江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义

专题三 解析几何

[江苏卷5年考情分析]

第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题

[题组练透]

1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1

k PQ

＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，

所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.

答案：x －y ＋1＝0

2．(2018·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为____________．

解析：设圆心为(a ，b )， 则⎩⎨⎧

b －3a

·33＝－1，

a －2

＋()b －32

＝a 2

＋

b －3

2

，

解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.

即所求圆的方程为(x －1)2

＋y 2

＝4. 答案：(x －1)2

＋y 2

＝4

3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中，

若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧

x ≤3，

x －

3y ＋3≥0x ＋

3y ＋3≥0

，表示的平面区域内，则面积最大的圆

C 的标准方程为____________．

解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C (3－r,0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3

＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2

＋y 2＝4.

答案：(x －1)2

＋y 2

＝4

[方法技巧]

1．求直线方程的两种方法

[典例感悟]

[典例] (1)(2018·无锡期末)过圆x 2

＋y 2

＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．

(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2

＋y 2

＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为

M ，则线段AM 长的最大值为________．

[解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 2

1＝r 2

－⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

AB 22

，d 22＝r 2

－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫AB 22＝r 2－d 21＝16

－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝1

2

×38×38＝19.

(2)法一：(几何法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，C (x 1，y 1)，

D (x 2，y 2)，所以PC 的方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD 的方程为x 2x ＋y 2y ＝4，将P (a ，a ＋4)分别代

入PC ，PD 的方程，得⎩⎪⎨

⎪⎧

ax 1＋

a ＋y 1＝4，ax 2＋

a ＋

y 2＝4，

则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x

＋y )＝4－4y ，所以直线CD 过定点N (－1,1)，

又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON 为直径的圆

的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1

2，所以AM 的最大值为

⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22

＝3 2. 法二：(参数法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，同法一可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，得a ＝4－4y

x ＋y .又因为O ，P ，M 三点共

线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝

4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4x y －x ，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭

⎪

⎫x ＋122

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1

2

(除去原点)，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22

＝3 2. [答案] (1)19 (2)3 2

[方法技巧]

解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．

(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．

(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．

[演练冲关]

1．已知圆M ：(x －1)2

＋(y －1)2

＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围是________．

解析：由题意知，直线l 与圆M 相离，所以点A 在圆M 外．设AP ，AQ 分别与圆M 相切于点P ，Q ，则∠PAQ ≥∠BAC ＝60°，从而∠MAQ ≥30°.因为MQ ＝2，所以MA ≤4.设A (x 0,6－x 0)，则MA 2

＝(x 0－1)2

＋(6－x 0－1)2

≤16，解得1≤x 0≤5.

答案：[1,5]

2．(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2

＋(y －1)2

＝r 2

(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2

＋(y －1)2

＝1上，则r 的取值范围是________．

解析：设圆C 1上存在点P (x 0，y 0)满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q (y 0，x 0)，