二次方程根的分布情况归纳(教师版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

2

1、一元二次方程ax bx c 0根的分布情况

设方程ax bx c 0 a 0的不等两根为X|,X2且X i x?，相应的二次函数为f x ax bx c 0，

方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间夕卜，即在区间两侧为2,（图形分别如下）需满足的条件是

f n 0 f n 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： (1)两根有且仅有一根在 m, n 有以下特殊情况：

1 若f m 0或f n 0,则此时f mg f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或n ，

可以求出另外一根， 然后可以根据另一根在区间 m,n ，从而可以求出参数的值。 如方程mx 2 m 2 x 2 0

、 2 2 2

在区间1,3上有一根，因为f 1

0，所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为 ，由1

3

m m

2

得 m 2即为所求；

3 2

方程有且只有一根，且这个根在区间

m, n ，即 0,此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数的

值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给疋的区间， 如右不在，舍去相应的参数。如方程x 4mx 2m 6 0

有且 一根在区间 3,0 ,求m 的取值围

。分析：①由

f 3gf 0 0 即 14m 15 m

3 0得出 3 15 m

；②由

0即 16m 2 4 2m

14

6 0得出m 3

1 或 m —,

2 当m

1时，根x

2

3,0 ,

即m

3

1满足题意；当m 时，根x 3

2

3,0，故 m

-不满足题意； 2

综上分析，得出

3 m

至或

14

m

1

根的分布练习题

例1、已知二次方程 2m 1 x 2 2mx m 1 0有一正根和一负根，数 m 的取值围。

1

解：由 2m 1 gf 0 0即 2m 1 m 1 0，从而得

m 1即为所求的围。

2

例2、已知方程2x 2 m 1 x m 0有两个不等正实根，数 m 的取值围。

解：由

例3、已知二次函数y m 2 x 2 2m 4 x 3m 3与x 轴有两个交点，一个大于1, 一个小于1，数m 的取值围。

1

解：由 m 2 gf 1

0即 m 2g2m 1 0

-2 m -一即为所求的围。

2

例4、已知二次方程 mx 2m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于 1，数m 的取值围。

, ___ _____ _________ .一，” -一. 1

解：由题意有方程在区间 0,1上只有一个正根，则 f 0 gf 1 0 4g 3m 1 0 m 即为所

3

求围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在

计算量稍大）

m 1 8m 0

2g2 f 0 0

m 3 2 .迈或 m 3 2、2

m 0

0 m 3 2.2 或 m

3 2.2即为所求的围。

0,1，由 0计算检验，均不复合题意,

2

2、二次函数在闭区间

m,n 上的最大、最小值问题探讨

设fx ax bxcOaO ,则二次函数在闭区间 m, n 上的最大、最小值有如下的分布情况:

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论:

(1)

b

r

r b

b J

若

m n ，则 f x

max

max f m, f

,f n

，f x min min f m , f

f n

2a

2a

2a

(2) 若

b m n J

，则 f x

max

max f m , f n ， f

X min min f m , f n

2a

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开

x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开

口向下时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三 个例题各代表一种情况。

例1、函数f x ax 2 2ax 2 b a 0在2,3上有最大值5和最小值2,求a, b 的值。

图象

最大、最小值

b m n ——

2a

b

n 即

b

2a

2a

m,n

b

—— m n 2a

f x max f m f x min f n

f x max max f n , f m

f X max b

2a

f x min

解：对称轴x 0

1 2,3，故函数f x 在区间2,3上单调。

(1)当a 0时，函数

x 在区间2,3上是增函数，故

x

max

x min

(2)当a 0时，函数 x 在区间2,3上是减函数，故

x

max

X min

3a b 2 5 a 1

； 2 b 2 b

0 ：

b 2 5

a 1 3a

b 2 2

b

3

jr ' = ax 2 + 加+ c = 0 a Q

■

/■z J = ax 2 4b 忑 + 厂=0 匕 > 0 1

x min