人教版八年级下册第18章平行四边形——弦图模型和半角模型专题(Word版,无答案)

一

)

弦图模型

基本图形】已知正方形

ABCD,过 B,D 两点分别向过点 C 的直线作垂线 , 垂足分别为点 E,F, 则△ BCE ≌△ CDF

h, 正方形 ABCD 的四

个顶点分

(1) 当 a=45 °时, 求△EAD 的面积 (2) 当 a=30 °时, 求△EAD 的面积

(3) 当0°

3.(1) 已知:如图 1, △ABC 中,分别以 AB 、AC 为一边向△ ABC 外作正方形 ABGE 和 ACHF,直线 AN ⊥BC 于 N,若 EP ⊥AN 于 P,FQ ⊥AN 于 Q.

①判断线段 EP 、FQ 的数量关系 , 并证明 ; ②求证： BC=2AP.

(2) 如图 2, 梯形 ABCD 中,AD ∥BC,分别以两腰 AB 、CD 为一边向梯形 ABCD 外作正方形 ABGE 和 DCHF 线, 段 AD 的垂直平 分线

交线段 AD 于点 M,交 BC 于点 N,若 EP ⊥MN 于 P, FQ ⊥ MN 于 Q.(1) 中结论还成立吗 ?请说明理由。

1. 如图 ,l 1,,l 2,l 3,l 4 是同一平面内的四条平行直线 , 且每相邻的两条平行直线间的距离为

别在这四条直线上且正方形 ABCD 的面积是 25

中心,将腰 DC 逆时针旋转 90°至 DE,连接 AE 、CE

变式训练

】如图，分别以

ABC 的AC 和BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P

是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

4．如图,直角梯形ABCD 中,AD/BC,∠ADC=90°,是AD 的垂直平分线,交AD 于点M,以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l 于点P. 求证:2EP+AD=2CD

二）半角模型

半角模型【用旋转和对称（翻折）的方法解决问题】基本结论：在正方形ABCD中，若M、N 分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+ DN，则有以下基本结论（需记忆）：① . ∠MAN4=5°；② . C CMN 2AB；③ . AM、AN分别平分

∠BMN和∠DNM.

同样，在正方形ABCD中,若已知∠MAN4=5°，则会有：① . MN=B+MD N; ②C CMN 2AB;③.AM、AN分别平分∠BMN

和∠DNM④; 若继续作AH⊥MN于点H, 则有AH=AB.

F

的数量关系

变式训练1】(1)如图所示, 在等腰直角△ ABC 的斜边AB 上取两点M、N,使∠ MCN=4°5 , 记AM=m,MN=n,BN=k,猜想以k、m、n 为边长的三角形的形状是什么并试着证明你的猜想。

(2) 已知在等腰直角△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC, 当动点E 在线段BC 上,动点D 运动在线段CB 延长线上时, 若∠ DAE=45°, 探究线段BD，DE,EC 三条线段之间的数量关系并给予证明。

3)△ ABC中,AB=AC,∠ BAC=120°,点P、Q 为BC 上的两点,且满足∠ PAQ=60°,若BP=2,QC=√2 + 1,求线段PQ 的长.

变式训练2】在正方形ABCD中,BD 为正方形对角线,E,F 是BD 上两点,BE=3，EF=5，DF=4,求∠ BAE+∠DCF 的度数。

变式训练

3 】阅读下面的材料: 小明遇到这样一个问题：

如图1,在正方形ABCD 中,点E,F 在对角线BD 上,且∠EAF=45°,探究线段BE,EF,FD 之间的数量关系。小明经过探究, 为同学们提供了如下两种解题的想法:

想法一:将△ ADF 绕点A 顺时针旋转90°,如图2, 从而解决问题; 想法二:将△ ADF 沿AF 翻折,如图3, 从而解决问题请回答

(1) 参考其中的一种想法, 探究线段BE,EF,FD 的数量关系, 并证明; 参考小明思考问题的方法, 解决下面的问题。

(2) 如图4, 正方形ABCD 的边长为8,P 为边CD 上一点,PE⊥BD 于点E,G 为BP 的中点,连接CG 并延长交BD 于点F,且

2.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC,∠A=∠ C=90°，∠ B=135°，K、N 分别是AB、BC 上的点，若△ BKN 的周长是AB 的2 倍，求∠ KDN 的度数？

【变式】(1) 如图1, 在四边形ABCD 中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F 分别在边BC、CD 上, ∠ EAF=45°.若BC⊥CD,探究并证明BE、EF、DF 之间的数量关系

(2) 如图2, 在矩形ABCD 中,AB=2,BC=4, 点E、F 分别在边BC、CD 上.若AE=√5,∠EAF=45°,求AF 的长。