线段的垂直平分线及其应用
垂直平分线性质与判定应用
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
线段垂直平分线的应用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，这是线段垂直平分线的一个重要性质，在解题过程中，若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，利用上述性质可顺利解决问题．一、用于计算例1 如图1，点P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P PEF 的周长为5，求MN 的长．分析：由图1知MN 的长是ME 、EF 、FN 而P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 对称，所以OA 、 OB 分别是PM 、PN 知EM=EP ， FP=FN ，故MN 的长就是△PEF 的周长．解：因为P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 的垂直平分线，所以EM=EP ， FP=FN ．所以例2 如图2所示，DE 是△ABC 的边AB E 平分∠B AC ，若∠B=30º，求∠C 的度数．分析：由DE 是AB 边的垂直平分线可知BE=A E ∠B=∠1，又因为A E 是∠B AC 的角平分线，所以∠1=∠即可求出∠C 的度数． 解：因为DE 是AB 边的垂直平分线，所以BE=A E ∠B=∠1．因为∠B=30º，所以∠1=30º．又因为A E 平分∠B AC ，所以∠2=∠1=30º，即∠B AC=60º．因为∠C=180º－∠B AC －∠B ，所以∠C=90º．点评：通过以上两例可以看出，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地二、用于证明例3 如图3，已知AB=AC ， AD 平分∠BAC ，求证：∠分析：由已知AB=AC 及AD 平分∠BAC ，易想到连结BC ，得 等腰△ABC ，且AD 垂直平分BC ，从而有DB=CD 及BE=EC ，可得∠EBC=∠ECB ，∠DBC=∠DCB ，两式相减即有∠DBE=∠ECD ．证明：连结BC ，因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD 垂 直平分BC ，所以BE=EC ，DB=CD ，所以∠EBC=∠ECB ，∠DBC= ∠DCB ，所以∠EBC －∠DBC=∠ECB －∠DCB ，即∠DBE=∠ECD 点评：本题也可以通过证明△ABE ≌△ACE 得∠AEB=∠AEC 及BE=EC ，再证明△BDE ≌△DCE ．但这种证法显然没有利用线段垂直平分线性质来得简捷．例4 如图4，在△ABC 中，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，分析：要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD=90º．由于AD=DB 可在AB 边上取中点E ，连结DE ，由AB=2AC 及∠BAD=∠得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD=∠AED ，由AD=DB 知D 在AB 的垂直平分线上，可知∠AED=90º，问题解决．证明：在AB 边上取中点E ，连结DE ，因为AD=DB ，E 为中点，所以ED ⊥AB ．因为AB=2AC ，所以AE=21AB= AC ．在△ADE 和△ADC 中，AE= AC ，∠DAE=∠DAC ，AD 共用，所以△ADE ≌△ADC ，所以∠ACD=∠AED=90º，所以CD ⊥CA ．点评：由于受习惯思维的影响，同学们在解题过程中，在可以用线段垂直平分线性质说明的问题，仍然用三角形全等的方法来解决，这就给解题增加的麻烦，我们应有意识地应用这个性质探求新的解题途径，切勿机械套用全等三角形知识．线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指一条垂直于给定线段，并且将该线段平分为两段长度相等的线。
在几何学中，垂直平分线是一种常见的概念，具有重要的应用价值。
本文将探讨线段的垂直平分线的性质、构造方法以及其在实际生活中的应用。
一、线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线有一些重要的性质。
首先，垂直平分线与线段相交于线段的中点。
这是由于垂直平分线平分了线段，所以垂直平分线必定与线段的中点相交。
其次，线段的两侧到垂直平分线的距离相等。
这是因为垂直平分线将线段平分为两等分，所以线段的两侧到垂直平分线的距离必定相等。
这些性质使得垂直平分线在几何学中具有重要的地位和应用。
二、线段的垂直平分线的构造方法线段的垂直平分线可以通过多种方法进行构造。
以下介绍两种常见的构造方法。
1. 使用尺规作图法通过使用尺规作图法，可以准确地构造出线段的垂直平分线。
具体步骤如下：（1）以线段的两个端点为圆心，作一对同心圆；（2）以同一半径，分别从线段的两个端点处画弧，将两个圆交于两点；（3）以这两个交点为圆心，作两个同心圆；（4）连接两个圆的交点和线段的两个端点，即可得到线段的垂直平分线。
2. 使用数学计算方法通过使用数学计算方法，也可以得到线段的垂直平分线。
具体步骤如下：（1）使用坐标系表示线段的两个端点；（2）根据两个端点的坐标，计算出线段的中点；（3）根据两个端点的坐标，计算出线段的斜率；（4）根据斜率的倒数，计算出线段的垂直平分线的斜率；（5）使用中点和垂直平分线的斜率，可以确定垂直平分线的方程。
三、线段的垂直平分线的应用线段的垂直平分线在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，通过垂直平分线可以确定墙壁的位置，使得建筑物更加均衡美观。
在地图制作中，通过垂直平分线可以准确绘制出各个地理位置之间的距离和方位关系。
此外，垂直平分线还用于解决一些实际生活中的问题，如切割食物、划分地块等。
总结：线段的垂直平分线是几何学中的重要概念，具有重要的性质和应用。
线段的垂直平分线性质
谢谢观看
性质
因此，l是AB的垂直 平分线。
设线段为AB，中点 为M，垂直平分线为l。 在l上任取一点P，连 接PA、PB。
证明方法二：利用角 平分线的性质证明
性质
01
02
03
04
由于M为AB中点，所以 AM=BM。
又因为l与AB垂直，所以 ∠PAM=∠PBM=90°。
根据角平分线的性质， ∠PMA=∠PMB（角平分 线的性质）。
方法二
利用向量的性质。通过向量运算，证 明线段的中点和直线的交点满足垂直 平分线的性质。
判定定理的证明
• 证明过程：首先，设线段AB的中点为M，直线l过M并与AB垂直。根据中点性质，有MA=MB。再根据直线与线段垂直的性 质，有∠A=∠B=90°。最后，根据三角形的全等判定，可以证明△AOB为直角三角形，从而得出l为AB的垂直平分线。
已知三角形，作三角形的垂直平分线
总结词
通过三边中点作垂直平分线
详细描述
首先，找到三角形三边的中点，然后分别过这三个中点作垂直平分线。这些垂直平分线会交于一点， 这个点就是三角形的重心。
已知圆和直径，作垂直平分线的作法
总结词
通过直径两端点作垂直平分线
VS
详细描述
首先，确定圆的直径的两个端点，然后分 别过这两个端点作垂直于该直径的直线， 即为该直径的垂直平分线。这个过程可以 通过几何作图或使用圆规来完成。
最值问题
利用垂直平分线的性质，可以解决一 些求最值的数学问题。例如，在给定 区域内求点到线段两端点距离之和的 最小值等。
04
垂直平分线的作法
已知线段和点，作线段的垂直平分线
总结词
通过中点作垂直平分线
详细描述
15.2线段的垂直平分线
∴BE+EC=AC.
∵AC=17，BC=16.
D
E
∴ △BCD的周长=BE+EC+BC=AC+BC=17+16=33.
练习3、如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂 直平分线ED交AC于D点. (1)当AE=13cm时，BE= cm； (2)当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm； (3)当BC=15cm，则△BEC的周长是 cm.
C
A
O
B
线段垂直平分线的判定定理
定理 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上.
P
几何语言 如图，
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在 A 线 段的垂直平分线上.）
线段垂直平分线的判定定理
B
练习1、
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
E
交流与小结 本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法 线段垂直平分线的画法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的应用
尺规作图 三角板取中点 画垂线
五、线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理 •线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等. • 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？ • 它是真命题吗？如何证明呢？ 命题 到线段两端距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上. •
<一>操作：画线段垂直平分线 方法一
尺规画法
1
①分别以点A、B为圆心，大于 ½ AB长为半径画弧交于点E、F 则直线EF就是线段AB的垂直平分 线(如图) 方法二 利用三角板过中点画垂线
垂直平分线定理及其应用
垂直平分线定理及其应用垂直平分线定理是几何学中的重要概念，它可以帮助我们解决一些与垂直平分线有关的问题。
本文将为您详细介绍垂直平分线定理以及其应用，并通过一些例子帮助您更好地理解。
一、垂直平分线定理的定义垂直平分线定理是指：若一条线段的中垂线与该线段垂直相交，那么这条中垂线被认为是该线段的垂直平分线。
在几何学中，中垂线是指由线段的中点引出的垂直于该线段的线段。
从垂直平分线定理的定义中，我们可以得出以下结论：1. 垂直平分线将线段分为两个相等的部分。
即，线段的两侧与垂直平分线的交点到线段两端的距离相等。
2. 两个垂直平分线相交于所对应线段的中点。
3. 任意一个点到线段两端的距离相等于该点到垂直平分线的距离。
二、垂直平分线定理的应用1. 查找点到线段的最短距离当我们需要确定一个点到一条线段的最短距离时，可以通过画出该线段的垂直平分线，然后测量该点到垂直平分线的距离，即可得到所求的最短距离。
2. 构造等腰三角形在给定一个线段的情况下，我们可以通过垂直平分线定理来构造一个等腰三角形。
具体步骤如下：（1）取线段的中点，作出垂直于该线段的中垂线；（2）以线段的其中一端点为圆心，以线段的一半长度为半径作圆弧，与中垂线相交于另一端点；（3）连接两个端点和线段中点，即构成了一个等腰三角形。
3. 证明垂直关系垂直平分线定理在证明垂直关系的时候也经常被使用。
例如，当我们需要证明两个线段的垂直关系时，可以通过画出两个线段的垂直平分线，并证明这两条垂直平分线相交于同一点，从而得出结论。
三、案例分析为了更好地理解垂直平分线定理及其应用，我们来看两个具体案例：案例一：找到点到线段的最短距离已知线段AB的长度为8厘米，点C位于该线段上，欲求点C到线段的最短距离。
解决方案如下：（1）以线段AB的中点O为圆心，长度为4厘米的半径作圆；（2）连接点C和圆心O，并延长到圆上的两个交点D和E；（3）连接点D和点E，画出直线DE；（4）点C到直线DE的距离即为点C到线段AB的最短距离。
线段的垂直平分线及其应用
线段的垂直平分线性质及其应用一、基础知识归纳1 线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P作已知线段AB的垂线PC，再证明PC平分AB；②取AB的中点C，证明PC⊥AB；③作∠APC的平分线PC，证明PC⊥AB，且AC=AB.3 三角形的三边的垂直平分线定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．二、典型例题剖析典例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N.求证：CM=2BM.【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。
5.3.4 线段垂直平分线的四种应用
第五章生活中的轴对称5.3 简单的轴对称图形第4课时线段垂直平分线的四种应用12341．如图，MP ，NQ 分别垂直平分AB ，AC ，且BC ＝13 cm ，求△APQ 的周长．1应 用应用线段垂直平分线的性质求线段的长解：因为MP，NQ分别垂直平分AB，A 所以AP＝BP，AQ＝QC.所以△APQ的周长＝AP＋AQ＋PQ＝BP＋QC＋PQ＝BC＝13 cm.返回2．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AB 边的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，连接AD ，AD 将∠CAB 分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC 的度数．2应 用应用线段垂直平分线的性质求角的度数解：因为∠1∶∠2＝2∶5，所以设∠1＝2x，则∠2＝5x.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以AD＝BD.所以∠B＝∠2＝5x.所以∠ADC＝180°－∠ADB＝∠2＋∠B＝10x.因为在△ADC中，∠1＋∠ADC＝90°，所以2x＋10x＝90°.解得x＝7.5°.所以∠ADC＝10x＝75°.返回3．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A ，B ，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？3应 用应用线段垂直平分线的性质解决实际问题解：如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．返回4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M .(1)若∠A ＝40°，求∠NMB 的度数．4应 用应用线段垂直平分线的性质探究规律解：因为在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，所以∠ABC＝∠ACB＝70°.因为AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，所以MN⊥AB.所以∠NMB＝90°－∠ABC＝20°.(2)如果将(1)中∠A的度数改改为70°，其余条条件不变变，求．∠NMB的度数．因为在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，所以∠ABC＝∠ACB＝55°.线于点M，因为AB的垂直平交AB于点N，交BC的延长线平分线交所以MN⊥AB.所以∠NMB＝90°－∠ABC＝35°.(3)由(1)(2)你发现了了什么规规律？并并说明理理由．返回。
线段垂直平分线性质的应用
线段垂直平分线性质的应用重要的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.一、求角度例1 如图1，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数.分析：因为DE是AB的垂直平分线，所以∠1=∠B.解：因为DE是AB的垂直平分线，所以所以∠1=∠B=30°又因为AE平分∠BAC，所以∠2=∠1=30°所以∠C=180°―∠B―∠BAC=90°. E C二、求线段的长例2 如图2，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△ABC的周长等于18cm，则AC的长等于（）A、6cmB、8cmC、10cmD、12cm分析：因为DE是AB的垂直平分线，所以EA=EB，可以把BE+EC转化为AC.解：因为DE是AB的垂直平分线，所以EA=EB.所以AC=AE+EC=EB+EC. A又因为EB+EC+BC=18，BC=8，所以EB+EC=18－8=10. D 即AC=10. E 故应选C. B C三、说明线段相等例3 如图3，点D、E在△ABC的边BC上，BD=CE，AB=AC，试说明：AD=AE.分析：由AB=AC，易联想到过点A作AF⊥BC于点F，则可说明AF是DE的垂直平分线，问题便可解决.解：过点A作AF⊥BC于点F，因为AB=AC，AF⊥BC， A所以BF=CF.所以B F－BD=CF－CE，即DF=EF.所以AF是DE的垂直平分线，所以AD=AE. B C四、说明角相等 D F E例4 如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AE=AC，EF∥BC，试说明：∠FEC=∠DEC.分析：容易说明∠FEC=ECD，所以只需说明∠ECD=∠DEC，问题便可解决.解：因为AE=AC，AD是∠BAC的平分线，所以AD是EC的垂直平分线.而点D是EC垂直平分线上的点，所以DE=DC，∠DCE=∠DEC. 又因为DE∥BC，A所以∠FEC=∠DCE，所以∠FEC=∠DEC.E FB D C。
线段垂直平分线的应用举例
1 线段垂直平分线的应用举例河南 马国伟线段垂直平分线的性质定理及逆定理有多方面的应用.现举例分析说明如下．一、证明线段的相等例1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6．则AB 的长为 ． 解：由△BCE 周长为14，BC=6可得BE+EC=8．由DE 为AB 的中垂线，可知BE=AE ，则AB=AC=8．二、证明角的相等例2.如图2．AD 是∠BAC 的平分线，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AF ．求证：∠B=∠CAF ．分析：由EF 是AD 的垂直平分线可知FA=FD ，所以∠1=∠DAF=∠B+∠2，又∠DAF=∠3+∠4，且∠2=∠3，这样，结论即可获证．证明：∵EF 为AD 的中垂线， ∴FA=FD ，∠1＝∠FAD ．又AD 平分∠BAC ． ∴∠2＝∠3．又∠1为△ABD 的外角， ∴∠1＝∠B 十∠2．又∠FAD ＝∠3+∠4，∴∠FAD=∠2+∠4， ∴∠B+∠2＝∠2+∠4．∴∠B=∠4，则∠B=∠CAF ．三、证明线段的垂直平分线例3.如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上一点BD= BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F ．求证：BE 垂直平分CD ．分析：可证B 、E 都在CD 的垂直平分线上，或由BD=BC ，证BF ⊥CD 或∠CBF ＝∠DBF ． 证法：∵BD ＝BC ， ∴点B 在CD 的垂直平分线上． 又∵BD ＝BC ， ∴∠BCD ＝∠BDC ． ∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠ACB=∠EDB ．∴∠ACB-∠BCD=∠EDB-∠BDC ，即∠EDC=∠ECD ． ∴ED ＝EC ． ∴点E 在CD 的垂直平分线上． ∴BE 是CD 的垂直平分线． 四、解决实际问题例4.如图4，有A ，B ，C 三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置(要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法). 分析：(1)将A ，B ，C 三个工厂看作三个点A 、B 、C ，每两个工厂之间的距离看作线段AB 、AC 、BC ． (2)所求供水站位置即图中到点A 、点B 、点C 等距离的点0．(3)假设点0已作出，则点0应在AB 、AC 、BC 的垂直平分线上，因此作三角形任意两边的垂直平分线，其交点即为所求．故，作出AB 、AC 、BC 的垂直平分线，它们的交点即为所求.解：略.图1图2图3BM。
线段垂直平分线知识点+经典例题
第三讲 线段的垂直平分线【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.2121【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC （已证）∴点A 和点D 都在线段BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD 是线段BC 的垂直平分线。
几何推理教案：垂直平分线的性质及应用 (2)
几何推理教案：垂直平分线的性质及应用一、垂直平分线的性质在几何学中，垂直平分线是指一个线段的中垂线，它具有一些特殊的性质和应用。
下面将介绍垂直平分线的性质及其在几何推理中的应用。
1.1 垂直平分线划分为两个等长部分首先，我们来看垂直平分线将一个线段划分为两个等长部分。
对于任意给定的线段AB，在其上作一条垂直平分线CD。
根据定义可知，CD与AB相交于E点，并且ED=EB、EC=EA。
这是因为CD是以点E为圆心、EB（或EA）为半径所作的圆上弧，而圆上弧所对的圆心角都是60°。
所以由等弧定理可得到ED=EB、EC=EA。
因此，垂直平分线可以将一个线段划分为两个等长部分。
1.2 垂直平分线与两端点连线构成的角相等其次，我们研究垂直平分线与两端点连线构成的角是否相等。
还是以之前讨论过的线段AB和垂直平分线CD为例，在此基础上我们引入F点连接FB和FC。
根据定义可知，由三角形的内角和定理可得，∠AED+∠AEB=180°、∠CEB+∠CED=180°，即两个相对的内角和等于180°。
由CD与AB垂直平分且与EF相交于点E，根据同位角定理可得到∠AEB=∠CED。
同样地，由CD与AB垂直平分且与EF相交于点E, 根据同位角定理可得到∠CEB=∠AED。
综上所述，我们可以得出结论：垂直平分线与两端点连线构成的角相等。
二、垂直平分线的应用除了以上介绍的性质外，垂直平分线还具有一些重要的应用。
2.1 构建正方形首先，在几何推理中经常会用到构建正方形。
根据正方形的定义可知，每条边都是等长并且相互垂直。
我们可以利用垂直平分线来构建正方形。
以一个给定点A 为中心，在其上作一条任意长度的线段AB，并在AB上作一条垂直平分线CD。
再以D和C为半径，作圆弧并求取交点F和E。
连接AF、FB、BE和EA，则所构造出来的四边形AFBE就是一个正方形。
因为AF=FB=BE=EA，且∠AFB=∠FBE=∠BEA=∠EAF=90°，所以四边形AFBE是一个正方形。
《线段的垂直平分线》课件
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
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《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。
线段垂直平分线性质和判定的应用
∵P是线段AB垂直平分线上的点， ∴PA=PB
依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
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1.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有AB垂 直平分CD,请说出证明过程. 2.如图所示，CD是AB的垂直平分线，若 AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边形ABCD的周 长是多少?
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
一、线段垂直平分线的性质:
证明: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 数学表达： ∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上 ∴PA=PB 也可以说： ∵直线MN垂直平分AB，点P在MN上 ∴PA=PB 还可以说： A C N B P M
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线段的垂直平分线
实际问题
2、如图，在直线L上求 作一点P，使PA=PB.
A
数学化
实 际 问 题
2
B
L
p
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务
达标测试A:
如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的 垂直平分线交AB于点D,交AC于点 E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
ADຫໍສະໝຸດ EBC 小结：
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再 见
线段垂直平分线性质 与判定的应用
学习 目标：
1、掌握线段垂直平分线的性质 以及判定的简单应用。 2、了解数学和生活的紧密联系， 培养用数学的能力。 3、培养学生步步有据的推理意 识。
《线段的垂直平分线》
习题二：求解矩形中垂直平分线的长度问题
总结词
求解矩形中垂直平分线的长度问题，需要理解矩形的性质以及矩形中垂直平分线的定义和性质。
详细描述
首先，我们需要明确矩形的性质。在矩形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，并且AC=BD。接着，我们可以利用 矩形的性质来求解垂直平分线的长度问题。具体地，由于AC是BD的垂直平分线，我们可以得到AB=AD， BC=DC。因此，我们可以得到矩形中垂直平分线的长度为AC或BD的长度。
《线段的垂直平分线》
2023-11-08
目 录
• 定义与性质 • 定理与推论 • 垂直平分线的判定 • 垂直平分线的作法 • 垂直平分线的应用 • 习题与解析
01
定义与性质
定义
垂直平分线
一条直线把线段分成两段，其中每段与原线段的两个端点之间的线段相等，这 条直线叫做这条线段的垂直平分线。
中垂线
06
习题与解析
习题一
总结词
证明三角形中垂直平分线的性质定理，需要理解三角 形中线、高线的概念以及它们与垂直平分线的关系。
详细描述
首先，我们需要明确三角形的中线与垂直平分线的定 义。在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，则有 AB=AC，BD=DC，AD垂直平分BC。接着，我们可以 利用三角形全等的证明方法来证明垂直平分线的性质 定理。具体地，由于三角形ABD与三角形ACD全等， 我们可以得到角BAD=角CAD，从而证明AD是角BAC 的角平分线。此外，我们还可以证明AD是BC的高线。 因此，我们证明了三角形中垂直平分线的性质定理。
总结词
经过一个已知点作一条线段的垂直平分线， 方法有多种，其中一种是利用中垂线的性质 。
详细描述
首先，需要明确线段的中点，然后过该中点 作一条与原线段垂直的直线，即为所求的垂 直平分线。
线段的垂直平分线的性质及其应用两套资料培优教学案精编
线段的垂直平分线----知识讲解(一)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线 1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线． 要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【变式2】（2015秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．【总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了“两点确定一条直线”，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线．举一反三：【变式】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．3、已知：如图，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点． 求证：BE=CE ．B【总结升华】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线．4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为BC 边上的中点，CE ⊥AD 于点E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证：AB 垂直平分DF ．【思路点拨】先根据ASA 判定△ACD ≌△CBF 得到BF=CD ，然后又因为D 为BC 中点，根据中点定义得到CD=BD ，等量代换得到BF=BD ，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF ，即BA 是∠FBD 的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．【总结升华】主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.类型四、尺规作图5、（2016秋•西市区校级期中）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．【总结升华】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题．线段的垂直平分线——巩固练习（基础）【巩固练习】一．选择题 1．如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（ ）A ．30° B．40° C．50° D．60°2．（2016春•宿州校级期末）如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，BC=8cm ，AC=5cm ，则△ADC 的周长为（ ）A ．14cmB ．13cmC ．11cmD ．9cm3．（2015•达州）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF 的度数为（ ）A ．48°B ．36°C ．30°D ．24°4．如图，已知直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 上一点，且CE=EB ，ED⊥CB 于D ，则下列结论中不一定成立的是（ ） A ．AE=BE B ．CE=21AB C ．∠CEB=2∠A D．AC=21AB5．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A、80°B、70°C、60°D、50°6．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（）．A．25° B．27° C．30° D．45°二．填空题7．（2015•徐州校级模拟）如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BC的垂直平分线分别角AB、BC于D、E，则△ACD的周长为cm．8．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝2cm， AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，则AC的长是___________cm．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．12．（2016秋•乌拉特前旗期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是．三．解答题：13．（2015秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，△ABC的周长为38cm，∠BAC=140°，AB+AC= 22cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G，求：（1）∠EAF的度数；（2）求△AEF的周长．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．15．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．线段的垂直平分线---知识讲解(二)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线 1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线． 要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、20【思路点拨】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ ABC的周长．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．举一反三：2.（2015秋•和县期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．【总结升华】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．．要点二、线段的垂直平分线的逆定理3.（2016春•鄄城县期中）如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC．求证：E点在线段AC的垂直平分线上．【思路点拨】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．【总结升华】本题考查了线段的垂直平分线的应用，掌握线段垂直平分线的性质和判定定理是解题的关键．4.举一反三：【变式】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC 于点F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG=________.要点四、尺规作图5.如图，每个格的单位长度是1，△ABC的外心坐标是 (_____________).【思路点拨】可分别作BC与AB的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，则点G即为△ABC的外心，继而可求得答案．【总结升华】考察尺规作图的能力和三角形的外心的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）线段的垂直平分线——巩固练习（提高）【巩固练习】一．选择题1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）A、6B、4C、6D、42.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、33.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分ABC、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB6.（2015秋•陆丰市校级期中）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上二．填空题7．（2016•长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．8.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________ ．9.（2015•西宁）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC 于D，E两点，则CD的长为______________．10.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_____ 度．11.如图:已知,在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．12.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△AB D的周长为_________ cm．三．解答题：13.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．14.（2015秋•扬州校级月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延长线于E点．求证：DE=AE+BC．15.（2016秋•农安县期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．。
垂直平分线的性质与应用
判定方法
定义法：根据垂直平分线的定义进行判定 角平分线法：利用角平分线定理进行判定 勾股定理法：利用勾股定理进行判定 逆定理法：利用垂直平分线的逆定理进行判定
垂直平分线定理
定义：垂直平 分线是过线段 中点并垂直于
线段的直线
性质：垂直平 分线上的任意 一点到线段两 端点的距离相
等
应用：利用垂直 平分线的性质解 决实际问题，如 三角形、四边形 的中垂线性质等
性质：垂直平 分线上的点到 线段两端点的
距离相等
应用：利用性质 证明线段相等， 可以通过证明某 点到线段两端点 的距离相等来实
现
解题步骤：先确 定线段的中点， 然后过中点作线 段的垂直平分线， 最后利用性质进
行证明
利用垂直平分线性质证明角相等
定义：垂直平分线是过线段中 点并与线段垂直的直线
性质：垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等
分：通过中点作直 线的垂直平分线
已知线段和直线
确定线段的中点
连接线段两端与中 点，得到垂直平分 线
证明垂直平分线的 性质和应用
总结垂直平分线的 作法
垂直平分线的性 质在解题中的应 用
利用垂直平分线性质证明线段相等
定义：垂直平 分线是过线段 中点并与线段
垂直的直线
证明方法：利用垂直 平分线的性质，可以 证明两个三角形在两 边和夹角相等的情况 下是全等的。
实例解析：通过具体 例题解析，展示如何 利用垂直平分线性质 证明三角形全等。
利用垂直平分线性质求线段长度
定义：垂直平分线性质是指垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
应用场景：在解题中，可以利用垂直平分线性质来求线段的长度。
解题步骤：首先，找到线段的垂直平分线；然后，在垂直平分线上选取一个点，并测量该点到线段 两端点的距离；最后，利用垂直平分线的性质，计算出线段的长度。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指一条线段的中垂线，即将该线段垂直平分为两段相等的线段。
在几何学中，垂直平分线是一个重要的概念，它具有许多有趣的性质和应用。
本文将深入探讨线段的垂直平分线以及它的相关概念和性质。
1. 定义和性质线段的垂直平分线是指以线段的中点为圆心，线段长度的一半为半径的圆所确定的直线。
具体来说，给定线段AB，其中M为AB的中点，以M为圆心，AM或BM的长度为半径作圆，与线段AB的两个端点A和B交于C和D两点，则MC和MD即为线段AB的垂直平分线。
线段的垂直平分线具有以下重要性质：（1）垂直性质：线段的垂直平分线与该线段垂直相交，即角AMC和角BMD均为直角。
这是因为圆心M到圆上任一点的线段和圆的切线垂直。
（2）等长性质：线段的垂直平分线将线段AB平分为两个等长的线段，即AM=BM=MC=MD。
这是因为圆心M到圆上任一点的距离都相等。
（3）对称性质：线段的垂直平分线将线段AB分割成两个对称的部分。
即，点A和点B关于垂直平分线MC和MD是对称的。
2. 构造垂直平分线的方法构造线段的垂直平分线有多种方法，其中一种常用的方法是使用尺规作图。
步骤如下：（1）以线段AB为底边，以尺刻度确定线段的中点M。
（2）以尺为半径，以点M为圆心作两个相交的圆弧于点A和点B。
（3）以直尺连接点A和点B，该直线即为线段AB的垂直平分线。
另外，还可以使用传统的画垂线方法，即使用直尺和圆规：（1）以A和B为圆心，以AB的长度为半径分别作两个圆弧，交于点C和点D。
（2）以点C和点D为圆心，以AC或BC的长度为半径作两个相交的圆弧，分别与原线段AB交于点E和点F。
（3）以点E和点F连接，该直线即为线段AB的垂直平分线。
3. 垂直平分线的应用线段的垂直平分线在几何学中具有广泛的应用。
（1）几何证明：垂直平分线常常被用于证明一些几何命题，如证明两线段平行、证明三角形的性质等。
通过构造垂直平分线，可以将复杂的几何问题简化为更容易解决的问题。
线段垂直平分线的四种应用
解：∵∠1∶∠2＝2∶5，
∴设∠1＝2x，则∠2＝5x.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.∴∠B＝∠2＝5x.
∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.
∵在△ADC中，2x＋10x＝90°，
解得x＝7.5°， ∴∠ADC＝10x＝75°.
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应用
3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用
4．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在
∴BC＝BD＋DE＋EC＝AD＋DE＋AE＝6 cm.
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16 cm，
求OA的长．
由题意易知OA＝OB＝OC， C△OBC＝OB＋OC＋BC＝16 cm， 又由(1)可知BC＝6 cm， ∴OB＋OC＝10 cm. ∴OA＝OB＝OC＝5 cm.
返回
应用
5．如图，AD为△ABC的角平分线，AE＝AF.请判断 线段AD所在直线是否为线
段EF的垂直平分线，并说 明理由．
解：线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线． 理由：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD.
AE＝AF， EAD＝FAD， 在△AED和△AFD中， AD＝AD，
第13章 轴对称
双休作业(五)
2 线段垂直平分线的四种应用
1
2
3
4
5
应用
1
线段垂直平分线的性质 在求线段长中的应用
1．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于 点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相 交于点O，△ADE的周长为6 cm.
(1)求BC的长；
解∵△ADE的周长为6 cm， ∴AD＋DE＋AE＝6 cm. ∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC， ∴AD＝BD，AE＝CE.
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线线段是数学中基本的几何概念之一，而垂直平分线是与线段有密切关系的重要概念。
在本文中，我们将探讨线段的垂直平分线的定义、性质以及如何构造和应用。
一、线段的垂直平分线的定义线段的垂直平分线是指将给定线段垂直平分成两个等长线段的直线。
具体而言，对于线段AB，其垂直平分线将线段AB分成两个等长线段AC和CB。
垂直平分线上的任意一点都与线段AB的两个端点A和B的距离相等，并且与线段AB的中点M重合。
二、线段的垂直平分线的性质垂直平分线具有以下重要性质：1. 垂直性：垂直平分线与线段AB垂直相交。
这意味着垂直平分线上的两条相邻线段是垂直的。
2. 位置唯一性：线段的垂直平分线只有一条。
这意味着对于任意给定的线段，只有一条垂直平分线与其相交。
3. 等分性：垂直平分线将线段AB分成两个等长线段。
4. 对称性：线段AB关于垂直平分线具有对称性。
即相对于垂直平分线，点A和点B互为镜像。
三、线段的垂直平分线的构造方法下面介绍两种构造线段垂直平分线的方法：1. 利用圆的性质：首先，以线段AB的中点M为圆心，以线段AB 的一半长度为半径作圆。
然后，将圆与线段AB分别交于两个点C和D，连接线段CD。
线段CD即为线段AB的垂直平分线。
2. 利用作图方法：首先，以点A为中心，以线段AB的长度为半径作圆。
然后，以点B为中心，同样以线段AB的长度为半径作圆。
假设两个圆分别与线段AB交于两个点C和D，连接线段CD。
线段CD 即为线段AB的垂直平分线。
四、线段的垂直平分线的应用线段的垂直平分线不仅仅在几何学中有着重要的应用，还在实际生活中有许多应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直平分线常用于确定建筑物的中心线，以便建筑师能够对称地布局。
2. 切割材料：在木工或金属加工等行业中，垂直平分线可用于准确定位和切割材料。
3. 路径规划：在地图导航系统中，垂直平分线可用于确定最短路径或最佳路线，以便节省时间和距离。
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线段的垂直平分线性质及其应用
一、基础知识归纳
1 线段的垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.
2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；
（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P 作已知线段AB 的垂线PC ，再证明PC 平分AB ；②取AB 的中点C ，证明PC⊥AB；③作∠APC 的平分线PC ，证明PC⊥AB，且AC=AB.
3 三角形的三边的垂直平分线
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；
（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；
（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．
二、典型例题剖析
典例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，
AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N.
求证：CM=2BM.
【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。
证明：连接AM ，∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵MN 垂直平分AB ， ∴MB =MA ，∴∠B =∠MAB =30°，∴∠MAC =90°，∴AM =2
1CM ， ∴CM =2BM
典例2：城A 和城B 相距24千米，如今政府为便利两城居民生活，
决定修建一个仓库，使得仓库到两城距离相等，请问这样的
仓库位应该修建在什么位置？仓库的位置惟一吗？
若要求仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置惟一吗？ 【研析】：这是一个把数学知识运用到生活中的实际问题，也就是找一个点到线段AB 的两个端点的距离相等，因此仓库的位置在线段AB 的垂直平分线上，这样的点有无数个，所以仓库的位置不惟一；若仓库到两城距离均为15千米，则AM=BM=15，AC=BC=12，所以
图1 图2
MC=9，所以仓库可以修建在点M 的位置，同理也可以修建在点N 的位置，故仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置也惟一。
典例3： 已知：三个村庄分别是A 、B 、C ，其位置如图所示，现在三个村庄联合打一机井向三个村庄供水，从各自的利益考虑，都为了使机井到自己的村庄的距离最近，请你帮助他们设计一个方案.
【研析】：这是一个实际问题，它的本质就是寻求一个点
到A 、B 、C 三个点的距离都最小，实际就是找一个点P 到
A 、
B 、
C 三个点的距离相等,因此，可以作三边的垂直平分线，
相交于点P.
典例4。
(1)在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，
交BC 的延长线于M ，∠A＝40°，求∠NMB 的大小；
(2)如果将(1)中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小．
(3)你发现了什么样的规律?试证明之；
(4)将(1)中的∠A 改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．
【研析】由(1)、(2)不难认识到之BMN 的大小是∠A 的一半，但也容易认为点M 一定在BC 的延长线上，通过(4)也就是让△ABC 保持AB ＝AC 的前提下发生变化，认识就会更全面、更准确了．
(1)∵AB＝AC ，∴∠B＝∠ACB(等边对等角)．
∴∠B＝21(180°-∠A)＝2
1 (180°-40°)＝70°． ∵∠BNM＝90°， ∴∠M＝90°-∠B=90°-70°＝20°[如图(1)]．
(2)如图(2)，同(1)求得∠BMN＝35°．
(3)如图(3)，∠NMB 的大小为∠A 的一半．
证明：设∠A＝α． ∵AB＝AC,∴∠B=∠C(等边对等角)． ∴∠B=
21 (180°-α)． ∵∠BNM＝90°，∴∠BMN=90°-∠B=90°-21 (180°-α)= 2
1α， 即∠BMN 等于顶角的一半．
(4)完整的叙述上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．
图3 图4。