稳定性及鲁棒性lecture3
区间系统的鲁棒稳定性
第29卷 第6期2003年11月自 动 化 学 报ACTA AU TOMA TICA SIN ICAVol 129,No 16Nov.,2003区间系统的鲁棒稳定性盖如栋 麻世高 邢长征(辽宁工程技术大学系统科学与数学研究所 阜新 123000)(E 2mail :grd327@ )摘 要 对于鲁棒稳定的区间系统,基于对系统自身结构特征的分析和信息的提取,利用矩阵不等式方法构造系统的Lyapunov 方程的对称正定解,进而得到了若干判别区间系统鲁棒稳定的充分性条件.数值例子进一步表明了判别条件的有效性和简洁实用的特点.关键词 区间系统,鲁棒稳定性,Lyapunov 方程中图分类号 O231收稿日期 2001205214 收修改稿日期 2001208229Received May 14,2001;in revised form August 29,2001R obust Stability of Interval SystemsG A I Ru 2Dong MA Shi 2G ao XIN G Chang 2Zheng(Instit ute of S ystems Science &M athematics ,L iaoni ng Technology U niversity ,Fuxi n 123000)(E 2mail :gai327@ )Abstract Based on the structure analysis and information search for robust asymptotically stable interval systems ,the symmetrical positive definite solutions of Lyapunov equation are structured with matrix inequation method for a given interval system.Then sufficient condi 2tions for robust asymptotic stability of interval systems are presented.A numerical example shows the availability and easy implementation of our results.K ey w ords Interval system ,robust stability ,Liapunov equation1 引言不确定系统的稳定性及其鲁棒镇定问题越来越得到国内外控制界的关注[1～9].一个给定的区间系统稳定与否完全由其自身的结构和参数所决定,因此,在分析区间系统的稳定性以及在鲁棒镇定控制器的设计过程中,如果能够尽可能充分地挖掘和利用区间系统自身的信息和特征,无疑会对其鲁棒稳定性及鲁棒镇定问题的研究产生实质性的促进作用.2 问题的描述和准备 考虑如下区间控制系统x ・=A x +B u(1)其中A =a ij ∈R n ×n (a ij ≤a ij ≤a ij ,1≤i ,j ≤n ),B ∈R n ×m是已知的矩阵.令矩阵A 0=a ij ,θij =a ij -a ij ,e i 是第i 个自然单位基向量.采用上述符号,系统(1)可表示成如下形式x ・=A 0-∑ni =1∑nj =1θij e i e Tjx +B u (2)由此可见,一般区间系统可以写成如下形式x ・=A 0-∑Ni =1θiL iK i x +B u (3)其中A 0是已知的矩阵,0≤θi ≤θ-i ,1≤i ≤N ,θ-i 是已知常数,L i ,K i 分别是列、行满秩的矩阵.为表示和讨论方便,本文采用如下记号:Θ=diag θ1E ,θ2E,…,θN E , Θ=diag θ-1E ,θ-2E ,…,θ-N E , Θ= Θ-1Θ,L =L 1L 2…L N ,L =L /‖L ‖2, L =‖K ‖2L Θ,K =K T1K T2…K T NT,K =K/‖K‖2, K =‖L ‖2 ΘK ,其中E 是具有适当维数的单位矩阵,此外令l k A ,m k A 分别表示矩阵A 的第k 个特征值的代数重数和几何重数,k =1,2,…,r.采用上述记号,系统(1)可写成x ・=A 0-L ΘK x +B u(4)引理1.如果l k A =m k A ,k =1,2,…,r ,那么存在满秩实矩阵M 使得1)M -1A M =Π=blok -diag Π1Π2…Πr ;2)M M T A T +A M M T =2M diag Re λ1Re λ2…Re λnM T ,其中n =∑ri =1dim Πi ,并且Πi =λi ,λi = λi αiβi-βi αi,λi =αi +j βi ≠ λi.证明从略.满足引理1的相似变换矩阵M 的全体所构成的集合记作M A .推论1.设A 的特征值集合σA <C -,并且l k A =m k A ,k =1,2,…,r ,那么对于每个M ∈M A T ,M M T 都是Lyapunov 不等式M M TA +A TM MT<0(5)的对称正定解.证明从略.3 主要结果关于系统(4)所对应的自治系统x ・=A 0-L ΘK x(6)的稳定性研究是对系统(1)鲁棒镇定及其控制器设计的基本前提,对此我们有如下定理.定理1.设A 0的特征值集合σA 0<C -,并且l k A 0=m k A 0,k =1,2,…,r ,如果存在矩阵M ∈M A 0,‖M M T ‖2≤1,满足如下条件之一1)M D -‖K ‖22E M T>L Θ2L T 2)M D -θ-2‖L ‖22‖K ‖22E M T >L Θ2L T 3296期 盖如栋等:区间系统的鲁棒稳定性其中D =-Π+ΠT ,θ-=max θ-1,θ-2,…,θ-N ,那么区间系统(6)是渐近稳定的.证明.设M ∈M A 0,‖M M T ‖2≤1,并且满足不等式1),则有 MM T A T 0+A 0MM T -MM T K T ΘL T -L ΘKMM T ≤MM T A T 0+A 0MM T +MM T K T KMMT+L Θ2L T ≤MM T A T 0+A 0MM T +‖K ‖22MM T +LΘ2L T =-M D -‖K ‖22E M T+L Θ2L T <0由著名的线性系统稳定性定理知,系统(6)是渐近稳定的,当系统满足条件2)时的证明完全类似.证毕.定理2.设A 0的特征值集合σA 0<C -,并且l k A 0=m k A 0,k =1,2,…,r ,如果存在矩阵M ∈M A T0,‖M M T ‖2≤1,满足如下条件之一1)M D -‖L ‖22E M T >K T Θ2K 2)M D -θ-2‖L ‖22‖K ‖22E M T >K T Θ2K 那么区间系统(6)是渐近稳定的.证明.设M ∈M A T0,‖M M T ‖2≤1,并且M 满足不等式1),则有 MM T A 0+A T 0MMT -K T ΘL T MM T -MM T L ΘK ≤MM T A 0+A T 0MM T +MM T LL T MM T+K T Θ2K ≤-M D -‖L ‖22E M T +K T Θ2K 由此可知系统(6)是渐近稳定的.当系统满足条件2)时的证明完全类似.证毕.进一步地,按不确定参数的最大值θ-i ≤1和θ-i >1,可将L ΘK 分解为L ΘK =L min Θmin K min +L max Θmax K max ,其中Θmin 和Θmax 由θ-i ≤1和θ-i >1的不确定参数构成,基于上述对不确定项的分解容易证明下述结论.定理3.设A 0的特征值集合σA 0<C -,并且l k A 0=m k A 0,k =1,2,…,r ,如果存在满足引理1的矩阵M ∈M A 0,‖M M T ‖2≤1,使得M D -‖K min ‖2+θ-‖K max ‖2E M T >L min Θ2min L T min +L max Θmax L Tmax (7)那么区间系统(6)是渐近稳定的.证明从略.定理4.设A 0的特征值集合σA 0<C -,并且l k A 0=m k A 0,k =1,2,…,r ,如果存在满足引理1的矩阵M ∈M A T0,‖M M T ‖2≤1,使得M D -‖L min ‖2+θ-‖L max ‖2E M T >K T min Θ2min K min +K Tmax Θmax K max (8)那么区间系统(6)是渐近稳定的.证明从略.注1.从上述定理不难看出,如果取A 0=12a ij +a ij ,θij =a ij -12a ij +a ij ,并且在需要的场合用θij 代替θij ,1≤i ,j ≤n ,可以得到与定理1～4完全类似的结论.上述的讨论都是在名义系统矩阵A 0的特征值的代数重数和几何重数相等的前提下进行的,对于一般情形,我们有如下结论.定理5.设A 的特征值集合σA <C -,则当Re λk >1,k =1,2,…,r 时,对于任何使矩阵A 化为实Jordan 标准型的相似变换M ,M M T 都是Lyapunov 不等式(5)的对称正定解.证明.设M 是任一使矩阵A 化为实Jordan 标准型的相似变换,那么M M T A T +A M M T =M J T +J MT(9)其中J =diag J 1,J 2,…,J r ,J k =diag J 11,J k 2,…,J kr k .当λk = λk 时,429自 动 化 学 报29卷J k i=λk10…0 0λk1ω…00ωω0……ωω100…0λk当λk=αk+iβk≠ λk时,记Λk=αkβk-βkαk,E2=1001,那么J k i=ΛkE20 00Λk E2ω…00ωω0……ωωE200…0Λk,k=1,2,…,r,i=1,2,…,r k容易证明M J T+J M T<0ΖJ T+J<0ΖJ T k i+J k i<0,当λk= λk时,显然J T k i+J k i< 0;当λk=αk+iβk≠ λk时,因为Reλk>1,所以J T k i+J ki是主对角占优的,因而也是负定的.证毕.根据定理5,在定理1～定理4中,用Reλk>1代替矩阵A0的特征值代数重数与几何重数相等的限制,结论仍然成立.此外,对区间系统设计鲁棒镇定控制器时,只要A0,B是能控的,那么容易使矩阵A0-B K的特征值满足Reλl>1的要求.4 例考虑区间系统[9]A≤A≤ A,其中A=-514-6, A=-2.92.055.05-3.9,选取A0=12A+ A,则有σA0=-1.7759,-7.1241,θ-11=1.05θ-12=0.525,θ-21=0.525θ-22=1.05.当取L= 11000011,K=10100101T,M=0.4706-0.35490.67090.7386∈M A T0时,容易验证M D-‖K‖22E M T-L Θ2L T=1.8975-2.5062-2.50629.9847>0,根据定理1,该区间系统是鲁棒稳定的.5 结论在本文中,用于分析区间系统鲁棒稳定性的方法及所给出的判别条件除了简洁、易于应用外,其显著的特点是不依赖于Liapunov方程或不等式的求解,而是基于系统自身构造系统的Liapunov函数,研究表明,本文所运用的思想方法和所得到的结论不仅适用于区间系统鲁棒稳定性分析,而且也为构造区间系统鲁棒镇定控制器开辟了新的、有效的途径.R eferences1Petersen I R.A Riccati equation approach to the design of stabilizing controllers and observers for a class of uncertain linear5296期 盖如栋等:区间系统的鲁棒稳定性systems.I EEE Transactions on A utomatic Cont rol ,1985,30(9):904～9072Petersen I R ,Hollot C V.A Riccati equation approach to the stabilization of uncertain linear systems.A utomatica ,1986,22(4):397～4113Barmish B ,Corless R ,Leitmann M.A new class of stabilizing controllers of an uncertain system.S IA M Journal of Con 2t rol ,1983,21(2):246～2524Mao M J ,Sun Y X.Criteria for the robust stability of interval matrices.Cont rol and Decision ,1997,12(3):264～268(in Chinese )5Shi D H ,Zeng X J.Interval stability and robust stability for linear time 2varying systems.Cont rol Theory and A pplica 2tions ,1994,11(1):34～39(in Chinese )6Xu D.Simple criteria for stability of interval matrices.International Journal of Cont rol ,1985,41(1):289～2957Sun J T.On stability of interval matrices.Acta A utomatica Si nica ,1991,17(6):745～748(in Chinese )8Sobel K M ,Banda S S ,Y eh H H.Robust control for linear systems with structured state space uncertainty.InternationalJournal of Cont rol ,1989,50(5):1991～20049J uang Y T ,Kuos T E ,Hsu C F.Root 2locus approach to the stability analysis of interval matrices.International Journal ofCont rol ,1987,46(3):817～822盖如栋 1994年在东北大学,获博士学位.现为辽宁工程技术大学教授,博士生导师.主要研究兴趣区间系统的鲁棒稳定性分析与镇定、复杂系统分析和Δ2调制控制系统.(G AI Ru 2 Received his Ph.D.degree from Northeastern University in 1994.Since 1982he has been a faculty member in the Basic Science De partment at Liaoning Technical University ,where he is currently a pro 2fessor.His research interests include robust stability of interval systems and stabilization ,analysis of complex sys 2tems ,and Delta 2modulated control systems.)麻世高 2000年毕业于辽宁工程技术大学,获硕士学位.现为中国民用航空学院副教授.主要研究兴趣包括鲁棒控制理论和组合大系统分散控制.(Ma Shi 2G ao Received his master degree from Liaoning Technical University in 2000.From 1985to2001,he worked at Liaoning Technical University ,he is currently an associate professor at Civil Aviation Uni 2versity of P.R.China.His research interests include robust control theor y and decentralized control of com posite large -scale systems.)邢长征 2001年在辽宁工程技术大学,获硕士学位.现为辽宁工程技术大学副教授.主要研究兴趣包括复杂系统分析和控制系统仿真.(XING Chang 2Zheng Received his master degree from Liaoning Technical University in 2001.He is cur 2rently an associate professor in the Department of Electrical Engineering at Liaoning Technical University.His research interests include analysis of complex systems and simulation for control systems.)629自 动 化 学 报29卷。
鲁棒稳定性鲁棒控制
即为设计K使得A+BK＋EF稳定，也即
F(sI A BK )1 E 1
实验
Furuta摆实验
三自由度直升机系统
求使最小的控制器KT就zw(是jH)最优 设计问题。
传递函数的H范数
对于系统的传递函数G (s),若其在右半平面无极点，定义
下面的范数为H范数
Gu
G(s) sup 2 ,
u
2
其中
u 1 u( j) 2 d
2 2
定理：
G(s) sup [G( j)] R
闭环系统鲁棒稳定性分析
▪ 加性不确定性
取k＝1，此时闭环传递函数的分母为
s4 r3s3 r2s2 r1s 1 s3 2s2 2s 1 s4 p3s3 p2s2 p1s 2
其中
p1 [2,3], p2 [5,6], p3 [3,4]
此时上面的闭环系统稳定当且仅当下面的四个多项式
稳定
F1(s) 2 3s 5s2 3s3 s4 F2 (s) 2 3s 6s2 3s3 s4 F3(s) 2 2s 5s2 4s3 s4 F4 (s) 2 2s 6s2 4s3 s4
S(s) sup [S( j)] R 1
其中 ()表示最大奇异值，即 ( A) {max (A*A)}2 ,
A*为A的共轭转置阵，
m
a
为最大特征值。
x
H控制问题即为对于给定的 > 0，设计控制器K
使得闭环系统稳定且满足
S(s)
H理论中考虑干扰信号是不确定的，而是属于一个
可描述集
L2
在前面各章中，我们总是假设已经知道了受控对象的 模型，但由于实际中存在种种不确定因素，如：
• 参数变化； • 未建模动态特性； • 平衡点的变化； • 传感器噪声； • 不可预测的干扰输入；
鲁棒控制理论与应用 第五章 系统的稳定性和鲁棒性能分析
第五章 系统的稳定性和鲁棒性能分析5.1 BIBO 稳定性对实际工程中的动态系统来讲，稳定性是最基本的要求。
一般的稳定性含义有两个。
一个是指无外部信号激励的情况下，系统的状态能够从任意的初始点回到自身所固有的平衡状态的特性。
另一种定义是指在有外部有界的信号激励下，系统的状态，或输出，响应能够停留在有界的范围内。
对于线性系统，这两个稳定性定义是等价的，但是对一般的非线性系统则不是等价的。
前者称为Lyapunov 稳定，而后者称为BIBO 稳定。
本小节我们先考虑BIBO 稳定性。
假设系统H 由如下状态方程来描述： (5.1.1)⎩⎨⎧==),(),(u x h y u x f xH &：如图5.1.1所示，是系统的内部状态，u 和分别是外部输入信号和输出信号。
设输入信号u 属于某一个可描述的函数空间U 。
那么，对于任意nR t x ∈)(y U u ∈，系统H 都有一个输出响应信号y 与之对应，为了简单起见，记其对应关系为(5.1.2)Hu y =显然，系统Σ对应于的输出响应信号的全体同样地构成一个空间，记为Y 。
因此，从数学的意义上讲，系统U u ∈H 实际上是输入函数空间U 到输出函数空间的一个映射或算子。
这也表明，我们可以更加严格地使用算子理论来研究系统Y H 的性质。
定义5.1.1 设为关于时间)(t u ),0[∞∈t 的函数，则的截断的定义为 )(t u )(t U T (5.1.3)⎩⎨⎧>≤≤=T t Tt t u t u T ,00),()(定义5.1.2 若算子H 满足(5.1.4) T T T Hu Hu )()(=则称算子H 是因果的。
而式(5.1.4)称为因果律。
因果算子的物理意义很明确，即T 时刻的输入并不影响))((T t t u >T 时刻以前的输出响应。
T Hu )(定义 5.1.3 设算子H 满足p T p T L u L HU ∈∀∈,)(。
稳定性与鲁棒性
综合信息系统的稳定性与鲁棒性研究一、立论依据稳定性与鲁棒性问题是控制系统中的普遍性问题。
稳定性理论是研究动态系统中的过程（包括平衡位置）相对于干扰是否具有自我保持能力的理论。
一个实际系统与人们所建立的数学模型之间总存在着偏差，根据数学模型设计的控制器作用于实际系统中往往使系统达不到期望的性能指标。
因此我们需要设计控制系统使得某些重要特性在摄动情况下保持不变。
在系统参数具有小摄动时保持系统特性不变性的设计问题在控制理论发展初始阶段已经被考虑过，当时自然只限于系统灵敏度分析之上，后来人们认识到实际系统与纯化了的理想系统之间的差异并不能总视为充分小，这既反映在由于系统与环境的日益复杂而使系统含有较大的不确定性上，也反映在对某些对象来说，它的工作状态并不唯一等因素上，例如，飞机在不同高度以不同速度作巡航飞行时，无论是其空气动力学特性还是发动机的工作状态均不相同，此时，同一架飞机由于飞行状态的变化就有几个标定系统。
从上世纪七十年代末开始，在处理系统的非微摄动的问题上，有了一些理论与方法，特别由于控制界的推动，形成了起于上世纪八十年代至今不衰的鲁棒分析与鲁棒控制的研究热。
鲁棒性是指系统中存在不确定因素时系统能保持正常工作性能的一种属性。
不确定性通常包括结构性不确定性和非结构性不确定性，前者通常是由实际物理系统的物理参数的测量误差、运行环境的变化或系统辨识不精确而引起的，就线性定常系统而言，它表现为系统传递函数中的多项式系数或相关参数的摄动；后者通常是由未建模动态而引起的，常用对标称系统传递函数扰动的范数来表示。
从分析的观点来研究系统在一定摄动下是否仍能保持原有的性能，称为系统的鲁棒分析问题；而从设计的观点来研究如何设计控制器来控制具有一定摄动的受控对象，使系统在这种摄动下仍能保持所希望的性能，称为系统的鲁棒综合。
前苏联科学家Kharitonov首先讨论了具有参数不确定性多项式族的鲁棒稳定性问题，自从Barmish将Kharitonov定理引入控制界以来，这方面的研究也得到了控制理论界的极大重视，相继出现了许多重要的成果，如棱边定理、边界定理、以及稳定的凸方向研究等。
电力系统的稳定性辨识与鲁棒控制方法研究
电力系统的稳定性辨识与鲁棒控制方法研究下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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时滞关联系统的鲁棒稳定性分析
ｌ， ｌ…Ⅳ （ ７５４—７５６．分析 ， ， ６ 的稳 定性 ｏ： ２ ， ）
一 ，
ｌ１控 制理论与应用， ９ ，６５： Ｊ＿ １ ９１（） ９
成立 。其 中 Ｐ， Ｑ满 足 方 程 Ｌａ ｕｏ ｙｐ ｎｖ方程 证明 取 Ｌ ａｕ ｏ ｙｐ ｎｖ函数
． Ｄ
趣
ｆ］ 家 洪 ． 阵分 析 引论 【 ． ９ ： 南理 工 大 ３罗 矩 ＭＩ ＇ 华 广 Ｊ １ 学 出版 社 ．０ ０ １８ １５ ２ ０ ：６ — ７ ．
科 技论 坛 ＩＩ
任 中贵 焦 艳会
科
时滞关联 系统 的鲁棒 稳 定性 分析
（ 尔 滨 商业 大学 基础 科 学 学 院 ， 龙 江 哈 尔滨 １０ ２ ） 哈 黑 ５ ０ ８
摘 要： 本文考虑常时滞与 变时滞的不确定关联 大 系统 ， 针对具有矩 阵多胞型结构不确 定性情形 ， 用 Ｌ ａ ｕｏ 利 ｙｐ ｎｖ函数和 Ｌ ， 出了系统鲁棒 ＭＩ得
ｅＰ ￣， Ｎ ∑
Ｊ
一ｑ ２ ｅ
令 则
＋ Ｒ＋ Ｔ ｚ ∑ ∑ Ｊ 』
』＝ ｌ ｓ＝ ｌ
置ｆ （＋ ４ ， ∑ （ ＋ ）（ ｌ （＝Ａ △ ）（＋ Ａ △ ｘｔ ） ） ） ｊ ｒ Ｊ
Ｊ ＝１
（ 一 ０， ｔ ｆ ） ∈［ＴＯ ＝ １ ２ ・ ｎ ） Ｖ ， ］． ， ，一，
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ｆ １ ＝ ， Ｊ 一
稳定性与鲁棒性lecture2——稳定性基础
对Lyapunov函数的说明：
（1）V(X)是正定的标量函数； （2）并非所有系统都能找到V(X)来证明该系统稳定或者 不稳定； （3） V(X)如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的 结论是一致的； （4）V(X)最简单的形式是二次型V(X)=XTPX； （5）V(X)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反
映域外运动的任何信息；
（6）构造V(X)需要一定的技巧。
四、Lyapunov方法在线性系统中的应用 线性定常连续系统渐近稳定性判据： 设线性定常系统为：x Ax，则平衡状态Xe＝0为全局渐近 稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存 在正定的实对称矩阵P，满足Lyapunov方程： ATP+PA=-Q 且V(X)=XTPX就是Lyapunov函数。 线性定常离散系统渐近稳定性判据： 设线性定常系统为：x(k+1)=φx(k)，则平衡状态Xe＝0为全局 渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q， 必存在正定的实对称矩阵P，满足Lyapunov方程： φT P φ-P =-Q 且V(X)=XTPX就是Lyapunov函数。
0
成立。则称系统的平衡状态Xe是指数稳定的 如果上式对任意的x0∈ Rn 均成立，则称平衡点Xe是全局 指数稳定的
三、 Lyapunov稳定定理 (3) x f ( x, u ) 不失一般性，设系统 的平衡状态Xe ＝0，下面讨论其稳定或渐近稳定的条件 设V(x,t)是连续可微的正定函数，若V沿着系统(3)解的轨 迹对t求导，其导数
u f(x,u) ∫ y x h(x,u) H
任意输入u，系统H都有一个响应信号y与之对应：y=Hu
从数学意义上，H为输入函数空间U到输出函数空间Y的一 个映射或算子
鲁棒稳定性理论robustfourth
2009年11月27日
鲁棒控制理论及应用课程
信息科学与工程学院
何 勇
基于规范互质分解描述的鲁棒稳定性
z2
ΔN (s)
w2
w1
w
ΔM (s)
z1
W (s)
r
K (s)
N1 ( s )
M
−1 1
(s)
-
PA ( s )
y
U C = { PA ( s ) = [ M 1 ( s ) + M Δ M ( s )]−1[ N1 ( s ) + W Δ N ( s )], Δ ( s ) ∈ BH ∞ ⎡ I ⎤ −1 −1 Tzw ( s ) = ⎢ ⎥ [ I + P( s ) K ( s )] M 1 ( s )W ( s ) ⎣ − K (s) ⎦
σ max [Tzω ( jω )]
当Δ ( s ) = 0 时闭 环控制系统是 稳定的；
10 − 1
( I + KP) KW ∈ BH ∞
−1
10 − 2 10 − 2
10 − 1
10 0
101
10 2 ω
奇异值曲线
K(s)是稳定化控制器
3
2009年11月27日
鲁棒控制理论及应用课程
信息科学与工程学院
函数 V ( x) = xT Px 对时间的导数不依赖于让r(t)和s(t)的值而满 足
& V ( x) = x T {[ A + ΔA( r (t ))]T P + P[ A + ΔA( r (t ))]}x − 2 x T P[ B + ΔB ( s (t ))] f ( x)
≤ −a x(t ) ,
稳定性鲁棒性
φ ✲ r
✏ ✲ ✲ ✒✑ −✻
∆(s)
θ ✲ W (s)
✏ ❄ o (s)
y
✲
P (s)
Figure 6: Standard servo configuration around a plant with multiplicative uncertainty.
Small Gain Theorem
(1) All unstable pole locations of the actual plant are known. (2) W (s) is a stable weighting matrix that reflects information known about the uncertainty. For example, the additive uncertainty model is appropriate when Po (s) accurately represents the plant at low frequencies, but does a poor job at high frequencies. In this case, W (jω ) should capture the information about the frequency content of the uncertainty, because P − Po = W ∆, and we want |P (jω ) − Po (jω )| to be small for low frequencies and allow it to be large but bounded at high frequencies. W (s) that reflects this is a high pass filter. (3) ∆(s) is a stable uncertainty matrix that, by proper choice of W (s), can be normalized and assumed to have ∆ ∞ < 1. If ∆ were 1 × 1, the shape of |∆(jω )| and ∠∆(jω ) can be anything. Depending on the kind of uncertainty in the plant, one of the above representations of uncertainty, (i), (ii), or (iii), may be more appropriate than the others.
鲁棒稳定性理论 棱边定理
（40a）
（40b）
（41）
考虑到矩阵特征根的连续性，A的赫尔维茨稳定性度量为
（42a） 或 （42b）
（43）
（44）
引理4.4：假定M是可逆方阵，E是复数方阵，则有
（45）
特别地，赫尔维茨半径可由下式给出。
（46）
（47）
对于时间离散系统，设A为舒尔矩阵，则舒尔稳定性度量定义为
（48）
系数空间中的稳定区域
考虑使实系数多项式
（28）
（29a）
它对应着原点s=0；
（29b）（ຫໍສະໝຸດ 0）（31）则（29b）式为
（32）
（33）
（32）式可以从
（34）
中得到。
鲁棒稳定性的度量
（35a）
（35b）
（36）
（37）
（38）
特别的，当系数本身是参数时，m=n，q=a，只要考虑
（39）
卡里托诺夫定理
卡里托诺夫定理是原苏联数学家v.l.卡里托诺
夫1978年提出的，但是在鲁棒控制方面取得 优异成果则是在那年之后。这个定理给出了 区间多项式具有赫尔维茨稳定性的充分与必 要条件。
区间多项式：就是实数多项式 （1） 的集合，其中 （2） 用G表示这种多项式的全体，用H表示所有赫尔维茨多项式。即所有 有那些特征根均位于复数左开半平面的多项式。
（12）
双线性变换：比较离散时间系统与连续时间系统的一种方法。 （13） 双线性变换使（1）式f(s)的赫尔维茨稳定性与 （14） 舒尔稳定性相对应。 因此，如果连续时间系统f(s)的系数参数空间上的超矩形体可以映射 到离散事件系统g(z)的系数参数空间上的超矩形体，那么定理4.11 和定理4.12均成立。
非线性时变系统的：稳定性和鲁棒性-电气工程自动化专业外文翻译三篇
采样数据模型预测控制非线性时变系统的：稳定性和鲁棒性概要:我们这里所叙述的一采样数据模型预测控制的框架，使用连续时间模型，但采样的实际状况以及为计算控制的状态，进行了在离散instants的时间。
在此框架内可以解决一个非常大的一类系统，非线性，时变的，非完整。
如同在许多其他采样数据模型预测控制计划，barbalat的引理一个重要的角色，在证明的名义稳定的结果。
这是争辩这泛barbalat的引理，形容这里，可以有也类似的的作用，在证明的鲁棒稳定性的结果，也允许以解决一个很一般类非线性，时变的，非完整系统，受到的干扰。
那个的可能性的框架内，以容纳间断的意见是必要的实现名义的稳定性和鲁棒稳定性，例如一般类别的系统。
1 引言许多模型预测控制（MPC）计划描述，在文献上使用连续时间的模型和样本状态的在离散的instants 时间。
见例如[3，7，9，13] ，也是[6] 。
有许多好处，在考虑连续时间模型。
不过，任何可执行的模型预测控制计划只能措施，状态和解决的优化问题在离散instants 的时间。
在所有的提述，引用上述情况， barbalat的引理，或修改它，是用来作为一个重要步骤，以证明稳定的MPC的计划。
（ barbalat的引理是众所周知的和有力的工具，以推断的渐近稳定性的非线性系统，尤其是时间变系统，利用Lyapunov样的办法; 见例如[17]为讨论和应用）。
显示模型预测控制的一项战略是稳定（在名义如此），这表明，如果某些设计参数（目标函数，码头设置等），方便的选定，然后价值函数是单调递减。
然后，运用barbalat 的引理，吸引力该轨迹的名义模型可以建立(i.e. x(t) →0as t →∞).这种稳定的状态可以推断，一个很笼统的类非线性系统：包括时变系统的，非完整系统，系统允许间断意见，等此外，如果值函数具有一定的连续性属性，然后Lyapunov稳定性（即轨迹停留任意接近的起源提供了足够的密切开始向原产地）也可以得到保障（见例如[11]）。
不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性分析
不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性分析随着近年来各行各业对系统性能的要求越来越高，时滞多输入多输出（TMDI）关联系统在不确定情况下，稳定性的要求也就愈发重要起来，而针对不同的系统，在这些不确定情况下，鲁棒稳定性的分析就显得尤为必要。
本文的主要内容为探讨并分析不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性，并给出实现鲁棒稳定性的有效方案。
二、基础理论在分析不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性时，首先需要理解TMDI 关联系统的概念。
TMDI关联系统是指系统中有多个输入与多个输出，而其中存在着时间滞后（time-delay），且滞后时间可能随着系统外部环境的变化而发生变化。
此外，对不确定时滞关联系统的稳定性，可由鲁棒控制（robust control）理论来进行分析。
鲁棒控制理论是一种有效分析和控制不确定系统的理论。
三、频域分析在分析不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性时，频域分析通常是一种很有效的方法。
利用频域分析，可以有效地确定系统在一定频率范围内的稳定性，从而可以确定系统是否能够实现鲁棒稳定性。
四、抗跳跃性分析在不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性分析中，抗跳跃性是一个很重要的因素。
跳跃和不确定情况会对系统的稳定性产生影响，因此，在针对不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性分析中，对系统的抗跳跃性进行分析就显得尤为必要。
五、极限模型匹配方法利用极限模型匹配（LMF）方法，可以针对不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性分析进行有效优化。
这种方法可以有效地将系统的模型拟合到系统的实际模型，从而有效地实现对系统的鲁棒稳定性分析。
六、鲁棒控制器设计针对不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性分析，还需要设计鲁棒控制器以保证系统的稳定性。
一般来说，需要使用Robust PID控制器进行控制，在设计过程中，需要采用基于频率响应的鲁棒控制器设计方法，以保证控制器的有效性及系统的鲁棒稳定性。
控制系统稳定性与鲁棒性
控制系统稳定性与鲁棒性控制系统稳定性和鲁棒性是控制系统设计中非常重要的概念。
在工程领域中，控制系统用于管理和调节各类设备和过程，以实现所需的输出。
然而，由于环境变化、参数不确定性和干扰等因素的存在，控制系统往往面临着稳定性和鲁棒性方面的挑战。
本文将深入探讨控制系统稳定性和鲁棒性的内涵、影响因素以及一些应对策略。
1. 控制系统稳定性控制系统的稳定性是指在系统输入和外部干扰的作用下，系统输出能够在有限的时间内趋于稳定的状态。
稳定性是衡量控制系统性能优劣的重要指标之一，它直接关系到系统的可控性和可靠性。
控制系统的稳定性分为BIBO稳定性和渐进稳定性两种。
1.1 BIBO稳定性BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) 稳定性是指当系统受到有界的输入幅度时，输出也将保持有界。
可以通过分析系统的传输函数、特征方程或状态方程来判断控制系统的BIBO稳定性。
我们可以使用根轨迹、Nyquist图和频域分析等方法来评估和设计稳定控制系统。
1.2 渐进稳定性渐进稳定性是指随着时间的推移，控制系统的输出将逐渐趋于稳定状态。
在实际的控制系统中，渐进稳定性是一个更为常见的稳定性概念。
渐进稳定性可以通过判断系统的特征值和特征函数的位置来确定。
当所有特征值的实部均为负数时，系统即为渐进稳定的。
2. 控制系统鲁棒性控制系统的鲁棒性是指系统对于参数扰动、不确定性和干扰的抵抗能力。
即使在系统参数发生变化、外界干扰加剧的情况下，控制系统仍能保持稳定并具备较好的性能。
鲁棒性是反映控制系统稳定性可靠性的重要指标，它能够确保系统在不确定性和干扰下的可控性和可靠性。
2.1 参数不确定性参数不确定性是指控制系统中的参数存在一定的不确定性，可能由于制造误差、环境变化或模型误差等原因引起。
控制系统的鲁棒性需要考虑到参数不确定性对系统性能的影响，并采取相应的控制策略来降低不确定性带来的损害。
2.2 随机干扰随机干扰是指在控制系统中可能存在的随机噪声或干扰。
ChatGPT模型的鲁棒性与稳定性评价指标与方法
ChatGPT模型的鲁棒性与稳定性评价指标与方法自然语言处理（NLP）技术的快速发展，使我们能够创建出强大的语言模型，如ChatGPT。
这类模型能够生成逼真的自然语言响应，与用户进行对话。
然而，为了确保这些模型在实际应用中能够表现出鲁棒性和稳定性，我们需要评价它们的性能。
本文将探讨ChatGPT模型的鲁棒性和稳定性评价指标与方法。
鲁棒性指模型对各种输入的适应能力，它具有良好的泛化能力，能够处理各种不同领域、语言和主题的问题。
一个鲁棒性良好的ChatGPT模型在面临未见过的问题时能够给出合理的回答。
评价ChatGPT的鲁棒性旨在测试模型的普适性和适应性。
一种常用的评价方法是使用多样性测试集，其中包含各种不同类型的问题，如词汇丰富性、逻辑问题、常识问题等。
通过观察模型在这些问题上的表现，就可以得出它对不同类型问题的鲁棒性。
此外，还可以通过引入干扰因素，如添加噪声、修改输入等方式，来测试模型的抗干扰性和鲁棒性。
稳定性指模型对输入的微小变化或扰动的敏感程度。
一个稳定的ChatGPT模型应该在面临输入微小变化时能够表现出一致的回答。
评价ChatGPT的稳定性可以通过引入语言扰动或概念扰动来实现。
语言扰动可以是对输入进行微小修改，如同义词替换、句法结构重组等。
通过比较模型在原始输入和扰动输入上的回答，就可以评估模型的稳定性。
概念扰动是指在输入中加入与问题相关的概念扰动，以测试模型是否能够正确识别并理解这些扰动。
例如，在与饮食相关的问题中，可以加入意外的食物或饮料名称，以测试模型对这些概念的理解。
除了鲁棒性和稳定性评价指标外，还有一些其他的评价指标可以用于评估ChatGPT模型的性能。
例如，生成效率指模型生成响应的速度和延迟。
在实际应用中，生成效率是一个重要的指标，特别是在需要实时对话的场景中。
此外，还可以评估模型在多轮对话中的一致性和连贯性。
一个好的ChatGPT模型应该能够在多轮对话中保持一致的语义和上下文理解。
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鲁棒性(Robustness)
一般地，总假设已知受控对象的模型(标称模型)，但实际 中存在种种不确定因素，如：
➢ 参数变化； ➢ 未建模动态特性；
内部不确定性
➢ 平衡点的变化；
➢ 传感器噪声；
外部不确定性
➢ 不可预测的干扰输入；
所以标称模型只能是实际物理系统的不精确表示。
➢ 鲁棒性: 在外界干扰或系统模型发生变化时系统性能的保 持能力；
鲁棒稳定性的频域判定条件
➢ 反馈控制系统Σ
+
_
u
y
H(s)
G(s)
G(s) N1(s) , D1 ( s)
闭环传函
H (s) N2 (s) D2 (s)
F(s) G(s)H (s) 1 G(s)H (s)
通过F(s)的极点分布，判断系统的稳定性。
也就是研究1+G(s)H(s)=0 的根，即
的根的情况
最终建立起被控量θ和控制量u之间的关系
:
(M m)mgl (M m)I Mml 2
(M
ml m)I
Mml 2
u
近似描述单摆运动规律，寻找合适u使平衡态 T 0 0T 稳定
➢ 建模，控制：忽略某些动态特性→线性化模型→控制u完全根 据Σ设计
➢ 实际系统：控制效果？诸多不确定因素的影响？
系统 Lyapunov稳定性理论三要素 扰动
(2) 加法不确定性
W(s)
ΔP(s)
+
P0(s)
+
P(s) P0 (s) P(s)W (s),
P(s) 1
(3) 反馈不确定性
ΔP(s)
W(s)
_
+
P0(s)
P(s)
P0 (s)
, P(s) 1
1 P(s)W (s)P0 (s)
ΔP(s)
W(s)
_
P0(s)
+
P(s)
P0 (s)
, P(s) 1
标称部分
不确定部 分
线性不确定系统频域模型
常用不确定系统模型的类型：系统记为(P0,ΔP)
(1) 乘法不确定性
W(s)
ΔP(s)
+
P0(s)
+
P(s) [1 P(s)W (s)]P0 (s),
P(s) 1
P0(s)—标称模型，ΔP(s)—未知摄动函数 W(s)—摄动界函数，或加权函数(一般是稳定传函)
稳定性与鲁棒性基础
Lecture 3: 鲁棒控制基础
倒立摆控制
智能控制
倒立摆的控制模型
I
m
d2 dt 2
(l
cos )
mg l
sin
m
d2 dt 2
(x
l
sin
) l
cos
M
d 2x dt 2
u
m
d2 dt 2
(xl sin )
在平衡点 T 0 0T 处线性化
(M m)x ml u (I ml2 ) mlx mgl
平稳性
不确定 性
处理方法：将系统中不确定性归结为一类对微分方程初始条 件的瞬时扰动，通过标称系统的稳定性，来保证系统在运 行时对这些不确定性引起的响应的稳定性；
缺点：与实际工程运行相差较大；(因假设小扰动) 设计系统时无法事先定量把握不
确定性对系统性能品质的影响
如：电力系统中 的切机、切负荷、 短路等扰动无能
非线性系统
x f (x) f (x) [g(x) g(x)]u
y
h( x)
h( x)
[d
(x)
d (x)]u
标称系统线性形式
x Ax f (x) [B g(x)]u y Cx h(x) [D d (x)]u
摄动函数也线性
x Ax Ax [B B]u y Cx Cx [D D]u
不确定性的描述方法
1、可参数化不确定模型
摩擦系数、向量、 转动惯量、电网参 数等测量误差或磨 损老化引起的变化
——用被控对象模型的参数摄动表示不确定性
状态空间模型
x f (x, ) g(x, )u
y
h(
x,
)
d
( x,
)u
1 2 s T为未知参数向量，θi(i=1,2,…,s)是表示
误差或未知摄动等不确定因素参数。
➢ 鲁棒控制：按照鲁棒性要求设计的控制方案叫做鲁棒控制;
➢ 鲁棒系统设计的目标：就是要在模型不精确和存在其他变 化因素的条件下，使系统仍能保持预期性能。
➢ 如果模型的变化和模型的不精确不影响系统的稳定性和其 它动态性能，这样的系统我们称它为鲁棒控制系统。
➢ 鲁棒控制理论：鲁棒性分析问题和鲁棒性综合问题
D1(s)D2(s)+N1(s) N2(s)=0
ห้องสมุดไป่ตู้
定理4.1（Nyquist稳定判据）若系统Σ的开环传函G(s)H(s) 在右半平面有P个极点，且s=0为其v重极点，则闭环系 统稳定的充要条件为：当ω：-∞→∞时，开环频率特性 曲线G(jω)H(jω)包围点(-1, j0)的次数为P+v/2
1 P(s)W (s)
➢ 加权函数W(s)的作用：实际摄动结构难以获知，使用以上 三种不确定性模型简单有效，但ΔP(s)会扩大实际摄动的 范围，为降低系统保守性，选择合适加权，使摄动不过分 偏离实际
加权函数W(s)建模
建模原则：
1）尽可能减少模型的保守性，使得加权函数所包含的摄动尽 可能贴近实际；
2）对控制性能影响大的中低频域内应尽量使W(s)不过分超过 摄动的增益
W(s)设计方法：
1）系统辨识法：画出实际系统频率响应P(jω)和模型频率响 应P0(jω)之差的bode图，选取加权函数覆盖住P(jω)-P0(jω)
2）近似法：用低阶P0(s)近似逼近高阶系统P(s) 3）参数摄动法：使用摄动幅度的估值
同样，尽量分离不确定项，以降低鲁棒性设计带来的保守性，
如
A FE
E,F为已知适维矩阵
Σ为未知矩阵
II) 动态摄动（改变系统的维数）
非线性系统
x f (x,) g(x,)u
Q(x, )
P( )
其中，ξ描述了不确定性的未知状态
3、频域模型描述
具有不确定性的线性系统传函
P(s) P0 (s) P(s)
将A(θ)和B(θ)分离成标称值和摄动部分之和形式
A( ) A0 A( ), B( ) B0 B( )
摄动部分尽可能分离
A( B(
) )
Ea( Eb(
) Fa ) Fb
注：分离的不唯一性→保守性的讨论
2、非参数化不确定模型
——不确定性用未知摄动函数或动态方程表示
I) 静态函数摄动（不改变系统的维数）
相应线性系统
x A( )x B( )u
y
C (
)
D(
)u
例：汽车运动方程
(M
0
M
)
dv dt
(0
)v
f,
f
v
M 1, 2
M
μv
记 M 1, 2 ，整理
v A( )v B( ) f
其中， 1
2 T ,且A( )
0 2 M 0 1
, B( )
1
M 0 1
A(θ)和B(θ)结构已知，当θ=0时，A0，B0给出系统标称模型；