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关于实数连续性的6个基本定理的互证中国

人民大学2006级经济学数学双学位实验班张磊

首先6个定理表述如下：

确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在.

单调有界原理:若数列{x n}单调上升有上界，则{x n}必有极限.

区间套定理:设{[a n,b n]}是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在

∞

所有的区间里,即r∩[a n,b n].

n=1

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖.

紧致性定理：有界数列必有收敛子数列.

柯西收敛定理：在实数系中，数列{x n}有极限存在的充分必要条件是：ε> 0, N , 当n>N , m>N时，有x n−x m<ε

一、确界定理证明其他定理

1、确界定理证明单调有界定理

证明：设{x n}是单调上升有上界的实数列.由确界定理可得，r ，使r=sup{x n} .

n ,有 x n≤ r ，并且ε>0,x N,有x N>r−ε

n > N ,有r −ε≤ x N≤ x n≤ r ，即| x n− r |<ε

2、确界定理证明区间套定理

证明：由[a n+1,b n+1][a n , b n ] ，知{a n } 是单调上升有上界的实数列，{b n } 是单调下

降有下界的数列.且b1是a n的上界，a1是b n的下界.设lim a

= r，lim b n = r′，由

n

n →∞n →∞

确界定理对单调有界定理的证明知

r=sup{a n}，r′ =inf{b n}.由lim(b n−a n)=0得r−r' =0 即r−r' = sup{a n} =inf{b n}

n→∞n，有a n≤r≤b n .

∞∞

最后证明唯一性.若有r,r′满足r∩[a n,b n]，r'∩[a n,b n]，则

n=1n=1

| r−r′ |≤b n−a n→ 0(n→∞)

故r=r′.即这样的r是唯一的.定理证完.

3、确界定理证明致密性定理.

证明：证明：设数列{x n}是有界数列.定义数集A={x|{x n}中大于x的点有无穷多个}

∵{x n}有界 A 有上界且非空.由确界定理可得r,使 r=sup A.

则ε> 0 ，有r−ε不是A的上界.{x n } 中大于 r − ε 的项有无穷多个.

∵r+ε是A的上界{x n } 中大于 r + ε 的项只有有限个.

在（r−ε，r+ε）中有{x n}的无穷多项，即ε>0 ,n，n>N，使x n（r−ε，r+ε）

对ε= 1 ，n1，使x n1（r−1，r+1），即| x n1 -r|<1

取ε=1

2，n2>n1，有|x n2-r|<

1

2，……如此继续下去，

取ε=1

k，n k> n k−1，有|x n k-r|<

1

k，由此得到{x n}的子数列

{x n k}，

当k →∞时，x n k→r

{x n } 存在收敛子数列.定理证完

4、确界定理证明柯西收敛原则.

证明：首先证明基本列必有界，取E<1，必有一正整数，当m,n>N0时，有x m− x n<1，特别的当n>N0且m=N0+1时，有x n−x N0+1<1

从而当n N0时，有 x n≤ x n− x N0+1+ x N0+1<1+ x N0+1

这就证明了{x n}的有界性.

记A ={x x n中大于x的有无穷项}显然A为有界集合，则由确界定理知A有上确界记β= sup A.

则ε>0，满足x n>β−ε的有无穷多项，且x n>β+ε的有

有限项所以{x n}中有无穷多项满足β−ε<x n<β+ε

ε> 0，N> 0，当n>N时，x n−β<ε

lim x n=β

n→∞

5、确界定理证明有限覆盖定理

证明：设E是闭区间[a，b]的一个覆盖.

定义数集A={x[a , b ]|区间[ a ， x ]在 E 中存在有限子覆盖}

从区间的左端点x=a开始.由于在E中有一个开区间覆盖a,因此a及其右侧充分邻近的点均在A中.这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可见,若x A,则整个区间[ a，x ] A.

若A无上界,则 b A,那么[a，b]在E中存在有限子覆

盖.若A有上界,由确界定理可得r,使r=sup A.

x ≺ r 都有 x A .事实上，(r−x) > 0, y ,s,t y > r −( r − x )= x .

∵[ a，y ]在 E 中存在有限子覆盖， [ a，x ] [ a，y ]在 E 中存在有限子覆盖下证b<r.用反证法.如果不然，r≤b，则r [a，b].因此，在E中存在有一开

区间覆盖Eα

覆盖r.a0，b0Eα，使a0<r<b0.

由上面论证知a0A，也即区间[ a，a0 ]在 E 中存在有限子覆盖，向这个有限子

覆盖再加上开区间Eα，

即成为[a，b]的覆盖. b 0A，与 r=sup A矛盾.定理证完.

二、单调有界定理证明其他定理

1、单调有界定理证明确界定理