xn−xN 0+1+xN 0+1< 1 +xN0+1这就证明了{x n}的有界性.∴a1,b1，使n，有a1≤x n≤b1，将区间[a1，b1 ]三等分，令c1=2 a1+b1，2c 2=a 1+ 2 b1，得到三个长度相同的子区间[a1，c1 ]，[ c1，c2 ]，[ c2，b1]，2分别记为J1，J2，J3，根据它们在实数轴上的左中右位置和基本列定义，J1，J3，至少有一区间只含有数列{x n}的有限多项.如果不然，在J1，J3均有数列的无限多项那么 ε b − a 取 xJ ，x J ，n ，m 可以任意大，|x - x | ≥ ε =b − a0 3n1 m3 nm0 3与基本列定义矛盾，∴结论成立.∴可以从[ a 1 ， b 1 ]中去掉只含有{x n } 中有限多项的区间 J 1 或 J 3将得到区间[ a 2 ，b 2 ]，重复这个过程，得到区间套{[ a n ，b n ]}，该区间套具有以下两个性质：（1）闭区间套中的每个区间的长度是前一个区间长度的 23 .（2）每一个[ a n ，b n ]中含有数列{x n } 从某项后的所有项. 由(1)所得， 唯一的实数 r ，使 lim a n = lim b n = rn →∞ n →∞∵ ε 0 ， N 使得[ a N ，b N ] （ r − ε ， r + ε ），由(2)可得 N ，当 n ＞N ，有| x n -r| < ε ， lim x n =r.定理证完.n →∞两种证法分别采用的是区间套的两种构造方法：二分法具有b - a = b n − a n ，这就保证了点 r 唯一，而对有界数列{x } ，更构n +1 n +1 2 n造了每个闭区间含有数列 {x n } 的无限多项； 而三分法， 不仅具有b- a = 2(b n − a n ) ，也保证了点 r 唯一，更是用到了基本列的性质，使每个闭 n +1n +1 3区间包含从某项起的所有项.5、区间套定理证明有限覆盖定理证明：用反证法.设 E 是闭区间[ a ， b ]的一个覆盖.设[ a ， b ]没有 E 的有限子 覆盖，记[ a ， b ]=[ a 1 ， b 1 ]，二等分[ a 1 ， b 1 ]，其中必有一区间没有 E 的有限子覆盖，记其为[ a 2 ， b 2 ]，二等分[ a 2 ， b 2 ]，……如此继续下去，便得区间 套{[ a n ，b n ]}，满足 n ，[ a n ，b n ]没有 E 的有限子覆盖.由区间套定理可∞唯一的 r∩ [a , b ] ，使 lim a = lim b = r .n nn →∞nn →∞nn =1由 E 是[ a ， b ]的覆盖，知 (α, β ) E ，使α < r < β根据极限不等式，N 1，当n>N1，有α a n，N 2，当n>N2，有β>b n.取N=max（N1，N2），当n>N，有α<a nβ>b n.又a n≤r≤b n（n），当n>N，有[a n，b n](α,β)，与[a n，b n]没有E的有限子覆盖矛盾.故[a，b]在E中存在有限子覆盖.定理证完.四、致密性定理证明其他定理1、致密性定理证明确界原理证明：设E是非空有上界的集合，设Q0为E的所有有理数上界.令Q= r , r , r ...r ....r ... 令x= min r , r ...r0{ 1 2 3sn }n{ 1 2n }{x n} Q0且单调下降有下界的数列。