稳定性及鲁棒性lecture3
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2）对控制性能影响大的中低频域内应尽量使W(s)不过分超过 摄动的增益
W(s)设计方法：
1）系统辨识法：画出实际系统频率响应P(jω)和模型频率响 应P0(jω)之差的bode图，选取加权函数覆盖住P(jω)-P0(jω)
2）近似法：用低阶P0(s)近似逼近高阶系统P(s) 3）参数摄动法：使用摄动幅度的估值
最终建立起被控量θ和控制量u之间的关系
:
(M m)mgl (M m)I Mml 2
(M
ml m)I
Mml 2
u
近似描述单摆运动规律，寻找合适u使平衡态 T 0 0T 稳定
➢ 建模，控制：忽略某些动态特性→线性化模型→控制u完全根 据Σ设计
➢ 实际系统：控制效果？诸多不确定因素的影响？
系统 Lyapunov稳定性理论三要素 扰动
非线性系统
x f (x) f (x) [g(x) g(x)]u
y
h( x)
h( x)
[d
(x)
d (x)]u
标称系统线性形式
x Ax f (x) [B g(x)]u y Cx h(x) [D d (x)]u
摄动函数也线性
x Ax Ax [B B]u y Cx Cx [D D]u
标称部分
不确定部 分
线性不确定系统频域模型
常用不确定系统模型的类型：系统记为(P0,ΔP)
(1) 乘法不确定性
W(s)
ΔP(s)
+
P0(s)
+
P(s) [1 P(s)W (s)]P0 (s),
P(s) 1
P0(s)—标称模型，ΔP(s)—未知摄动函数 W(s)—摄动界函数，或加权函数(一般是稳定传函)
为力
鲁棒性(Robustness)
一般地，总假设已知受控对象的模型(标称模型)，但实际 中存在种种不确定因素，如：
➢ 参数变化； ➢ 未建模动态特性；
内部不确定性
➢ 平衡点的变化；
➢ 传感器噪声；
外部不确定性
➢ 不可预测的干扰输入；
所以标称模型只能是实际物理系统的不精确表示。
➢ 鲁棒性: 在外界干扰或系统模型发生变化时系统性能的保 持能力；
1 P(s)W (s)
➢ 加权函数W(s)的作用：实际摄动结构难以获知，使用以上 三种不确定性模型简单有效，但ΔP(s)会扩大实际摄动的 范围，为降低系统保守性，选择合适加权，使摄动不过分 偏离实际
加权函数W(s)建模
建模原则：
1）尽可能减少模型的保守性，使得加权函数所包含的摄动尽 可能贴近实际；
相应线性系统
x A( )x B( )u
y
C (
)
D(
)u
例：汽车运动方程
(M
0
M
)
dv dt
(0
)v
f,
f
v
M 1, 2
M
μv
记 M 1, 2 ，整理
v A( )v B( ) f
其中， 1
2 T ,且A( )
0 2 M 0 1
, B( )
1
M 0 1
A(θ)和B(θ)结构已知，当θ=0时，A0，B0给出系统标称模型；
同样，尽量分离不确定项，以降低鲁棒性设计带来的保守性，
如
A FE
E,F为已知适维矩阵
Σ为未知矩阵
II) 动态摄动（改变系统的维数）
非线性系统
x f (x,) g(x,)u
Q(x, )
P( )
其中，ξ描述了不确定性的未知状态
3、频域模型描述
具有不确定性的线性系统传函
P(s) P0 (s) P(s)
D1(s)D2(s)+N1(s) N2(s)=0
定理4.1（Nyquist稳定判据）若系统Σ的开环传函G(s)H(s) 在右半平面有P个极点，且s=0为其v重极点，则闭环系 统稳定的充要条件为：当ω：-∞→∞时，开环频率特性 曲线G(jω)H(jω)包围点(-1, j0)的次数为P+v/2
➢ 鲁棒控制：按照鲁棒性要求设计的控制方案叫做鲁棒控制;
➢ 鲁棒系统设计的目标：就是要在模型不精确和存在其他变 化因素的条件下，使系统仍能保持预期性能。
➢ 如果模型的变化和模型的不精确不影响系统的稳定性和其 它动态性能，这样的系统我们称它为鲁棒控制系统。
➢ 鲁棒控制理论：鲁棒性分析问题和鲁棒性综合问题
稳定性与鲁棒性基础
Lecture 3: 鲁棒控制基础
倒立摆控制
智能控制
倒立摆的控制模型
I
m
d2 dt 2
(l
cos )
mg l
sin
m
d2 dt 2
(x
l
sin
) l
cos
M
d 2x dt 2
u
m
d2 dt 2
(xl sin )
在平衡点 T 0 0T 处线性化
(M m)x ml u (I ml2 ) mlx mgl
平稳性
不确定 性
处理方法：将系统中不确定性归结为一类对微分方程初始条 件的瞬时扰动，通过标称系统的稳定性，来保证系统在运 行时对这些不确定性引起的响应的稳定性；
缺点：与实际工程运行相差较大；(因假设小扰动) 设计系统时无法事先定量把握不
确定性对系统性能品质的影响
如：电力系统中 的切机、切负荷、 短路等扰动无能
将A(θ)和B(θ)分离成标称值和摄动部分之和形式
A( ) A0 A( ), B( ) B0 B( )
摄动部分尽可能分离
A( B(
) )
Ea( Eb(
) Fa ) Fb
注：分离的不唯一性→保守性的讨论
2、非参数化不确定模型
——不确定性用未知摄动函数或动态方程表示
I) 静态函数摄动（不改变系统的维数）
(2) 加法不确定性
W(s)
ΔP(s)
+
P0(s)
+
P(s) P0 (s) P(s)W (s),
P(s) 1
(3) 反馈不确定性
ΔP(s)
W(s)
_
+
P0(s)
P(s)
P0 (s)
, P(s) 1
1 P(s)W (s)P0 (s)
ΔP(s)
W(s)
_
P0(s)
+
P(s)
P0 (s)
, P(s) 1
不确定性的描述方法
1、可参数化不确定模型
摩擦系数、向量、 转动惯量、电网参 数等测量误差或磨 损老化引起的变化
——用被控对象模型的参数摄动表示不确定性
状态空间模型
x f (x, ) g(x, )u
y
h(
x,
)
d
( x,
)u
1 2 s T为未知参数向量，θi(i=1,2,…,s)是表示
误差或未知摄动等不确定因素参数。
鲁棒稳定性的频域判定条件
➢ 反馈控制系统Σ
+
_
u
y
H(s)
G(s)
G(s) N1(s) , D1 ( s)
闭环传函
H (s) N2 (s) D2 (s)
F(s) G(s)H (s) 1 G(s)H (s)
wenku.baidu.com
通过F(s)的极点分布，判断系统的稳定性。
也就是研究1+G(s)H(s)=0 的根，即
的根的情况
W(s)设计方法：
1）系统辨识法：画出实际系统频率响应P(jω)和模型频率响 应P0(jω)之差的bode图，选取加权函数覆盖住P(jω)-P0(jω)
2）近似法：用低阶P0(s)近似逼近高阶系统P(s) 3）参数摄动法：使用摄动幅度的估值
最终建立起被控量θ和控制量u之间的关系
:
(M m)mgl (M m)I Mml 2
(M
ml m)I
Mml 2
u
近似描述单摆运动规律，寻找合适u使平衡态 T 0 0T 稳定
➢ 建模，控制：忽略某些动态特性→线性化模型→控制u完全根 据Σ设计
➢ 实际系统：控制效果？诸多不确定因素的影响？
系统 Lyapunov稳定性理论三要素 扰动
非线性系统
x f (x) f (x) [g(x) g(x)]u
y
h( x)
h( x)
[d
(x)
d (x)]u
标称系统线性形式
x Ax f (x) [B g(x)]u y Cx h(x) [D d (x)]u
摄动函数也线性
x Ax Ax [B B]u y Cx Cx [D D]u
标称部分
不确定部 分
线性不确定系统频域模型
常用不确定系统模型的类型：系统记为(P0,ΔP)
(1) 乘法不确定性
W(s)
ΔP(s)
+
P0(s)
+
P(s) [1 P(s)W (s)]P0 (s),
P(s) 1
P0(s)—标称模型，ΔP(s)—未知摄动函数 W(s)—摄动界函数，或加权函数(一般是稳定传函)
为力
鲁棒性(Robustness)
一般地，总假设已知受控对象的模型(标称模型)，但实际 中存在种种不确定因素，如：
➢ 参数变化； ➢ 未建模动态特性；
内部不确定性
➢ 平衡点的变化；
➢ 传感器噪声；
外部不确定性
➢ 不可预测的干扰输入；
所以标称模型只能是实际物理系统的不精确表示。
➢ 鲁棒性: 在外界干扰或系统模型发生变化时系统性能的保 持能力；
1 P(s)W (s)
➢ 加权函数W(s)的作用：实际摄动结构难以获知，使用以上 三种不确定性模型简单有效，但ΔP(s)会扩大实际摄动的 范围，为降低系统保守性，选择合适加权，使摄动不过分 偏离实际
加权函数W(s)建模
建模原则：
1）尽可能减少模型的保守性，使得加权函数所包含的摄动尽 可能贴近实际；
相应线性系统
x A( )x B( )u
y
C (
)
D(
)u
例：汽车运动方程
(M
0
M
)
dv dt
(0
)v
f,
f
v
M 1, 2
M
μv
记 M 1, 2 ，整理
v A( )v B( ) f
其中， 1
2 T ,且A( )
0 2 M 0 1
, B( )
1
M 0 1
A(θ)和B(θ)结构已知，当θ=0时，A0，B0给出系统标称模型；
同样，尽量分离不确定项，以降低鲁棒性设计带来的保守性，
如
A FE
E,F为已知适维矩阵
Σ为未知矩阵
II) 动态摄动（改变系统的维数）
非线性系统
x f (x,) g(x,)u
Q(x, )
P( )
其中，ξ描述了不确定性的未知状态
3、频域模型描述
具有不确定性的线性系统传函
P(s) P0 (s) P(s)
D1(s)D2(s)+N1(s) N2(s)=0
定理4.1（Nyquist稳定判据）若系统Σ的开环传函G(s)H(s) 在右半平面有P个极点，且s=0为其v重极点，则闭环系 统稳定的充要条件为：当ω：-∞→∞时，开环频率特性 曲线G(jω)H(jω)包围点(-1, j0)的次数为P+v/2
➢ 鲁棒控制：按照鲁棒性要求设计的控制方案叫做鲁棒控制;
➢ 鲁棒系统设计的目标：就是要在模型不精确和存在其他变 化因素的条件下，使系统仍能保持预期性能。
➢ 如果模型的变化和模型的不精确不影响系统的稳定性和其 它动态性能，这样的系统我们称它为鲁棒控制系统。
➢ 鲁棒控制理论：鲁棒性分析问题和鲁棒性综合问题
稳定性与鲁棒性基础
Lecture 3: 鲁棒控制基础
倒立摆控制
智能控制
倒立摆的控制模型
I
m
d2 dt 2
(l
cos )
mg l
sin
m
d2 dt 2
(x
l
sin
) l
cos
M
d 2x dt 2
u
m
d2 dt 2
(xl sin )
在平衡点 T 0 0T 处线性化
(M m)x ml u (I ml2 ) mlx mgl
平稳性
不确定 性
处理方法：将系统中不确定性归结为一类对微分方程初始条 件的瞬时扰动，通过标称系统的稳定性，来保证系统在运 行时对这些不确定性引起的响应的稳定性；
缺点：与实际工程运行相差较大；(因假设小扰动) 设计系统时无法事先定量把握不
确定性对系统性能品质的影响
如：电力系统中 的切机、切负荷、 短路等扰动无能
将A(θ)和B(θ)分离成标称值和摄动部分之和形式
A( ) A0 A( ), B( ) B0 B( )
摄动部分尽可能分离
A( B(
) )
Ea( Eb(
) Fa ) Fb
注：分离的不唯一性→保守性的讨论
2、非参数化不确定模型
——不确定性用未知摄动函数或动态方程表示
I) 静态函数摄动（不改变系统的维数）
(2) 加法不确定性
W(s)
ΔP(s)
+
P0(s)
+
P(s) P0 (s) P(s)W (s),
P(s) 1
(3) 反馈不确定性
ΔP(s)
W(s)
_
+
P0(s)
P(s)
P0 (s)
, P(s) 1
1 P(s)W (s)P0 (s)
ΔP(s)
W(s)
_
P0(s)
+
P(s)
P0 (s)
, P(s) 1
不确定性的描述方法
1、可参数化不确定模型
摩擦系数、向量、 转动惯量、电网参 数等测量误差或磨 损老化引起的变化
——用被控对象模型的参数摄动表示不确定性
状态空间模型
x f (x, ) g(x, )u
y
h(
x,
)
d
( x,
)u
1 2 s T为未知参数向量，θi(i=1,2,…,s)是表示
误差或未知摄动等不确定因素参数。
鲁棒稳定性的频域判定条件
➢ 反馈控制系统Σ
+
_
u
y
H(s)
G(s)
G(s) N1(s) , D1 ( s)
闭环传函
H (s) N2 (s) D2 (s)
F(s) G(s)H (s) 1 G(s)H (s)
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通过F(s)的极点分布，判断系统的稳定性。
也就是研究1+G(s)H(s)=0 的根，即
的根的情况