人教版八年级下册第18章平行四边形——弦图模型和半角模型专题(Word版,无答案)
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提出猜想
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O． OA与OC，OB与OD有什么关系？
求证：OA=OC，OB=OD．
证明：∵ 四边形
D1
3C
ABCD是平行四边形，
∴ ∴
AB=CD，AB∥CD； ∠1=∠2，∠3=∠4；
A
4
O 2B
∴ △COD≌△AOB；
∴ OA=OC，OB=OD．
提出猜想
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 11:15:01 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
人教版八年级数学下册教案第十八章平行四边形(可编辑修改word版)
形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和 结果。
角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜
想的一致？
（1）由定义知道，平行四边形的对边平
行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，
相邻的角互为补角．
（相邻的角指四
边形中有一条公共
边的两个角．注意
和第一章的邻角相
区别．教学时结合
图形使学生分辨清楚．）
（2）猜想 平行四边形的对边相等、对角
即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从
较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，
学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．
教学过程
问题与情境
师生活动 备注
一、课堂引入
1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子
和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形
的形象？
边形．平行四边形 ABCD 记作“ ABCD”，读 符号语言表
作“平行四边形 ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC ， ∴四边形 ABCD
是平行四边形（判定）；
示平行四边 形的性质定 理。
②∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB//DC， AD//BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的
平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质 的应用． 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、 对角相等的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全 章打下基础．
学习这一节的基础知识是平行线性质、全等三角形和四边形， 课堂上可引导学生回忆有关知识．
边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端
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18.1.1 平行四边形的性质（1）
课件说明
• 本课是在复习小学关于平行四边形学习经验的基础 上，进一步用观察实验的方法得到平行四边形边和 角的性质的猜想，并用演绎推理证明猜想，发展理 性思维，获得平行四边形的新知识． zxxk
课件说明
• 学习目标： 1．理解平行四边形的概念； 2．探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性 质； 3．初步体会几何研究的一般思路与方法．
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
• 学习重点： 平行四边形边角性质的证明和应用．
观察抽象 形成概念
观察这些图片，它们是否都有平行四边形的形象？
你还记得平行四边形的定义吗？ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
观察抽象 形成概念
我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形；对 于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？学科网
D
C
A
B
ABCD
∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知）， ∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义）． 反过来 ∵ AB∥CD，AD∥BC（已知）， ∴ 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）．
人教版初中数学八年级下册素养课件 第十八章 平行四边形
知识点 平行四边形的判定
如图所示的是一种儿童的游乐设施——儿童荡板.这个荡板上方的 四边形ABCD想设计成平行四边形,在没有其他测量工具的情况下, 小明利用手头的一根足够长的绳子,结合平行四边形的判定方法, 就可以将四边形ABCD设计成平行四边形.
Hale Waihona Puke 知识点 平行四边形的判定(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. (2)一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形. (3)平行四边形的判定定理与性质定理是互逆定理,解题时要注意区 别,以防混淆.
学科素养课件
新课标人教版·数学 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
知识点 平行四边形的定义
形态各异的平面图形不但充满了我们的空间,也美化了我们的生 活环境,其中平行四边形更是司空见惯的平面图形.例如小区的伸 缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等,都给我们以平行四 边形的形象.
知识点 平行四边形的性质
知识点 菱形的定义和性质
菱形的对角线互相垂直、平分,并且每条对角线平分一组对角,因 此菱形的性质可用来证明线段相等、角相等,直线平行、垂直及进 行有关的计算.
知识点 菱形的定义和性质
菱形的对角线互相垂直平分,但不一定相等.
知识点 菱形的判定
红丝带是对HIV和艾滋病认识的国际符号,是一种希望的象征,象征疫 苗的研究和治疗感染者的成功,象征HIV感染者生活质量的提高.红丝 带代表着一种支持,支持HIV感染者,支持对未感染者的继续教育,支 持尽全力去寻找有效的治疗方法、疫苗,支持那些因艾滋病失去至 爱亲朋的人.人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别 在胸前,如图所示.红丝带重叠部分形成的图形就是一个菱形.
数学八年级下册第十八章平行四边形小结与复习教学课件 新人教版
7、 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为O， 若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影部分的面积．
4、如图，ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD的中点，①求 证：AECF也是平行四边形；②连接BD，分别交CE、AF于G、H， 求证：BG=DH；③连接CH、AG，则AGCH也是平行四边形吗？
解： ❶：根据已知可知：
AE∥FC且AE=FC AD=BC DF=EB ∠ABC=∠ADC ∴△ADF≌△CBE (SAS) ∴AF=CE ∠DAF=∠ECB ∴四边形AECF是平行四边形
(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时， 四边形AECF为正方形．
解：当点O运动到AC的中点时， 且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形． ∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF 是矩形， 已知MN∥BC， 当∠ACB＝90°， 则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形．
轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
平行 四边形
矩形
菱形 正方形
条件
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等
4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形
8、 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC， 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F， 连接AE、AF.
人教版八年级下册第十八章平行四边形18.2.1课件(共15张PPT)
18.2.1 矩形
1
思考：平行四边形的定义？ 有两条边互相平行的四边形
思考：平行四边形的性质？ 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分
2
思考：平行四边形的判定？ 两组对边分别相等的四边形使平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
=2_O__B__=2__O__D__. =2_____=2______.
=2_____=2______. 矩形的两条对角线的夹角为60°，一边长为10，则另一边长为____________
直角三角形斜边
有三个角都相等的四边形是矩形． （ ）
问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是__O_B__， 上的中线等于斜 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4厘米，BC=8厘米，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF。
对角线互相平分的四边形是平行四边形 解：连接AC、BD相交于O点
B
C
C．一组对角是直角 D．有三个角是直角
AD∥__B_C_，AD=__B_C__. 边：
C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
思考：是不是所
∠ABC＝∠DBC＝90°
有AC、B两＝对条D角C边线A互D相②＝相等B平C行∠D的、四对边B角形A线互D相=平∠分 _A__D_C__=∠_B_C_D__=∠_A__B_C__=90° 有的三角形都有
9
矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( C)
A、对角相等
B、对边相等
C、对角线相等
D、对角线互相平分
具备条件____的四边形是矩形．（ D ）
人教版数学八年级下册 第十八章《平行四边形》专题课件 课件
(2) 证明：由 (1) 知，四边 DFGE 是平行四边形，
∵ D、G 分别是 AB、OB 的中点，
∴ DG∥OA，
∵ OA⊥DE，∴ DG⊥DE.
∴∠GDE = 90°.
∴ 平行四边形 DFGE 是矩形，
所以当 OA⊥DE 时，四边形 DFGE 是矩形.
(3) 解：若四边形 DFGE 是正方形，OA 与 BC 之间
的四边形是平行四边形. 顺次连接矩形各边中点能得到
菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特
殊平行四边形？
A
A HD
H
A
HD
E平行四边形 D G
E
B
F
C
B
任意四边形
菱形 G
FC 矩形
E 正方形 G
BFC 正方形
【应对策略】各边中点顺次连接形成的四边形： 四边形(对角线无特点) →→→→ 平行四边形 矩形(对角线相等) →→→→ 菱形 菱形(对角线垂直) →→→→ 矩形 正方形(对角线相等且垂直)→→→→正方形
A
M
D
∴ MN 垂直平分 BE，∴ BM＝EM，
∵ 点 E 是 CD 的中点，DE＝1，
E
∴ 在 Rt△ABM 和在 Rt△DEM 中， B
N
C
AM 2 + AB2＝BM 2，DM 2 + DE2＝EM 2，
∴ AM 2 + AB2＝DM 2 + DE2．
设 AM＝x，则 DM＝4﹣x，
A
∴ x2 + 22＝(4﹣x)2 + 12．
GF = EH，则四边形EHFG 是平行四边形， G H
利用平行四边形的性质即可证得； B
E
八年级数学下册第十八章平行四边形小结与复习教学课件新版新人教版
转化思想
例10 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角
线，其交点为O，若BC=6，BC边上的高为4，试求
阴影部分的面积．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
EP
∵AB∥CD， ∴∠EAO=∠HCO.
Q
G
又∵ ∠AOE＝∠COH， ∴△AEO≌△CHO（ASA），
FH
同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，
1 2
BC，
1 2
BC，DC=
1 2
AB.
∴DE ∥FC，DE =FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∴EF=
1 2
AB=6．
针对训练
4.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB， AC的中点，则∠DEC的度数为（ B ） A．150° B．120° C．60° D．30°
5.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
条件
平行 四边形
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等
4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形
菱形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂 直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形
证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DE、EF都是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，DE∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形.
（2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠BAC， ∵D，F分别是AB，CA的中点，
新人教版八年级下册数学第十八章平行四边形ppt课件
*
18.1.2 平行四边形的判定 第1课时
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
*
一、温故知新，引入新课 1.平行四边形的定义是什么？ 2.平行四边形的对边具有什么性质？写出这条性质定理. 3.它的逆命题是什么？你认为它成立吗？
*
平行四边形
定义
性质
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
两组对边分别平行的四边形 是平行四边形
*
活动七：作业布置
教材习题18.1第3、14题．
补充习题： 1. 若平行四边形的一边等于14，则它的两条对角线可能的取值分别是（ ） A.8和16 B.6和16 C.2和16 D.20和22
*
学习了本节课你有哪些收获？
*
本课小结
A
D
B
C
定 义
表示方法
性 质
两组对边分别平行的四边形叫做 平 行 四边形。其不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。
平行四边形ABCD, 记为“□ABCD”, 读作“平行四边形ABCD”, 其中线段AC, BD称为对角线。
平行四边形的对边相等，对角相等， 相邻两角互补。
1.如何利用勾股定理解决实际生活中的具体问题？关键是什么？ 2.通过对勾股定理证明的探索，谈一谈你对证明勾股定理的感受.
*
布置作业：
2. 通过查找、翻阅有关证明勾股定理的方法的资料，整理并在下节课进行展示、交流.
1．自己归纳一种或两种勾股定理的证明方法，领悟其证明思想.
B
D
A
C
AB∥CD, AD∥BC
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
*
活动一：复习引入
八年级数学下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.1.1平行四边形的边角特征课件新版新人教
A
D
B
C
平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等．
活动探究
动手做一做: 剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动 其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：AD和BC的长度相等. 理由如下：由题意知AB//CD,AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
典例精讲
例1 如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的平行四边形有多少个？将它
们表示出来.
AG E
K
D 解：∵DC∥GH ∥ AB，
DA∥ EF∥ CB， F ∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四
BH
C
边形，即 AEKG, ABHG, AEFD, GKFD,
平行四边形的 邻角互补
举一反三
2.若 ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 解： 在平行四边形ABCD中,
∵AB=CD，BC=AD. 又∵AB+BC+CD+AD=28cm, ∴AB+BC= 14cm. ∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm,
归纳：已知平行四边形的边 角的比例关系求其他边角时， 常会用到方程思想，结合平
行四边形的性质列方程.
∴3y+4y=14，解得y=2.
∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
典例精讲
例3 如图，在 ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证： BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB ∥ CD ∴∠BAE=∠DCF. 又∵AE=CF， ∴ △ABE≌ △CDF. ∴BE=DF.
人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形第十八章 平行四边形 单元解读课件(课件)
会用数学眼光观察
能进行简单的几何猜想
逻辑推理 会数学思维分析
能推演出几何证明，归纳出结论
演绎推理 抽象概括
会数学语言表达
运用几何图形的基本性质进行推理证明 逻辑推理
一个图形中介入其他图形后的影响与作 用，图形形成后的拆分
添加辅助线的能力
识图能力
会用数学眼光观察; 会数学思维分析;
移动图形的能力 会数学语言表达.
（数形结合）
在坐标系中认识平行四边形及特殊的平行四边形
本章难点
学习方法
平行四边形与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形之 间的联系与区别.
内容梳理，绘制结构图或图表（思维导图）
本章核心素养
学习环节 探索发现 提出假设 验证假设 得出结论
理解运用
活动目标
基本技能
核心素养
从实际情况抽象几何模型
数学抽象 直观想象
形
第1课时 平行四边形的概念及边、角的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质 第3课时 平行四边形的判定1 第4课时 平行四边形的判定2 第5课时 三角形的中位线（借助平行四边形研究三角形的性质） 第6课时 矩形的概念及性质
（借助矩形研究直角三角形斜边中线的性质）
第7课时 矩形的判定 第8课时 菱形的概念及性质 第9课时 菱形的判定 第10课时 正方形的概念及性质 第11课时 正方形的判定 第12课时 数学活动 第13~14课时 平行四边形单元复习
正方形,主要考查正方形的性质与判定,经常与其他特殊四边形的性质和判 定等知识综合在一起考查,多以选择题、证明题的形式出现,有时也会出现 在阅读理解题中.
本章知识结构
一组对边 平行
梯形
一个角是直角
一组邻边相等
新人教版八年级数学下册第十八章平行四边形课件
2.已知 ABCD 的周长为28cm， AB∶BC=3∶4，求它的各边的长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC. 又∵C ABCD=AB+BC+CD+AD=28cm， 且AB∶BC=3∶4， ∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm.
综合应用
3.如图，在 ABCD 中，已知AD=8cm， AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE 的长为___2_cm____.
A
D
B
C
∠C=140°
知识点 3 两条平行线之间的距离
例1 如图， ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD， 垂足分别为E，F．求证：AE=CF．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C，AD=CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF，
∴AE=CF.
变式：DE=BF 吗？
误区 诊断
误区 一 不理解平行四边形的对角、邻角等概念
1.在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的 值可以是（ ）
A. 1:2:3:4
B. 1:2:2:1
C. 2:2:1:1
D. 2:1:2:1
错解：A、B或C
正解：D
错因分析：不理解平行四边形的对角、邻 角的概念，∠A与∠C，∠D与∠B是对角，平行 四边形的对角相等，∠A：∠C与∠D：∠B的比 值也应相等.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）．
知识点 2 平行四边形的边角关系
由平行四边形的定义， A
我们知道平行四边形的两组
对边分别平行.
B
D C
想 一 想 平行四边形还有什么性质？
探究
人教版八年级下册第18章平行四边形——弦图模型及半角模型专题(PDF版,无答案)
（一）弦图模型【基本图形】已知正方形ABCD,过B,D两点分别向过点C的直线作垂线,垂足分别为点E,F,则△BCE≌△CDF1.如图,l1,,l2,l3,l4是同一平面内的四条平行直线,且每相邻的两条平行直线间的距离为h,正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上且正方形ABCD的面积是25(1)证明△ABE,△FBE△EDF,△CDF的面积相等； (2)求h的值。
2.已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BCD=∝，以D为旋转中心,将腰DC逆时针旋转90°至DE,连接AE、CE(1)当a=45°时,求△EAD的面积(2)当a=30°时,求△EAD的面积(3)当0°<a<90时,猜想△EAD的面积与a大小有何关系?若有关,写出△EAD的面积S与a的关系式;若无关,请证明。
3.(1)已知:如图1,△ABC中,分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF,直线AN⊥BC于N,若EP⊥AN 于P,FQ⊥AN于Q.①判断线段EP、FQ的数量关系,并证明;②求证：BC=2AP.(2)如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF,线段AD的垂直平分线交线段AD于点M,交BC于点N,若EP⊥MN于P, FQ⊥MN于Q.(1)中结论还成立吗?请说明理由。
【变式训练】如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．4．如图,直角梯形ABCD 中,AD/BC,∠ADC=90°,是AD 的垂直平分线,交AD 于点M,以腰AB 为边作正方形ABFE ， EP ⊥l 于点P.求证:2EP+AD=2CD（二）半角模型半角模型【用旋转和对称（翻折）的方法解决问题】ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ， 则有以下基本结论（需记忆）：①.∠MAN=45°；②.；③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.同样，在正方形ABCD 中,若已知∠MAN=45°，则会有：①.MN=BM +DN; ②;③.AM 、AN 分别平分∠BMN和∠DNM;④若继续作AH ⊥MN 于点H ,则有AH=AB.1.在正方形ABCD 中，已知∠MAN=45°，若M、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动，试探究线段MN 、BM 、DN 之间ABC CMN 2=∆ABC CMN 2=∆P C G F B Q A DE的数量关系.k、m、n为边长的三角形的形状是什么并试着证明你的猜想。
精品课件：人教版八年级下册数学：第十八章《平行四边形》全章课件共20课时
D
F C
∵在
ABCD中
∴∠A=∠C ∴AD=BC 又∵DE⊥AB，BF⊥CD ∴∠AED=∠CFB=90°
A E
B
∴△AED≌△CFB（AAS）
∴AE=CF
若a // b，作 AB // CD // EF，分别交 a于A、C、E， 交 b于B、D、F. A C E a
B D F 由平行四边形的定义易知四边形ABCD，CDEF均 为平行四边形. 由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
4、如图： 在□ABCD中，∠A+∠C=200° A 则：∠A= 100 °，∠B= 80 ° . 解: ∵四边形ABCD是平行四边形 B 且∠A+∠C=200°
D
C
∴∠A=∠C=100 ° （平行四边形的对角相等）
又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行)
∴∠B= 180 °－∠A
= 180º－ 100°
课堂练习 1.在 ABCD中， （1）已知AB=5，BC=3，求它的周长；
解：如图，
∵平行四边形对边相等
D
C
∴ AB的对边应是CD，
BC的对边应是AD，
A
B
∴平行四边形的周长=2 x（AB+BC） =2 x（5+3） =16
（2）已知∠A=38°，求其余各内角的度数.
解：如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， D ∴AB∥CD, 又∵ ∠A=38° ∴ ∠D=180 °- ∠A A =180°- 38° =142° 又∵平行四边形的对角相等 ∴ ∠C=∠A=38° ∠B=∠D= 142° C
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
试一试
不添加辅助线直接运用平行四边形的定义证明其
对角相等. 已知：如图，四边形ABCD为平行四边形. 求证：∠A=∠C，∠B=∠D. 证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC,AB∥CD ∴∠A+∠B=180°; ∠C+∠B=180° ∴∠A=180°-∠B; ∠C=180°-∠B ∴∠A=∠C 同理∠B=∠D
新人教版八年级数学下册《十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.3平行四边形的判定应用》课件_10
1、菱形是___ _的平行四边形，它具有______ 的一切性质.
2、菱形的特殊性质.
（1）边：菱形的四条边都
；
（2）对角线：菱形的两条对角线
，
并且每一条对角线 _______ ；
（3）对称性：菱形是 对称图形， 它的对称轴 就是对角线所在的直线.
例1.已知:如图，四边形ABCD是菱形.
求证: AC⊥BD,
1 2
四、归纳小结
1、有一组
的
叫做菱形.
2、菱形的性质.
（1）具有 （2）菱形的四条边都 （3）菱形的两条对角线
并且每一条对角线
的一切性质. ；
， ；
（4）菱形是 对称图形.
3、利用对角线求菱形ABCD的面积：
4、学习反思：_____________________________
Thank you!
AC平分∠DAB和∠DCB,
D
O
A
C
B
课堂练习
例2、如图根据菱形的性质，在菱形ABCD中，
(1)AB=
=
=
；
(2)AC⊥ ,且AO=
,BO=
；
(3)∠ABO=，∠BCO=来自，DA
O
C
B
例3
例3、 如图下图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小 路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后 两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
一、新课引入
铁丝网
栏杆
图案的衣服
图案工艺玻璃
美丽的中国结
18.2.2 菱 形（一）
二、学习目标
1
掌握菱形的概念、性质；
2 会利用菱形的性质进行证明和计算。
人教版八年级下册数学 第十八章 平行四边形 专题讲义(无答案)
课程主题：平行四边形性质及判定教学内容1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．2.平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；【例题精讲】例1 ：如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CE BD于E，则．例2：如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm例3：如图，已知：平行四边形ABCD中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．【课堂练习】（1）在ABCD 中，∠A= 50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（2）如果ABCD 中，∠A —∠B=24°，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （3）如果ABCD 的周长为28cm ，且AB ：BC=2∶5，那么AB= cm ，BC= cm ，CD= cm ，AD= cm ． 2．如图4.3－9，在ABCD 中，AC 为对角线，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，求证：BE ＝DF ．3．在平行四边形中，周长等于48，① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长4．如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是_______cm ． 5．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是_____cm ．6．ABCD 的周长为36，AB=8cm ，BC=________；当∠B=60°时，AD 、BC 的距离AE=________，ABCD 的面积ABCD S =________。
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一
)
弦图模型
基本图形】已知正方形
ABCD,过 B,D 两点分别向过点 C 的直线作垂线 , 垂足分别为点 E,F, 则△ BCE ≌△ CDF
h, 正方形 ABCD 的四
个顶点分
(1) 当 a=45 °时, 求△EAD 的面积 (2) 当 a=30 °时, 求△EAD 的面积
(3) 当0°<a<90 时,猜想△ EAD 的面积与 a 大小有何关系 ?若有关 ,写出△ EAD 的面积 S 与a 的关系式 ; 若无关 , 请证明。
3.(1) 已知:如图 1, △ABC 中,分别以 AB 、AC 为一边向△ ABC 外作正方形 ABGE 和 ACHF,直线 AN ⊥BC 于 N,若 EP ⊥AN 于 P,FQ ⊥AN 于 Q.
①判断线段 EP 、FQ 的数量关系 , 并证明 ; ②求证： BC=2AP.
(2) 如图 2, 梯形 ABCD 中,AD ∥BC,分别以两腰 AB 、CD 为一边向梯形 ABCD 外作正方形 ABGE 和 DCHF 线, 段 AD 的垂直平 分线
交线段 AD 于点 M,交 BC 于点 N,若 EP ⊥MN 于 P, FQ ⊥ MN 于 Q.(1) 中结论还成立吗 ?请说明理由。
1. 如图 ,l 1,,l 2,l 3,l 4 是同一平面内的四条平行直线 , 且每相邻的两条平行直线间的距离为
别在这四条直线上且正方形 ABCD 的面积是 25
中心,将腰 DC 逆时针旋转 90°至 DE,连接 AE 、CE
变式训练
】如图，分别以
ABC 的AC 和BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P
是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
4．如图,直角梯形ABCD 中,AD/BC,∠ADC=90°,是AD 的垂直平分线,交AD 于点M,以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l 于点P. 求证:2EP+AD=2CD
二）半角模型
半角模型【用旋转和对称（翻折）的方法解决问题】基本结论：在正方形ABCD中，若M、N 分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+ DN，则有以下基本结论（需记忆）：① . ∠MAN4=5°；② . C CMN 2AB；③ . AM、AN分别平分
∠BMN和∠DNM.
同样，在正方形ABCD中,若已知∠MAN4=5°，则会有：① . MN=B+MD N; ②C CMN 2AB;③.AM、AN分别平分∠BMN
和∠DNM④; 若继续作AH⊥MN于点H, 则有AH=AB.
F
的数量关系
变式训练1】(1)如图所示, 在等腰直角△ ABC 的斜边AB 上取两点M、N,使∠ MCN=4°5 , 记AM=m,MN=n,BN=k,猜想以k、m、n 为边长的三角形的形状是什么并试着证明你的猜想。
(2) 已知在等腰直角△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC, 当动点E 在线段BC 上,动点D 运动在线段CB 延长线上时, 若∠ DAE=45°, 探究线段BD，DE,EC 三条线段之间的数量关系并给予证明。
3)△ ABC中,AB=AC,∠ BAC=120°,点P、Q 为BC 上的两点,且满足∠ PAQ=60°,若BP=2,QC=√2 + 1,求线段PQ 的长.
变式训练2】在正方形ABCD中,BD 为正方形对角线,E,F 是BD 上两点,BE=3，EF=5，DF=4,求∠ BAE+∠DCF 的度数。
变式训练
3 】阅读下面的材料: 小明遇到这样一个问题：
如图1,在正方形ABCD 中,点E,F 在对角线BD 上,且∠EAF=45°,探究线段BE,EF,FD 之间的数量关系。
小明经过探究, 为同学们提供了如下两种解题的想法:
想法一:将△ ADF 绕点A 顺时针旋转90°,如图2, 从而解决问题; 想法二:将△ ADF 沿AF 翻折,如图3, 从而解决问题请回答
(1) 参考其中的一种想法, 探究线段BE,EF,FD 的数量关系, 并证明; 参考小明思考问题的方法, 解决下面的问题。
(2) 如图4, 正方形ABCD 的边长为8,P 为边CD 上一点,PE⊥BD 于点E,G 为BP 的中点,连接CG 并延长交BD 于点F,且
2.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC,∠A=∠ C=90°，∠ B=135°，K、N 分别是AB、BC 上的点，若△ BKN 的周长是AB 的2 倍，求∠ KDN 的度数？
【变式】(1) 如图1, 在四边形ABCD 中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F 分别在边BC、CD 上, ∠ EAF=45°.若BC⊥CD,探究并证明BE、EF、DF 之间的数量关系
(2) 如图2, 在矩形ABCD 中,AB=2,BC=4, 点E、F 分别在边BC、CD 上.若AE=√5,∠EAF=45°,求AF 的长。