2020届高考数学二轮复习专题《运用数形结合思想探究函数零点问题》
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微专题5 运用数形结合思想探究函数零点问题
运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点和难点，解决此类问题的难点是函数形式的有效选择，本专题主要研究运用数形结合思想探究函数零点问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用.
已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧4x －x 2，x ≥0，3x
， x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋n 有三个零点，则实数n 的取
值范围是_________．
本题主要考查数形结合思想方法在解题中的应用，但要将函数等价变形为|f(x)|＝
3x －n ，即将函数进行“拆分”，拆分的目的是易于作图，然后在同一直角坐标平面画出函数y=|f(x)|的图象，再进行直线y=3x －n ，那么的范围就是直线y=3x －n 与函数y=|f(x)|的图象有三个交点时的取值范围.
已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧|x |， x ≤m ，
x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的
方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x ＜0，log a （x ＋1）＋1， x ≥0
(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且
关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．
(2019·苏州三模)如果函数y ＝f (x )在其定义域内总存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，
满足|x i －2|f (x i )＝1(i ＝1，2，3)，则称函数f (x )具有性质Ω.已知函数f (x )＝a e x 具有性质Ω，则实数a 的取值范围为________．
已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪
⎪x －1
x 恰好有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为________．
(2020·浙江模拟)已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ， x <0，13
x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0，若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则实数b 的范围为________．
已知e 为自然对数的底数，若函数f (x )＝e x －ax 2的图象与直线y ＝32
ax 的图象没有
交点，则实数a 的取值范围是________．
(－2e －1
，0]
因为函数f (x )＝e x －ax 2的图象与直线y ＝32ax 的图象没有交点，所以方程e x －ax 2
＝
32
ax 没有实根，即e x ＝3
2ax ＋ax 2没有实根，所以只须函数y ＝e x 和y ＝32
ax ＋ax 2的图象没有交
点．
下面作出函数y ＝e x 和y ＝32ax ＋ax 2
的图象，观察得：当a ＝0时，符合题意；当a >0时，不
合题意；当a <0时，发现当x ≥0时没有交点，所以只要保证当x <0时也没有交点．即只要研究当a <0时，当x <0时，e x ＝32
ax ＋ax 2
无解．
(大函数法)当a <0时，令F (x )＝e x －ax 2－32ax (x <0) 则F ′(x )＝e x －2ax －32
a ＝e x
－
a (2x ＋3
2
)
由y ＝e x
和y ＝a (2x ＋32)的图象可知：F ′(x )存在零点x 0，即e x 0＝a (2x 0＋32)(*)且x 0<－34
，
F (x )
在(－∞，x 0)递减，在(x 0，0)递增．所以只须满足F (x 0)＝e x 0－ax 2
0－32ax 0>0，代入(*)式，
化简得：x 0<－1
又由(*)得，1
a ＝2x 0＋32e x 0，令p (x )＝2x ＋
32e
x (x <－1)
因为p ′(x )＝12－2x e x >0，所以p (x )递增，所以p (x )<－e 2，所以1a <－e 2即－2
e
综上：a ∈⎝ ⎛⎦ ⎥⎤－2e ，0. (小函数法)当a <0时，e x ＝32ax ＋ax 2 (x <0)无解，所以e x x ＝a (32 ＋x )(x <0)无解 观察函数y ＝e x x (x <0)和y ＝a (3 2 ＋x )(x <0)的图象，把握临界情况： 当y ＝a (32＋x )恰为y ＝e x x (x <0)的切线时，设切点为(x 0 ，e x x 0 ) ，则⎩⎪⎨⎪⎧e x 0 （x 0 －1） x 20 ＝a ，e x 0 x 0 ＝a （x 0 ＋3 2）， 解 得⎩ ⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝－2e ，此时恰好不符合条件．由图可知：－2e 综上：a ∈⎝ ⎛⎦ ⎥⎤－2e ，0. (分离参数法)当a <0时，e x ＝32ax ＋ax 2 (x <0)无解，所以1a ＝x 2＋3 2 x e x (x <0)无解 令h (x )＝ x 2＋32 x e x (x <0)，则h ′(x )＝－x 2 ＋12x ＋ 32 e x ，可得：h (x )在(－∞，－1)递减，在(－1，0)递增，所以h (x )∈(－e 2 ，＋ )，所以1a <－e 2，即－2 e