2020届江苏省启东中学高三上学期期初考试数学试题(解析版)

2020届江苏省启东中学高三上学期期初考试数学试题

一、填空题

1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.

2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．

3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________.

4．已知复数z 满足(1i)34i z +=-（i 是虚数单位），则||z =________.

5．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=________.

6．若3tan 4α=

，则2cos 2sin 2αα+= __________.

7．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是____．

8．已知02πα-

<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____.

9．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-

上的最小值是2-，则ω的最小值等于____.

10．设α为锐角，若π3cos()65α+=

，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.

11．已知函数()()(0)6

f x sin x cos x π

ωωω＝＋－＞．若函数()f x 的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[,]44

ππ-

上是单调函数，则ω的取值集合为______.

12．设点O 在ABC ∆所在平面内，若230OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积比为___.

13．正方形ABCD 的边长为1，O 为正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为________.

14．已知等腰直角三角形ABC 中=2AB AC =，半径为2

的圆O 在三角形外与斜边BC 相切，P 为圆上任意一点，且满足AP xAB y AC =+，则x y +的最大值为________.

二、解答题

15．已知函数π()2sin()(0)2f x x ωϕωϕ=+><，的图像的一部分如图所示，5(,0)2

C 是图像与x 轴的交

点，,A B 分别是图像的最高点与最低点且5AB =．

（1）求函数()y f x =的解析式；

（2）求函数31()()(),0,22

g x f x f x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦的最大值．

16．在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()12c =-． （1）若a b c +=，求sin ()αβ-的值；

（2）设5π6

α=

，0πβ<<，且()//a b c +，求β的值．

17．已知函数()2sin cos sin()sin()44

f x x x x x x ππ=-++-. （1）求()f x 的最小值并写出此时x 的取值集合；

（2）若[]0,x π∈，求出()f x 的单调减区间；

（3）若()0042x x x f x ππ⎛⎫=≤≤

⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos2x 的值.

18．已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a =(0)a >，1BC =，AB 与地面成

θ角（02π

θ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离分别为12,h h ，记C E h =．

（1）若a =h 的最大值，并求此时的θ值；

（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．

19．启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界,沿线段AB,BC,CD,DA建一个观景长廊,其中A,B,C,D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米,AB=8百米,在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭,且它们关于直线AC对称,在湖面建一条观景桥APC.

∠=．

观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设ABCα

（1）若观景长廊AD＝4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积；

α=︒时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；

（2）当60

（3）若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请说明理由．

20．已知函数1()(cos ),x f x e a x a R -=-+∈．

（1）若函数()f x 在[]0,π上存在单调增区间，求实数a 的取值范围；

（2）若()02f π=，证明：对于11,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦

，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+-->

参考答案

一、填空题

1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.

【答案】－1

【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．

【详解】

()()212122i i i z i i i

+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．

【答案】二

【解析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．

【详解】

因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，

则角α的终边在第二象限，

故答案为二．

点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．

3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()

a ma

b ⊥-，则m =_________.

【答案】-1.

【解析】根据,a b 坐标表示出ma b -r r ，再根据()a ma b ⊥-，得坐标关系，解方程即可. 【详解】

(1,0),(1,)a b m ==-，

(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，

由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，

()10a ma b m ∴⋅-=+=，

即1m =-.

【点睛】