6.15形态各异——立体图形综合

15 立体图形综合

学习目标:

1、熟悉各立体图形相关概念，会熟练地运用立体图形的相关公式解决有关立体图形的表面积和体积的计算问题。

2、能灵活运用立体图形的相关知识解决一些与数学相关的实际生活问题。

3、培养学生观察分析的能力，灵活运用数学知识解决问题的能力，让学生明确数学理论知识在实际生活中的运用的重要性，培养学生对数学学习的兴趣。

教学重点:

1、熟练掌握立体图形的相关知识计算立体图形的表面积和体积。

2、灵活运用立体图形的相关知识解决一些与数学相关的实际生活问题。

教学难点：

灵活运用立体图形的相关知识解决一些与数学相关的实际生活问题。

教学过程：

一、情景体验

师：2008年，我国举办了第26届奥林匹克运动会，同学们都知道有哪些有名的运动场馆吗？

生1：鸟巢，水立方等。

师：好的，同学们说的都不错！看到这幅图片，这就是非常漂亮的建筑水立方，同学们知道它是什么立体图形吗？对，它可以抽象的看为一个大大的长方体。谁能说说你对长方体了解多少呢？

生2：长方体一共有6个面，12条棱，包括长、宽、高各四条，每相对两个面的面积都相等，所以长方体的表面积为：（长×宽+长×高+宽×高）×2，体积为：长×宽×高的积。

师：非常好！那么，同学们还学过哪些立体图形呢？你都知道它们的哪些有关知识呢？

生3：正方体，正方体也有6个面，12条棱，每个面的面积和每条棱的长度都相等，所以正方体的表面积为：边长×边长×6，体积为：边长×边长×边长。

生4：还学习了圆柱体，圆柱体是由上下两个圆形和中间的侧面组成的，中间的

侧面展开图是一个长方形，长方形的长为地面圆的周长，宽为圆柱体的高，圆柱体的体积公式为：底面积×高。

生5：还学习了圆锥。圆锥包括一个底和一个侧面，底是一个圆形，侧面展开图是一个扇形，计算圆锥的表面积只用分别求出这两个部分的面积再求和就可以了。圆锥的体积等于底面积×高。

师：同学们表述的都很好！（课件PPT展示各种立体图形的表面积和体积的计算公式）那么，我们今天就一起来学习一下与立体图形有关的数学问题，同学们愿意和老师一起挑战一下吗？（愿意）我们先来看一个简单的问题，小心哦，难度会慢慢增大哦！

二、思维探索（建立知识模型）

展示例题

例1：把长10cm，宽8cm，高6cm的长方形木块切成两个完全一样的长方体，切成的两个长方体的表面积的和最大是多少？

师：先思考一下，将一个立体图形切成两个图形，它的表面积会发生什么变化呢？生1：表面积会增大，并且增大了两个切面面积。

师：那么在我们的这个数学问题中，是将一个长方体切成大小完全相同的两个长方体，同学们想一想有几种切法呢？问题要求的是表面积和最大的一种情况，那么哪一种切法增加的表面积是最大的呢？

生2：共有三种切法，分别是从长、宽、高的中点位置水平切割，分别增加的面积是宽×高×2，长×高×2，长×宽×2。其中长×宽×2的面积最大。

师：回答的非常正确。（课件PPT演示切割示意图）现在请一位同学上来演算一下。其他同学在书上完成。

板书：结论：立体图形切割，表面积会增加，增加的面积是切割面面积的两倍。

展示例题

例2：把下图的长方形ABCD，以AB为轴旋转一周得到一个立体图形，求这个立体图形的表面积和体积。(单位：厘米)

师：在这个数学问题中，我们先要知道以AB为轴旋转一周，得到的是什么图形

呢？

生1：圆柱体。

师：很正确！那么现在我们只知道长方形ABCD的长AD与宽CD的长度，那么我们旋转后得到的圆柱体，我们要求它的表面积和体积，我们就必须知道圆柱体的底面半径和高，对吗？那么哪位同学可以说一说得到的这个圆柱体的底面半径和高和之前的长方形有什么关系吗？它们分别是原来的什么呢？

生2：得到的新的立体图形圆柱体它的底面半径为原长方形的长AD，高为原长方形的宽CD。

师：很好！确定了圆柱体的底面半径和高的长度，根据圆柱体的表面积和体积公式，计算起来就非常简单了。请一位同学上来演算他的计算过程，其他同学完成在课本上。

展示例题

例3：在一个底面直径为20厘米的圆柱体玻璃杯中装一部分水，水深10厘米，将一个底面直径为4厘米，高为6厘米圆锥放入水中，水面要上升多少厘米？师：分析题目，要求水面上升的高度，我们需要先求水面呢？水面之所以会上升，是因为在水中放入了一个物体，同学们你们知道水上升的高度与这个物体有什么关系吗？

生1：水上升部分的体积与放入水中该物体的体积是相等的。

师：回答的很正确！那么如何求水上升高度呢？

生2：我们可以先求出放入水中的圆锥的体积，再求出圆柱体玻璃杯底面圆的面积，用体积除以底面积就可以求出高度了。

师：回答的非常准确，而且也很详细。同学们都清楚了吗？对于这类型的问题，我们只要知道：上升水的体积=沉入水中的物体的体积，再结合题目中的条件信息，根据不同体积的计算公式来进行求解就可以了。

师：现在还是请一位同学上来展示你的演算过程，其他同学在课本上完成。

板书：结论：上升水的体积=沉入水中的物体的体积。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例题

例4：如图是一个长为5分米、宽为3分米、高为4分米的长方体，沿垂直长的方向切三刀,沿垂直宽的方向切两刀,沿垂直高的方向切一刀,共得到24个小长方体,则这24块小长方体的表面积之和是多少？

师：这个问题看起来是比较复杂的。我们不可能把一个一个小长方体的面积求出来，那么我们该如何来解决这个问题呢？同学们还记得我们我们今天在第一问题中是如何来处理切割立体图形，表面积是如何变化的吗？

生1：每切一次增加两个面，增加的表面积是切割水平面面积的两倍。

师：看来你对刚刚前面的知识掌握的还不错哦！所以要求这24块长方体的表面积之和，我们只用考虑没切一次增加的面积，对吗？（对）现在我们分开来一步一步分析。先沿垂直长方向切三刀，哪位同学能给我们解释一下这句话的含义？增加的是哪个面呢？面积到底增加了多少呢？

生2：因为切一次增加两个面的面积，那么切三刀就增加了6个面的面积，而且增加的面是宽×高这个面，所以这次操作增加的面积为：宽×高×6。

师：那么沿垂直宽的方向切两刀呢？

生3：切两刀增加4个面，增加的面积是长×高×4。

师：回答的非常正确，那么最后切的一刀呢？

生4：切一刀增加两个面，增加的面积为：长×宽×2。

师：OK，刚刚同学们分析了所有增加面的请款，那么要求这24块长方体的表面积的和就不难了吧，我们只用将原长方体的表面积加上增加的所有面的面积之和就可以了，是吗？（是）。

师：现在我们一起在黑板上来演算一下这个问题的解答过程，同学们和老师一起来完成。一定不要忘记加上原来长方体的表面积哦！

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例题

例5：一个瓶深24厘米的塑料瓶，现在瓶中放一些水，正放时水高16厘米,倒放时水高20厘米，若底面直径是4厘米，则瓶的容积是多少？

师：我们已经顺利的解决了四个问题了，现在我们再来看一下最后一个问题。认