高等传热学答案参考

7.4 常物性流体在两无限大平行平板之间作稳态层流流动，下板静止不动，上板在外力作用下以恒定速度U 运动，试推导连续性方程和动量方程。

解：按照题意

0,

0=∂∂=∂∂=x

v y v v 故连续性方程

0=∂∂+∂∂y v x u 可简化为

0=∂∂x

u

因流体是常物性，不可压缩的，N-S 方程为 x 方向：

)(12222y

u x u v y p F y u v x u u x ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ρρ 可简化为

022=∂∂+∂∂-y

v x p F x η

y 方向

)(12222y

v x v v y p F y v v x v u y ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ρρ 可简化为

0=∂∂=

y

p

F y

8-3，试证明，流体外掠平壁层流边界层换热的局部努赛尔特数为

1212Re Pr x Nu r =

证明：适用于外掠平板的层流边界层的能量方程

22t t t u v a x y y

∂∂∂+=∂∂∂ 常壁温边界条件为

0w y t t y ∞

==→∞时，时，t=t

引入量纲一的温度w

w

t t t t ∞-Θ=

-

则上述能量方程变为22u v a x y y

∂Θ∂Θ∂Θ+=∂∂∂

引入相似变量1Re ()y y

x x ηδ=

==

有

11()(()22x x x

ηηηηη∂Θ∂Θ∂''==Θ-=-Θ∂∂∂

()y y ηηη∂Θ∂Θ∂'==∂∂∂；22()U y x ηυ∞

∂Θ''=

Θ∂ 将上三式和流函数表示的速度代入边界层能量方程，得到

1

Pr 02

f '''Θ+Θ=

当Pr 1时，速度边界层厚度远小于温度边界层厚度，可近似认为温度边界层内速度为主流速度，即1,f f η'==，则由上式可得

Pr ()2d f d η''Θ'=-'Θ，求解可得 12

12

()()Pr 2

Pr

(0)()erf η

ηπ

Θ='Θ=

则1212

0.564Re Pr x x

Nu = 8-4，求证，常物性不可压缩流体，对于层流边界层的二维滞止流动，其局部努赛尔特数满足1

0.422

0.57Re Pr x Nu =⋅

证明：对于题中所给情况，能量方程可表示为

22u v x y y

θθθα∂∂∂+=∂∂∂

其中，,,()u v y x ψψψθθηθ∂∂==-===∂∂

故上式可转化为Pr

02

θζθ'''+

⋅⋅= 经两次积分，得到0000Pr [exp()]2()Pr [exp()]2d d d d η

μ

μ

ζηη

θμζηη

∞-=-⎰⎰⎰⎰ 定义表面传热系数s x s q h T T ∞=

-

，则(0)q '= 进一步，进行无量纲化处理，引入局部努赛尔特数

1

2(0)Re x x x h x x Nu k ⋅'===

其中

12

00Re (0)Pr [exp()]2x

d d μ

θζηη

∞'=-⎰⎰ 针对层流边界层的条件，查由埃克特给出的计算表如下：

不同Pr 数下，常物性层流边界层，12

Re x Nu -⋅的值

故可看出，12

Re x Nu -⋅=常数，进而，1

2()=x h xu k υ

-∞⋅=1常数C ， 由1m u C x ∞=⋅，得1

12

12

m C k

h

x

υ-=

⋅

对于二维滞止流，m=1，则h 也为常数，从x=0到x 处的平均热导率h m 定义为

1x

m h hdx x =⎰

故11

112212120121m m x m C k C k h x dx x x m υυ

--=⋅=

⋅⋅+⎰， 则

21

m h h m =+，由此可看出，

在m=1时，努赛尔特数的近似解可以很好的表示为

1

0.42

2

0.57Re Pr

x

Nu=⋅

同样的，我们也可以得到三维滞止流的近似解

1

0.42

2

0.76Re Pr

x

Nu=⋅