位置和坐标经典例题和对应训练
直线与圆的位置关系经典例题
直线与圆的位置关系经典例题一、点与圆的位置关系结合图形认识直线与圆的位置关系，比较OA 与r 的大小关系若点A 在⊙O 内OA r 若点A 在⊙O 上OA r 若点A 在⊙O 外OA r小练习：1.在△ABC 中，90C ∠=︒,AC=2,BC=4,如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（）（A）D 在圆外（B）D 在圆上（C）D 在圆内（D）无法确定二、直线与圆的位置关系（1）实验创境：用移动的观点认识如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，太阳和海平面就有图中的几种位置关系。
（可让学生用硬币自己操作演示）根据直线与圆公共点的个数可以得到三种位置关系：、、。
（2）用数量关系判断从以上的一个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：若要判断圆与直线的位置关系，可以将______与_____进行比较大小，由比较的结果得出结论。
典型例题：例1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线MN 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米。
分别说出直线MN 与圆的位置关系以及直线MN 和圆分别有几个公共点？例2.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，r 为半径作圆，当3,4.2,2===r r r 时，⊙C 与直线AB 分别是怎样的位置关系？★①直线l 和⊙O 相交d r ②直线l 和⊙O 相切d r ③直线l 和⊙O 相离d r1、如果⊙O 的直径为10厘米，圆心O 到直线AB 的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系是2、已知：⊙A 的直径为6，点A 的坐标为)4,3(--，则⊙A 与x 轴的位置关系是；⊙A 与y 轴的位置关系是。
三、切线的判定实验探究：在练习纸上画⊙O ，在⊙O 上任取一点A ，连结OA ，过A 点作直线l ⊥OA ，判断直线l 是否与⊙O 相切？为什么？当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当直线和圆的距离等于该圆半径时，直线是圆的切线；那么，直接从直线和圆的位置上观察，具备什么条件的直线也是圆的切线呢？两个条件缺一不可（1）经过半径外端（2）垂直于这条半径切线判定定理：经过直径外端并且于这条直径的直线是圆的切线。
第七课时坐标平移及点关于坐标轴的轴反射
第一章 实数1．4 平面直角坐标系第二课时 坐标平移规律及点关于坐标轴的轴反射一．预习题纲 （1）学习目标展示1．掌握平面直角坐标系中坐标平移公式和轴反射公式 2．会通过建立平面直角坐标系来描述物体的位置（2）预习思考二．经典例题例1．如图1，方格纸中的每个小格点都是边长为1个单位长度的正方形，我们把顶点在格点上的三角形叫做“格点三角形”，图中的△ABC 就是格点三角形，在建立平面直角坐标系以后，点B 的坐标为（—1，—1），把△ABC 向左平移3个单位后得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并分别写出A 1、B 1、C 1的坐标．【分析】由图可知A 点的坐标为（3，3），C则原图形中各点的纵坐标都不变，横坐标都减去3，即可求得平移后各对应点的坐标． 【简解】A 1（0，3）；B 1（—4，—1）；C 1（2，—1），顺次连结这三个点即可得到△A 1B 1C 1 如图2所示．【规律总结】在平面直角坐标系中，点的坐标平移规律为：左、右平移，纵坐标不变，横坐标减增（正向增，负向减）；上、下平移，横坐标不变，纵坐标增减（正向增，负向减）．记忆口诀为：左减右加，上加下减三．易错例题例2．在平面直角坐标系中，点P （3，4）关于x 轴轴反射后像点的坐标为 ；关于y 轴轴反射后像点的坐标为【错解】点P 关于x 轴轴反射后像点的坐标为（-3，4）；点P 关于y 轴轴反射后像点的坐标为（3，-4）【错因分析】错解的原因是对平面直角坐标系中轴反射规律没有掌握好，从而弄错了符号。
【正解】点P关于x轴轴反射后点的坐标为（3，-4）；点P关于y轴轴反射后像点的坐标为（-3，4）【点拨】平面直角坐标系中，点关于坐标轴轴反射后，对应点的坐标之间的关系是：关于哪个坐标轴对称，哪个坐标不变，另一个坐标变成相反数。
一．课前预习1．平移不改变图形的，只改变图形的2．在平面直角坐标系中，A点坐标为（1，3），将A点向右平移2个单位后到B点，则B 点与A点横坐标的关系是，纵坐标的关系是3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（3，2），C（0，0），分别作A、B、C三点关于y轴的轴反射，对应点分别为A/，B/，C/，则A/，B/，C/三点的坐标分别为；；二．当堂训练知识点一：平面直角坐标系中点的坐标平移规律1．在直角坐标系中，将点P（3，6）向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度后，得到的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2009天津）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（-4，-1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A/B/，若点A/的坐标为（-2，2），则点B的坐标为（）A．（4，3）B．（3，4）C．（-1，-2）D．（-2，-1）3．（2009荆门）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P/（-1，3），则点P 的坐标是____4．如图1，将平行四边形ABCD向左平移2个单位长度，可以得到平行四边形A/B/C/D/，画出平移后的图形，并指出各个顶点的坐标Array知识点二：平面直角坐标系中的轴反射规律5．（2009郴州）点P（3，-5）关于x轴轴反射后的坐标为（）A．（-3，-5）B．（5，3）C．（-3，5）D．（36．（2009钦州）点P（－2，1）关于 y轴轴反射后点的坐标为（A．（－2，－1）B．（2，1）C．（2，－1）D．（－2，7．（2009吉林）如图2，点A关于y轴的轴反射后的点的坐标是．知识点三：用坐标表示地理位置8．确定一个地点的位置，下列说法中正确的是（）A．偏西30°，相距500米B．东北方向C．距此200米D．距此北500米y O(01)B ， (20)A ， 1(3)A b ， 1(2)B a ， 图1 x 9．芳芳放学从校门向东走400米,再往北走200米到家;丽丽出校门向东走200 米到家,则丽丽家在芳芳家的 ( )A.东南方向B.西南方向C.东北方向D.西北方向课时测评（时间：40分钟，满分100分）一．选择题（每小题5分，共25分）1．(2009南充)在平面直角坐标系中，点A （2，5）与点B 关于y 轴轴反射，则点B 的坐标是（ ） A ．（-5，-2） B ．（-2，-5） C ．（-2，5） D ．（2，-5） 2．（2009威海）如图1，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至A 1B 1，则a+b 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比是（ ）A ．向右平移了3个单位B ．向左平移了3个单位C ．向上平移了3个单位D ．向下平移了3个单位 4．已知三角形的三个顶点坐标分别是（-4，-1）、（1，1）、（-1，4），现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标依次是（ ） A ．（－2，2），（3，4），（1，7） B ．（－2，2），（4，3），（1，7） C ．（2，2），（3，4），（1，7） D ．（2，－2），（3，3），（1，7） 5．（2009襄樊）如图2，在边长为1的正方形网格中，将ABC △向右平移两个单位长度得到A B C '''△，则与点B '关于x 轴轴反射的点的坐标是（ ） A ．()01-， B ．()11， C ．()21-，D ．()11-， 二．填空题（每小题5分，共25分） 6．（2008乌鲁木齐）将点（1，2）向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 7．（2009梧州）将点A （1，－3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到点B （a ，b ），则ab ＝ ． 8．（2009包头）线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A （-1，4）的对应点为C （4，7），则点B （-4，-1）的对应点D 的坐标是9．（2009常德）如图3，△ABC 向右平移4个单位后图3北南西东B A DCOM图4图2得到△A′B′C′，则A′点的坐标是．10．如图4，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的点是三．解答题（本题共50分）12．（本题12分）如图6，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标。
位置和坐标经典例题和对应训练
位置与坐标 （定时训练与典例精析）施泽顺定时训练部分：1、如图，已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD交于直角坐标系的原点，带你A 的坐标为（-2,3）则点C的坐标为（ ）2、若023=++-b a ，则点M （a ，b ）在（ ）象限3、一艘轮船从港口O 出发,以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处,此时观测到期正西方向50海里处有一座小岛B 。
若以港口O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1海里为一个单位长度建立平面直角坐标系（如图）则小岛B 所在的位置的坐标是(提示：直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半) （ ）4、如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴和y 轴，物体甲和物体乙分别由点A （2,0）同时出发，沿矩形BCDE 的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2的单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是 （ )5若平面直角坐标系内，O 为坐标原点，已知点A （2，-2），点P 在x 轴上，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点的坐标为 。
6、如图，将边长为2的等边三角形沿x 轴正方形连续翻折2010次，依次得到点P 1、P 2、P 3、…、n p ，则点n p 的坐标是 。
7、已知点)23(，A 且AB ∥x 轴，若AB =4，则点B 的坐标为___________。
8、若)(y x P ，的坐标满足0=xy ,则P 点必在（ ）9、一个人从A 点出发向北偏东60°的方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC 的度数是( ）10、现阅读一段文字,再回答下列问题：已知平面内两点的坐标为P1（x1,y1），P2(x2，y2），则该两点之间的距离公式为21221221)()(y y x x P P -+-=.同时,当两点在同一坐标轴上或所在的直线平行于x 轴、平行于y 轴时,两点间的距离公式可化简为12x x -或12y y -.（1）若已知两点A （3，5），B(-2，-1），试求A 、B 两点间的距离；(2）已知点A 、B 在平行于y 轴的直线上，点A 的纵坐标为5,点B 的纵坐标为—1，试求A 、B 两点间的距离;（3)已知一个三角形各顶点的坐标为A （0,6）,B （—3，20，C （3,2），你能判断此三角形的形状吗？试说明理由。
01坐标系(含经典例题+答案)
坐标系一、极坐标系与极坐标在平面内取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox 、一个长度单位、一个角 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角 ． 二、点的极坐标和直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的关系：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.又可得到关系式：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 三、常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2rcos θ (0≤θ＜2π)圆心为(r ，π2)，半径为r 的圆ρ＝2rsin θ (0≤θ＜2π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a (－π2＜θ＜π2)过点(a ，π2)，与极轴平行的直线ρsinθ＝a (0＜θ＜π)例1：在极坐标系中，求经过点P 24,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭且与极轴所在直线垂直的直线方程．解：∵x ＝ρcos θ＝4cos 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－23，∴点P 的直角坐标为()－2，－23.∴过点P 且与x 轴垂直的直线方程为x ＝－2，即极坐标方程为ρcos θ＝－2.例2：求圆心为C 3,6⎛⎫⎪⎝⎭，半径为3的圆的极坐标方程．解：如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA |＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.例3：已知直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，试判断直线l 与解：将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝1＋4t 化为普通方程得y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－15，小于圆的半径，所以直线与圆相交． 与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．2．由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性： 若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点Ο对称．例4：在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.解：将变换后的椭圆的方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入上式得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即23λ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 2＋22μ⎛⎫ ⎪⎝⎭y 2＝1.与x 2＋y 2＝1比较系数，得221312λμ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩故⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y ， 即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.本例条件变为“求圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 后的图形”解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y ∴⎩⎨⎧x ＝12x ′y ＝13y ′代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.∴经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 后圆x 2＋y 2＝1变为椭圆例5：设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为例6：通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆(x ＋1)29＋(y －1)24＝1变为中心在原点的单1．平移变换：在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为(x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点为P ′(x ′，y ′)，则有(x ，y )＋(h ，k )＝(x ′，y ′)，或表示成⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h ＝x ′，y ＋k ＝y ′.2．伸缩变换：一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，y ＝y ′k >0所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当0<k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里，P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点).例7：进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0；(3)ρ＝1cos θ.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是________．解：ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝－31＝－3，θ＝－π3＋2k π.例9:在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方1.将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)即可．在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z)即可．2．极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(或除以)ρ等技巧.例10：(1)(设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为_____________．（2）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ例11：在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，求线段AB 的例12：已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐例13：在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，求点2,6⎛⎫⎪到直线l 的距离．例14：已知直线l 经过点P 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．例15：已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标；(2)若直线l 与曲线C 相交弦长为23，例17：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2·(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.12(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为5，求a 的值．解：(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.所以⊙O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由ρ＝2a sin θ，得ρ2＝2aρsin θ.所以⊙O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ，即x 2＋(y －a )2＝a 2. (2)⊙O 1与⊙O 2的圆心距为12＋a 2＝5，解得a ＝±2.例19：极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的轨迹方程，并说明所求轨迹是解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，∴ρ0＝25ρ.∵ρ0＝2cos θ0.∴25ρ＝2cos θ.即ρ＝5cos θ它表示一个圆．例20：已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A 、B 两点，且|AB |＝6.解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－2cos θ1＋π＝31＋2cos θ1.|AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1，∴11－4cos 2θ1＝±1，∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.。
初一数学数轴经典例题20道
初一数学数轴经典例题20道一、基本概念题1. 数轴上两点的距离是多少？答：数轴上两点的距离是两点所在位置的数值差的绝对值。
2. 数轴上的点A在点B的右边，点B在点C的左边，那么点A在点C的哪一边？答：点A在点C的左边。
3. 在数轴上，点A的数值是3，点B的数值是-4，点C的数值是0，点D的数值是2，那么点A、B、C、D的位置关系是什么？答：点B在点A的左边，点C在点A的左边，点D在点A的右边。
4. 数轴上的点A的数值是-3，点B的数值是1，点C的数值是-2，点D的数值是-1，那么点A、B、C、D的位置关系是什么？答：点A在点C的左边，点C在点D的左边，点B在点D的右边。
5. 数轴上的点A的数值是-2，点B的数值是2，点C的数值是-4，点D的数值是-3，点E的数值是1，那么点A、B、C、D、E的位置关系是什么？答：点C在点A的左边，点D在点C的右边，点E在点B的左边，点D在点E的左边。
二、求解题6. 数轴上的点A的数值是-5，点B的数值是3，求点A、B之间的距离。
答：点A、B之间的距离 = |(-5) - 3| = |-8| = 8。
7. 数轴上的点A的数值是-2，点B的数值是5，求点A、B之间的距离。
答：点A、B之间的距离 = |-2 - 5| = |-7| = 7。
8. 数轴上的点A的数值是2，点B的数值是-7，求点A、B之间的距离。
答：点A、B之间的距离 = |2 - (-7)| = |9| = 9。
9. 数轴上的点A的数值是-3，点B的数值是-7，求点A、B之间的距离。
答：点A、B之间的距离 = |-3 - (-7)| = |4| = 4。
10. 数轴上的点A的数值是5，点B的数值是-4，点C的数值是2，点D的数值是-7，求点A、B、C、D之间的距离之和。
答：点A、B、C、D之间的距离之和 = |5 - (-4)| + |-4 - 2| + |2 - (-7)| = 9 + 6 + 9 = 24。
位置与坐标经典题目及练习
位置与坐标经典题目及练习例1：已知点M(m24m11,n5)，则点M在平面直角坐标系中的什么位置例2：已知：A(4,3)，B(1,1)，C(3,)，求三角形ABC的面积.例3：已知：A(12a,4a5)，且点A到两坐标轴的距离相等，求A点坐标．例4：已知：A(4,3)，B(1,1)，C(3,)，求三角形ABC的面积.例5：如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（，），A（。
6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E （6，）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是________例6：点A（－1，2）关于y轴的对称点坐标是；点A关于原点的对称点的坐标是。
点A关于x轴对称的点的坐标为例7：在平面直角坐标系中，已知：A(1,2)，使得AC BCB(4,4),在x轴上确定点C。
最小．例8：点A(m5,1)，点B(4,m1)，且直线AB//y轴，则m的值为几何例9：在平面直角坐标系中，点P(x,y)横、纵坐标相称，在平面直角坐标系中透露表现出点P的位置.例10：在平面直角坐标系中，点P(x,y)横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标系中表示出点P的位置.例11：在平面直角坐标系中，点P(x,y)横、纵坐标满意y|x1|，在平面直角坐标系中透露表现出点P的位置.例题12：将点P（－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q（x，y），则xy＝___________典型练题目一．认真选一选：1.下列各点中，在第二象限的点是（）A.（2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（-2，3）2.将点A （-4，2）向上平移3个单元长度获得的点B的坐标是（）A.（-1，2）B.（-1，5）C.（-4，-1）D.（-4，5）3.假如点M （a-1，a+1）在x轴上，则a的值为（）A。
a=1.B。
a=-1.C。
a>0.D。
八年级数学《平面直角坐标系》经典例题
八年级数学《平面直角坐标系》经典例题7、如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至11A B ，则a b+的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58、在平面直角坐标系中，已知点A （－4，0）、B （0，2），现将线段AB 向右平移，使A 与坐标原点O 重合，则B 平移后的坐标是 ．9、以平行四边形ABCD 的顶点A 为原点，直线AD 为x 轴建立直角坐标系，已知B 、D 点的坐标分别为（1,3），（4,0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C 点平移后相应的点的坐标是（ ） A （3，3） B （5,3） C （3,5） D （5,5）10、在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2）则顶点D 的坐标为（ ）A ．（7，2） B. （5，4） C.（1，2） D. （2，1） 11、如图所示，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C 的坐标是（ ）A ．（3，7）B ．（5，3）C ．（7，3）D ．（8，2）考点5：点到直线的距离点P （x,y ）到x 轴，y 轴的距离分别为|y|和|x|,1、点M （-6，5）到x 轴的距离是_____，到y 轴的距离是______．2、已知点P （x ，y ）在第四象限，且│x │=3，│y │=5，则点P 的坐标是（ ） A ．（-3，5） B ．（5，-3） C ．（3，-5） D ．（-5，3）3、已知点P (m ，n )到x 轴的距离为3，到y 轴的距离等于5，则点P 的坐标是 。
4、已知点P 的坐标（2－a ，3a ＋6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是 ．考点6：平行于X 轴、Y 轴的直线的特点平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上点的横坐标相同1、已知点A(1,2),AC ∥X 轴, AC=5,则点C 的坐标是 _____________.2、已知点A(1,2),AC ∥y 轴, AC=5,则点C 的坐标是_____________.)bx3、如果点A (),3a -，点B ()2,b 且AB//x 轴，则_______4、如果点A ()2,m ，点B (),6n -且AB//y 轴，则_______5、已知:A(1,2),B(x,y),AB ∥x 轴,且B 到y 轴距离为2,则点B 的坐标是 .6、已知长方形ABCD 中，AB=5，BC=8，并且AB ∥x 轴，若点A 的坐标为（－2，4），则点C 的坐标为__________________________.考点7：角平分线的理解第一、三象限角平分线的点横纵坐标相同（y=x ）； 第二、四象限角平分线的点横纵坐标互为相反数(x+y=0)1、若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是（ ） A ．（2，2） B ．（-2，-2） C ．（2，2）或（-2，-2） D ．（2，-2）或（-2，2）2、在平面直角坐标系内，已知点（1-2a ，a-2）在第三象限的角平分线上，则a ＝ ，点的坐标为 。
高中 平面解析几何 两条直线的位置关系 知识点+例题
辅导讲义――两条直线的位置关系[巩固]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．题型二：两直线相交[例]求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[巩固]如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a =_____________.解析 依题意，|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 解得a ＝－79或a ＝－13.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是_________.解析 ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0.可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_____________.解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是______________．答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.7．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围 是______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞) 所以直线恒过定点P (0，－1)．∵点A (－1,1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12，∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)， ∴－1m ≤－2或－1m ≥－12，∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)．∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞)． 8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2， 又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2，选C.12.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6.13．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.14．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,。
人教版七年级数学下册平面直角坐标系知识汇总及经典题型(20190326091830)
第四 象限 x＞ 0 y＜ 0
象限角平分线上
的点
第一、 第二、四象限
三象限
(m,m)
(m,-m)
七、用坐标表示平移：见下图
P（ x－ a，y）
向左平移 a 个单 位
P（ x，y＋a）
向上平移 a 个单位
P（ x， y）
向右平移 a 个单位
向下平移 a 个单位
P（ x＋a，y）
二、经典例题
知识一、坐标系的理解
A 、第一象限
B、第二象限
C、第三象限 , D 、第四象限 .
y
例 2、 如果 ＜0，那么点 P（ x， y）在（
）
x
(A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限
学生自测
1.点Ｐ的坐标是（２，－３） ，则点Ｐ在第
象限．
2、点 P（ x， y）在第四象限，且 |x|=3 ， |y|=2，则 P 点的坐标是
坐标轴上
点 P（ x， y）
X轴 Y轴 原
点
(x,0 (0,y (0,
)
)
0)
连线平行于 坐标轴的点 平行 X 轴
纵坐标相 同，横坐 标不同
平行 Y 轴
横坐标相 同，纵坐标 不同
点 P（ x， y）在各象限 的坐标特点 第一 第二 第三 象限 象限 象限 x＞0 x＜0 x＜0 y＞0 y＞0 y＜0
（2）描出 E（ 1， 0）， F（ 1， 3）， G（ 3 ， 0）， H（ 1 ， 3 ）；
图6
（3）顺次连接 A， B， C， D各点，再顺次连接 E，F， G， H，围成的两个封闭图形分别是什么图形？
知识点五：对称点的坐标特征。
(完整版)：平面直角坐标系经典例题解析
【平面直角坐标系重点考点例析】考点一：平面直角坐标系中点的特征例1在平面直角坐标系中，点P(m, m-2)在第一象限内，则m的取值范围是_________________ 思路分析：根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围.解：由第一象限点的坐标的特点可得: 解得：m > 2.故答案为：m> 2.点评：此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正.例1如果m是任意实数，则点P (m-4, m+1) 一定不在( )A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限思路分析：求出点P的纵坐标一定大于横坐标，然后根据各象限的点的坐标特征解答.解：T( m+1 - ( m-4) =m+1-m+4=5•••点P的纵坐标一定大于横坐标，•••第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，•第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标，•••点P一定不在第四象限.故选D.点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+, +);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-). 例2如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点 A (2, 0) 同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是( )A . (2, 0)B . ( - 1 , 1) C. ( - 2, 1) D. (- 1,- 1)分析：禾U用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答.解答：解：矩形的边长为4和2,因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2,由题意知：①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12X1,物体甲行的路程为12冷=4,物体乙行的路程为12烂=8，在BC边相遇；31②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 12X2,物体甲行的路程为12X2』=8,物体乙行 [3的路程为12X 2X =16，在DE 边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的 路程和为12X 3，物体甲行的路程为 12X 3X1=12，物体乙3行的路程为12X 3X =24，在A 点相遇;3此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点, •/ 2012- 3=670…2 ,故两个物体运动后的第 2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为故选：D .点评： 此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用， 通过计算发现规律就可以解决问题.例2如图，动点P 从(0, 3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时 反射角等于入射角，当点 P 第2013次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为( )A. ( 1,4)B. (5, 0)C. (6, 4)D. (8, 3)思路分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.~解 如图，经过6次反弹后动点回到出发点( 0, 3),V 划 4/KJ 11321:；； !12S45678•/ 2013- 6=335…3,•••当点P 第2013次碰到矩形的边时为第 336个循环组的第3次反弹， 点P 的坐标为(8, 3). 故选D.点评：本题是对点的坐标的规律变化的考查了， 作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点.对应训练 2.如图，在平面直角坐标系中， A (1, 1) , B (- 1, 1), C (- 1,- 2), D (1 , - 2).把 一条长为2012个单12 X 2 =16，在DE 边相遇; 此时相遇点的坐标为：(-1,-1),物体乙行的路程为位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A - B - C - D - A -…的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点 的坐标是()••• AB=1 -( - 1) =2 , BC=1 -( - 2) =3, CD=1 -( - 1) =2 , DA=1 -( - 2) =3 , •••绕四边形 ABCD 一周的细线长度为 2+3+2+3=10, 2012 - 10=201 …2 •细线另一端在绕四边形第 202圈的第2个单位长度的位置， 即点B 的位置，点的坐标为(-1, 1). 故选B .点评： 本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形 ABCD 一周的长度，从而确定2012个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题 的关键.例2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点P (-3, 5)关于y 轴的对称点的坐标为()A . (-3, -5)B . (3, 5)C . ( 3. -5)D . ( 5, -3)答：B考点二：函数的概念及函数自变量的取值范围例3在函数y中，自变量x 的取值范围是 ____________ .x思路分析：本题主要考查自变量的取值范围， 函数关系中主要有二次根式和分式两部分. 根据二次根式的意义，被开方数 X+1A0,根据分式有意义的条件， x 工0就可以求出自变量 x 的取值范围.解：根据题意得：x+1>0且x 工0 解得：X 二1且X M0 例3函数y= _3中自变量x 的取值范围是()x 1A. x > -3B. x >3C. x 》0 且 x MlD. x > -3 且 x ^l思路分析：根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解. 解：根据题意得，x+3>0且X-1M 0, 解得x > -3且x M 1. 故选D.点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： (1 )当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；分析： 根据点的坐标求出四边形 ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个 A . (1,- 1) B • ( - 1, 1) 单位长度，从而确定答案.解答:解：••• A (1 , 1), B (- 1, 1), C (- 1 , - 2), D (1,- 2),（2 ）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负. 对应训练 3.函数y ,2 中自变量x的取值范围是（ ）7x2A . x > -2B . x > 2C . x 乂2D . x >23. A考点三：函数图象的运用例4 一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离 S （米）与散步时间t （分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（ ）A .从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了B .从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了 C .从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D .从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段, 后开始返回与x 轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断. 解：A 、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了，图象为梯形，错误;B 、从家出发，至厅一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了，描述不准 确，错误;C 、 从家出发，一直散步（没有停留） ，然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；D 、 从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段， 18分钟后开始返回从家出发，符合图象的特点，正确. 故选D .点评：考查了函数的图象，读懂图象是解决本题的关键.首先应理解函数图象的横轴和纵轴 表示的量，再根据函数图象用排除法判断.例5如图，Y ABCD 的边长为8，面积为32,四个全等的小平行四边形对称中心分别在 Y ABCD 的顶点上，它们的各边与 Y ABCD 的各边分别平行，且与 Y ABCD 相似.若小平 行四边形的一边长为 X ,且0V x <8阴影部分的面积的和为 y ,则y 与x 之间的函数关系的 大致图象是（ ）思路分析：根据平行四边形的中心对称性可知四块阴影部分的面正好等于一个小平行四边形0；18分钟味着有停留，而路程没有增加，意的面积，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列式求出y与x之间的函数关系式, 然后根据二次函数图象解答.解：•••四个全等的小平行四边形对称中心分别在Y ABCD的顶点上，•••阴影部分的面积等于一个小平行四边形的面积，•••小平行四边形与Y ABCD相似，..._y_32x 2(8)，整理得 1 2 y -x ,2又O v x<8纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象.故选D .点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据平行四边形的对称性与相似多边形的面积的比等于相似比的平方求出y与x的函数关系是解题的关键.例8已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平"面直角坐标洗中，点 A （11, 0），点B （0, 6）,点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B'和折痕OP.设BP=t.（I）如图①，当/ BOP=30时，求点P的坐标；（H）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ,若AQ=m , 试用含有t的式子表示m;（川）在（H）的条件下，当点C'恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）. 考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质.分析：（I）根据题意得，/ OBP=9O , OB=6，在Rt A OBP 中，由/ BOP=3O , BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（□）由厶OB P、△ QC P分别是由厶OBP、△ QCP折叠得到的，可知△ OB OBP ,△ QC QCP,易证得△ OBP s^ PCQ,然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（川）首先过点P作PE丄OA于E,易证得△ PC C QA由勾股定理可求得C'Q的长，1 11然后利用相似三角形的对应边成比例与m= t2- t+6，即可求得t的值.6 6点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识. 此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用.对应训练4. 甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（）A .甲队率先到达终点B.甲队比乙队多走了200米路程C.乙队比甲队少用0.2分钟D •比赛中两队从出发到 2.2秒时间段，乙队的速度比甲队的速度快4•解：A 、由函数图象可知，甲走完全程需要 4分钟，乙走完全程需要 3.8分钟，乙队率先到达终点，本选项错误；B 、 由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项错误；C 、 因为4-3.8=02分钟，所以，乙队比甲队少用 0.2分钟，本选项正确；D 、 根据0〜2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误； 故选C • 5. 如图，点A 、B 、C 、D 为O O 的四等分点，动点 P 从圆心O 出发，沿OC-CD-DO 的路线做匀速运动，设运动的时间为 t 秒，/ APB 的度数为y 度，则下列图象中表示 yCD上运动时，/ APB 不变，当P 在DO 上运动时，/ APB 逐渐增大，即可得出答案.解答: 解：当动点P 在OC 上运动时，/ APB 逐渐减小； 当P 在C D 上运动时，/ APB 不变; 当P 在DO 上运动时，/ APB 逐渐增大.故选C •点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是圆周角、圆内的角及 函数图象认识的问题.要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所 需要的条件，结合实际意义画出正确的图象.（度）与t （秒）之间函数关系最恰当的是（考点：动点问题的函数图象•分析：根据动点 P 在OC 上运动时，/ APB 逐渐减小，当 P考点四：动点问题的函数图象例5如图1,E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE-ED-DC 运动到点C 时停止, 点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是 1cm/s .若P , Q 同时开始运动，设运动时间为t (s ), △ BPQ 的面积为y (cm ).已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论 错误的是()4 B.sin /EBC —52 2 C. 当 0 v t < 10 时，y= — t5D. 当t=12s 时，△ PBQ 是等腰三角形思路分析：由图2可知，在点(10, 40)至点(14, 40)区间，△ BPQ 的面积不变，因此可 推论(1 )在BE 段，BP=BQ 持续时间10s ，贝U BE=BC=10 y 是t 的二次函数； (2 )在ED 段, y=40是定值，持续时间 4s ，则ED=4; (3)在DC 段, y 持续减小直至为0, y 是t 的一次函数. 解：(1)结论A 正确.理由如下:分析函数图象可知， BC=10cm ED=4cm 故 AE=AD-ED=BC-ED=10-4=6cm如答图1所示，连接EC,过点E 作EF 丄BC 于点F ,11由函数图象可知， BC=BE=10cm BEC =40=— BC?EF= X 10X EF,2 2E F 8/• sin / EBC= =-BE 10(3)结论C 正确.理由如下： 如答图2所示，过点P 作PGLBQ 于点G,•/ BQ=BP=,AEA. 图1AE=6cmEF=8,(2)结论B 正确.理由如下:答圏2答郎1 1 1 4 2••• y=S^BPC= BQ?PG= BQ?BP?sinZ EBC= t?t? = t2.2 2 2 5 5(4)结论D错误.理由如下：当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N,如答图3所示，连接NB, NC此时AN=8 ND=2由勾股定理求得：NB=S J2，NC=2j17 ,•/ BC=10,•••△ BCN不是等腰三角形，即此时厶PBQ不是等腰三角形.点评：本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程.突破点在于正确判断出BC=BE=10cm。
(完整版)八年级数学《平面直角坐标系》经典例题.doc
考点 1：考点的坐标与象限的关系知识解析： 各个象限的点的坐标符号特征如下：（特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限. ）1、在面直角坐标中，点 M － ， 3) 在（ ）( 2A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限、在平面直角坐标系中，点 P － ， 2 ＋ 1) 所在的象限是（） 2 ( 2 xA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限、若点 P （ a ， a ）在第四象限，则 a 的取值范围是（ ）．3 -2A ．-2 ＜ a ＜B． ＜ a ＜2 C．a ＞2 D． a ＜4、点 P （ m ， 1）在第二象限内，则点 Q （ -m ，0）在（）A ． x 轴正半轴上B ．x 轴负半轴上C ． y 轴正半轴上D ．y 轴负半轴上 5、若点 P （a ，b ）在第四象限，则点 M （ b － a ， a － b ）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、在平面直角坐标系中，点 A( x 1，2 x) 在第四象限，则实数 x 的取值范围是 ．7、对任意实数 x ，点 P( x ， x 2 2x) 一定不在 （）．．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8、如果 a －b ＜0, 且 ab ＜ 0, 那么点 (a ，b) 在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限 ,D 、第四象限 .考点 2：点在坐标轴上的特点x 轴上的点纵坐标为 0,y轴上的点横坐标为 0. 坐标原点（ 0， 0）1、点 P （ m+3，m+1）在 x 轴上，则 P 点坐标为（）A ．（0，-2 ）B ．（2， 0）C ．（ 4， 0）D ．（ 0， -4 ）、已知点 P m ， m － 1) 在 y 轴上，则 P 点的坐标是 。
2 (2考点 3：考对称点的坐标知识解析：、关于 x 轴对称： A （ a ，b ）关于 x 轴对称的点的坐标为（ a ， b ）。
位置与坐标
位置与坐标经典例题例1：点P ),(y x 是平面直角坐标系内一点，若0>xy ，则点P 的位置在 ；若0<xy ，则点P 的位置在 ；若0=xy ，则点P 的位置在 ；若022=+y x ，则点P 的位置在 .变式练习：在平面直角坐标系中，点()1,12+-m 一定在第 象限；若点A ()n m ,在第二象限，则点B ()n m -,在第 象限.例2：如图的坐标平面上有P 、Q 两点，其坐标分别为（5，a ）、（b ，7）．根据图中P 、Q 两点的位置，判断点（6-b ，a-10）落在第 象限.变式练习：如果m 是任意实数，则点P )1,4(+-m m 不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 例3：坐标平面上有一点A ，且A 点到x 轴的距离为3，A 点到y 轴的距离恰为到x 轴距离的3倍．若A 点在第二象限，则A 点坐标为 ． 变式练习1：已知点P ),(y x 在第四象限，且92=x ，21=-y ，则点P 的坐标为 ．变式练习2：在平面直角坐标系中，对于平面内的任意一点P （a ，b ）规定以下三种变换：（1）f （a ，b ）=（-a ，b ），如f （1，3）=（-1，3）；（2）g （a ，b ）=（b ，a ），如g （1，3）=（3，1）；（3）h （a ，b ）=（-a ，-b ），如h （1，3）=（-1，-3）．按以上变换规律，则g （f （h （5，-3）））为 ． 例4：已知点P )26,53(--+a a 在第二、四象限的角平分线上，则a a -2015= ；已知过点A ),3(y 和点B )3,(-x 的直线平行于y 轴，且AB=5，则x 、y 的值分别是 。
变式练习：在坐标平面内，点P 的坐标是)1,1(22--+x x ，则点P 在 象限的角平分线上；已知点A )3,2(，点B 在某象限的角平分线上且AB ∥x 轴，则点B的坐标是；点P的坐标是)6x，且在某象限的角平分线上，-x2,(-则点P在象限的角平分线上。
位置与坐标经典题目及练习
位置与坐标经典题目及练习例题精讲：例1：已知点)5,114(2-+-n m m M ，则点M 在平面直角坐标系中的什么位置例2：已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积.例3：已知：)54,21(-+a a A ，且点A 到两坐标轴的距离相等，求A 点坐标．例4：已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积.例5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ________例6：点A （－1，2）关于y 轴的对称点坐标是 ；点A 关于原点的对称点的坐标是 。
点A 关于x 轴对称的点的坐标为例7：在平面直角坐标系中，已知：)2,1(A ，)4,4(B ,在x 轴上确定点C ，使得BC AC +最小．例8：已知点)1,5(-m A ，点)1,4(+m B ，且直线y AB //轴，则m 的值为多少例9：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标相等，在平面直角坐标系中表示出点P 的位置.例10：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标系中表示出点P 的位置.例11：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标满足|1|-=x y ，在平面直角坐标系中表示出点P 的位置.例题12：将点P （－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q （x ，y ），则xy ＝___________典型练习题目一．认真选一选：1. 下列各点中，在第二象限的点是（）A. （2，3）B. （2，-3）C. （-2，-3）D. （-2，3）2. 将点A（-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是（）A. （-1，2）B. （-1，5）C. （-4，-1）D. （-4，5）3. 如果点M（a-1，a+1）在x轴上，则a的值为（）A. a=1B. a=-1C. a>0D. a的值不能确定4. 点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（）5. 若点P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 点M（a，a-1）不可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形相比（）A. 向右平移了3个单位长度B. 向左平移了3个单位长度C. 向上平移了3个单位长度D. 向下平移了3个单位长度8. 到x轴的距离等于2的点组成的图形是（）A. 过点（0，2）且与x轴平行的直线B. 过点（2，0）且与y轴平行的直线9.平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比（）.A.横坐标不变,纵坐标加3B.纵坐标不变,横坐标加3C.横坐标不变,纵坐标乘以3D.纵坐标不变,横坐标乘以310.小明家的坐标为（1，2），小丽家的坐标为（－2，－1），则小明家在小丽家的（）.A.东南方向B.东北方向C.西南方向D.西北方向11.在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A′点，则A与A′的关系是（ ）.A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.将A 点向x 轴负方向平移一个单位12. 一只小虫子在一个小方格的线路上爬行，它起始的位置是A （2，2），先爬到B （2，4），再爬到C （5，4），最后爬到D （5，5），则小虫一共爬行了（ ）个单位.A. 7B. 6C. 5D. 413. 已知点M 1（-1，0）、M 2（0，-1）、M 3（-2，-1）、M 4（5，0）、 M 5（0，5）、M 6（-3，2），其中在x 轴上的点的个数是（ ）.A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 4个14． 点P （22+a ，-5）位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限15． 已知点P （2x-4，x+2）位于y 轴上，则x 的值等于（ ）A. 2B. -2C. 2或-2D. 上述答案都不对16． 在下列各点中，与点A （-3，-2）的连线平行于y 轴的是（ ）（-3，2） （3，-2） （-2，3） （-2，-3）A. （5，-3）或（-5，-3）B. （-3，5）或（-3，-5）C. （-3，5）D. （-3，-5）17、下列说法中正确的有（ ）○1点（1，-a ）一定在第四象限 ○2坐标轴上的点不属于任一象限 ○3横坐标为零的点在纵轴上，纵坐标为零的点在横轴上 ○4直角坐标系中到原点距离为5的点的坐标是(0, 5) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个18、已知点A 的坐标是（a ，b ）,若a+b<0,ab>0则它在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限19、下列说法中正确的有（ ）○1若x 表示有理数，则点P （12+x ，4--x ）一定在第四象限 ○2若x 表示有理数，则点P （2x -，4--x ）一定在第三象限 ○3若ab>0,则点P(a , b)一定在第一象限 ○4若ab=0,则点P(a , b)表示原点 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个20、已知三角形AOB 的顶点坐标为A （4，0）、B （6，4），O 为坐标原点，则它的面积为（ ）A. 1221、已知点A (1，b)在第一象限，则点B （1 – b ，1）在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D ．第四象限22、点M (x ，y )在第二象限，且| x | – 2 = 0，y 2 – 4 = 0，则点M 的坐标是( ) A （– 2 ，2) B ．( 2 ，– 2 ) C ．(—2， 2 ) D 、（2，– 2 ）23、若0＜a ＜1，则点M (a – 1，a )在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D ．第四象限24、已知点P (3k – 2，2k – 3 )在第四象限．那么k 的取值范围是（ ）A 、23 ＜k ＜ 32B 、k ＜23C 、k ＞32D 、都不对 25、点M (a ，b – 2 )关于x 轴对称的点N 坐标是 ( )A ．（– a ．2 – b )B ．(– a ，b – 2 )C ．(a ，2 – b )D ．(a ，b – 2 )26、已知点P 的坐标为（2 – a ，3a + 6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 坐标是( )A （3，3)B ．(3，—3)C ．(6，一6)D ．(3，3)或(6，一6)27、如图⑴，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（3，0），（0，4），Rt △ABO 的内心的坐标是（ ）A 、（72 ，72 ）B 、（32 ，2）C 、（1，1）D 、（32，1）28、若点P （– 1 – 2 a ，2a – 4）关于原点对称的点在第一象限，则a 的整数解有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个29、如图⑵，已知边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中位于x 轴上方，OA 与x 轴的正半轴的夹角为60°，则B 点的坐标为（ ）A 、（ 3 – 2， 3 + 1）B 、（ 3 + 1， 3 – 2）C 、（1 - 3 ，1 + 3 ）D 、（1 + 3 ，1 - 3 ）30、在平面直角坐标系中，点（）一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限31、若点P （）在第二象限，则点Q （）在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限32、 若点A （）在第二象限，则点B （）在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 33、若点P （m ，2）与点Q （3，n ）关于原点对称，则的值分别是（ ）A.B. C. D. 34、点P （）不可能在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限35、点M （）在第二象限，且，，则点M 的坐标是（ ） A. B. C. D. 图⑵4 3 y O x O y x CB A图⑴。
高考数学一轮经典例题 两直线的位置关系 理
2013年高考数学（理）一轮经典例题——两直线的位置关系典型例题一例1 已知)3,0(A ，)0,1(-B ，)0,3(C ，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形． 分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题． 解：如图，设),(y x D ，若CD AB //，则CD AB k k =，BCAD =， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+--=+-②①.1613)3(,301003222y x x y由①、②解得)53,516(D ．若BC AD //，则⎪⎩⎪⎨⎧==,,BC AD k k BC AD 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=--④③.31)3(,0032222y x x y由③、④式解得)3,2(D ．故D 点的坐标为)53,516(或)3,2(．说明：(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准，解此题时注意不要漏解．(2)在遇到两直线平行问题时，一定要注意直线斜率不存在的情况．此题中AB 、BC 的斜率都存在，故不可能出现斜率不存在的情况．典型例题二例2当a 为何值时，直线01)1()2(1=--++y a x a l ：与直线02)32()1(2=+++-y a x a l ：互相垂直？分析：分类讨论，利用两直线垂直的充要条件进行求解．或利用结论“设直线1l 和2l 的方程分别是01111=++C y B x A l ：，02222=++C y B x A l ：，则21l l ⊥的充要条件是02121=+B B A A ”（其证明可借助向量知识完成）解题． 解法一：由题意，直线21l l ⊥．(1)若01=-a ，即1=a ，此时直线0131=-x l ：，0252=+y l ：显然垂直； (2)若032=+a ，即23-=a 时，直线0251=-+y x l ：与直线0452=-x l ：不垂直； (3)若01≠-a ，且032≠+a ，则直线1l 、2l 斜率1k 、2k 存在，a a k -+-=121，3212+--=a a k ．当21l l ⊥时，121-=⋅k k ，即1)321()12(-=+--⋅-+-a a a a ，∴1-=a .综上可知，当1=a 或1-=a 时，直线21l l ⊥．解法二：由于直线21l l ⊥，所以0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解得1±=a ． 故当1=a 或1-=a 时，直线21l l ⊥．说明：对于本题，容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误，如先认可两直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则a a k -+-=121，3212+--=a a k ． 由21l l ⊥，得121-=⋅k k ，即1)321()12(-=+--⋅-+-a a a a ．解上述方程为1-=a ．从而得到当1-=a 时，直线1l 与2l 互相垂直．上述解题的失误在于机械地套用两直线垂直（斜率形式）的充要条件，忽视了斜率存在的大前提，因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑，出现了以偏概全的错误． 典型例题三例3 已知直线l 经过点)1,3(P ，且被两平行直线011=++y x l ：和062=++y x l ：截得的线段之长为5，求直线l 的方程．分析：(1)如图，利用点斜式方程，分别与1l 、2l 联立，求得两交点A 、B 的坐标（用k 表示），再利用5=AB 可求出k 的值，从而求得l 的方程．(2)利用1l 、2l 之间的距离及l 与1l 夹角的关系求解．(3)设直线l 与1l 、2l 分别相交于),(11y x A 、),(22y x B ，则可通过求出21y y -、21x x -的值，确定直线l 的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．解法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3=x ，此时与1l 、2l 的交点分别为)4,3('-A 和)9,3('-B ，截得的线段AB 的长594=+-=AB ，符合题意，若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为1)3(+-=x k y ．解方程组⎩⎨⎧=+++-=,01,1)3(y x x k y 得⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-114,123k k k k A ， 解方程组⎩⎨⎧=+++-=,06,1)3(y x x k y 得⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-119,173k k k k B ． 由5=AB ，得2225119114173123=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k k k k k ．解之，得0=k ，即欲求的直线方程为1=y ． 综上可知，所求l 的方程为3=x 或1=y ．解法二：由题意，直线1l 、2l 之间的距离为125261=-=d ，且直线l 被平等直线1l 、2l 所截得的线段AB 的长为5（如上图），设直线l 与直线1l 的夹角为θ，则225225sin ==θ，故∴︒=45θ．由直线011=++y x l ：的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°，又由直线l 过点)1,3(P ，故直线l 的方程为3=x 或1=y ．解法三：设直线l 与1l 、2l 分别相交),(11y x A 、),(22y x B ，则：0111=++y x ，0622=++y x ．两式相减，得5)()(2121=-+-y y x x ． ①又25)()(221221=-+-y y x x ②联立①、②，可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°． 故所求直线方程为3=x 或1=y ．说明：本题容易产生的误解是默认直线l 的斜率存在，这样由解法一就只能得到0=k ，从而遗漏了斜率不存在的情形．一般地，求过一定点，且被两已知平行直线截得的线段为定长a 的直线，当a 小于两平行直线之间距离d 时无解；当d a =时有唯一解；当d a >时，有且只有两解．另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角θ后，再求直线l 的斜率或倾斜角，从方法上看较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程． 典型例题四例4 已知点()31，-A ，()13，B ，点C 在坐标轴上，且90=∠ACB ，则满足条件的点C 的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：点C 在坐标轴上，可有两种情况，即在x 轴或y 轴上，点C 的坐标可设为()0，x 或()0，y ．由题意，90=∠ACB ，直线AC 与直线BC 垂直，其斜率乘积为－1，可分别求得0=x 或2，0=y 或4，所以满足条件的点的坐标为（0，0），（2，0），（0，4）．说明：①本题还可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边AB 与y 轴交点D 恰为斜边AB 中点，则由D 到A 、B 距离相等的性质可解．②本题易错，可能只解一个坐标轴；可能解方程时漏解；也可能看到x 、y 各有两解而误以为有四点．典型例题五例5 已知ABC ∆的一个定点是()13-，A ，B ∠、C ∠的平分线分别是0=x ，x y =，求直线BC 的方程．分析：利用角平分线的轴对称性质，求出A 关于0=x ，x y =的对称点，它们显然在直线BC 上．解：()13-，A 关于0=x ，x y =的对称点分别是()13--，和()31，-，且这两点都在直线BC 上，由两点式求得直线BC 方程为052=+-y x ． 典型例题六例 6 求经过两条直线0132=++y x 和043=+-y x 的交点，并且垂直于直线0743=-+y x 的直线的方程．解一：解得两直线0132=++y x 和043=+-y x 的交点为（35-，97），由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为34，进而所求直线方程为0934=+-y x ．解二：设所求直线方程为034=+-m y x ，将所求交点坐标（35-，97）代入方程得9=m ，所以所求直线方程为0934=+-y x ．解三：所求直线过点（35-，97），且与直线0743=-+y x 垂直，所以，所求直线方程为973354=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x即 0934=+-y x ． 解四：设所求直线得方程为()()043132=+-+++y x m y x即 ()()041132=++-++m y m x m （1） 由于该直线与已知直线0743=-+y x 垂直 则 ()()013423=-⋅++m m 解得 2=m代入（1）得所求直线方程为0934=+-y x ． 典型例题七例7 已知定点A （3，1），在直线x y =和0=y 上分别求点M 和点N ，使AMN ∆的周长最短，并求出最短周长．分析：由连接两点的线中，直线段最短，利用对称，把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离． 解：如图1，设点A 关于直线x y =和0=y 的对称点分别为()31，B ，()13-，C ∵MN CN BM MN AN AM ++=++又BCMN CN BM ≥++周长最小值是：52=BC由两点式可得BC 方程为： 052=-+y x ．而且易求得：M （35，35），N （25，0），此时，周长最短，周长为52． 典型例题八例8 已知实数a ，b 满足1=+b a ，求证：()()2252222≥+++b a ．解：本题的几何意义是：直线1=+b a 上的点（a ，b ）与定点()22--，的距离的平方不小于225．因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离251112222=+---=d ，所以25)2()2(22≥+++b a ，即()()2252222≥+++b a ．说明：本题应为不等式的题目，难度较大，证明方法也较多，但用解析几何的方法解决显得轻松简捷，深刻地体现了数形结合的思想． 典型例题九例9 在平面直角坐标系中，α=∠xOA ，παπ<<2，点B 在OA 上aOA =，bOB =，()0>>b a ，试在x 轴的正半周上求一点C ，使ACB ∠取得最大值．分析：要使最大，只需最大，而是直线到直线的角（此处即为夹角），利用公式可以解决问题．解：如图2，设点()()00>x x C ，∵α=∠xOA ，a OA =，bOB =，∴()ααsin cos a a A ，，()ααsin cos b b B ，，于是直线CA 、CB 的斜率分别为：x a a xCA k CA -=∠=ααcos cos tan ，x a a xCB k CB -=∠=ααcos cos tan∴CACB CA CB k k k k ACB +-=∠1tan ＝)cos )(cos (sin 1cos sin cos sin 2x a x b ab xa a xb b --+---ααααααα ＝α+-α-α-αα--αα2sin )cos )(cos ()cos (sin )cos (sin ab x a x b x b a x a b ＝2cos )(sin )(x x b a ab x b a +α+-α-图2＝α+-+α-cos )(sin )(b a x x abb a ∵abx x ab2≥+∴()()α+-α-≤∠cos 2sin tan b a ab b a ACB当且仅当x x ab =即ab x =，C 点的坐标为（ab ，0），由παπ<<2可知ACB ∠为锐角，所以此时ACB ∠有最大值arctanααcos )(2sin )(b a ab b a +--．说明：本题综合性强，是三角、不等式和解析几何知识的交汇点．另外本题也是足球射门最大角问题的推广．为了更好地理解问题，可以演示用“几何画板”制作的课件. 典型例题十例10 直线0421=-+y x l ：，求1l 关于直线0143=-+y x l ：对称的直线2l 的方程． 分析：本题可有多种不同的解法，给出多种解法的途径是：一类利用直线方程的不同形式求解；另一类采用消元思想进行求解．解法一：由⎩⎨⎧=-+=-+0143042y x y x 得1l 与l 的交点为)2,3(-P ，显见P 也在2l 上．设2l 的斜率为k ，又1l 的斜率为-2，l 的斜率为43-，则kk )4(1)43()2)(4(1)2(43-+--=--+---，解得112-=k ． 故2l 的直线方程为)3(1122--=+x y ．即016112=++y x ．解法二：在直线1l 上取一点)0,2(A ，又设点A 关于直线l 的对称点为),(00y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⋅++⋅=--.01204223,34200000y x x y 解得)58,54(-B故由两点式可求得直线2l 的方程为016112=++y x ．解法三：设直线2l 上一动点),(y x M 关于直线l 的对称点为),('''y x M ，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⋅++⋅=--.012423,34''''y y x x x x y y解得256247'+-=y x x ，258724'+--=y x y ．显然),('''y x M 在1l 上，即42587242562472=-+--++-⋅y x y x ，也即016112=++y x ．这便是所求的直线2l 的方程．解法四：设直线2l 上一动点),(y x M ，则M 关于l 的对称点'M 在直线1l 上，可设'M 的坐标为)24,(00x x -，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-----+=-+,34)24(,51)24(4351430000x x x y x x y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-----+=-+-.34)24(,51)24(435)143(0000x x x y x x y x消去0x ，得016112=++y x ，即此所求的直线2l 的方程．说明：在解法一中，应注意正确运用“到角公式”，明确由哪条直线到哪条直线的角．在具体解题时，最好能准确画出图形，直观地得出关系式．在解法四中，脱去绝对值符号时，运用了平面区域的知识．否则，若从表面上可得到两种结果，这显然很难准确地得出直线2l 的方程． 本题的四种不同的解法，体现了求直线方程的不同的思想方法，具有一定的综合性．除此之外，从本题的不同解法中可以看出，只有对坐标法有了充分的理解与认识，并具有较强的数形结合意识，才有可能驾驭本题，从而在解法选择的空间上，真正做到游刃有余，左右逢源． 典型例题十一例11 不论m 取什么实数，直线0)11()3()12(=--++-m y m x m 都经过一个定点，并求出这个定点．分析：题目所给的直线方程的系数含有字母m ，给m 任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m 为参数的直线系方程．要证明这个直线系的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m 的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点．另一思路是由于方程对任意的m 都成立，那么就以m 为未知数，整理为关于m 的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．解法一：对于方程0)11()3()12(=--++-m y m x m ，令0=m ，得0113=--y x ；令1=m ，得0104=++y x ．解方程组⎩⎨⎧=++=--01040113y x y x 得两直线的交点为)3,2(-．将点)3,2(-代入已知直线方程左边，得：)11()3()3(2)12(---⨯++⨯-m m m 0119324=+----=m m m ．这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点)3,2(-． 解法二：将已知方程以m 为未知数，整理为：0)113()12(=++-+-+y x m y x ．由于m 取值的任意性，有⎩⎨⎧=++-=-+0113012y x y x ，解得2=x ，3-=y ．所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过一个定点)3,2(-．说明：(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点．(2)分别令参数为两个特殊值，得方程组求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点． 典型例题十二例12 一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室．为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出．已知镜框对桌面的倾角为α(︒<≤︒18090α)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m 、b m (b a >)，学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？分析：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，则可将问题转化为：已知α=∠xOA ，a OA =，b OB =，在x 轴的正方向向上求一点C ，使ACB ∠取最大值． 因为视角最大时，从理论上讲，看画的效果最佳（不考虑其他因素）．解：设C 点坐标为)0,(x (0>x )，从三角函数定义知A 、B 两点坐标分别为)sin ,cos (ααa a 、)sin ,cos (ααb b ，于是直线AC 、BC 的斜率分别为x a a xCA k AC -=∠=ααcos sin tan ，x b b xCB k BC -=∠=ααcos sin tan ．于是2cos )(sin )(1tan x x b a ab x b a k k k k ACB AC BC AC BC ++--=⋅+-=∠αα，即ααcos )(sin )(tan b a x x abb a ACB +-+-=∠．由于ACB ∠是锐角，且在)2,0(π上，则：ααcos )(2sin )(tan b a ab b a ACB +--≤∠，当且仅当x x ab =，即ab x =时，等号成立，此时ACB ∠取最大值，对应的点为)0,(ab C ，因此，学生距离镜框下缘m ab 处时，视角最大，即看画效果最佳．说明：解决本题有两点至关重要：一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求ACB ∠tan 的最大值．如果坐标系选择不当，或选择求ACB ∠sin 的最大值，都将使问题变得复杂起来．本题是一个非常实际的数学应用问题，它不仅考查了直线的有关概念以及三角知识的结合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力． 典型例题十三例13 知实数x ，y 满足04=-+y x ，求22)1()1(-+-y x 的最小值．分析：本题可使用减少变量法和数形结合法两种方法：22)1()1(-+-y x 可看成点),(y x 与)1,1(之间的距离．解：(法1)由04=-+y x 得x y -=4(R x ∈)，则2222)14()1()1()1(--+-=-+-x x y x961222+-++-=x x x x 10822+-=x x2)2(22+-=x ， ∴22)1()1(-+-y x 的最小值是2.(法2)∵实数x ，y 满足04=-+y x ，∴点),(y x P 在直线04=-+y x 上． 而22)1()1(-+-y x 可看成点),(y x P 与点)1,1(A 之间的距离(如图所示)显然22)1()1(-+-y x 的最小值就是点)1,1(A 到直线04=-+y x 的距离：21141122=+-+=d ，∴22)1()1(-+-y x 的最小值为2．说明：利用几何意义，可以使复杂问题简单化．形如22)()(b y a x -+-的式子即可看成是两点间的距离，从而结合图形解决． 典型例题十四例14直线x y 2=是ABC ∆中C ∠的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为)2,4(-A ，)1,3(B ，求顶点C 的坐标并判断ABC ∆的形状．分析：“角平分线”就意味着角相等，故可考虑使用直线的“到角”公式将“角相等”列成一个表达式．解：(法1)由题意画出草图（如图所示）．∵点C 在直线x y 2=上，∴设)2,(a a C ，则422+-=a a k AC ，312--=a a k BC ，2=l k ．由图易知AC 到l 的角等于l 到BC 的角，因此这两个角的正切也相等．∴l BC lBC l AC AC l k k kk k k k k +-=⋅+-11， ∴23123122414222⋅-+---=⋅+++--a a a a a a ．解得2=a ．∴C 的坐标为)4,2(，∴31=AC k ，3-=BC k ，∴BC AC ⊥．∴ABC ∆是直角三角形．(法2)设点)2,4(-A 关于直线x y l 2=：的对称点为),('b a A ，则'A 必在直线BC 上．以下先求),('b a A ．由对称性可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅=+-=+-,24222,2142a b a b解得⎩⎨⎧-==24b a ，∴)2,4('-A ． ∴直线BC 的方程为343121--=---x y ，即0103=-+y x ．由⎩⎨⎧=-+=01032y x x y 得)4,2(C ． ∴31=AC k ，3-=BC k ，∴BC AC ⊥．∴ABC ∆是直角三角形．说明：(1)在解法1中设点C 坐标时，由于C 在直线x y 2=上，故可设)2,(a a ，而不设),(b a ，这样可减少未知数的个数．(2)注意解法2中求点)2,4(-A 关于l 的对称点),('b a A 的求法：原理是线段'AA 被直线l 垂直平分．典型例题十五例15 两条直线m y x m l 352)3(1-=++：，16)5(42=++y m x l ：，求分别满足下列条件的m的值．(1) 1l 与2l 相交； (2) 1l 与2l 平行； (3) 1l 与2l 重合； (4) 1l 与2l 垂直； (5) 1l 与2l 夹角为︒45．分析：可先从平行的条件2121b b a a =(化为1221b a b a =)着手．解：由m m +=+5243得0782=++m m ，解得11-=m ，72-=m ． 由163543m m -=+得1-=m ． (1)当1-≠m 且7-≠m 时，2121b b a a ≠，1l 与2l 相交；(2)当7-=m 时，212121c c b b a a ≠=．21//l l ；(3)当1-=m 时，212121c c b b a a ==，1l 与2l 重合；(4)当02121=+b b a a ，即0)5(24)3(=+⋅+⋅+m m ，311-=m 时，21l l ⊥；(5)231+-=m k ，m k +-=542．由条件有145tan 11212=︒=+-k k k k ．将1k ，2k 代入上式并化简得029142=++m m ，527±-=m ；01522=-+m m ，35或-=m ．∴当527±-=m 或-5或3时1l 与2l 夹角为︒45．说明：由m m +=+5243解得1-=m 或7-=m ，此时两直线可能平行也可能重合，可将m 的值代入原方程中验证是平行还是重合．当m m +≠+5243时两直线一定相交，此时应是1-≠m 且7-≠m ． 典型例题十六例16点)3,2(1P，)5,4(2-P 和)2,1(-A ，求过点A 且与点1P ，2P 距离相等的直线方程． 分析：可以用待定系数法先设出直线方程，再求之；也可从几何意义上考察这样的直线具有的特征．解：(法1)设所求直线方程为)1(2+=-x k y ，即02=++-k y kx ，由点1P 、2P 到直线的距离相等得：1254123222+++--=+++-k k k k k k ．化简得3313--=-k k ，则有：3313--=-k k 或3313+=-k k ，即31-=k 或方程无解．方程无解表明这样的k 不存在，但过点A ，所以直线方程为1-=x ，它与1P ，2P 的距离都是3．∴所求直线方程为)1(312+-=-x y 或1-=x ．(法2)设所求直线为l ，由于l 过点A 且与1P ，2P 距离相等，所以l 有两种情况，如下图：(1)当1P ，2P 在l 同侧时，有21//P Pl ，此时可求得l 的方程为)1(24352+---=-x y ，即)1(312+-=-x y ；(2)当1P ，2P 在l 异侧时，l 必过21P P中点)4,1(-，此时l 的方程为1-=x ． ∴所求直线的方程为)1(312+-=-x y 或1-=x ．说明：该题如果用待定系数法解易漏掉1-=x ，即斜率不存在的情况．所以无论解什么题目，只要图形容易画出，就应结合图形，用代数法、几何法配合来解．典型例题十七例17 经过点)1,2(-P 且与直线0623=--y x 平行的直线l 的方程．分析：已知直线l 与直线0623=--y x 平行，故l 的斜率可求，又l 过已知点P ，利用点斜式可得到l 的方程．另外由于l 与已知直线平行，利用平行直线系方程，再由已知点P ，也可确定l 的方程．解法一：由已知直线0623=--y x ，知其斜率23=k ． 又由l 与直线0623=--y x 平行，所以直线l 的斜率23=l k ．又由直线l 经过已知点)1,2(-P ，所以利用点斜式得到直线l 的方程为：)2(231-=+x y ，即0823=--y x ．解法二：因为直线l 平行于直线0623=--y x ，所以可设直线l 的方程为023=+-C y x ． 又点)1,2(-P 在直线l 上，所以0)1(223=+-⨯-⨯C ，解得8-=C ． 故直线l 的方程为0823=--y x ．说明：解法二使用的是平行直线系，并用了待定系数法来解．典型例题十八例18 过点)1,1(-P 且与直线0132=++y x 垂直的直线l 的方程．分析：已知直线l 与直线0132=++y x 垂直，故l 的斜率可求，又l 过已知点P ，利用点斜式可得到l 的方程．另外由于l 与已知直线垂直，利用垂直直线系方程，再由已知点P ，也可确定l 的方程．解法一：由直线0132=++y x ，知其斜率32-=k ．又由l 与直线0132=++y x 垂直，所以直线l 的斜率231=-=k k l ．又因l 过已知点)1,1(-P ，利用点斜式得到直线l 的方程为)1(231-=+x y ，即0523=--y x ．解法二：由直线l 与直线0132=++y x 垂直，可设直线l 的方程为：023=+-C y x ．又由直线l 经过已知点)1,1(-P ，有0)1(213=+-⨯-⨯C ．解得5-=C ．因此直线l 的方程为0523=--y x ．说明：此题的解二中使用垂直直线系方程，并使用了待定系数法． 典型例题十九例19知直线l 经过两条直线021=+y x l ：与010432=--y x l ：的交点，且与直线03253=+-y x l ：的夹角为4π，求直线l 的方程．分析：先求1l 与2l 的交点，再列两条直线夹角公式，利用l 与3l 夹角为4π，求得l 的斜率．也可使用过两直线交点的直线系方程的方法省去求交点的过程，直接利用夹角公式求解．解法一：由方程组⎩⎨⎧=--=+0104302y x y x 解得直线1l 与2l 的交点)1,2(-．于是，所求直线l 的方程为)2(1-=+x k y ．又由已知直线03253=+-y x l ：的斜率253=k ，而且l 与3l 的夹角为4π，故由两直线夹角正切公式，得3314tan kk k k +-=π，即k k 251254tan +-=π． 有125125±=+-kk ，15252±=+-k k ，当15252=+-k k 时，解得37-=k ；当15252-=+-k k 时，解得73=k ． 故所求的直线l 的方程为)2(731-=+x y 或)2(371--=+x y ，即01373=--y x 或01137=-+y x ．解法二：由已知直线l 经过两条直线1l 与2l 的交点，则可设直线l 的方程为0)2()1043(=++--y x y x λ， （*）即010)42()3(=--++y x λλ．又由l 与3l 的夹角为4π，3l 的方程为0325=+-y x ，有212112214tanB B A A B A B A +-=π，即)42)(2()3(55)42()2)(3(1--++⨯---+=λλλλ，也即λλ+-=2312141，从而1231214=+-λλ，1231214-=+-λλ．解得139-=λ，1137=λ．代入（*）式，可得直线l 的方程为01373=--y x 或01137=-+y x ．说明：此题用到两直线的夹角公式，注意夹角公式与到角公式的区别。
01坐标系训练题(含经典例题+答案)
坐标系训练题一．选择题（共15小题）1．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ=4sinθ，过点（4，）作曲线C的切线，则切线长为（）A．4 B．C．2D．22．在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B．C．D．3．在极坐标系中，圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为（）A．B．2 C．2D．34．在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的半径为（）A．B．1 C．2 D．45．在极坐标系中，曲线C：ρ=2sinθ上的两点A，B对应的极角分别为，则弦长|AB|等于（）A．1 B．C．D．26．在极坐标系中，曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于（）A．B． C．D．47．在极坐标系中，曲线ρ=2cosθ是（）A．过极点的直线 B．半径为2 的圆C．关于极点对称的图形D．关于极轴对称的图形8．过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）A．ρsinθ=B．ρcosθ=C．ρsinθ=2 D．ρcosθ=29．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ=4sinθ，过点（4，）作曲线C的切线，切线长为（）A．4 B．7 C．2D．3 210．极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（）A．1 B．C．D．211．已知点P的极坐标是，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρ=1 B．ρ=cosθC． D．12．在极坐标系中，关于曲线C：ρ=4sin（θ﹣），下列判断中正确的是（）A．曲线C关于直线θ=对称B．曲线C关于直线θ=对称C．曲线C关于点（2，）对称D．曲线C关于点（0，0）对称13．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．14．已知点M的极坐标为，那么将点M的极坐标化成直角坐标为（）A．B．C．D．15．极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．一条直线和一个圆C．两条直线D．一个圆二．解答题（共15小题）16．（2015•河北）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．17．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．18．（2015•新课标II）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0，0≤α＜π）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2co sθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标（2）若C2与C1相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．19．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．20．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．21．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线的极坐标方程为ρsin （）=3．（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线的距离的最大值．24．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．25．在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|•|OM|=4，记点P的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos（θ+）=距离的最大值．26．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：p2﹣4pcosθ+2=0（1）将极坐标方程化为普通方程（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．27．在直角坐标平面内，直线l过点P（1，1），且倾斜角α=以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C 交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．28．在极坐标系中，设圆C1：ρ=4cosθ 与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆C2的极坐标方程；（Ⅱ）在圆C1任取一点M，在圆C2上任取一点N，求|MN|的最大值．29．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．30．在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．一．选择题（共15小题）1．C；2．D；3．C；4．B；5．C；6．B；7．D；8．A；9．C；10．A； 11．D；12．A； 13．B； 14．D； 15．B；二．解答题（共15小题）16.解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=ρ1﹣ρ2=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=．17．解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．18．解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．曲线C3：ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．联立，解得或．∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0）和（，）；（2）曲线C1的极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α＜π．因此A的极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α），所以|AB|=|2sin cosα|=4|sin（α﹣）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．19．解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．20．解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．21．解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．22．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．23．解：（1）把直线的极坐标方程为ρsin（）=3展开得，化为ρsinθ﹣ρcosθ=6，得到直角坐标方程x﹣y+6=0．（2）∵P为椭圆C：上一点，∴可设P（4cosα，3sinα），利用点到直线的距离公式得d===．当且仅当sin（α﹣φ）=﹣1时取等号．∴P到直线的距离的最大值是．24．解：（Ⅰ）由x，可得ρ=4cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程为代入（x﹣2）2+（y+2）2=8得t2+2t﹣4=0，A，B对应的参数为t1、t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，由t的意义可得=+==．25．解：（Ⅰ）设P（ρ1，θ），M（ρ2，θ），由|OP|•|OM|=4，得ρ1ρ2=4，即．∵M是C1上任意一点，∴ρ2sinθ=2，即，ρ1=2sinθ．∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（Ⅱ）由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2﹣2y=0．化为标准方程x2+（y﹣1）2=1．则圆心坐标为（0，1），半径为1．由直线ρcos（θ+）=，得：．即：x﹣y=2．圆心（0，1）到直线x﹣y=2的距离为d=．∴曲线C2上的点到直线ρcos （θ+）=距离的最大值为．26．解：（1）ρ2﹣4ρcosθ+2=0，化为直角直角坐标方程：x2+y2﹣4x+2=0；（2）由x2+y2﹣4x+2=0化为（x﹣2）2+y2=2，令x﹣2=cosα，y=sinα，α∈[0，2π）．则x+y=+2+=2+2，∵∈[﹣1，1]，∴（x+y）∈[0，4]．其最大值、最小值分别为4，0．27．解：（Ⅰ）由圆C的极坐标ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径等于2的圆．（Ⅱ）由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=，可得直线的方程为．把直线方程代入曲线方程化简可得+﹣4（1+t），解得t1=，t2=﹣，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=2．28．解：（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意得圆C1：ρ=4cosθ 化为ρ2=4ρcosθ，∴圆C1的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0．直线l的直角坐标方程y=x．由，解得或．∴A（0，0），B（2，2）．从而圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，即x2+y2=2x+2y．将其化为极坐标方程为：ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．（Ⅱ）∵，∴|MN|max=|C1C2|+r1+r2=+2+=2+2．29．解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos （θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．30．解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，由得，故圆C1，C2交点坐标为圆．（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为。
人教版苏科版小学数学—确定位置(经典例题含答案)
方向与位置经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、去图书馆（一）描述路线（共4小题，每题3分，共计12分）例1.蜗牛要和蚂蚁一起去甲壳虫家做客。
（1）蜗牛先向(左)走(6)厘米,再向(上)走(18)厘米,就到达甲壳虫家。
（2）蚂蚁先向(右)走(12)厘米,再向(上)走(12)厘米,就到达甲壳虫家。
例1.变式1.看图问答。
（1）花园街的西面有(电视台)、(小川家)、(电影院)。
（2）图书馆在小林家的(南)面,小吃店在超市的(东)面,小川家在小林家的(西南)面。
（3）请你画出小林去音像店所走的路线。
（4）请你说一说小川去邮局,可以怎么走?答:先沿着北京路向东走到绿茵街，再沿着绿茵街向北走到和平路，在绿茵路和和平路交叉口东南边就是邮局。
（二）往返路线的对应性例1.变式2.说一说3路公共汽车的行车路线。
（1）描述从汽车站出发到实验小学的路线。
答：先向东走300米到广场，再向东南方向走510米到少年宫，再向东走480米到电影院，再沿着东北方向走570米到水利局，最后向南走360米到实验小学。
（2）描述从实验小学出发到汽车站的路线。
答：先向北走360米到水利局，再沿着西南方向走570米电影院，再向西走480米到少年宫，再向西北方向走510米到广场，向西走300米到汽车站。
例1.变式3.三个小朋友都从家出发去看电影,请你根据下图填一填。
（1）奇奇向(西)走(80)米到电影院。
（2）格格向(西)走(20)米到书店,再向(北)走(60)米到电影院。
（3）皮皮向(北)走(30)米到邮局,再向(东)走(60)米到电影院。
（三）往返路线的对应性（共4小题，每题3分，共计12分）例2.看图填空。
（1）20路汽车从火车站到体育馆的行驶路线是:先向(东)行驶(1)站到新新小区,再向(东北)行驶(2)站到菜场,再向(北)行驶(2)站到体育馆。
（2）从机场到南园的行驶路线是:先向(西)行驶(2)站到百货商店,再向(南)行驶(3)站到菜场,再向(西南)行驶(1)站到南园。
平面直角坐标系
专题课平面直角坐标系模块一有序数对【经典例题】1.如果电影票上的“5排2号”记作(5, 2)，那么(4, 3)表示（）A.3排5号B.5排3号C.4排3号D.3排4号2.如图所示，有一个方队正沿箭头所指的方向前进，A的位置为三列四行，表示为(3, 4)，那么B的位置是（）A.(4, 5)B.(5, 4)C.(4, 2)D.(4, 3)3.下列关于有序数对的说法正确的是（）A.(3, 4)与(4, 3)表示的位置相同B.(a, b)与(b, a)表示的位置肯定不同C.(3, 5)与(5, 3)是表示不同位置的两个有序数对D.有序数对(4, 4)与(4, 4)表示两个不同的位置4.如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(−40, −30)表示，那么(10, 20)表示的位置是（）A.点AB.点BC.点CD.点D5.如图，是雷达探测器测得的结果，图中显示在点A，B，C，D，E，F处有目标出现，目标的表示方法为(r, α)，其中，r表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．例如，点A，D的位置表示为A(5, 30∘)，D(4, 240∘)．用这种方法表示点B，C，E，F的位置，其中正确的是（）A.B(2, 90∘)B.C(2, 120∘)C.E(3, 120∘)D.F(4, 210∘)6.某个英文单词的字母顺序对应如上图中的有序数对分别为(6, 2)，(1, 1)，(6, 3)，(1, 2)，(5, 3)，请你把这个英文单词写出来为________．7.明明利用如图中office中的Excel（电子表格）求(B, 3)到(F, 3)的和为（）A B C D E F112345622345673345678 4456789 55678910A.27B.28C.29D.308.如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是（）A.炎陵位于株洲市区南偏东约35∘的方向上B.醴陵位于攸县的北偏东约16∘的方向上C.株洲县位于茶陵的南偏东约40∘的方向上D.株洲市区位于攸县的北偏西约21∘的方向上9. 以学校所在的位置为原点，分别以向东、向北方向为x轴、y轴正方向．若出校门向东走100米，再向北走120米记作(100, 120)，小强家的位置是(−150, 200)的含义是________．出校门向南走400米，再向东走150米是小明的家，则小明家的位置应记作________．10.如图：小聪第一次向东走1米记作(1, 0)，第二次向北走2米记作(1, 2)，第三次向西走3米记作(−2, 2)，第四次向南走4米记作(−2, −2)，第五次向东走5米记作(3, −2)，第六次向北走6米记作(3, 4)，第七次向西走7米记作(−4, 4)，第八次向南走8米记作(−4, −4)第九次向东走9米记作(5, −4)…如此下去，第2019次走后记作什么？模块二基本概念名称相关概念内容象限：坐标轴将平面分成的区域点的坐标特征：第一象限：（+,+）第二象限：（-,+）第三象限：（-,-）第四象限：（+,-）x轴：正半轴（+,0）；负半轴（-,0）y轴：正半轴（0,+）；负半轴（0,-）原点：（0,0）拓展：（1）象限角分线上的点：位于一三象限角分线，横纵坐标相等；位于二四象限角分线，横纵坐标互为相反数（2）两点连线与坐标轴平行：平行于x轴，纵坐标相等；平行于y轴，横坐标相等；（3）点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值.【经典例题】1.小米家位于公园的正东100米处，从小米家出发向北走250米就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东，正北方向为x轴，y轴正方向建议平面直角坐标系，则公园的坐标是（）A.(−250, −100)B.(100, 250)C.(−100, −250)D.(250, 100)2.如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A.(−4, −6)B.(−6, 3)C.(5, 2)D.(3, −4)3.点P(−3, 2)在平面直角坐标系中所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限, m2+1)一定在（）4.在平面直角坐标系中，点(−32A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若点A(a, 3)在y轴上，则点B(a−3, a+2)所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知点A(1−2x, x−1)在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D.7.实数x，y满足(x−1)2+|y|=0，则点P(x, y)在（）A.原点B.x轴正半轴C.第一象限D.任意位置8.若点P在第二象限内，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是7，则点P的坐标是（）A.(−7, 5)B.(7, −5)C.(−5, 7)D.(5, −7)9.已知点A(m2−2, 5m+4)在第一象限角平分线上，则m的值为（）A.6B.−1C.2或3D.−1或610.在平面直角坐标系中，对于任意两点A(x1, y1)B (x2, y2)，规定运算：(1)A⊕B=(x1+x2, y1+y2)；(2)A⊙B=x1x2+y1y2；(3)当x1=x2且y1=y2时，A=B．有下列四个命题：①若有A(1, 2)，B(2, −1)，则A⊕B=(3, 1)，A⊙B=0；②若有A⊕B=B⊕C，则A=C；③若有A⊙B=B⊙C，则A=C；④(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)对任意点A、B、C均成立．其中正确的命题为________（只填序号）11.点P(a−1, a2−9)在x轴负半轴上，则P点坐标是________．12.已知点P(m−3, 1−2m)在第三象限，则由所有满足题意的整数m组成的最大两位数是________．13.若P(x, y)在第二象限且|x|=2，|y|=3，则点P的坐标是________．14.已知点(a+1, a−1)在x轴上，则a的值是________．15.在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点为整点，若整点P(m+2, 1m−1)在第四象限，则m的值为________．216.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(a, b)，点P的“变换点”P′的坐标定义如下：当a≥b时，P′点坐标为(b, −a)；当a<b时，P′点坐标为(a, −b)，则点A(5, 3)，B(1, 6)，C(−2, 4)的变换点坐标分别为A′________，B′________，C′________．17.已知：P(4x, x−3)在平面直角坐标系中．(1)若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；(2)若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
位置与坐标 （定时训练与典例精析）施泽顺定时训练部分：1、如图，已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD交于直角坐标系的原点，带你A 的坐标为（-2,3）则点C的坐标为（ ）2、若023=++-b a ，则点M （a ，b ）在（ ）象限3、一艘轮船从港口O 出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到期正西方向50海里处有一座小岛B 。
若以港口O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1海里为一个单位长度建立平面直角坐标系（如图）则小岛B 所在的位置的坐标是（提示：直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半） （ ）4、如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴和y 轴，物体甲和物体乙分别由点A （2,0）同时出发，沿矩形BCDE 的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2的单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是 （ ）5若平面直角坐标系内，O 为坐标原点，已知点A （2，-2），点P 在x 轴上，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点的坐标为 。
6、如图，将边长为2的等边三角形沿x 轴正方形连续翻折2010次，依次得到点P 1、P 2、P 3、…、n p ，则点n p 的坐标是 。
7、已知点)23(，A 且AB ∥x 轴，若AB =4，则点B 的坐标为___________.8、若)(y x P ，的坐标满足0=xy ，则P 点必在（ ）9、一个人从A 点出发向北偏东60°的方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC 的度数是( )10、现阅读一段文字，再回答下列问题：已知平面内两点的坐标为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则该两点之间的距离公式为21221221)()(y y x x P P -+-=。
同时，当两点在同一坐标轴上或所在的直线平行于x 轴、平行于y 轴时，两点间的距离公式可化简为12x x -或12y y -。
（1）若已知两点A （3,5），B （-2，-1），试求A 、B 两点间的距离；（2）已知点A 、B 在平行于y 轴的直线上，点A 的纵坐标为5，点B 的纵坐标为-1，试求A 、B 两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点的坐标为A （0,6），B （-3,20，C （3,2），你能判断此三角形的形状吗？试说明理由。
典例精析部分：专题一 与平面直角坐标系有关的规律探究题11.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横纵坐标都为整数的点），其顺序按图中“→”方向排列，如：（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），（4，1），…，观察规律可得，该排列中第100个点的坐标是（ ）.A.（10,6）B.（12,8）C.（14,6）D.（14,8）12.如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P 的坐标是_____________.13.如图，一粒子在区域直角坐标系内运动，在第1秒内它从原点运动到点B 1（0，1），接着由点B 1→C 1→A 1，然后按图中箭头所示方向在x 轴，y 轴及其平行线上运动，且每秒移动1个单位长度，求该粒子从原点运动到点P （16，44）时所需要的时间．专题二 坐标与图形14. 如图所示，A （-3，0）、B （0，1）分别为x 轴、y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P （3，a ）在第一象限内，且满足2S △ABP =S △ABC ，则a 的值为（ ）A ．47 B ．2 C ．3 D ．215.如图，△ABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么点D的坐标是____________________________________.16.如图，在直角坐标系中，△ABC 满足，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始在x 轴正半轴上运动时，点C 随着在y 轴正半轴上运动．（1）当A 点在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ；（2）当OA ＝OC 时，求原点O 到点B 的距离OB .x专题折叠问题17.如图，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴．y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，2）D．（3，1）18.（2012江苏南京）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（－1，－1）、（－3，－1），把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A 的对应点A′的坐标是.19.（2012山东菏泽）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．答案：11．D 【解析】 因为1+2+3+…+13=91，所以第91个点的坐标为（13，0）．因为在第14行点的走向为向上，故第100个点在此行上，横坐标就为14，纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8.故第100个点的坐标为（14，8）．故选D ．12．D 【解析】 根据动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，∴横坐标为运动次数，经过第2013次运动后，动点P 的横坐标为2013，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∴经过第2013次运动后，动点P 的纵坐标为：2013÷4=503余1，故纵坐标为四个数中第一个，即为1，∴经过第2013次运动后，动点P 的坐标是：（2013，2），故答案为：（2013，1）．13．解：设粒子从原点到达A n 、B n 、C n 时所用的时间分别为a n 、b n 、c n ，则有：a 1=3，a 2=a 1+1，a 3=a 1+12=a 1+3×4，a 4=a 3+1，a 5=a 3+20=a 3+5×4，a 6=a 5+1，…, a 2n-1=a 2n-3+（2n-1）×4，a 2n =a 2n-1+1，∴a 2n-1=a 1+4[3+5+…+（2n-1）]=4n 2-1，a 2n =a 2n-1+1=4n 2，∴b 2n-1=a 2n-1-2（2n-1）=4n 2-4n+1，b 2n =a 2n +2×2n=4n 2+4n ，c 2n-1=b 2n-1+（2n-1）=4n 2-2n=)12(122-+-n n ）（，c 2n =a 2n +2n=4n 2+2n=（2n ）2+2n ， ∴c n =n 2+n ，∴粒子到达（16，44）所需时间是到达点C 44时所用的时间，再加上44-16=28（s ），所以t=442+447+28=2008（s ）．14．C 【解析】 过P 点作PD ⊥x 轴，垂足为D ，由A （﹣3，0）、B （0，1），得OA =3，OB =1，由勾股定理，得AB =22OB OA +=2,∴S △ABC =21×2×3=3. 又S △ABP =S △AOB +S 梯形BODP ﹣S △ADP =21×3×1+21×（1+a ）×3﹣21×（3+3）×a =2333a -+, 由2S △ABP =S △ABC ，得3+3-3a =3,∴a =3．故选C ．15.（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1） 【解析】 △ABD 与△ABC 有一条公共边AB ， 当点D 在AB 的下边时，点D 有两种情况①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）； 当点D 在AB 的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D 的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．16.解：（1）当A 点在原点时，AC 在y 轴上，BC⊥y 轴，所以=（2）当OA=OC 时，△OAC 是等腰直角三角形,而AC=4，所以OA=OC=过点B 作BE⊥OA 于E ，过点C 作CD⊥OC，且CD 与BE 交于点D ，可得︒=∠=∠=∠45221.又BC=2，所以所以BE=BD+DE=BD+OC=OE=CD=2,所以=17．B 【解析】 ∵长方OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（3，2），∴CB =3，AB =2，又根据折叠得B ′E =BE ，B ′D =BD ，而BD =BE =1，∴CE =2，AD =1，∴B ′的坐标为（2，1）．故选B ．18．（16，3） 【解析】 因为经过一次变换后点A 的对应点A ′的坐标是（0，3），经过两次变换后点A 的对应点A ′的坐标是（2，－3），经过三次变换后点A 的对应点A ′的坐标是（4，3），经过四次变换后点A 的对应点A ′的坐标是（6，－3），可见，经过n 次变换后点A 的对应点A ′的坐标为：当n 是偶数时为（2n －2，－3），当n 为奇数时（2n －2，3），所以经过连续9次这样的变换后点A 的对应点A ′的坐标是（2×9－2，3），即（16，3）．故答案为（16，3）．19．解：由题意，可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，在Rt △ABE 中，AE=AO =10，AB =8，6BE ===，∴CE=4 ∴E(4，8)，在Rt △DC E 中，222DC CE DE +=，又DE=OD ，∴222(8)4OD OD -+=，∴OD =5， ∴D (0，5).。