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微专题2二次函数的最值问题 课件(14张)

微专题2二次函数的最值问题  课件(14张)
第三章 函数的概念与性质
微专题2 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点,其可以较 全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养.本专题主要训练 几种常见的二次函数最值的求解方法.
类型 1 不含参数的二次函数最值问题 【例 1】 已知函数 f(x)=3x2-12x+5,当自变量 x 在下列范围内 取值时,求函数的最大值和最小值. (1)R;(2)[0,3];(3)[-1,1].
t2+1,t&1, t2-2t+2,t>1.
类型 3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题 【例 4】 已知二次函数 g(x)=mx2-2mx+n+1(m>0)在区间[0,3] 上有最大值 4,最小值 0. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)设 f(x)=gxx-2x,若 f(x)-kx≤0 在 x∈81,8时恒成立,求实数 k 的取值范围.
图①
图②
(2)当 0≤a<1 时,由图②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)
=3-4a.
(3)当 1≤a≤2 时,由图③可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0) =-1.
图③
图④
(4)当 a>2 时,由图④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)= -1.
[解] (1)∵g(x)=m(x-1)2-m+1+n, ∴函数 g(x)图象的对称轴方程为 x=1.又∵m>0, ∴依题意得gg13= =04, , 即3-mm++1+1+n=n=4,0, 解得mn==01., ∴g(x)=x2-2x+1.
(2)∵f(x)=gxx-2x,∴f(x)=x+1x-4. ∵f(x)-kx≤0 在 x∈18,8时恒成立,即 x+1x-4-kx≤0 在 x∈ 18,8时恒成立, ∴k≥1x2-4x+1 在 x∈81,8时恒成立.

二次函数的最值问题课件

二次函数的最值问题课件

顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$,代入原函数求出最值。当$a > 0$时,函数有最小值;当$a < 0$时,函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性,进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$,令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$,通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数,可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式,再利用顶 点式求最值;公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数,可以利用导数求出函数的极值点, 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置,从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题,需要结合实际背景 进行分析。例如,在物理学中,可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等;在经济学中,可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式,其一般形式为 y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数,且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度,b决定了抛物线的左右位置,c决定 了抛物线的上下位置。

二次函数的最值问题(课件)

二次函数的最值问题(课件)

二次函数的单调性
探讨二次函数在定义域内的单调性及其应用。
递增
当二次函数在定义域内递增时,函数值随自变量的 增加而增加。
递减
当二次函数在定义域内递减时,函数值随自变量的 增加而减小。
二次函数的最值存在性定理
研究二次函数在定义域内的最值及其实际应用。
1
最大值存在
当二次函数的系数a为负时,函数在定义域内存在最大值。
2
最小值存在
当二次函数的系数a为正时,函数在定义域内存在最小值。
3
应用举例
高空抛物运动和经济生产成本最小化问题。
求解二次函数的最值
介绍三种方法求解二次函数的最值,并提供实例演示。
配方法
通过坐标变换将二次函数转化 为标准形式,再求解最值。
求导数法
求二次函数的导数,找出极值 点,进而量值。
1 常见错误
对最值问题中容易出现的错误进行梳理和解答。
2 纠正方法
针对学生常见错误,提供具体纠正方法和建议。
3 信息搜索
介绍如何搜索最值问题解题思路和方法的有效途径。
联系与拓展
探讨二次函数最值问题与其他数学知识的联系,以及应用在其他领域的延伸。 如与最优化问题的关系,以及在物理、经济等领域中的应用。
2 完全平方公式
利用完全平方公式,将二次函数转化为平方 项相加的形式,求出零点。
二次函数的图像特点
了解二次函数图像的对称轴和开口方向,以及与函数系数之间的关系。
对称轴
二次函数图像关于垂直于x轴 的直线对称。
开口方向
由二次项系数的正负确定开 口的方向。
函数系数
了解函数系数与图像形状的 关系,如变量a的变化。
二次函数的最值问题
本课件介绍了二次函数的最值问题。包括二次函数的定义和特点、求零点的 因式分解法和完全平方公式、二次函数的图像与对称轴、单调性、最值存在 性定理等。

二次函数的极值问题. ppt课件

二次函数的极值问题.  ppt课件

26
做一做
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解: 1.由4y 7x x 15. 得, y 15 7x x .
由(1)知6 x<15
当垂直于墙的边长为7.5米是,花圃
的面积最大为112.5平方米。
(3)由图象知:当6≤X ≤11时,面积 不小于88平方米.
PPT课件
25
如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。
y(件) 70 50 35
若销售量y是销售价格x的一次函数. (2)若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价 格定为多少元?此时每日的销售利润是多少?
设销售利润为W,则 当x 320 160时,
W=(x-120)·y
2
=(x-120)·(-x+200) W=1600
=-x2+320x-2400 PPT课件 则:……
=-2x2+440x+158400
…… =-2(x-110)2+182600
所以,当x…=1…10时,yP有PT课件最大值182600
15
3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元, 每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查, 如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出 租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的 日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高? 比装修前的日租金的总收入增加多少元?

二次函数的最值问题PPT教学课件

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品读课文第三部分,回答问题;
1:作者为什么说大自然是无情的又是慷慨的?
无情的:在作者长城万里行的两年里,大自然让他充
分体验到了难以想象的艰难困苦,甚至面临着生死
考验。 慷慨的:大自然是活生生的教科书。万里长城之行让 作者领略到了万里长城,丝绸之路的文化灵魂,了解 了大西北文明的盛衰和当地的风土人情,并首次发 现了一组岩画,这些都具有特殊的文化意义和文物 价值,特别还使作者意识到了作为一个作家一个中 国人的社会感和使命感!
7、毛索洛斯墓庙 毛索洛斯墓庙位于哈利卡纳素斯,在土耳其的西南方,底部建筑
为长方形,面積是40米(120呎)乘30米(100呎),高45米(140呎),其 中墩座墙高20米,柱高12米,金字塔高7米,最顶部的马车雕像高6 米建筑物被墩座墙围住,旁边以石像作装饰,顶部的雕像是四匹马 拉著一架古代双辆战车。
3、法洛斯灯塔 法洛斯灯塔与其余六个奇观绝对是不同,因为它并不
带有任何宗教色彩,纯粹为人民实际生活而建,法洛斯灯 塔的灯光在晚上照耀着整个亚历山港,保护著海上的船只, 另外,它亦是当时世上最高的建筑物。
4与、罗巴得比斯伦岛空巨中像花一园样,考古学家至今都未能找到空中花园的遗迹, 事实上,不少在自己著作中提到空中花园的古人也只是从别人 口
5 隐藏 函数图像
5
2 -3 -2 -1 O x
2 -1 O 1 x
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值:
1
③ [-2,1] ;④[-3, ]
2
y
y
显示 点 显示 对象
显示 文本对象
5 隐藏 函数图像
5
1 -2 -1 O 1 x
-3 -1
1

二次函数的最值问题PPT课件

二次函数的最值问题PPT课件
【典型例题】
例1.求函数 f (x) x2 2ax 1在区间 2, 4上的最小值。
第1页/共7页
【变式】
变式1:求函数 f (x) x2 2ax 1 在区间2, 4上的
最大值;
变式2:求函数f (x) x2 2ax 1在区间2, 4上的值
域;
变式3:若函数 f (x) x2 2ax 1 在区间2, 4上的最 大值为1,求a 值 ; 变式4:求函数 f (x) ax2 2x 1在区间2, 4上的
求 f (x)的最小值 。
变式2:设a 为实数,求函数f (x) x2 +x a 1 在区间1,3
上的最大值。
第5页/共7页
课堂小结:
关键: 对称轴与区间的关系(单调性) 数学思想方法: 数形结合
分类讨论 等价转换
第6页/共7页
感谢您的观看!
第7页/共7页
最小值 。
第2页/共7页
【典型例题】
例2 .求函数 f (x) x2 4x 4在区间 t,t 1(t R) 上的最小值。来自第3页/共7页【典型例题】
例3.设 a 为实数,函数 f (x) x2+ x a 1(xR),当 x a
时,求f (x) 的最小值。
第4页/共7页
【变式】
变式1:设 a 为实数,函数 f (x) x2+ x a 1(xR),

《二次函数的最值》课件

《二次函数的最值》课件

二次函数的最值应用
总结词
了解二次函数最值的实际应用
详细描述
二次函数的最值在实际生活中有着广泛的应用,如建筑学中拱桥的设计、物理学中的抛射运动、经济学中的成本 利润问题等。通过理解和掌握二次函数的最值,可以更好地解决这些实际问题。
03
二次函数最值的实际应用
投资的最优解
总结词
投资组合优化
详细描述
在投资领域,投资者通常面临多种投资选择,如股票、债券、基金等。通过使用二次函数最值的概念 ,可以对投资组合进行优化,以确定最优的投资比例,从而实现最大的收益或最小的风险。
二次函数最值的求法
通过配方法、顶点式、导数法等方法 ,可以求出二次函数的最值。
学习心得分享
01
02
03
理解概念
通过学习本章,我深刻理 解了二次函数最值的定义 和求法,对最值的性质也 有了更深入的认识。
掌握方法
在学习过程中,我掌握了 多种求二次函数最值的方 法,如配方法、顶点式和 导数法等。
实际应用
最大利润问题
总结词
生产与销售策略
详细描述
在生产和销售过程中,企业常常需要制定生产计划和销售策 略。通过建立二次函数模型来表示成本、收益和销售量之间 的关系,可以找到使利润最大的最优解,从而实现企业的盈 利目标。
最小成本问题
总结词
资源分配与调度
详细描述
在资源分配和调度中,最小化成本是一个重要的目标。例如,在物流和运输行业中,运 输成本和时间是关键因素。通过使用二次函数最值的概念,可以优化运输路线和调度方
A 总结词
二次函数的性质总结
B
C
D
解释
这些性质是二次函数的基本特征,对于理 解和解决与二次函数相关的问题非常重要 。
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在区间[ 1,1上有最小值,记作g a
(1)求g a 的函数表达式;(2)求g a 的最大值。
解:⑴ f x 2x2 2ax 3
2(x a )2 a2 3 22

①当 a 2 时
g(a) 2a 5 1
g(a)
f ( 1)
f (a) 2
f (1)
2a 5
(a 2
1a
2)
a2 2
3( 1
a 2
1
2 a 2)
a 9(x
⑴当
a
13
)2 即
2a
a
6
1时
331
f (x)min
a2 5
f(
0
) 30Βιβλιοθήκη a 1a⑶当即a
3
f(
a2
3
x)min
4a
f
(
1) 3
5
1时
0
0
a
5或a 5
a5
⑵当 1 a 1 即 1 a 1时
333
a
f (x)min
2a
f( ) 0
63 0
(a
a
5)(a1或1)a
0
5
a5
综上:a 5或a 5
思3、 考已讨知论函:数f x 2x2 2ax 3
2a
5
(a 2
1
a
2)
②当
g(a)
③当a
g(a)
2a2
a2 3 2
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时,ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0,a]上的最
值,并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时,函数在[0,a]上单调递减,
(2)当a<
a 2
时,即-1<a<0时,
由二次函数的图象可知:
ymax =f (a)=0
-1 a
综上所述:当-1<a<0时, ymax =0
a2
4
x o
a
2
当 a≥0时,ymax =
a2 4
课堂小结:
对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题,
关键抓住二次函数图象的开口方向,对称轴及
定义区间,应用数形结合法求解。
2
故a>-1,
a 2
> - 1 ,∴对称轴在x= -
2
1的右边.
2
∴(1)当 -1< a2≤a时,即a≥0时,由二次函数图象
y
可知:
ymax
=f
(a
2
a2
)= 4
(2)当a<
a 2
时,即-1<a<0时,
a2 4
-1 o
a ax
2
例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
解:函数图象的对称轴方程为x=a ,又x∈[-1,a] ∴(1故)当可a>知--11:,<ya2ma2a≤x>a=-时f12(,即a2,∴a)对≥=0a称4时2轴,由在二2x次= -函12数的图右y象边.
⑶当 a 1 即a
2
f (x)max f ( 1)
2a 2 4
a1
14

2
4
a1
综上:a
1或a
1 4
4a 5 4 a 1
4
a
思考讨论: 2、不等式9x2 6ax a2 2a 6 0

1 3
x
13内恒成立,求实数a的取a 值范5或围a。5
解: f (x) 9x2 6ax a2 2a 6
a3
当x=a时,ymax= a2-2a+3
四、动函数定区间的二次函数的值域
例3、求 f (x) x2 ax 3 在 0 x 1 上的最值。
xa 2
01
图(1)
xa 2
01
图(2)
1、由图(1)得:
当 a 1 ,即 a 2 时,
2
ymax
f (0) 3
ymin f (1) a 4
2、由图(2)得:
思考讨论:
1、已知函数f x x2 2ax 1
解在:f 区x 间[x21,22上ax的1最大值为4,求a的1或值。1
⑴当
a
1( x

a)2
a
2
a
2
1
1
2时
f (x)max f (2) 4
4a 5 4
a1
a 14
4
⑵当 a 1 即 a
1时
2
2
f (x)max f ( 1) f (2) 4
2a 2 4 a 1
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1
-1 0 -1
123
A( b , 4ac b2 ) 2a 4a
b 4ac b2
2
A( , 2a
4a
)
1
-1 0 -1
123
二、定义域不为R的二次函数的值域
例1、 当x∈(2,3] 时, 求函数 y x2 2 x 3 的值域
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y[0, 3 4 y
当 a 0 ,即 a 0 时, 2
ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
例3、求 f (x) x2 ax 3 在 0 x 1 上的最值。
xa 2
01 1 2
图(3)
3、由图(3)得:
当 0 a 1 ,即1 a 0时,
22
ymax f (1) a 4
y
∴当x=0时,ymax=3
当x=a时,ymin=a2-2a+3
3
2
o1
x
a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0,a]上的最 值,并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上
1.当a≤1时,函数在[0,a]上单调递减,
∴当x=0时,ymax=3
y
当x=a时,ymin=a2-2a+3
3
(1,4)
练习
2
1
在下列条件下求函数y x2 2x 3的值域
(1)x[1, 4)
-1
答(1) y[2,11)
x
1
2
3
4
三、定函数动区间的二次函数的值域
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0,a]上的最 值,并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时,函数在[0,a]上单调递减,
一、定义域为R的二次函数的值域
求二次函数y ax2 bx ca 0当x R时的值域是先把它配方
为y a x
b
2
4ac
b2
2a
4a
当a
0时y
4ac 4a
b2
,
;当a 0时,
值域为 ,
4ac 4a
b
2
;
如 : y x2 2x 3 (x 1)2 4
值域为 , 4
∴当x=0时,ymax=3;当x=a时,ymin=a2-2a+3
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单
y
调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2;当x=0时,ymax=3
3
3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调
2
递减,在[1,a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2,
o 1 2x a
ymin
f ( a ) 3 a2
2
4
xa 2
11
2
图(4)
4、由图(4)得:

1 a 1 22
,即2 a 1时,
ymax f (0) 3
ymin
f ( a ) 3 a2
2
4
五、动函数动区间的二次函数的值域
例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
解:函数图象的对称轴方程为x=a ,又x∈[-1,a]
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