2020届全国联考4月高三调研考试数学(文)试题(解析版)

合集下载

湖南湖北四校2020届高三下学期4月学情调研联考数学(文)试题 Word版含答案

绝密★启用前【考试时间：2020年4月24日下午15∶00~17∶00】湖南湖北四校2020届高三学情调研联考文科数学试题卷本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟. 考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝考试顺利一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}04P x R x =∈≤≤，{}3Q x R x =∈<，则P Q =U （） A.[]3,4B.(]3,4-C.(],4-∞D.()3,-+∞2.x ，y 互为共轭复数，且()2346x y xyi i +-=-则x y +=（） A.2B.1C.22D.43.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30︒，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A.20B.27C.54D.644.如图，在ABC △中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+uuu v uu u v uuu v，则λμ=（）A.13B.12C.23D.25.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =+，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.a c b <<6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（）A.36 C.22 D.27.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，又点23,2b N c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b +>，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A.135⎝B.)135,⎛+∞ ⎝⎭UC.()513,+∞UD.5,138.为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（） A.1i i =+B.2i i =+C.3i i =+D.4i i =+9.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为（）A.32B.32C.34310.已知函数()()22π2sin cos sin 024r f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则w 的取值范围是（）A.30,5⎛⎤⎥⎝⎦ B.13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.过双曲线()222210x y a b a b -=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=uu r uu u r ，O 为坐标原点，且OAB △31a -，则该双曲线的离心率为（）A.23B.3C.43D.31+12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（） A.68πB.64πC.62πD.6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 . 14.观察分析下表中的数据：多面体面积（F ）顶点数（V ）棱数（E ）三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中,,F V E 所满足的等式是 . 15.设函数()()1xf x ex =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是 .16.某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个，生产一个型小商品需5分钟，生产一个B 型小商品需7分钟，生产一个C 型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个A 型小商品可获利润8元，生产一个B 型小商品可获利润9元，生产一个C 型小商品可获利润6元.该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是元.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.已知数列{}{},n n a b 满足：114a =，1n n a b +=，121n n n b b a +=-. （1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++L ，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立.18.如图，ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，24EB FD ==.（1）求证：EF AC ⊥；（2）求几何体EFABCD 的体积.19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n n P P n --⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人数X 的可能值及其概率.20.如图，设抛物线()21:40C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当32a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ △面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程. 21.已知函数()ln xf x a x e=+，其中a 为常数. （1）若直线2y x e=是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）当1a =-时，若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1,+∞上有两个零点.求实数b 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t=--⎧⎨=+⎩，（t 为参数），曲线21:1C y x =-以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为π24ρα⎛⎫= ⎪⎝⎭-.（1）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为,A B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅uu r uu r的取值范围；（2）若直线l 与2C 交于M N ,两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值. 23.[选修4–5：不等式选讲]已知函数()223f x x x m =+++，R m ∈. （1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围. 绝密★启用前【考试时间：2020年4月24日下午15∶00～17∶00】湖南湖北四校2020届高三学情调研联考文科数学试题卷参考答案及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【解析】由题意得，[]0,4P =，()3,3Q =-，(]3,4P Q =-∴U ，故选B.2.C 【解析】设x a bi =+，y a bi =-，代入得()()2222346a a bi i -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1a =，1b =，所以x y +=.3.B 解析：设大正方体的边长为x 12x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，则22122200x x N x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，解得：27N ≈.4.A 【解析】()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u uu r u u u r u u u r u u u r r u u u r ，所以14λ=，34μ=，从而求得13λμ=.5.D 解析：Q 函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=-在R 上恒成立，0m ∴=，∴当0x ≥时，易得()21xf x =-为增函数，()()0.52log 3log 3a f f ∴==，，()2log 5b f =，()2c f =，22log 32log 5<<Q ，a c b ∴<<6.C 由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，故1AC =，2PA =，5BC PC ==，22AB =，23PB =，12112ABC PAC S S ∴==⨯⨯=△△，1222222PAB S =⨯⨯=△，123262PBC S =⨯⨯=△，∴该多面体的侧面最大面积为22.故选C.7.B 解析：双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b +>，即()2min4MF MNb +>，又221232222b MF MN a MF MN a NF a a +≥++≥+=+2223244382b a b a b aba ∴+>⇒+> 34802b a b a b a ⇒⋅+->⇒>或23b a <2221b e a ∴=+，5e >或1313N <<8.B 详解：由11111123499100S =-+-++-L 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B. 9.C 【解析】3cos cos 5a B b A c -=Q ∴由正弦定理，得3sin cos sin cos sin 5A B B A C -=，()()sin sin C A B C A B π=-+⇒=+Q ，()3sin cos sin cos sin cos cos sin 5A B B A A B A B ∴-=+，整理，得sin cos 4sin cos A B B A =，同除以cos cos A B ，得tan 4tan A B = ，由此可得()2tan tan 3tan 3tan 11tan tan 14tan 4tan tan A B BA B A B BB B--===+++，A Q 、B 是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，A ∴、B 都是锐角，即tan 0A >，tan 0B >，14tan 4tan B B +≥=Q()33tan 144tan tan A B B B-=≤+，当且仅当14tan tan B B =，即1tan 2B = 时，()tan A B -的最大值为34. 10.B 解析：2ππ2cos 1cos 1sin 242x x x ωωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，()()2sin 1sin sin sin f x x x x x ωωωω=+-=.令π2π2x k ω=+可得π2π2k x ωω=+，()f x Q 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，π0π2ω∴≤≤解得12ω≥.令ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+，解得：π2ππ2π22k k x ωωωω-+≤≤+，()f x Q 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 2ππ325π365ωω⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤≤⎪⎩，解得35ω≤.综上，1325ω≤≤.故选：B.11.A 解析：因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，NA MN ==，所以NO =，所以tan MN b AOF a NO =∠==，得3e ==.故选A.12.D 解析：方法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的.适合空间想象能力略差学生.设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △Q 为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒23CE x ∴=-12AE PA x ==AEC △中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 2212x ∴+=，212x ∴=，22x =，2PA PB PC ∴===2AB BC AC ===，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，344666338V R πππ∴==⨯=，故选D.方法二：PA PB PC ==Q ，ABC △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，CE AC C =I ，EF ∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB ∴∠=90︒，2PA PB PC ∴===P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++= 6R =，34466633V R πππ∴===，故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 14.2F V E +-=解析：凸多面体的面数为F .顶点数为V 和棱数为E ，①正方体：6F =，8V =，12E =，得86122F V E +-=+-=； ②三棱柱：5F =，6V =，9E =，得5692F V E +-=+-=； ③三棱锥：4F =，4V =，6E =，得4462F V E +-=+-=.根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F .V 和棱数E 满足如下关系：2F V E +-= 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立. 因此归纳出一般结论：2F V E +-= 故答案为：2F V E +-= 15.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭解析：()()1x f x e x =-Q ，()xf x xe '∴=，∴对于任意的[]2,2x ∈-，当[)2,0x ∈-时，()0f x '<，当(]0,2x ∈时，()0f x '>，即()f x 在[)2,0-上为减函数，在(]0,2上为增函数.0x ∴=为()f x 在[]2,2-上的极小值点，也是最小值点且最小值为[]2,2-，∴对于任意的[]12,2x ∈-，()1min 1f x =-，而总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，()()12min min f x g x >.()g x mx =∵，∴①0m =时，()20g x =，不合题意，②0m >时，()[]22,2g x mx m m =∈，此时1m <-，不合题意，③0m <时，()[]222,g x mx m m =∈，()2min 2g x m ∴=，21m ∴<-，12m <-.16.850【解析】依题意，每天生产的玩具A 型商品x 个、B 商品y 个、C 商品的个数等于：100x y --，所以每天的利润()89610023600T x y x y x y =++--=++.约束条件为：()*57410060010000,0,,x y x y x y x y x y N ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥∈⎩，整理得*3200100,x y x y x y N ⎧+≤⎪+≤⎨⎪∈⎩.目标函数为23600T x y =++.如图所示，做出可行域.初始直线0:230l x y +=，平移初始直线经过点A 时，T 有最大值.由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩得5050x y =⎧⎨=⎩.最优解为()50,50A ，此时max 850T =（元）.即最大日利润是850元. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.（1）()()()111122nn n n n n n n b b b a a b b b +===-+--Q ，11112n nb b +∴-=--，12111111n n n n b b b b +-∴==-+---.∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以4-为首项，1-为公差的等差数列. ∴14(1)31n n n b =---=--- ， ∴12133n n b n n +=-=++. （2）113n n a b n =-=+Q . ()()()12231111114556344444n n n n S a a a a a a n n n n +∴=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=⨯⨯++++ ()()()()21368244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+∴-=-=++++.由条件可知()()213680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设()()()21328f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立.当1a <时，对称轴3231102121a a a -⎛⎫-⋅=--< ⎪--⎝⎭，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数. ()()()113684150f a a a =-+--=-<，154a ∴<，∴时4n aS b <恒成立.综上知：1a <时，4n aS b <恒成立.18.【解析】（1）连接DB ，DF ⊥平面ABCD ，EB ⊥平面ABCD ，EB FD ∴∥，E ∴，F ，D ，B 四点共面，AC EB ∴⊥，设DB AC O =I ，ABCD Q 为菱形，AC DB ∴⊥.DB EB B =I ，AC ∴⊥平面EFDB ，EF ⊂Q 平面EFDB ，AC EF ∴⊥.（2）EB FD ∥Q ，EB BD ⊥，EFDB ∴为直角梯形，在菱形ABCD 中，60DAB ∠︒＝，2AB =，2BD =，3AO CO ==∴梯形EFDB 的面积()24262S +⨯==，AC ⊥Q 平面EFDB ，114333EFABCD C EFDB A EFDB V V V S AO S CO --∴==⨯+⨯=+. 19.解析：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.03450.0447450.5b ∴⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =；0.0430.032550.010100.5a ∴⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =；第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=，第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭⨯，所以该团队挑战成功的概率为0.90.10.910.10.090.9290.999361P =+⨯+⨯⨯= （或令“该团队挑战成功”的事件为A ，“挑战不成功”的事件为A ，()()()()10.910.9110.9290.10.090.0710.000639P A ⨯=---=⨯=， ∴该团队挑战成功的概率为()()110.00016390.999361P A P A =-=-=②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别1p ，2p ，3p ，根据题意知X 的取值为1，2，3；则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=，()()()310.910.910.10.090.009P X ==--=⨯=.20.（1）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，所以2a +取最小值时1m =，此时抛物线21:4C y x =-，此时22,3a b ==，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=；（2）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，设椭圆的标准方程为2222143x y m m +=， ()()0011,,,P x y Q x y 由2222214334x y m m y mx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即2,33m P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623mF F m ==，又12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =.此时抛物线方程为212y x =-，()(13,0,F P --，则直线PQ的方程为)3y x =+.联立)2312y x y x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝.所以252PQ ==，设(()2,12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d ，则2753022d t ⎛⎫=⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭，当2t =-时，max 753024d =⨯=，所以MPQ △的面积最大值为12522⨯=.此时:MP y =21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1a x aef x e x ex+'=+=，曲线()y f x =在点()00,x y处的切线方程为2y x e =.由题意得000012,2ln a e x e x x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，0x e =.所以a 的值为1.（2）当1a =-时，()ln x f x x e =-，则()11x ef x e x ex-'=-=，由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，即()0f x ≥，所以()ln ln x x g x x b e x =--+，()0x >，由已知可得函数ln ln x xy x x e=+-的图象与直线y b=有两个交点，设()()ln ln 0x xh x x x x e =+->，则()22211ln 1ln x ex e e x x h x x x e ex -+--'=+-=，令()2ln x ex e e x x ϕ=+--，()222e ex e x x e x x xϕ--'=--=，由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<，即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<，则函数()h x 在()0,e 上为增函数，在(),e +∞上为减函数，所以，函数()h x 在x e =处取得极大值()1h e e=，又()11h e =-，()322331341h e e e e e=+-<-<-<-，所以，当函数()g x 在[)1,+∞上有两个零点时，b 的取值范围是11b e e-≤<，即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.22.（1）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，()1,0A ∴-，()0,1B -1C 的方程可化为()2210x y y +=≥，设点P 的坐标为()cos ,sin θθ，0θπ≤≤，cos sin 1114BA BP πθθθ⎛⎫⎡⎤∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭uu r uu r（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()22228x y ++-=直线l 的标准参数方程为2212x m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C得：270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m +==-<故12,m m异号12QM QN m m ∴-=+=23.答案：（1）当2m =-时，()()410322321023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤当30,132x -<<≤恒成立.当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()()43032233023432x m x f x x x m m x x m x ⎧⎪++≥⎪⎪⎛⎫=+++=+-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--+≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩，当(),0x ∈-∞时，()33022233432m x f x x x m x m x ⎧⎛⎫+-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=+++=⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩当302x -<<时，()3f x m =+，当()3,432x f x x m ≤-=--+单调递减， ()f x ∴的最小值为3m +设()()20g x x x x =+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2x x -=-时，取等号2x x∴+≤-即x =()g x取得最大值-.要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-3m ≥-.。

湖南湖北四校2020届高三学情调研联考数学(文)试题及答案

湖南湖北四校2020届高三学情调研联考文科数学试题卷考试时间：2020年4月24日本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟. 考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝考试顺利一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}04P x R x =∈≤≤，{}3Q x R x =∈<，则P Q =U （） A.[]3,4B.(]3,4-C.(],4-∞D.()3,-+∞2.x ，y 互为共轭复数，且()2346x y xyi i +-=-则x y +=（） A.2B.1C.22D.43.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30︒，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A.20B.27C.54D.644.如图，在ABC △中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+uuu v uu u v uuu v，则λμ=（）A.13B.12C.23D.25.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =+，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.a c b <<6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（）A.23B.6C.22D.27.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，又点23,2b N c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b +>，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A.1353⎛⎝B.)131,5,3⎛+∞ ⎝⎭UC.()513,+∞UD.5,138.为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（） A.1i i =+B.2i i =+C.3i i =+D.4i i =+9.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为（）B.32C.3410.已知函数()()22π2sin cos sin 024r f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则w 的取值范围是（）A.30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B.13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=uu r uu u r ，O 为坐标原点，且OAB △内切圆半径为12a ，则该双曲线的离心率为（）112.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A.B.C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是. 14.观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中,,F V E 所满足的等式是.15.设函数()()1xf x ex =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是.16.某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个，生产一个型小商品需5分钟，生产一个B 型小商品需7分钟，生产一个C 型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个A 型小商品可获利润8元，生产一个B 型小商品可获利润9元，生产一个C 型小商品可获利润6元.该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是元.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.已知数列{}{},n n a b 满足：114a=，1n n a b +=，121n n n b b a +=-.（1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++L ，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立.18.如图，ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，24EB FD ==.（1）求证：EF AC ⊥；（2）求几何体EFABCD 的体积.19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n n P P n --⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立. ①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人数X 的可能值及其概率.20.如图，设抛物线()21:40C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当32a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ △面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程. 21.已知函数()ln xf x a x e=+，其中a 为常数.（1）若直线2y x e=是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）当1a =-时，若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1,+∞上有两个零点.求实数b 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t=--⎧⎨=+⎩，（t 为参数），曲线1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为π4ρα⎛⎫= ⎪⎝⎭-. （1）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为,A B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅uu r uu r的取值范围；（2）若直线l 与2C 交于M N ,两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值. 23.[选修4–5：不等式选讲]已知函数()223f x x x m =+++，R m ∈. （1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围.湖南湖北四校2020届高三学情调研联考文科数学试题卷参考答案及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B【解析】由题意得，[]0,4P =，()3,3Q =-，(]3,4P Q =-∴U ，故选B. 2.C 【解析】设x a bi =+，y a bi =-，代入得()()2222346a a bi i -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1a =，1b =，所以x y +=3.B 解析：设大正方体的边长为x ，12x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，则2212200x x N x ⎫-⎪⎝⎭=，解得：27N ≈. 4.A 【解析】()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u uu r u u u r u u u r u u u r r u u u r ，所以14λ=，34μ=，从而求得13λμ=.5.D 解析：Q 函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=-在R 上恒成立，0m ∴=，∴当0x ≥时，易得()21x f x =-为增函数，()()0.52log 3log 3af f ∴==，，()2log5b f =，()2c f =，22log 32log 5<<Q，a c b ∴<<6.C 由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，故1AC =，2PA =，BC PC ==AB =PB =12112ABC PAC S S ∴==⨯⨯=△△，122PAB S =⨯⨯=△12PBC S =⨯=△，∴该多面体的侧面最大面积为.故选C.7.B 解析：双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b +>，即()2min4MF MNb +>，又2 21232222b MF MN aMF MN a NF aa+≥++≥+=+2223244382ba b a b aba∴+>⇒+>34802b a ba b a⇒⋅+->⇒>或23ba<2221bea∴=+，5e>或131N<<8.B详解：由11111123499100S=-+-++-L得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i=+，选B.9.C【解析】3cos cos5a Bb A c-=Q∴由正弦定理，得3sin cos sin cos sin5A B B A C-=，()()sin sinC A B C A Bπ=-+⇒=+Q，()3sin cos sin cos sin cos cos sin5A B B A A B A B∴-=+，整理，得sin cos4sin cosA B B A=，同除以cos cosA B，得tan4tanA B=，由此可得()2tan tan3tan3tan11tan tan14tan4tantanA B BA BA B B BB--===+++，AQ、B是三角形内角，且tan A与tan B同号，A∴、B都是锐角，即tan0A>，tan0B>，114tan4tan4tan tanB BB B+≥⋅=Q()33tan144tantanA BBB-=≤+，当且仅当14tantanBB=，即1tan2B=时，()tan A B-的最大值为34.10.B解析：2ππ2cos1cos1sin242xx xωωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，()()2sin1sin sin sinf x x x x xωωωω=+-=.令π2π2x kω=+可得π2π2kxωω=+，()f xQ在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，π0π2ω∴≤≤解得12ω≥.令ππ2π2π22k x kω-+≤≤+，解得：π2ππ2π22k kxωωωω-+≤≤+，()f xQ在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，2ππ325π365ωω⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤≤⎪⎩，解得35ω≤.综上，1325ω≤≤.故选：B.11.A解析：因为0a b>>，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为M，则M在AOB∠平分线OF上，过点M分别作MN OA⊥于N，MT AB⊥于T，由FA OA⊥得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得FA b=，又OF c=，所以OA a=，312NA MN a==-，所以332NO a=-，所以tan3MNbAOFa NO=∠==，得23213bea⎛⎫=+=⎪⎝⎭.故选A.12.D解析：方法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的.适合空间想象能力略差学生.设2PA PB PC x===，,E F分别为,PA AB中点，EF PB∴∥，且12EF PB x==，ABC△Q为边长为2的等边三角形，3CF∴=又90CEF∠=︒23CE x∴=-12AE PA x==AEC△中余弦定理()2243cos22x xEACx+--∠=⨯⨯，作PD AC⊥于D，PA PC=Q，DQ为AC中点，1cos2ADEACPA x∠==，2243142x xx x+-+∴=，2212x ∴+=，212x ∴=，2x =，PA PB PC ∴===2AB BC AC ===，,,PA PB PC∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，344338V R ππ∴==⨯=，故选D. 方法二：PA PB PC ==Q ，ABC △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，CE AC C =I ，EF ∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB ∴∠=90︒，PA PB PC ∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==R =，34433V R ππ∴===，故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 14.2F V E +-=解析：凸多面体的面数为F .顶点数为V 和棱数为E ，①正方体：6F =，8V =，12E =，得86122F V E +-=+-=； ②三棱柱：5F =，6V =，9E =，得5692F V E +-=+-=； ③三棱锥：4F =，4V =，6E =，得4462F V E +-=+-=.根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F .V 和棱数E 满足如下关系：2F V E +-= 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立. 因此归纳出一般结论：2F V E +-= 故答案为：2F V E +-= 15.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭解析：()()1x f x e x =-Q ，()xf x xe '∴=，∴对于任意的[]2,2x ∈-，当[)2,0x ∈-时，()0f x '<，当(]0,2x ∈时，()0f x '>，即()f x 在[)2,0-上为减函数，在(]0,2上为增函数.0x ∴=为()f x 在[]2,2-上的极小值点，也是最小值点且最小值为[]2,2-，∴对于任意的[]12,2x ∈-，()1min 1f x =-，而总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，()()12min min f x g x >.()g x mx =∵，∴①0m =时，()20g x =，不合题意，②0m >时，()[]22,2g x mx m m =∈，此时1m <-，不合题意，③0m <时，()[]222,g x mx m m =∈，()2min 2g x m ∴=，21m ∴<-，12m <-. 16.850【解析】依题意，每天生产的玩具A 型商品x 个、B 商品y 个、C 商品的个数等于：100x y --，所以每天的利润()89610023600T x y x y x y =++--=++.约束条件为：()*57410060010000,0,,x y x y x y x y x y N ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥∈⎩，整理得*3200100,x y x y x y N ⎧+≤⎪+≤⎨⎪∈⎩.目标函数为23600T x y =++.如图所示，做出可行域.初始直线0:230l x y +=，平移初始直线经过点A 时，T 有最大值.由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩得5050x y =⎧⎨=⎩.最优解为()50,50A ，此时max 850T =（元）.即最大日利润是850元.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（1）()()()111122n n n n n n n n b b b a a b b b +===-+--Q ，11112n nb b +∴-=--，12111111n n n n b b b b +-∴==-+---.∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以4-为首项，1-为公差的等差数列. ∴14(1)31n n n b =---=---，∴12133n n b n n +=-=++. （2）113n n a b n =-=+Q . ()()()12231111114556344444n n n n S a a a a a a n n n n +∴=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=⨯⨯++++ ()()()()21368244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+∴-=-=++++.由条件可知()()213680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设()()()21328f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立.当1a <时，对称轴3231102121a a a -⎛⎫-⋅=--< ⎪--⎝⎭，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数. ()()()113684150f a a a =-+--=-<，154a ∴<，∴时4n aSb <恒成立.综上知：1a <时，4n aS b <恒成立. 18.【解析】（1）连接DB ，DF ⊥平面ABCD ，EB ⊥平面ABCD ，EB FD ∴∥，E ∴，F ，D ，B 四点共面，AC EB ∴⊥，设DB AC O =I ，ABCD Q 为菱形，AC DB ∴⊥.DB EB B =I ，AC ∴⊥平面EFDB ，EF ⊂Q 平面EFDB ，AC EF ∴⊥.（2）EB FD ∥Q ，EB BD ⊥，EFDB ∴为直角梯形，在菱形ABCD 中，60DAB ∠︒＝，2AB =，2BD =，3AO CO ==∴梯形EFDB 的面积()24262S +⨯==，AC ⊥Q 平面EFDB ，114333EFABCD C EFDB A EFDB V V V S AO S CO --∴==⨯+⨯=+. 19.解析：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.03450.0447450.5b ∴⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =；0.0430.032550.010100.5a ∴⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =；第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=，第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭⨯，所以该团队挑战成功的概率为0.90.10.910.10.090.9290.999361P =+⨯+⨯⨯=（或令“该团队挑战成功”的事件为A ，“挑战不成功”的事件为A ，()()()()10.910.9110.9290.10.090.0710.000639P A ⨯=---=⨯=，∴该团队挑战成功的概率为()()110.00016390.999361P A P A =-=-=②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别1p ，2p ，3p ，根据题意知X 的取值为1，2，3；则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=， ()()()310.910.910.10.090.009P X ==--=⨯=.20.（1）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，所以2a b +取最小值时1m =，此时抛物线21:4C y x =-，此时22,3a b ==，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=；（2）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，设椭圆的标准方程为2222143x y m m +=， ()()0011,,,P x y Q x y 由2222214334x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得03y m =，即23m P ⎛- ⎝⎭，于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623m F F m ==，又12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =.此时抛物线方程为212y x =-，()(13,0,F P --，则直线PQ的方程为)3y x =+.联立)2312y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝.所以252PQ ==，设(()2,12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ的距离为d，则2753022d t ⎛=⨯+- ⎝⎭，当t =max 752d ==，所以MPQ △的面积最大值为12522⨯=.此时:MP y =+.21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1a x ae f x e x ex+'=+=，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为2y x e =.由题意得000012,2ln a e x e x x a x ee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，0x e =.所以a 的值为1. （2）当1a =-时，()ln xf x x e =-，则()11x e f x e x ex-'=-=，由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，即()0f x ≥，所以()ln ln x x g x x b e x=--+，()0x >，由已知可得函数ln ln x x y x x e =+-的图象与直线y b =有两个交点，设()()ln ln 0x x h x x x x e=+->，则()22211ln 1ln x ex e e x x h x x x e ex -+--'=+-=，令()2ln x ex e e x x ϕ=+--，()222e ex e x x e x x x ϕ--'=--=，由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<，即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<，则函数()h x 在()0,e 上为增函数，在(),e +∞上为减函数，所以，函数()h x 在x e =处取得极大值()1h e e =，又()11h e =-，()322331341h e e e e e=+-<-<-<-，所以，当函数()g x 在[)1,+∞上有两个零点时，b 的取值范围是11b e e -≤<，即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 22.（1）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，()1,0A ∴-，()0,1B -1C 的方程可化为()2210x y y +=≥，设点P 的坐标为()cos ,sin θθ，0θπ≤≤，cos sin 1114BA BP πθθθ⎛⎫⎡⎤∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭uu r uu r（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()22228x y ++-=直线l的标准参数方程为212x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C得：270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m +=-<故12,m m异号12QM QN m m ∴-=+=23.答案：（1）当2m =-时，()()410322321023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤当30,132x -<<≤恒成立. 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()()43032233023432x m x f x x x m m x x m x ⎧⎪++≥⎪⎪⎛⎫=+++=+-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--+≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩，当(),0x ∈-∞时，()33022233432m x f x x x m x m x ⎧⎛⎫+-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=+++=⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩当302x -<<时，()3f x m =+，当()3,432x f x x m ≤-=--+单调递减， ()f x ∴的最小值为3m +设()()20g x x x x=+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2x x -=-时，取等号2x x ∴+≤-即x =()g x取得最大值-.要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-3m ≥-.。

2020届全国联考高三调研考试数学(文)试题(解析版)

2020届全国联考高三调研考试数学（文）试题一、单选题1．已知全集为R ，集合{}02M x x =≤<，{}1,0,1,2,3N =-，()=M N ⋂R( )A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【答案】C【解析】利用交集及补集的定义求解．【详解】∵{}02M x x =≤<， ={0M x x <R ，或2}x ≤， N ={−1，0，1，2，3} ∴()=M N ⋂R{−1，2，3}.故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，根据交、并、补运算法则进行运算，属于基础题. 2．设复数231iz i i=-+，则z =( ) A．B ．2CD【答案】A【解析】根据复数四则运算化简z ，可求z 的模. 【详解】()()()212331312111i iiz i ii i i i i i -=-=-=+-=-++-， z ∴故选：A . 【点睛】本题考查复数的运算及模的运算，考查对复数基础概念的掌握及运算能力，属于基础题.3．设31log 5a =，131log 5b =，133c -=，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c a b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】C【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】对数函数3log y x =为()0,∞+上的增函数，则331log log 105a =<=；对数函数13log y x =为()0,∞+上的减函数，则113311log log 153b =>=；指数函数3xy =为R 上的增函数，则103033-<<，即01c <<.因此，b c a >>. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 4．已知角()0,απ∈，角α的终边经过点7cos ,sin 66A ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则α=( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求出A 点坐标，再根据三角函数定义可得角α.【详解】1sin62π=，7cos cos cos 666ππππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭， 22sin cos 166ππ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos6cos =1πα-∴=-又()0,απ∈，56πα∴=. 故选：D . 【点睛】本题考查角的概念，属于基础题.5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，且2615a a +=，则4a =( ) A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】由题可判断1q ≠，根据423S S =列方程()()421111311a q a q qq--=⨯--得22q =，再代入2615a a +=可得23a =，根据公式可得4a . 【详解】当数列{}n a 的公比1q =时，414S a =，2136S a =，423S S ≠，1q ∴≠.()()421111311a q a q qq--∴=⨯--，得22q =.()4262115a a a q +=+=，23a ∴=， 2426a a q ∴==.故选：B . 【点睛】本题考查等比数列，求等比数列中的项，一般根据条件列方程求出首项和公比即可，注意等比数列公比为1的求和公式，属于基础题.6．已知m ，n 是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（）A ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，则n α⊥C ．若m αβ=，//n α，则//m n D ．若m α⊥，βn//，//αβ，则m n ⊥【答案】D【解析】A.若m n ⊥，m α⊥，则n α或n ⊂α.B.若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，若n β⊄，不成立，C.若m αβ=，//n α，m 与n 的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断. 【详解】若m n ⊥，m α⊥，则n α或n ⊂α，故A 不正确，；若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，若n β⊂，则n α⊥，故B 不正确，若m αβ=，//n α，m 与n 的关系是异面或平行，故C 不正确，若m α⊥，//αβ，m β⊥，又因为βn//，所以m n ⊥，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，还考查理解辨析的能力，属于中档题. 7．已知曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为31yx ，则曲线()xf x y e=在点0x =处的切线方程为( )A ．21y x =-B ．21y x =+C ．1y x =-D ．1y x =+【答案】B【解析】由()y f x =切线方程31yx ，得()01f =，()03f '=，代入()xf x y e =可得切点坐标，对()xf x y e=求导代入可得切线斜率，求解出方程即可. 【详解】由切线方程31y x ，得()01f =，()03f '=.设()()x f x g x e=，则()()()()()()2x x xx e f x e f x f x f x g x e e ''--'==，()()0001f g e ∴==，()()()0002f f g e'-'==， ∴曲线()xf x y e=在点0x =处的切线方程为12y x -=，即21y x =+，故选：B . 【点睛】本题考查曲线上某点的切线方程，考查导数的应用，根据导数求出切点与切线斜率即可，属于基础题.8．执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是s a ≥，则实数a 的取值范围是( )A ．(]21,28B ．[)21,28C ．(]28,36D ．[)28,36【答案】A【解析】根据循环结构程序框图的运算，求得k =7及k =8时s 的值，判断框填入的条件是s a ≥，即可得a 的取值范围. 【详解】1k =，0s =，①条件不满足，1s =，2k =；②条件不满足，3s =，3k =； ③条件不满足，6s =，4k =；④条件不满足，10s =，5k =； ⑤条件不满足，15s =，6k =；⑥条件不满足，21s =，7k =； ⑦条件不满足，28s =，8k；满足条件，退出循环.2128a ∴<≤.故选：A . 【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题.9．函数()()3sin cos 10f x x x a ωω=+->的最小正周期是π，则函数()f x 在区间[]0,100上的零点个数为（） A ．31 B ．32C ．63D ．64【答案】D【解析】先用辅助角法，将()312cos 122f x x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，转化为()2sin 16f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再由最小正周期是π，求得解析式，然后求零点即可.【详解】因为()12cos 12f x x x ωω⎫=+-⎪⎪⎝⎭2sin 16x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.最小正周期是π，=2ω∴.()2sin 216f x x π⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 2266x k πππ∴+=+或52266x k πππ+=+，k ∈Z . x k π∴=或3x k ππ=+，k ∈Z .0100x ≤≤，∴当x k π=时，0x =，π，2π，3π，，31π共32个；当3x k ππ=+时，3x π=，3ππ+，23ππ+，，313ππ+共32个.∴函数()f x 在区间[]0,100上的零点总共有64个.故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和零点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，垂线交y 轴于点B ，且3AB FA =.若OAB 的面积为2（O 是坐标原点），则双曲线的标准方程为( )A ．2213x y -=B ．22132x y -=C ．2213y x -=D ．22123x y -=【答案】A【解析】由题意及点到直线距离公式可得FA b =，OA a =，由3AB FA =可得3AB b =，根据面积公式可得ab =又根据垂线AF 的方程为()ay x c b=--，得点B 的坐标为0,ac B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用勾股定理可得222229a c a b b+=，结合222+=a b c 联立解出a 、b即可得双曲线方程. 【详解】过右焦点(),0F c 作渐近线by x a=的垂线，渐近线方程即0bx ay -=.FA b ==，OA a ∴=，又3AB FA =可得3AB b =，则113222OAB S OA AB a b ==⨯⨯=△.ab ∴=.又垂线AF 的方程为()a y x c b =--，得点B 的坐标为0,ac B b ⎛⎫⎪⎝⎭，Rt OAB ∴∆中，222229a c a b b+=②.由①②及222+=a b c ，得23a =，21b =，∴双曲线的标准方程为2213x y -=.故选：A . 【点睛】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线渐近线相关的知识及三角形面积公式应用，列出关于a 、b 、c 的方程计算即可，属于综合题，考查综合分析及计算能力，属于中等题. 11．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间()0,1内随机取2m 个数，构成m 个数对(),x y ，设x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 有n 对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．2 m nm+B．2m nn+C．24m nm+D．22m nn+【答案】C【解析】根据在区间()0,1内随机取2m个数，则有0101xy<<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x，y能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x yx y⎧+<⎨+>⎩求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】依题有0101xy<<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x，y能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x yx y⎧+<⎨+>⎩，构成如图阴影部分，其面积为142π-，由几何概型概率计算公式得1421nmπ-=，解得24m nmπ+=.故选：C【点睛】本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．已知三棱锥S ABC-的所有顶点在球O的球面上，SA⊥平面ABC，ABC是等腰直角三角形，2SA AB AC===，D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是( )A．πB．2πC．3πD．4π【解析】由已知可得点D 是Rt ABC 的外心，过点D 作DO ⊥平面ABC 使112DO SA ==，O 是外接球球心，半径设为R ，不难求出3R =，过点D 作球O 的截面，当OD ⊥截面时，截面面积最小，求出面积即可. 【详解】点D 是Rt ABC 的外心，过点D 作DO ⊥平面ABC 使112DO SA ==， O 是外接球球心，半径设为R ，则OA OS R ==.在直角梯形SADO 中，2SA =，1OD =，2AD =，得3R =，过点D 作球O 的截面，当OD ⊥截面时，截面面积最小，此时截面圆的半径为222R OD -=，∴截面面积的最小值是2π.故选：B .【点睛】本题考查球截面问题，通常利用勾股定理求解，根据题意找出圆心，再利用垂直于直径的截面面积最小即可求出最小面积，属于中等题.二、填空题 13．已知向量()3,1a =，()3,b m =-，a 与b 的夹角为23π，则实数m =__________. 【答案】1【解析】根据向量的夹角公式可得关于m 的方程，计算求解即可．【详解】 ∵向量()3,1a =，()3,b m =-，a 与b 的夹角为23π， ∴||2a =，2||3b m =+，根据数量积定义221cos32|||23a b a b m π⋅===-+，解得1m =.【点睛】本题考查向量的夹角公式，解题关键是对向量夹角公式的灵活掌握，属于基础题. 14．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴相交于点C .若以F 为圆心、p 为半径的圆与抛物线相交于点A ，B ，则sin ACF ∠=__________.【答案】2【解析】根据已知抛物线与圆方程联立可得交点A ，B 坐标，再由AB x ⊥轴及抛物线性质可得Rt AFC 为等腰三角形，可得45ACF ∠=︒，即可求解. 【详解】由222222y px p x y p ⎧=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，得2p x y p ⎧=⎪⎨⎪=±⎩， ,2p A p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.AB x ∴⊥轴.在Rt AFC 中，AF CF p ==，45ACF ∴∠=︒，sin ACF ∴∠=故答案为：2. 【点睛】本题考查抛物线的性质，掌握及灵活应用抛物线的定义及几何性质是解题关键，考查学生的分析与转化能力，属于简单题.15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （单位：十万只），若这组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为1.44，且21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只. 【答案】1.6【解析】设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ，根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦.即()()2222125125257.2x x x x x x x x +++-++++=，再利用21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4求解.【详解】依题意，得22212520x x x +++=.设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ，根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦.()()2222125125257.2x x x x x x x x ∴+++-++++=，即22201057.2x x -+=，1.6x ∴=.故答案为：1.6 【点睛】本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题.16．已知正项数列{}n a 和{}n b 满足：①11a =，23a =；②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=.则数列{}n a 的通项公式为n a =___________. 【答案】()112n n +【解析】根据条件②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=联立化简得数列是等差数列，再根据条件①可得的通项，再代入②即可得数列{}na 的通项公式.【详解】0n a >，0n b >，211n n n b b a ++=，1n a +∴则2n ≥2n b =，2n ∴≥==∴数列是等差数列.又1212a a b +=，12b ∴=，222192a b b ==，=2d ==，))11n n =-=+. ()2112n b n ∴=+，()()11122n a n n +∴==++.()112n a n n ∴=+，其中11a =适合此式，()112n a n n ∴=+.故答案为：()112n n +.【点睛】本题考查数列的通项公式，考查对数列相关知识的理解与运用，解题关键是对题目条件的转化，属于中等题.三、解答题17．某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10:1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：男生身高频率分布表女生身高频数分布表（1）估计这1000名学生中女生的人数；（2）估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率；（3）在样本中，从身高在[]170,180的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在[)170175,的概率.（身高单位：厘米）【答案】（1）400名；（2）0.49；（3）15. 【解析】（1）由男生、女生身高频数分布表可知，抽了60名男生，40名女生，则女生的人数为4010004004060⨯=+；（2）由男生、女生身高频数分布表可知，身高在[]170,190的有49人，又共抽取100人，计算可得概率；（3）身高在[)170175,的女生有3名，身高在[]175,180的女生有3名，列举法可得抽取2名共15种，其中2名学生的身高都在[)170175,的情况有3种，可求概率. 【详解】（1）由频率分布表可得样本中男生为60名，女生为40名，估计这1000名学生中女生的人数大约是4010004004060⨯=+（名）.（2）由表知，样本中身高在[]170,190的人数为19184233=49+++++，样本容量是100，∴样本中身高在[]170,190的概率为49100， ∴估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率为0.49.（3）依题意，身高在[)170175,的女生有3名，记为a ，b ，c ，身高在[]175,180的女生有3名，记为d ，e ，f ，则从身高在[]170,180的女生中任取2名，所有情况有：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef 共15种，其中2名学生的身高都在[)170175,的情况有ab ，ac ，bc 共3种，∴这2名学生身高都在[)170175,的概率为31155=. 【点睛】本题考查频率分布表的应用及概率计算，解题关键是对频数分布表及古典概型求概率的灵活掌握，属于基础题. 18．如图，平面ABCD平面ABEF AB =，四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形，点M ，N 分别是AF ，AB 的中点，二面角D AB F --的大小为60°.（1）求证：//MN 平面BCF ；（2）求三棱锥M BCF -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）由中位线性质可知//MN BF ，又MN ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF 即可求证；（2）根据题目条件不难得出DAF ∠就是二面角D AB F --的平面角，连接DM ，解三角形可得DAM △为直角三角形，由DM AM ⊥进一步求证可得DM ⊥平面ABEF ,又//CD 平面ABEF ，可得点C 到平面ABEF 的距离等于点D 到平面ABEF 的距离，即为所求三棱锥的高，再求出底面积代入体积公式即可. 【详解】（1）证明：M ，N 分别是AF ，AB 的中点，//MN BF ∴.MN ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，//MN ∴平面BCF .（2）四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形，DA AB ∴⊥，FA AB ⊥，DAF ∴∠就是二面角D AB F --的平面角，60DAF ∴∠=︒.连接DM ，在DAM △中，2DA =，1AM =，60DAM ∠=︒，2222cos603DM AM AD AM AD ∴=+-⋅⋅︒=，3DM ∴=222DM AM AD ∴+=，DM AM ∴⊥.DA AB ⊥，FA AB ⊥，FA DA A =，AB ∴⊥平面ADM ，AB DM ∴⊥.DM ∴⊥平面ABEF .//CD 平面ABEF ，∴点C 到平面ABEF 的距离等于点D 到平面ABEF 的距离，为3.FA AB ⊥，N 为AB 的中点，2AF AB ==， 11212NBF S ∴=⨯⨯=△//MN 平面BCF ，M BCF N BCF C NFB V V V ---∴==.13333M BCF NBF V S -∴=⨯=△.【点睛】本题考查线面平行的证明及三棱锥的体积求法，考查空间推理能力及转化能力，属于中等题.19．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的外接圆半径为R ，面积为S ，已知A 为锐角，且()2222tan =4b c R A S +-.（1）求A ；（2）若=1a ，求S 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）)1214.【解析】（1）根据正、余弦定理和同角三角函数的基本关系可求出sinA 的值，再根据是锐角三角形可确定角A 的值；（2）将a ，A 的值代入余弦定理，得到关系b ，c 的关系式，再由面积公式及基本不等式可求最大值．【详解】（1）()2222tan 4bc R A S +-=，()222sin 124sin cos 2A b c R bc A A ∴+-=⨯，即22222cos b c R bc A +-=，2222cos 2b c bc A R ∴+-=，由余弦定理得222a R =，由正弦定理得()222sin 2R A R =，得sin 2A =， A 为锐角，4A π∴=.（2）由余弦定理，得22212b c bc +-⨯=，221b c ∴+=+.222b c bc +≥，取等号的条件是b c =，bc ∴≤.)11sin 124S bc A ∴==≤.S ∴的最大值为)114.【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，涉及到的考点由同角三角函数关系、面积公式、基本不等式，属于综合题，考查综合分析能力及转化思想，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得，椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过右焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与y 轴相交于点10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =-或1122y x =-.【解析】（1）根据通径可求过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为22ba，再由椭圆C 的离心率为2及椭圆解得a 、b ，可得椭圆方程；（2）依题意，得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆联立利用韦达定理可得线段AB 的中点为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，可得线段AB 的垂直平分线的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，代入10,3⎛⎫⎪⎝⎭解得1k =或12k =，由此得出直线l 的方程.【详解】（1）过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为22ba，222222b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =1b c ==. ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）依题意，得直线l 的斜率存在且不为0，()1,0F ，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x k +-+-=. 可得2880k ∆=+>，2122412k x x k ∴+=+，21222212k x x k-=+， ()121222212ky y k x x k+=+-=-+ ∴线段AB 的中点为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 线段AB 的垂直平分线的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭. 令0x =，得212ky k=+. 21123k k ∴=+，解得1k =或12k =.∴直线l 的方程为1y x =-或1122y x =-. 【点睛】本题考查椭圆方程与椭圆与直线综合问题，求椭圆方程一般思路为列关于a 、b 、c 的方程组求解即可，椭圆与直线综合问题通常是设直线，联立，求韦达定理代入核心条件求解未知量，计算量较大，属于中等题.21．已知函数()2ln 2f x x ax x =++的导函数为()f x '.（1）若()21f x x'≤-对任意0x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的极值为正数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）14a -≤；（2）102a -<<. 【解析】（1）由()21f x x'≤-对任意0x >恒成立，求出()f x '代入分离参数，将问题转化为2min 124a xx ⎛⎫≤-⎪⎝⎭，由二次函数的最值可得a 的取值范围；（2）由函数()f x 的极值为正数，则()=0f x '有正根，将问题转化为二次函数有正根问题，对a 进行分类讨论，可得当0a <时，方程2410ax x ++=有两个不等实根1x ，2x 且异号，设10x <，20x >，可得出2x x =是函数()f x 在()0,∞+上的唯一极值点且是极大值点，再利用函数与方程思想可得21>x ，又22214x a x +=-得实数a 的取值范围. 【详解】（1）()141f x ax x'=++， 12411ax x x ∴++≤-对任意0x >恒成立，即2124a x x≤-. 2min 124a xx ⎛⎫∴≤- ⎪⎝⎭.2212111x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，当1x =时有最小值-1， 41a ∴≤-，14a ∴≤-.（2）()()2141410ax x f x ax x x x++'=++=>.①当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上递增，此时()f x 无极值；②当0a <时，设方程2410ax x ++=，1160a ∆=->. 方程2410ax x ++=有两个不等实根1x ，2x ，12104x x a=<，1x ∴，2x 一正一负，设10x <，20x >，结合函数241y ax x =++的图象可知，当()20,x x ∈时，()0f x '>；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()20,x 上递增，在()2,x +∞上递减，2x x =是函数()f x 在()0,∞+上的唯一极值点且是极大值点.()222222222ln 0,410,f x ax x x ax x ⎧=++>∴⎨++=⎩ 2211ln 022x x ∴+->. 令()11ln 22h x x x =+-，易知()h x 在()0,∞+上递增，又()10h =，()0h x ∴>时，1x >，21x ∴>.222410ax x ++=，()22222111142,024x a x x ⎛⎫+∴=-=-++∈- ⎪⎝⎭.102a -<<∴.【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，包括不等式恒成立求参数范围及已知极值范围求参数取值范围，核心考点是导数的应用，不等式恒成立求参数范围运用转化思想将参数分离，转化为求区间上函数的最值问题即可解决，已知极值范围求参数取值范围通过求导数将问题转化为二次函数根的分布问题，利用分类讨论及转化思想进行求解，是难题.22．在直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P ，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，设()1PB PA λλ=>，求实数λ.【答案】（10y --=；()2224x y -+=（2）76λ+=【解析】（1）消去参数t ，求得直线的普通方程，由4cos ρθ=求圆的普通方程.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ=-.然后将直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解. 【详解】（1）由112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，0y --=.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，即224x y x +=.故圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t . 依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ∴=-. 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程并整理得230t t --=，121t t ∴+=，123t t =-.()2121213t t t t +∴=-，211273t t t t ∴+=-，得21t t =，21t t λ∴=-=.1λ>，λ∴=. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的转化和直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数()212f x x x =++-.（1）解不等式()6f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，已知0a >，0b >且2ab a b m +-=+，求+a b 的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤（2）4 【解析】（1）将函数去绝对值，得()3,12124,123,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎩，然后分段求解.（2）先求分段函数的最小值，3m =.将2ab a b m +-=+，转化为()()114a b -+=，再利用基本不等式有()()11a b a b +=-++≥. 【详解】（1）()3,12124,123,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎩，∴当1x ≤-时，由36x -≤，得21x -≤≤-；当12x -<<时，由46x +≤，得12x -<<；当2x ≥时，由36x ≤，得2x =.综上所述，原不等式的解集为{}22x x -≤≤. （2）()3,14,123,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，()f x ∴在(),1-∞-递减，在()1,-+∞递增.()()min 13f x f ∴=-=.3m ∴=.5ab a b ∴+-=，即()()114a b -+=.0a >，0b >，1a ∴>.则()()114a b a b +=-++≥=，当且仅当11a b -=+且()()114a b -+=，即3a =，1b =时，取等号.3a ∴=，1b =时+a b 有最小值4.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020届湖北省武汉市高三四月调研测试数学文试题有答案(精品)

武汉市高中毕业生四月调研测试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数52i-的共轭复数是（）A．2i+B．2i-+ C．2i--D．2i-2.已知集合2{|20}A x x x=-<，{|lg(1)0}B x x=-≤，则A B=I（）A．(0,2) B．(1,2) C．(1,2] D．(0,2]3.曲线1C：221259x y+=与曲线2C：221259x yk k+=--(09)k<<的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等4.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t∈-，则输出的S属于（）A．[4,2]- B．[2,2]-C．[2,4]- D．[4,0]-5.若x、y满足约束条件31230x yxx y+≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y=+的最小值为（）A．9 B．7 C．1D．3-6.从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（）A．1415B．45C．35D．157.若实数a，b满足1a b>>，log(log)a am b=，2(log)an b=，2logal b=，则m，n，l的大小关系为（）A．m l n>> B．l n m>> C．n l m>> D．l m n>>8.在ABC∆中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，条件p：2b ca+≤，条件q：2B CA+≤，那么条件p是条件q成立的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A 36C ．3．2610.已知()f x 是R 上的奇函数，且(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，2()2f x x =，则()2f 7=（） A ．12B ．12- C ．1D ．1- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.已知(2,0)A ，(0,1)B 是椭圆22221x y a b +=的两个顶点，直线(0)y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =u u u r u u u r，则斜率k 的值为（）A ．23 B ．38 C ．23或38 D ．23或34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=．14.已知向量a r ，b r 满足条件2a =r ，3b =r ，a r 与b r 的夹角为60o，则a b -=r r ．15.过点(1,1)P 作曲线3y x =的切线，则切线方程为．16.在四面体ABCD 中，1AC CB AB AD BD =====，且平面ABC ⊥平面ABD ，则四面体ABCD 的外接球半径R =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21342n n S S +=+. （1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）求异面直线1A E 与1C F 所成角的余弦值. （2）求四面体11EFC A 的体积.19.已知直线2y x =与抛物线Γ：22y px =交于O 和E 两点，且5OE =. （1）求抛物线Γ的方程；（2）过点(2,0)Q 的直线交抛物线Γ于A 、B 两点，P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M 、N 两点，问M 、N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由. 20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？合格优秀合计男生 720女生10202()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.21.（1）求函数ln ()xf x x=的最大值；（2）若函数()xg x e ax =-有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市高中毕业生四月调研测试文科数学参考答案一、选择题1-5: CBDAC 6-10: BBABA 11、12：CC 二、填空题13.25 15. 32y x =-，3144y x =+三、解答题 17.解：（1）∵21342n n S S +=+，可知311342S S =+，421342S S =+，两式相减得：4214a a =，∴214q =，而0q >，则12q =. 又由311342S S =+，可知：12311342a a a a ++=+， ∴111113(1)2442a a ++=+， ∴11a =.（2）由（1）知11()2n n a -=. ∵12n n nb -=， ∴21231222n n nT -=+++⋅⋅⋅+， 21112122222n n n n nT --=++⋅⋅⋅++. 两式相减得11112222n n n n T =++⋅⋅⋅+-1222n n n =--. ∴1242n n n T -+=-. 18.解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，延长DC 至M ，使1CM =，则//AE CM . ∴11//A E C M .∴1FC M ∠为异面直线1A E 与1C F 所成的角.在1FC M ∆中，11C F C M =2FM =， ∴14cos 5FC M ∠==.（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =.∴1//A E FN，从而1//A N EF，1//A N平面1EFC，∴1111A EFC N EFC E NFCV V V---==11113(23)33332NFCS∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=.19.解：（1）由22y px=与2y x=，解得交点(0,0)O，(,)2pE p，∴22()52pOE p=+=2p=.∴抛物线方程为：24y x=.（2）设AB：2x ty=+，代入24y x=中，设11(,)A x y，22(,)B x y，则2480y ty--=，∴121248y y ty y+=⋅⋅⋅⎧⎨⋅=-⋅⋅⋅⎩①②.设(2,)P y-，则PA：101(2)2y yy y xx--=++，令0y=，得01011()2My y x y x y-=+③同理由BP可知：02022()2Ny y x y x y-⋅=+④由③×④得0102()()M Ny y y y x x--⋅011022(2)(2)y x y y x y=++201201221122()4y x x y y x y x y y=+++2222212210012122()44444y y y yy y y y y y=+⋅+⋅+⋅2221201201212124164y yy y y y y y y y+=⋅++（其中128y y=-.）20120124[(()]y y y y y y=-++，从而4M Nx x⋅=为定值.20.解：（1）由题意，得：中间值455565758595∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）24000(720102011801080)1800220019002100K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯284000(540000)1822192110⨯=⨯⨯⨯⨯ 2000545473.8210.82818221921⨯⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为有关. 21.解：（1）对ln ()x f x x =求导数，21ln '()xf x x -=. 在0x e <<时，()f x 为增函数，在x e >时()f x 为减函数， ∴1()()f x f e e ≤=，从而()f x 的最大值为1e. （2）①在0a =时，()xg x e =在R 上为增函数，且()0g x >，故()g x 无零点. ②在0a <时，()xg x e ax =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g x 在R 上只有一个零点. ③在0a >时，由'()0xg x e a =-=可知()g x 在ln x a =时有唯一极小值，()()ln 1ln g a a a =-.若0a e <<，()()1ln 0g x a a =->极小，()g x 无零点，若a e =，()0g x =极小，()g x 只有一个零点，若a e >，()()1ln 0g x a a =-<极小，而(0)10g =>. 由（1）可知，ln ()xf x x=在x e >时为减函数， ∴在a e >时，2a e e a a >>，从而()20ag a e a =->.∴()g x 在(0,ln )a 与(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时，()f x 有两个零点.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤. 在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立，而22(1)x ax a x +--≤+，或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =. ∴a 的取值为1或1-.。

2020届河南广东等省高三下学期4月联考数学(文)试卷及解析

2020届河南广东等省高三下学期4月联考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版本试卷共5页,23小题（含选考题）,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答题信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}20A x x x =-=,则集合A 的真子集的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】可用列举法列出所有真子集即可.【详解】由题可解集合{}0,1A =,则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1.故选：C .2.如图,复数1z ,2z 在复平面上分别对应点A ,B ,则12z z ⋅=（）A. 0B. 2i +C. 2i --D. 12i -+【答案】C【解析】由图可得点A ,B ,即可得复数1z ,2z 的代数形式,进行复数相乘即可.【详解】由图可得：112z i =-+,2z i =,∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--.故选：C .3.若向量()4,2a x =-与向量()1,1b =-平行,则a =( ). A. 2B. 2 2 D. 8 【答案】A【解析】由a b ,可解得2x =,所以可得()2,2a =-,即可求得a .【详解】由a b ,可得()()41210x -⨯--⨯=,解得2x =,所以()2,2a =-, 可得()22222a =-+=故选：A . 4.若函数()221x x a f x -=+的图像关于y 轴对称,则常数a =( ) A. 1-B. 1C. 1或1-D. 0 【答案】A【解析】方法一：可知()f x 是偶函数,则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数,利用特。

[首发]湖南湖北四校2020届高三学情调研联考数学(文)试题含答案+详解

,
5 2
11．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
右焦点
F
的直线交两渐近线于
A、B
两点，若
uur OA
uuur AB
0
，O
为
坐标原点，且 △OAB 内切圆半径为 3 1 a ，则该双曲线的离心率为
2
A. 2 3
3
B. 3
C. 4 3
3
D. 3 1
12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA PB PC ，△ABC 是边长为 2 的正三
ta（n A
B）
tanA tanB 1 tanAtanB
3tanB 1 4tan2B
1
3
， A、B 是三角形内角，且
4tanB
tanB
tanA 与 tanB 同号， A、B 都是锐角，即 tanA＞0，tanB＞0，
1 4tanB 2 1 4tanB 4
tanB
tanB
ta（n A B）
9 、C【解析】 acosB bcosA 3 c ∴由正弦定理，得 5
sinAcosB sinBcosA 3 sinC， 5
C （A B） sinC si（n A B），，
∴ sinAcosB sinBcosA 3（sinAcosB cosAsinB）， 5
整理，得 sinAcosB 4sinBcosA ，同除以 cosAcosB，得 tanA 4tanB ，由此可得
日利润是__________元.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。

2020届全国大联考高三第四次联考数学(文)试题(解析版)

2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（） 3344【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（）A ．B ．C ．4D ．6【答案】B【解析】根据柱体的体积公式求解即可. 【详解】三棱柱底面的面积为224S =⨯=故体积为V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查棱柱的体积公式.属于基础题. 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（） A ．2k B ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立；因为BD EF l ////,BD ⊥平面ACC A ,所以l ⊥平面ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（） A ．5 B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，E 、F 分别为CD 、AB 的中点，则异面直线1B F 与1D E 所成的角为________.【答案】60︒【解析】连接1A F 、EF ,可得11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.再根据三角形中的关系分析即可. 【详解】连接1A F 、EF ,则易证四边形11A D EF 为平行四边形,所以11D E A F ∥,所以11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.因为2AB =,13AA =所以可求得112A F B F AB ===,所以11A FB V 为等边三角形,则1160A FB ︒∠=.故答案为：60︒ 【点睛】本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题. 15．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足||||8PF MF +=，3MFP π∠=，则直线AB 的方程为________.【答案】3(1)y x =-【解析】根据||||8PF MF +=,3MFP π∠=可得MFP V 为正三角形且边长为4,进而求得直线AB 的倾斜角,再求解方程.由椭圆22143x y +=,可知1c =,12p =,2p =,∴24y x =,在MFP V 中,3MFP π∠=,PF PM =,故MFP V 为正三角形.又||||8PF MF +=,故||||4PF MF ==13||||sin ||||43234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅=V ∵||4MF =,12F F =,∴16FMF π∠=,13MFF π∠=,∴直线AB 的倾斜角为3π,将直线方程3(1)y x =-. 故答案为：3(1)y x =- 【点睛】本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.三、解答题17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2nn b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.【详解】（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA P 平面EFG ；（2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA P 平面EFG .（2）在ASD V 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =I ,所以AC ⊥平面SDB .【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.（1）求抛物线C 的方程；（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r ，求||AB 的值.【答案】（1）24y x =（2）92【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =u u u r u u u r求解k ,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =u u u r u u u r ,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得22k =±,所以()212122199||141882AB y y y y k =++-=⨯=. 【点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）26 【解析】(1) 连接AE ,证明PB AD ⊥与AE PB ⊥,进而证得PB ⊥面ADE 即可证明⊥AF PB .(2)利用等体积法D AEC E ACD V V --=求解即可.【详解】解：（1）连接AE ,在四边形ABCD 中,DA AB ⊥,PA ⊥平面ABCD ,AB Ì面ABCD ,∴AD PA ⊥,PA AB A =I ,∴AD ⊥面PAB ,又∵PB ⊂面PAB ,∴PB AD ⊥,又∵在直角三角形PAB 中,PA AB =,E 为PB 的中点,∴AE PB ⊥,AD AE A ⋂=, ∴PB ⊥面ADE ,AF ⊂面ADE ,∴⊥AF PB .（2）由22PA AB AD BC ====,∴12AE PB ==AC =EC =,∴222AE EC AC +=,∴12AEC S ==V 设点D 到平面AEC 的距离为d ,∵D AEC E ACD V V --=,∴111122332d =⨯⨯⨯⨯,∴d =【点睛】本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.21．已知椭圆22:22:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于M ，N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[3,4) 【解析】(1)代入x c =-求解椭圆E 上的点的坐标,再根据线段长为3以及12e =求解即可.(2)分析直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.【详解】（1）由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=,即2b y a =±,由题意知223b a=,即223a b =,又12c e a ==,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y . 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+, 212241243k x x k -=+,所以()212221213||34343k MN x k k +=-==+++, 所以||(3,4)MN ∈.当直线l 与x 轴垂直时,||3MN =.综上所述,||MN 的取值范围为[3,4).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.22．已知函数21()4ln 2f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可. (2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t =的图像数形结合求解即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,max 2()()h t h e e ==,当1t e=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；②当20b e <<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.。

2020年4月全国大联考2020届高三毕业班联考质量检测数学(文)试题(解析版)

绝密★启用前全国大联考2020届高三毕业班下学期4月联合质量检测数学(文)试题 (解析版)2020年4月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.不等式110x->成立的充分不必要条件是（） A. 1x >B. 1x >-C. 1x <-或01x <<D. 10x -≤≤或1x > 【答案】A 【解析】【分析】求解不等式110x ->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x->，()10,10x x x x ->->，得()(),01,x ∈-∞+∞，其充分不必要条件即该解集的真子集，结合四个选项A 符合题意. 故选：A【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2.复数 12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（）B. 3C. 5【答案】C 【解析】【分析】根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解. 【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-， ()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=. 故选：C【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算.3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A. x x <甲乙，σσ<甲乙B. x x <甲乙，σσ>甲乙C. x x >甲乙，σσ<甲乙D. x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C 【解析】【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙. 【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选.。

2019-2020年高三4月联考数学(文)试卷含答案

2019-2020年高三4月联考数学（文）试卷含答案数学试卷（文科） xx.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则_________．2．已知为虚数单位，复数满足，则__________．3．设且，若函数的反函数的图像经过定点，则点的坐标是___________．4．计算：__________．5．在平面直角坐标系内，直线，将与两条坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为___________．6．已知，，则_____________．7．设定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是__________________．8．在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线（）的焦点，则抛物线的方程为_____________．9．已知、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤,02,4,y y x x y 则的最小值为____________．10．已知在（为常数）的展开式中，项的系数等于，则_____________．11．从棱长为的正方体的个顶点中任取个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是______________．12．已知数列满足n n a a a n 3221+=+++ （），则__________．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有道选择题，每题均有个选项，答对得分，答错或不答得分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有道题的选项不同，如果甲最终的得分为分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．对于函数，其中，若的定义域与值域相同，则非零实数的值为_____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“”是“”的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（）．（A ）若直线∥平面，直线∥平面，则∥；（B ）若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥；（C ）直线与平面所成角的取值范围是；（D ）若直线平面，直线平面，则∥.17．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）18．已知直线：与函数的图像交于、两点，设为坐标原点，记△的面积为，则函数是（）．（A ）奇函数且在上单调递增（B ）偶函数且在上单调递增（A ）奇函数且在上单调递减（D ）偶函数且在上单调递减三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数12cos 2sin 3)(-+=x x x f （）．（1）写出函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，，且，求的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．A B C A 1 B 1 C 1 D（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数xx a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=41211)(在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆：（）的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、是四条直线，所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，是椭圆上任意一点，若，求证：为定值；（3）过点的直线与椭圆交于不同的两点、，且满足△与△的面积的比值为，求直线的方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列、满足：，，．（1）求，，，；（2）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（3）设13221++++=n n n a a a a a a S ，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．文科数学参考答案一．填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1）因为底面△是等腰直角三角形，且，所以，，（2分）因为平面，所以， ………………………………………（4分）所以，平面． ……………………………………………………（5分）（2）取点，连结、，则∥所以，就是异面直线与所成角（或其补角）． …………………（2分）解法一：由已知，，，所以平面，所以△是直角三角形，且， …………………………………………（4分）因为，，所以，， ……………………（6分）所以，异面直线与所成角的大小为． …………………………（7分）解法二：在△中，，，，由余弦定理得，322325492cos 1212211=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠DE D B E B DE D B DE B ． ……………（6分）所以，异面直线与所成角的大小为． ……………………………（7分）20．（1）， …………………………………………（3分）所以，的最小小正周期， …………………………………………（4分）的单调递增区间是，． ……………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故，所以，或（），因为是三角形内角，所以． …………………………（3分）而，所以，， …………………………（5分）又，所以，，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，． …………………………………（8分）21．（1），则在上是增函数，故，即， ……………………………………………（2分）故，所以是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界满足，所有上界的集合是． ……………………（6分）（2）由题意，对恒成立，即3412113≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≤-x x a ， ……………………………………………（1分）令，则，原不等式变为，故，故minmax 24⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t a t t ， ……………………（3分）因为在上是增函数，故， …………………（5分）又在上是减函数，故． ………………………（7分）综上，实数的取值范围是． ………………………（8分）22．（1）由已知，， …………………………………………………（1分）又，故， ………………………………………………（2分）所以，，所以，椭圆的标准方程为． ……………（4分）（2），， ………………………………………………（1分）设，则，由已知，得 ……………………（4分）所以，13)(34)(422=++-n m n m ，即为定值． ……………（6分）（3）等价于， ……………………………………………（1分）当直线的斜斜率不存在时，，不合题意． ……………………………（2分）故直线的斜率存在，设：，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,)1(22y x x k y 消去，得096)43(222=-++k ky y k ， ……………………（3分）设，，则，，由，得，则，，从而，． …………………………………………（5分）所以，直线的方程为． …………………………………………（6分）23．（1）由已知，nn n n n n n n b b b b a a b b -=-=+-=+21)2()1)(1(1，因为，所以，，，，． …………（4分）（每个1分）（2），n n n n b b b b --=--=-+2112111， ……………………（2分）所以，11112111--=--=-+n n n n b b b b ，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列． ……………………（4分）所以，，（）． ………………………………（6分）（3）因为，从而， ………………………………（1分）所以，13221++++=n n n a a a a a a S )4)(3(1651541++++⨯+⨯=n n ， …………………………………（2分）解法一：所以，不等式化为，即当时恒成立， …………………………………………（4分）令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ，则随着的增大而减小，且恒成立． ………………………………（7分）故，所以，实数的取值范围是． …………………………………（8分）解法二：)4)(3(8)2(3)1(32442++--+-=++-+=-n n n a n a n n n an b S a n n n ，若不等式对任意恒成立，则当且仅当08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意恒成立． ………………………………（4分）设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，，当时，恒成立； …………………………（5分）当时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为，在上单调递减，即在上单调递减，故只需即可，由，得，所以当时，对恒成立．综上，实数的取值范围是． …………………………（8分）。

2020届全国大联考高三4月联考文科数学试题

秘密★考试结束前 [考试时间：2020年4月2日 15:00~17:00]全国大联考 2020 届高三 4 月联考文科数学试卷注意事项：1．考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。

2．考试时间120分钟，满分150分。

3．本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料。

4．考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 不等式>-x 110成立的充分不必要条件是 A. x>1 B. x>−1 C.x<−1或0<x< 1 D. −1<x<12. 复数z=1+2i 的共轭复数是z ，则z ·z =A. 3B. 3C. 5D. 53. 甲乙两名同学高三以来6次数学模拟考试的成绩统计如下图1，甲乙两组数据的平均数分别为 x 甲、 x 乙，标准差分别为σ甲、σ乙，则A. x 甲< x 乙，σ甲<σ乙 B. x 甲< x 乙，σ甲>σ乙C. x 甲> x 乙，σ甲<σ乙 D. x 甲> x 乙，σ甲>σ乙4. 设m,n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是A. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC. 若α∥β，m ⊂ α，则m ∥βD. 若m ∥β，m ⊂ α，则α∥β 5. 《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式：d =31)916(V .若球的半径为r=1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为A. 34πB. 169C. 49πD. 29 6．若需右边框图输出的值S=41，则判断框内应填入的条件是A ．k ＞3？B ．k ＞4？C ．k ＞5？D ．k ＞6？7. 已知,log ,41,3133132π=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a 则a,b,c 的大小关系为A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8. 下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（即各面所标序号相对位置相同）的是A. (I)和(IV)B. (I)和(III)C. (II)和(III)D. (II)和(IV)9. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 A. 61 B. 31 C. 54 D. 32 10 双曲线E: 2222by a x -=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作一条直线与两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若F F 112=，||2||21OB F F =，则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．311. 已知直线x=t 分别与函数f(x)=log 2(x+1)和g(x)=2log 2(x+2)的图象交于P ，Q 两点，则 P ，Q 两点间的最小距离为A. 4B. 1C.2 D. 212. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)= f(x)，且对任意的不相等的实数 x 1，x 2∈[0,+∞)有 2121)()(x x x fx f -⋅＜0成立，若关于x 的不等式f(2mx-lnx-3)≥2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是A. [e 21 ,1+63ln ]B. [e 1,2+36ln ]C. [e 1,2+33ln ]D. [e 21 ,1+66ln ]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～ 50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为____的学生. 14. 某公司计划在2020年春季校园双选招聘会招收x 名女性，y 名男性，若x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-6252x y x y x ，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为________.15. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f(x+3)=f(x)且f(−1)=4，则f(1)的值为_______.16. 过抛物线C ：x 2=2py （p>0）的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4|AF|=|BF|，O 为坐标原点，则 =||||OF AF _______. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020届高三数学4月调研考试试题文

2020届高三数学4月调研考试试题文全卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知为实数集，集合，，则集合为A. B. C. D.2.已知复数是虚数单位，，则＝A. B. C. 0 D. 23.将甲、乙两个篮球队场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差D. 甲乙两队得分的极差相等4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为若，，成等差数列，则数列的公比为A. B. C. 2 D. 35.执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.6.已知直线与圆相交于两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数A. 2B.C. 或2D. 19.椭圆的左、右顶点分别为，点在上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是A． B． C． D．10.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为A. B. C. D.11.已知定义在R上的函数恒成立，则不等式的解集为A. B.C. D.12.已知函数，，的部分图像如图所示，分别为该图像的最高点和最低点，点垂轴于，的坐标为，若，则A. B. C. D.第II卷非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知，则 __________．14.已知正数满足，则的最小值是____________.15.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，与双曲线右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是__________．16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，边长为，都在圆上，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥，则该四棱锥体积为__________．三、解答题(本大题共6小题,共70分。

2020届 全国联考4月 高三调研考试数学(文)试题(解析版)

湖南湖北四校2020届高三下学期4月学情调研联考数学(文)试题 Word版含答案

湖南湖北四校2020届高三学情调研联考数学(文)试题及答案

2020届全国联考高三调研考试数学(文)试题(解析版)

2020届湖北省武汉市高三四月调研测试数学文试题有答案(精品)

2020届河南广东等省高三下学期4月联考数学(文)试卷及解析

[首发]湖南湖北四校2020届高三学情调研联考数学(文)试题含答案+详解

2020届 全国大联考 高三第四次联考数学(文)试题(解析版)

2020年4月全国大联考2020届高三毕业班联考质量检测数学(文)试题(解析版)

2019-2020年高三4月联考数学(文)试卷 含答案

2020届全国大联考高三4月联考文科数学试题

2020届高三数学4月调研考试试题文

2020届全国联考4月高三调研考试数学(文)试题(解析版)

2020届全国大联考高三第四次联考数学(文)试题(解析版)

2019-2020年高三4月联考数学(文)试卷含答案