几何概型约会问题.c - 360文档中心

几何概型约会型问题

几何概型——约会型问题
例1.小明家的晚报在下午5：30～6：30 之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐 . 那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量. 由于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设然后晚报送到和晚饭开始的时间分别为 x、 y ，把这两个变量所满足的条件写成集合的形式，把问题转化为线性规划问题进行求解.
1 1 1 7 S ABCD 1 1 1, S阴影 1 2 2 2 8 7 S阴影 7 8 P 所以所求概率为： S ABCD 1 8
故晚报在晚餐开始之前被送到 7 的概率是 8 .
.
反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：（1）找设变量.从问题中找出两个随机变量,设为 x , y ；（2）集合表示.用( x, y )表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全部结果和事件 A 所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集. （3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合 , A 对应的区域的面积. （4）计算求解.由几何概型公式求出概率.
2 2 当且仅当- ≤x-y≤ ， 3 3
因此转化成面积问题，利用几何概型求解.
解:设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当 2 ≤ x y ≤ 2 .
3 3
两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为

高一数学几何概型试题

高一数学几何概型试题1.甲、乙两人约定某天晚上7：00～8：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设甲到达会面处的时该为７点x分钟,则，设乙到达会面处的时该为７点y分钟,则；根据题意知所有可能情况为不等式组，两人能会面则必须满足，画出不等式组所表示的平面区域：，则所求的概率为：，故选C．【考点】几何概率．2.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为 ()．A．B．C．D．【答案】C【解析】观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB的方程为6x-3y-4=0中，令x=1得A（1，），令y=-1得B（，-1）．∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×（1+）（1-）=，则飞镖落在阴影部分（三角形ABC的内部）的概率是：P=．故选C．【考点】几何概型．3.如图，在△AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，则△AOC为钝角三角形的概率为（）A．0．6B．0．4C．0．2D．0．1【答案】B【解析】点C的活动范围在线段OB上，所以D的测度为5，△ACO为钝角三角形包含∠OAC，∠OCA为钝角，△AOC为钝角三角形时，∠ACO为钝角，或∠OAB是钝角．当∠ACO=90°时，如下图由勾股定理可求 OC=1；∠OAB=90°时，由直角三角形中的边角关系可得OC=4，BC=1,综上，所以d的测度为2，故△AOC为钝角三角形的概率等于=0．4，故选B．【考点】几何概型．4.向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．【答案】【解析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积小于的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．解：记事件A={△PBC的面积小于}基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的所以P（A）=阴影部分的面积：三角形ABC的面积=故答案为：【考点】几何概型．点评：本题主要考查了几何概型．由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意．5.在区间上随机取一实数，则该实数满足不等式的概率为 .【答案】【解析】区间的长度为9，的长度为1，所以实数满足不等式的概率为。

约会问题

3.2几何概型——“约会问题”案例：明天是圣诞节，小花、小楠两人约定明天7时到8时之间在城北中山公园门口会面，她们约定无论谁先到达，先到者应等候另一个人一刻钟，如果15分钟之后，另一人还未到达，这时先到者即可离去，那么，请思考后回答两人见面的概率是多少?思考：1、能直接得出两人碰面的概率吗？说说你的想法。

2、两人碰面的可能结果是怎样的？与古典概型相比较谈谈你的看法。

3、若两人碰面这个事件不是古典概型，那么如何计算两人碰面的概率。

案例分析与讨论：首先，让学生分析互相讨论，得出两人碰面这个事件的结果是无限的，而且碰面的结果只是7时到8时之间的任何一个时刻，且任一时刻的可能性是相同的。

在此基础上教师要引导学生与古典概型的特点互相比较，从而教师给出几何概型的定义。

其次，让学生思考，想法计算几何概型的概率，在这个阶段，教师可以让学生自由发挥，结合他们的知识水平，教师再加以适当的引导指正，最后得出几何概型的概率计算公式。

最后，让学生自己解决碰面的概率计算，教师再进行详细的解析，学生方可学懂学透。

下面是上述案例的概率分析：问题的解决要以x 轴和y 轴分别表示两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||≤-y x ，（如图1）由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A ，因此，两人见面的概率：167604560)(222=-=A P 。

图1课堂反馈：思考下面的问题：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。

可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A ，则6160106010)(==＝分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于A P ；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。

高三数学专题复习-约会问题

数学专题复习几何概型—“约会问题”案例：圣诞节，小花、小楠两人约定明天7时到8时之间在城北中山公园门口会面，她们约定无论谁先到达，先到者应等候另一个人一刻钟，如果15分钟之后，另一人还未到达，这时先到者即可离去，那么，请思考后回答两人见面的概率是多少?思考：1、能直接得出两人碰面的概率吗？说说你的想法。

2、两人碰面的可能结果是怎样的？与古典概型相比较谈谈你的看法。

3、若两人碰面这个事件不是古典概型，那么如何计算两人碰面的概率。

案例分析与讨论：首先，让学生分析互相讨论，得出两人碰面这个事件的结果是无限的，而且碰面的结果只是7时到8时之间的任何一个时刻，且任一时刻的可能性是相同的。

在此基础上教师要引导学生与古典概型的特点互相比较，从而教师给出几何概型的定义。

其次，让学生思考，想法计算几何概型的概率，在这个阶段，教师可以让学生自由发挥，结合他们的知识水平，教师再加以适当的引导指正，最后得出几何概型的概率计算公式。

最后，让学生自己解决碰面的概率计算，教师再进行详细的解析，学生方可学懂学透。

下面是上述案例的概率分析：问题的解决要以x 轴和y 轴分别表示两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||≤-y x ，（如图1）由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A ，因此，两人见面的概率： 167604560)(222=-=A P 。

图1课堂反馈：思考下面的问题：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。

可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A ，则6160106010)(==＝分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于A P ；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题 (含答案)[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。

解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分167604560222=-=P[例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。

解：R AC AB 2||||==. ∴ 212===⋂R R BCDP ππ圆周[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过21的概率。

解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为21。

事件“三段的长度都不超过21”所对应的几何区域可表示为Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}211,21,21<--<<y x y x 即图中最中间三角形区域，此区域面积为81)21(212=⨯ 此时事件“三段的长度都不超过21”的概率为412181==P[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25，下午3：00张三在基地正东30内部处，向基地行驶，李四在基地正北40内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。

解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x故19225120025412ππ==P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02=++b ax x 两根均为正数的概率。

几何概型中_面积型_测度典型问题例析

1 2 = 60 × 40 2
2
1 2 2 2 ×40 = 60 - 40 , 2
设“ 两人能会面 ” 为事件 A, 则 2 2 d 60 - 40 2 2 5 P (A ) = = =1 - ( ) = , 2 D 3 9 60
・14・
数理化学习 (高中版 ) 分析 : 雨点落在地图上的概率问题是几何概型 , 用面积比计算 . 雨点打在地图和板上是随机的 , 地图上有 9 个雨点痕迹 , 板上其他位置有 18 个雨点痕迹 , 由此计算雨点落在地图上的概率 , 反过来推导地图面积 . 解 :由题意 , 雨点落在地图上的概率 P = 9 1 = , 又正方形板的面积为 1平方米 , 故 9 + 18 3 1 1 所求地图面积为 1 × = 平方米 . 3 3 点评 :本题有别于常规的面积型概率计算 , 设计新颖 , 不直接问事件的概率 , 而是通过随机性先求出雨点落在地图上的概率 , 再由几何概型的公式来求地图面积 . 江苏省张家港市暨阳高级中学 ( 215600 ) ●王杰
上点的最近距离是 2. 2 51若抛物线 y = ax - 1 ( a > 0 ) 上存在关
●吕兆勇
几何概型中“ 面积型 ” 测度典型问题例析
解决几何概型问题的关键是利用己知条件建立适当的几何模型 , 从建立的几何模型入手 , 来解决概率问题 . 本文从几何概型“ 面积型” 测度中的几个典型问题来说明如何解决此类问题 . 例 1 在面积为 S的 △AB C内任选一点 P, 则 △PB C 的面积小于
约定见车就乘的事件所表示的区域d为图中4个黑的小方格所示所求概率约定最多等一班车的事件所表示的区域d为图中10个黑的小方格所示所求概率为1016从上面几例我们可以看出要解决面积型测度概率问题关键在于如何将文字语言转化为与之对应的图形语言在这点上需认真地体会

概率论中几种概率模型方法总结

概率论中几种概率模型方法总结绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。

1 古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。

古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。

即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。

若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n中的样本点数中的样本点数。

在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。

在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。

关于古典概型的数学模型如下:1.1 袋中取球问题1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。

概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。

事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。

分析:随机地从袋中取出k 个球有km+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这一事件包含了l k-l n mC C 种结果,因此所求概率为lk - ln m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。

用它可以解决一些类似的问题。

1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。

几何概型典型题型--约会问题

抽样一、选择题1 ．（2013年高考湖南（文3））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___（）A．9 B．10 C．12 D．13本题考查分层抽样方法的应用。

因为从丙车间的产品中抽取了3件，所以抽查比例为=，所以甲车间抽取6件，乙车间抽取4件，所以共抽取36413++=件，60:320:1选D.2．（2013年高考江西卷（文5））总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01本题考查随机数的使用和求值。

从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01,。

其中第二个和第四个都是02，重复。

所以第5个个体的编号为01。

故选D。

3．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。

,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。

故选B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。

高一数学几何概型试题

高一数学几何概型试题1.甲、乙两人约定某天晚上7：00～8：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设甲到达会面处的时该为７点x分钟,则，设乙到达会面处的时该为７点y分钟,则；根据题意知所有可能情况为不等式组，两人能会面则必须满足，画出不等式组所表示的平面区域：，则所求的概率为：，故选C．【考点】几何概率．2.在区间[-1，2]上随机取一个数x，则的概率为A B C D【答案】C【解析】由解得，-1≤x≤1，故的概率为=，故选C．先解出的解为-1≤x≤1，本题为长度概型，故的概率为=．【考点】含绝对值不等式解法；几何概型3.在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故概率为p=．【考点】几何概型．4.有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【答案】A【解析】第一个转盘中奖的概率为；第二个转盘中奖的概率为；第三个转盘中奖的概率为；第四个转盘中奖的概率为，所以中奖最高为A。

【考点】几何概型的概率点评：几何概型的概率是常考点。

求几何概型的概率，只要求出事件占总的比例即可。

5.在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是____【答案】【解析】如图，当两数之和小于时，对应点落在阴影上，∵S阴影==，故在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是．【考点】本题考查了几何概型的运用点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式求解．6.甲、乙两人独立地破译1个密码, 他们能译出密码的概率分别为和, 求:(1)甲、乙两人至少有一个人破译出密码的概率;(2)两人都没有破译出密码的概率.【答案】(1) ；(2) 。

几何概型习题课

7.（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y ≥1 ”的概率。
2
(2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a＞0 时，函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
a＋b－8≤0 {(a，b)|a＞0 }， b＞0
构成所求事件的区域为三角形区域． a＋b－8＝0 16 8 由 a 得交点坐标为 ( ， )， 3 3 b＝ 2 1 8 × 8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P＝＝ . 1 3 ×8×8 2
1 A. 3
2 B. 3
1 C. 9
2 D. 9
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
4、设在区间[0，2]中随机地取两个数，求下列事件的概率.
15 (1)两个数中较大的大于1/2；16 (2)两数之和大于3/4. 119 128
练习:分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则 m n
正解射线 CD 在∠ACB 内是均匀分布的，故∠ACB＝90° 可看成试验的所有结果构成的区域，在线段 AB 上取一点 E，使 AE＝AC，则∠ACE＝67.5° 可看成所求事件构成的区域，所以满足条件的概率为 67.5° 3 ＝ . 90° 4
知能层层练 1． (2011· 福州质检)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是( )

概率论中几种概率模型方法总结

概率论中几种概率模型方法总结绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。

1 古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。

古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。

即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。

若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n中的样本点数中的样本点数。

在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。

在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。

关于古典概型的数学模型如下:1.1 袋中取球问题1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。

概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。

事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。

分析:随机地从袋中取出k 个球有km+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这一事件包含了l k-l n mC C 种结果,因此所求概率为lk - ln m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。

用它可以解决一些类似的问题。

1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。

概率论中几种概率模型方法总结

概率论中几种概率模型方法总结绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。

1 古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。

古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。

即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。

若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n中的样本点数中的样本点数。

在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。

在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。

关于古典概型的数学模型如下:1.1 袋中取球问题1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。

概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。

事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。

分析:随机地从袋中取出k 个球有km+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这一事件包含了l k-l n mC C 种结果,因此所求概率为lk - ln m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。

用它可以解决一些类似的问题。

1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。

高考数学复习点拨约会型几何概型问题

高考数学复习点拨约会型几何概型问题第一篇：高考数学复习点拨约会型几何概型问题谈“约会型”概率问题的求解由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。

请看以下几例：例1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|x-y|≤15，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A602-4527=因此，两人见面的概率P(A)=16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|x-y|≤15，于是，结论也就顺其自然的产生了。

例2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间两列火车必须等待，则|x-y|≤10，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A 602-50211=因此，这两列火车必须等待的概率是P(A)= 23660点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用x,y 表示，结论很快产生。

例3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，用心爱心专心⎧6≤x≤7⎪所以，由⎨6.5≤y≤7.5⎪y>x⎩1602-⨯30272得P(A)=，=86027即小强能见到小明的概率是。

概率论中几种概率模型方法总结

概率论中几种概率模型方法总结绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。

1 古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。

古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。

即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。

若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n中的样本点数中的样本点数。

在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。

在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。

关于古典概型的数学模型如下:1.1 袋中取球问题1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。

概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。

事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。

分析:随机地从袋中取出k 个球有km+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这一事件包含了l k-l n mC C 种结果,因此所求概率为lk - ln m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。

用它可以解决一些类似的问题。

1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。

几何概型——“约会问题”

几何概型中的“约会问题”总结几何概型是每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积和体积有关，它与古典概型最本质的区别就是基本事件的个数是无限的，学生对于有限的情况比较容易接受，但是对于无限的情形就觉得有点抽象，所以我们用长度、面积、体积这三个“几何测度”来刻画几何概型，将代数上的无限转化为几何上的有限，在这三种测度里面关于长度的问题学生一般觉得较简单，关于体积的问题考的不是很多，最主要还是关于面积测度的问题，由于出现的情况比较多，学生容易犯错，下面将以不同“约会问题”来讲解几何概型中的面积问题，“约会问题”的模型基本涵盖了几何概型中关于相遇类型的面积测度的情形。

（1）小明和小雪约了星期天下午在月牙塘公园见面，由于龙泉路最近在修路，可能会堵车，小明说他大概4:00—5:00会到，小雪说她可能5:30—6:30到，他们约定先到的等二十分钟如果另一个还没来就可以先走了，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？解：设小明和小雪相遇为事件A从右侧图形中我们可以知道他们相遇的概率P(A)=0（2）第二次约会：小明说他大概4:00—5:00会到，小雪说这次她大概5:00—6:00就会到了，这次他们约定先到的等半个小时另一个还没来就可以先走，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？分析：如果在一维坐标轴中表示他们相遇的可能性则种类太多，表达不清，又因为小明到达的时间在4点至5点间，小雪到达的时间在5点到6点间，属于两个变量的情形，所以我们采用二维的坐标系来构建这个题的数学模型。

设小明到达的时间为x ，小雪到达时间为y ，那么45x ≤≤ 56y ≤≤约定先到的等半个小时另一个还没来就可以先走则他们两个要相遇需要满足0.5y x ≤+解：设小明到达的时间为x ，小雪到达时间为y ，小明和小雪相遇为事件A则 45560.5x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+⎩试验的全部结果所构成的区域为}{(,)/45,56x y x y Ω=≤≤≤≤事件A 构成的区域为 }{(,)/0.5,45,56A x y y x x y =≤+≤≤≤≤由图可知11112228A S =⨯⨯=，则1()8A S P A S Ω==所以小明和小雪相遇的概率为1/8第一种约会情况也可以画二维坐标，由图可知，事件A 与试验全部结果所构成的区域没有交集，所以P(A)=0（3）第三次约会：这次他们两个约定5:00—6:00见面，约定先到的等另一个半个小时，没来就可以先走了，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？事件A 构成的区域为}{(,)/0.5,56,56A x y y x x y =-≤≤≤≤≤由右图可知 1113122224A S =-⨯⨯⨯=所以两人相遇的概率3()4A S P A S Ω==（4）第四次约会：小雪说她大概4:30—5:30会到，小明说他可能因为有事会在5:00—6:00走，假设他们两个在估计时间内到和走的可能性都是一样的，问他们两个能相遇的概率有多大？小明走的时间要大于小雪到的时间，这样两人才能相遇，所以事件A 构成的区域为}{(,)/,56,4.5 5.5A x y y x x y =≤≤≤≤≤由右图可知 111712228A S =-⨯⨯=所以两人相遇的概率7()8A S P A S Ω==（其实该模型就是必修三P137的送报纸模型）（5）第五次约会：小明说他大概4:00—5:00会到，小雪说这次她大概5:00—6:00会到，他们约定先到的要等另一个两个小时，要是对方还没来才可以走，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？两人约定的条件是先到的等两个小时则2y x -≤两人一定能遇到，则P(A)=1（6）小明和小雪两人约定星期天下午4:00—5:00之间在小西门乘公共汽车一起去学校，在这段时间内有3班公共汽车，公车准时到达时刻分别为 4∶20，4∶40，5∶00，如果他们约定，见车就乘，求他们两个同乘一车的概率？设两个人同乘一辆车为事件B ，则两人同乘一辆车必须满足 1144,4433x y ≤≤≤≤121244,443333x y ≤≤≤≤2245,4533x y ≤≤≤≤1113333B S ∴=⨯⨯=1()3B S P A S Ω∴== 所以两人同乘一辆车的概率1/3只要表示两个人或者两个物体相遇（如两条轮船靠港相遇）的几何概型问题或者更一般点两个变量之间的几何概型问题，都可以用二维坐标系将所有基本事件的区域和发生事件区域表示出来，最后由两个面积之比即可求出概率。