2020届江苏省启东中学高三上学期期初考试数学试题(解析版)

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江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题-f1a10c0eccd84011979c7a0dc55fa7ab

绝密★启用前江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题试卷副标题 xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题 1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________. 4．已知复数z 满足(1i)34i z +=-（i 是虚数单位），则||z =________.5．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=________.6．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= __________. 7．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是____．8．已知02πα-<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____.9．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____.10．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.11．已知函数()((0)6f x sin x cos x πωωω＝＋－＞．若函数()f x 的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的取值集合为______.12．设点O 在ABC ∆所在平面内，若230OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积比为___.13．正方形ABCD 的边长为1，O 为正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为________.14．已知等腰直角三角形ABC 中=2AB AC =，半径为2的圆O 在三角形外与斜边BC 相切，P 为圆上任意一点，且满足AP xAB y AC =+，则x y +的最大值为________.……○…………线_______……○…………线二、解答题 15．已知函数π()2sin()(0)2f x x ωϕωϕ=+><，的图像的一部分如图所示，5(,0)2C 是图像与x 轴的交点，,A B 分别是图像的最高点与最低点且5AB =．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数31()()(,0,22g x f x f x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦的最大值． 16．在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()12c =-．（1）若a b c +=，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//a b c +，求β的值． 17．已知函数()2sin cos sin()sin()44f x x x x x x ππ=-++-. （1）求()f x 的最小值并写出此时x 的取值集合；（2）若[]0,x π∈，求出()f x 的单调减区间；（3）若()0042x x x f x ππ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos2x 的值. 18．已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a =(0)a >，1BC =，AB 与地面成θ角（02πθ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离分别为12,h h ，记CE h =．…………装…………○…………线…………○……※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线…………装…………○…………线…………○…… （1）若a =h 的最大值，并求此时的θ值；（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．19．启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下：如图所示的圆O 是圆形湖的边界,沿线段AB ,BC ,CD ,DA 建一个观景长廊,其中A ,B ,C ,D 是观景长廊的四个出入口且都在圆O 上，已知：BC =12百米,AB =8百米,在湖中P 处和湖边D 处各建一个观景亭,且它们关于直线AC 对称,在湖面建一条观景桥APC .观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设ABC α∠=．（1）若观景长廊AD ＝4百米，CD =AB ，求由观景长廊所围成的四边形ABCD 内的湖面面积；（2）当60α=︒时，求三角形区域ADC 内的湖面面积的最大值；（3）若CD =8百米且规划建亭点P 在三角形ABC 区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP 内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请说明理由．20．已知函数1()(cos ),x f x e a x a R -=-+∈．（1）若函数()f x 在[]0,π上存在单调增区间，求实数a 的取值范围；（2）若()02f π=，证明：对于11,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+-->参考答案1．－1【解析】【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．二【解析】【分析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 3．-1.【解析】【分析】根据,a b 坐标表示出ma b -r r ，再根据()a ma b ⊥-，得坐标关系，解方程即可.【详解】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-.【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则①1221//0a b x y x y ⇔-=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=.4．2【解析】【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据模长的概念即可得出结果．【详解】复数z 满足(1i)34i z +=-（i 为虚数单位）， ∴()()()()341341711122i i i z i i i i ---===--++-，则2z ==，故答案为2. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．1【解析】【分析】逆用两角和的正切公式：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可求得答案．【详解】∵()tan13tan17tan 30tan 13171tan13tan17︒+︒︒=︒+︒==-︒︒∴)tan13tan171tan13tan17︒+︒=-︒︒，∴)tan13tan17tan13tan171︒︒+︒=．故答案为1.【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题．6．6425【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系把1换成22sin cos αα+，22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+，分子分母同时除以2cos α，最后把tan α的值代入即可求得答案．【详解】22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+ 2231414tan 644.tan 125314αα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即答案为6425. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．7【解析】由题可知：1sin sin 22AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 2b c a A a BC bc+-=⇒==8．2316- 【解析】【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin α和tan α，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．【详解】 ∵02πα-<<，且5cos 13α=， ∴12sin 13α=-，12tan 5α=-， ∴12232cos()3sin()2cos 3sin 23tan 235124cos()sin(2)4cos sin 4tan 1645παπαααααπαααα⎛⎫-+⨯- ⎪--+-+-+⎝⎭====--+---+，故答案为2316-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题.9．32【解析】【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，求出ω的范围得到答案．【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-， ∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈，∴3 62k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32，故答案为32．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力，属于中档题.10．50【解析】【分析】由条件求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用二倍角公式求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据221234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式计算求得结果．【详解】∵α为锐角，π3cos()65α+=，∴465sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴24sin 22sin cos 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故sin 2sin 21234πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3434ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24725225250=⋅+⋅=50. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11．154,,363⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】()1sin cos sin cos sin 6226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x π=是一条对称轴，2=+62k πππωπ∴-，得()1=+32kk Z ω∈，又()f x 在区间44，ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调， 2T ππω∴=≥，得2ω≤，且462{462πππωπππω--≥--≤，得403ω<≤，154=363ω∴，，，集合表示为154363⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，。

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三(上)第一次月考数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷1一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设集合A ={x|x >2}，B ={x|x <4}，则A ∩B =______．2. 已知f(x)=ln(e 2x +1)+kx 是偶函数，则k =________.3. “x >1”是“x 2>x ”的__________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”) 4. 幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m2−2m+1在区间(0,+∞)上是增函数，则m =______．5. 直线3x +√3y −6=0的倾斜角为_________6. 若命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”是假命题，则实数m 的范围是______．7. 若tanα+1tanα=103,α∈(π4,π2)，则sin (2α+π4)+2cos π4cos 2α的值为．8. 已知函数f(x)={x −1,x <0log 2x −3,x >0，则f(16)+f(−12)=______．9. 如果直线l ：y =kx −1(k >0)与双曲线x 216−y 29=1的一条渐近线平行，那么k = ______ ．10. 将函数f(x)=sin (ωx −π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线x =π对称，则ω的最小值为．11. 已知函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0，若方程f(x)=a(a ∈R)有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 1+x 2)x 4的取值范围是______ ． 12. 如图，已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为___________．13. 已知tanα+2tanα−1=2，则sinα+2cosαsinα−3cosα=______．14. 已知函数f (x )={e x ,x ≤01−x 2,x >0，若关于x 方程，f[f(x)]−1=m 有两个不同的根x 1,x 2，则x 1+x 2的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知p ：函数f(x)=lg(ax 2−x +116a)的定义域为R ；q ：a ≥1.如果命题“p ∨q 为真，p ∧q 为假”，求实数a 的取值范围．16.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A−C=π3，求sin B的值．17.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，两个焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2(1,0)的直线l交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一个定点．18.在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)，看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为400√3平方米，设∠BAC=θ．(1)求BC的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．19.已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=xe x．(1)求f(x)−g(x)的极值；(2)当x∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．20.已知函数f(x)=(ax+b)e x−1的极值点为−1．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若x≥0时，f(x)≥2x−1，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：(2,4)解析：解：集合A={x|x>2}=(2,+∞)；B={x|x<4}=(−∞,4)；∴A∩B=(2,4)．故答案为：(2,4)．根据交集的定义进行求解即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．2.答案：−1解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．根据函数的奇偶性的定义证明即可．【解答】解：f(−x)=ln(e−2x+1)−kx=ln (e2x+1)e2x−kx=ln(e2x+1)−lne2x−kx=ln(e2x+1)−2x−kx=ln(e2x+1)+(−k−2)x =ln(e2x+1)+kx，故−k−2=k，解得：k=−1，故答案为−1.3.答案：充分不必要解析：【分析】本题考查了充分条件与必要条件的判断，为基础题．此题还需解一元二次不等式．解：由x2>x得：x>1或x<0，∴“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．4.答案：2解析：解：若幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−2m+1在区间(0,+∞)上是增函数，则由m2−3m+3=1解得：m=2或m=1，m=2时，f(x)=x，是增函数，m=1时，f(x)=1，是常函数，故答案为：2．根据幂函数的定义求出m的值，判断即可．本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．5.答案：120∘解析：【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：解：设倾斜角为θ，∵直线3x+√3y−6=0，，θ=120∘，故答案为120∘．6.答案：解析：本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题．写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+x0+m<0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2+x+m≥0”，是真命题，即1−4m≤0；解得m≥14，∴m的取值范围是[14,+∞)．故答案为[14,+∞)．7.答案：0解析：【分析】本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，考查和角的正弦公式，考查学生的计算能力，正确运用和角的正弦公式是关键，属基础题．【解答】解：∵tanα+1tanα=103，∴sinαcosα+cosαsinα=103，∴1sin2α=53，∴sin2α=35，∵α∈(π4,π2 )，∴cos2α=−45，=35×√22+(−45)×√22+√22(1−45)=0．故答案为0．8.答案：−1解析：本题考查函数值的求法以及分段函数，考查运算求解能力，属于基础题．推导出f(16)=log 216−3=1，f(−12)=(−12)−1=−2，由此能求出f(16)+f(−12)的值．【解答】解：∵函数f(x)={x −1,x <0log 2x −3,x >0, ∴f(16)=log 216−3=1， f(−12)=(−12)−1=−2， ∴f(16)+f(−12)=1−2=−1．故答案为−1．9.答案：34解析：解：双曲线x 216−y 29=1的渐近线方程为y =±34x ，由直线l ：y =kx −1(k >0)与双曲线x 216−y 29=1的一条渐近线平行，可得k =34．故答案为：34．求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k 的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．10.答案：12解析：【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查图象的平移，属于基础题．依题意，的图象关于直线x =π对称，得ω=3k+24，k ∈Z ，从而求得结果．【解答】解：的图象向左平移π3个单位后得，所以的图象关于直线x =π对称，所以ωπ+ωπ3−π6=kπ+π2，k ∈Z ，ω=3k+24，k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为12，故答案为12．11.答案：[−4,−2)解析：解：由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0与y =a 的图象如下，，结合图象可知，x 1+x 2=−2，0<log 2x 4≤1，故x 1+x 2=−2，1<x 4≤2，故−4≤(x 1+x 2)x 4<−2，故答案为：[−4,−2)．由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0与y =a 的图象，从而可得x 1+x 2=−2，0<log 2x 4≤1，从而解得．本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．12.答案：√2−1解析：【分析】本题考查抛物线与椭圆的综合问题．在研究圆锥曲线问题时，用定义来解题是比较常用的方法.先把对应图形画出来，求出对应焦点和点A 的坐标(都用p 写)，利用椭圆定义求出2a 和2c 就可找到椭圆的离心率．【解答】解：由题可得图，设椭圆另一焦点为E ，因为抛物线y2=4px(p>0)的焦点F(p,0)把x=p代入y2=4px解得y=±2p，所以A(p,2p)又E(−p,0)．故|AE|=2√2p，|AF|=2p，|EF|=2p．所以2a=|AE|+|AF|=(2√2+2)p，2c=2p．椭圆的离心率e=ca=√2−1．故答案为√2−1．13.答案：6解析：解：由tanα+2tanα−1=2，得tanα=4．∴sinα+2cosαsinα−3cosα=tanα+2tanα−3=4+24−3=6．故答案为：6．由已知求得tanα，再由同角三角函数的基本关系式化弦为切求得sinα+2cosαsinα−3cosα的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.答案：[3ln2+1,+∞)解析：【分析】本题考查分段函数，复合函数的运用，再利用分类讨论的思想解题，属于难题．令t=f(x)−1则有t≤0，再分类讨论求出x1+x2的取值范围．【解答】解：f(x)的图象如图所示：令t=f(x)−1，则有t≤0(1)当−12≤t≤0时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)−1，易知−ln2≤x0≤0，由图可知f(x)=x0只有一个解，故不成立；(2)当−1<t<−12时，x有2个解，不妨设此时的解为x3,x4，且x3<x4，则t=f(x3)−1，t=f(x4)−1，即f(x3)=f(x4)，e x3=1−x42，推出x3=ln(1−x42)，所以有x3<−ln2,0<x4<1，由图象可得，f(x)=x3有且仅有一个解，而f(x)=x4只有当12≤x4<1才满足只有一个解，此时满足题意，设x1<0,x2>0，则e x1=x4,1−x22=x3，所以x1=lnx4,x2=1−2x3，所以x1+x2=lnx4+1−2x3=lnx4−2ln(1−x4)+2ln2+1，且12≤x4<1，令g(x)=lnx−2ln(1−x)+2ln2+1，12≤x<1，易知g(x)在定义域上单调增，g(x)min=g(12)=3ln2+1，无最大值，所以g(x)∈[3ln2+1,+∞)；(3)当t≤−1时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)−1，易知x0≥1，由图可知f(x)=x0最多只有一个解，故不成立．综上所述，可知x1+x2的取值范围是[3ln2+1,+∞)．故答案为[3ln2+1,+∞)．15.答案：解：由p真，可知{a>0Δ=1−4a×116a<0，解得a>2，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2．综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．解析：由p真，可知{a>0Δ=1−4a×116a<0，解得a，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．即可解出．本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，∴2sin A+C2cos A−C2=4sin B2cos B2，化简可得cos A−C2=2sin B2，即√32=2sin B2，解得sin B2=√34∴cos B2=√134．∴sinB=2sin B2cos B2=√398．解析：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，故有2sin A+C2cos A−C2=4sin B2cos B2，化简可得sin B2=√34，故cos B2=√134.再根据sinB=2sin B2cos B2，计算求得结果．本题主要考查正弦定理的应用，两角和差的三角公式、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．17.答案：解：(1)∵依题意，{c=1ca=√22，∴c=1,a=√2，∴b=√a2−c2=1，∴椭圆的方程为x22+y2=1；(2)∵设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,−y2)，l：y=k(x−1)，代入x22+y2=1(y≠0)，∴整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，∵由韦达定理可得：x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，∴MQ的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，∵令y=0，∴得x=x1+y1(x2−x1)y1+y2=x1+k(x1−1)(x2−x1)k(x1+x2−2)=2x1x2−(x1+x2)x1+x2−2，代入x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，∴x=2x1x2−(x1+x2)x1+x2−2=2×2k2−21+2k2−4k21+2k24k21+2k2−2=2，即：x=2，∴直线过x轴上的一个定点，定点坐标为(2,0)．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)通过椭圆的离心率与焦距，求出a，c，得到b，即可求出椭圆C的方程；(2)依题意，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,−y2)，l：y=k(x−1)，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合MQ的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，令y=0，化简求解可得x=2，得到直线MQ过x轴上一个定点．18.答案：解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，∴12π(AB2)2=3×12π(AC2)2，∴AB=√3AC，∵S△ABC=12AB⋅AC⋅sinθ=√32AC2sinθ=400√3，∴AC2=800sinθ，∴AB2=2400sinθ，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosθ=3200−1600√3cosθsinθ，∴BC=40√2−√3cosθsinθ．(2)设表演台的造价为y万元，则y=120√2−√3cosθsinθ，设f(θ)=2−√3cosθsinθ(0<θ<π)，则f′(θ)=√3−2cosθsin2θ，∴当0<θ<π6时，f′(θ)<0，当π6<θ<π时，f′(θ)>0，∴f(θ)在(0,π6)上单调递减，在(π6,π)上单调递增，∴当θ=π6时，f(θ)取得最小值f(π6)=1，∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．解析：本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题．(1)根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；(2)根据(1)得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．19.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x+1)(2−e x)，∴ℎ(x)极小值=ℎ(−1)=1e−1，∴ℎ(x)极大值=ℎ(ln2)=ln22；(2)由已知，当x∈(−2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立即a≥x2+2x+1xe x =x+2+x−1e x恒成立，令t(x)=x+2+x−1e ，则t′(x)=−(x2+1)(x+1)x e，∴当x∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，当x∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，故当x∈(−2,0)时，t(x)max=t(−1)=0，∴a≥0．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值；(2)当x∈(−2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立，即a≥x2+2x+1xe x =x+2+x−1e x恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)⋅e x−1，由题意可得f′(−1)=0，即(−a+a+b)e−2=0，解得b=0；则f′(x)=ae x−1(x+1)，当a=0时，函数f(x)=e x−1无极值，不符合题意．当a>0时，f(x)在(−1,+∞)上递增，在(−∞,−1)上递减；当a<0时，f(x)在(−1,+∞)上递减，在(−∞,−1)上递增；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x−1，设g(x)=axe x−1−2x+1，若x≥0时，f(x)≥2x−1，必有g(1)=a−2+1≥0⇒a≥1，故a≥1是命题成立的一个必要条件．当a≥1，x≥0时，g′(x)=ae x−1(x+1)−2，令ℎ(x)=g′(x)ℎ′(x)=ae x−1(x+2)>0，故g′(x)在[0,+∞)单调递增，g′(x)min=g′(0)=ae−2．①当a≥2e时，g′(x)min≤0，g(x)在[0,+∞)单调递增，g(x)≥g(0)=1>0，②当1≤a<2e时，存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=ae x0−1(x0+1)−2=0，且当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)递减，x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0−1−2x0+1=2x0x0+1−2x0+1=5−2(1x0+1+x0+1)．∵x0∈(0,1)，∴令t=x0+1，t∈(1,2)．设函数m(t)=5−2t−2t，t∈(1,2)，又m′(t)=2t2−2≤0，∴m(t)单调递减，∴m(t)>m(2)=0．∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0−1−2x0+1=5−2(1+x0+1)>0，x0+1综上，a的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查不等关系的求解，属于较难题．(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)⋅e x−1，求出b的值，然后对a分类讨论，利用导数求出函数的单调性与极值即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x−1，构造函数g(x)=axe x−1−2x+1，然后利用导数求出函数的单调性与最值，求出a的范围可得答案．。

江苏启东中学2020-2021学年度第一学期高三数学检测试卷

2020/2021学年度第一学期质量检测试卷高三数学 2020.09一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是（） A ．①②③B ．②③C ．②④D ．③④2.设)2,4(=a ，),6(y b =，且//，则=y （） A ．3 B ．12 C ．12- D ．3-3.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是 ( )A 、sin2y x =B 、cos2y x =C 、 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D 、sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____( )A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }5.已知P 为抛物线C ：24y x 上一点，F 为C 的焦点，若4PF ，则ΔOPF 的面积为 ( )B. 3C. 46. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足 ( )A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（）A.12 B. 23 C. 138．设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，A ＝2C ，则△ABC 周长的取值范围为（） A ．（0，2）B ．（0，3]C ．（2，3）D ．（2，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12298C C 种 B ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12299C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种10．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则（）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 211.若函数()f x 对∀a ，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有()()0f a f b +=；（2）当a ＋b ＞0时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有（）A ．()e e x x f x -=+B ．()e e x x f x -=-C ．()sin f x x x =-D ．00()10x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，12. 已知ABC ∆中，1=AB ,4=AC ,13=BC ,D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点.下列结论正确的是（）A.3=BEB.ABC ∆的面积为13C.534=AD D.P 在ABE ∆的外接圆上，则PE PB 2+的最大值为72三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分13．设函数f （x ）（a ＞0且a ≠1），若f （2）＝4，则f （﹣2020）＝ 14.函数f (x )＝ln(－2x －3)的单调递减区间为______________15．已知集合2{|10},{|20}A x mx B x Z x x =-==∈+≤，若A B A =，则满足条件的实数m 的值为____ 。

2020年江苏省南通市启东中学高三数学理模拟试题含解析

2020年江苏省南通市启东中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则()A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数参考答案：B略2. 若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．3. 对于任意，则满足不等式的概率为（）A B C D参考答案：A略4. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，则m=( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得m的值．解答：解：在等比数列中，∵S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，∴a m=S m﹣S m﹣1=﹣11﹣5=﹣16，a m+1=S m+1﹣S m=21﹣（﹣11）=32，则公比q=，∵S m=﹣11，∴，①又，②两式联立解得m=5，a1=﹣1，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．5. 抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．参考答案：B略6. （2﹣i）（﹣2+i）=（）A．﹣5 B．﹣3+4i C．﹣3 D．﹣5+4i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（2﹣i）（﹣2+i）=﹣4+2i+2i﹣i2=﹣3+4i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．7. 函数的最小正周期是（）A． B． C． D．参考答案：B考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.8. 已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题是真命题的是（）A．若，，则 B.若，，则C.若，，则D.若，，则参考答案：B对于答案A，有的可能，故不是真命题；对于答案C，直线也可以与平面相交，不是真命题；对于答案D中的直线，有的可能，故不是真命题，应选答案B。

江苏省启东中学2020届高三数学上学期期中考试Ⅰ 文选修【会员独享】

江苏省启东中学2020届高三期中考试数学试题Ⅰ（选修）2020．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ . 2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6．已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7．若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ . 8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ . 12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a ,处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤ {}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（第11题图）（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o ，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2lDABC1l2lDABC（图甲）（图乙）19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．2020届高三年级期中考试数学Ⅰ（选修物理）2020．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ .2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()f x =式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6．已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =▲ .7．若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、372、327、354、361、345、337，则打印出的第59． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+= （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .（第11题图）12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r ≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .【填空题答案】1. {}1 9，；2. ；3. 0 sin x x x ∀>>，；； 5.(01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14. 1 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求四边形ABCD 的面积．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-u u u r u u u r u u u r u u u r，,()BC x y =u u u r ,, ………………………2分因为//AD BC u u u r u u u r，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分（2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++u u u r u u u r u u u r，，(2 3)BD BC CD x y =+=--u u u r u u u r u u u r ，， ………………6分因为AC BD ⊥u u u r u u u r，所以(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =u u u r ，，(0 4)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 …………………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =u u u r ，，(8 0)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，化简得()sin ωπ+=4 ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即min ωπ=2，所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222sin cos 2sin cos x x x x ωωωω=+-()212sin cos x x ωω=- 211sin 22x ω=-()11cos 4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==，在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a B c c =，由正弦定理得sin sin a B A c =，所以，sin b B c ………………………………………………………………………………7分（2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知不失一般性，可设1c =，则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=，所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o ，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-o ，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-o ，………………………………………1l2l DABC1l2lDABC（图甲）（图乙）2分解得tan α，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 60)sin tan S αα=⋅=+⋅=oo； ………………6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈o o ，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+o，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+o ，……………………………………8分解得sin tan 2cos θαθ=+，……………………………………………………………………………10分所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x=是[)0+∞，上的正函数，且()f x=在[)0+∞，上单调递增，所以当[]x a b∈，时，() ()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即ab=，，…………………………………………………3分解得01a b==，，故函数()f x的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m=+是() 0-∞，上的减函数，所以当[]x a b∈，时，()()g a bg b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a m bb m a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………………7分两式相减得22a b b a-=-，即()1b a=-+，……………………………………………………9分代入2a m b+=得210a a m+++=，由0a b<<，且()1b a=-+得112a-<<-，……………………………………………………11分故关于a的方程210a a m+++=在区间()112--，内有实数解，………………………………13分记()21h a a a m=+++，则()()10102hh->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()314m∈--，．……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()kf n为关于n的k()k∈N次多项式．数列{a n}的首项11a=，前n项和为nS．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）．因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==．而且当2n ≥时，2n n a S +=， ①112n n a S --+=， ②①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数），当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………………………………16分。

江苏省启东中学期初试卷及答案

W(x) = 15+0xx , 2 < x ≤ 5 ，肥料成本投入为 10x 元，其它成本投入 ( 如培育管理、施肥等人工费 )20x
元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 f(x) ( 单位：元 )． ( Ⅰ ) 求 f(x) 的函数关系式； ( Ⅱ ) 当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大? 最大利润是多少?
【答案】A
2 ．在 ABC 中， E 为 AC 上一点， AC 3AE ， P 为 BE 上任一点，若
AP
m AB n AC(m
0, n
0) ，则
3
1
的最小值是（
）
mn
A．9
B．10
C．11 D．12
【答案】D
3．已知
a
R
，则“
a
1 ”是“
1 a
1 ”的（
A．充分非必要条件
1 3
,
1 3
D．
,
1 3
1 3
,
【答案】A
8．若直角坐标平面内 A 、 B 两点满足：①点 A 、 B 都在函数 f (x) 的图象上；②点 A 、 B
关于原点对称，则称点 ( A ，B) 是函数 f (x) 的一个“姊妹点对”.点对 ( A ，B) 与 (B ，A) 可看
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()
A. 图像关于 y 轴对称 C. 在 -∞,0 上单调递增
B. 图像关于原点对称 D. fx 恒大于 0
12. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 的图象连续不断，若存在常数 t(t ∈ R)，使得 f(x + t) + tf(x) = 0 对任意的

江苏省启东市2020届高三下学期期初考试数学试题含附加题(含解析)

的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修 4-2：矩阵与变换] 21．（10 分）已知矩阵�� = [0�� 0��]的一个特征值 λ＝2，其对应的一个特征向量是�� = [11]．求矩阵 M 的另一
2
18．（16
分）已知椭圆��1：
��2 9
+
��2 3
=
1，椭圆��2：
��2 ��2
+
��2 ��2
=
1(��＞��＞0)经过椭圆
C1 的左焦点
F
和上下顶点
A，B．设斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C2 相切，且与椭圆 C1 交于 P，Q 两点．
．
10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 两点在圆 x2+y2＝1 上，若直线�� + �� − √6 = 0上存在点 C，使△
ABC 是边长为 1 的等边三角形，则点 C 的横坐标是
．
11．设
m
为实数，若函数
f（x）＝x2﹣mx﹣2
在区间（﹣∞，2）上是减函数，对任意的
x1，x2∈[1，
璃，则恰好选中 2 名男生的概率为
．
7．已知抛物线 y2＝8x 的焦点恰好是双曲线��2 − ��2 = 1(��＞0)的右焦点，则该双曲线的离心率为
．
�� 2
8．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝6，S6＝﹣8，则 S9＝
．
9．已知 α 是第二象限角，且�� = √55，tan（α+β）＝﹣2，则 tanβ＝

江苏省2020届高三上学期考试数学试卷及答案.doc

高三数学11月考.1数学Ⅰ试题一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB =．2.设幂函数αkx x f =)(的图像经过点），（24，则=+αk ．3.已知复数2i 12++=i z （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为. 4. 若双曲线1422=+-my m x 的虚轴长为2，则实数m 的值为________． 5. 已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则25+++x y x 的取值范围是__________．7..若5cos 26sin 0,,42ππαααπ⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α= ． 8.设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式0)3()12(2≤++x f x f 的解集为.9.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )(0)2A πααα<<,且直线l 与函数()y f x =的图象交于点(,sin )B ββ.若αβπ-=，则tan α的值为. 10.如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为．11.若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点B A ,，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为.（第10题）12.在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，AO →·AE →＝8，则AC →·BD →＝________．13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.14.给出函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，这里R x m b ∈,,，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，且函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为________________．二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本小题满分14分）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . （1）求DBC ∠sin ;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆)40(04222222≤<=-+-++a a a ay ax y x 的圆心为C ，直线m x y l +=:.（1）若4=m ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(]0,4的变化时，求m 的取值范围．17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中ABC ∆的支撑杆CD AB ,由长为3的材料弯折而成，AB 边的长为t 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t (BC AC ,另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为x y cos 1-=)，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN，求椭圆方程．19. (本小题满分16分）若函数)(x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使1)()(21=x f x f 成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数x x g sin )(=是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数12)(-=x x f 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围：（3）己知函数)34()()(2≥-=a a x x h 在定义域]4,34[上为“依赖函数”，若存在实数]4,34[∈x ，使得对任意的R t ∈,不等式4)()(2+-+-≥x t s t x h 都成立，求实数s 的最大值.20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．数学Ⅱ(附加题)1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ=设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.高三数学月考.1 试题Ⅰ一、填空题（每小题5分，计70分） 1.{1,1}- 2.233.i -1 4.3=m 5.充分必耍6.[2，3]7.1-8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-，9.2π10.解析：.由题意，取(0,2)M,3kAM=,因为AE AF=，所以3kAN=-，过原点所以1)N-，所以kMN=11.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-，12. －323解析：由DC→＝13AB→得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，所以AO→＝34AC→＝34⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→＝34AD→＋14AB→.因为E是BD的中点，所以AE→＝12AD→＋12AB→，所以AO→·AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫34AD→＋14AB→·⎝⎛⎭⎪⎫12AD→＋12AB→＝38|AD→|2＋18 |AB→|2＋12AD→·AB→＝32＋92＋12AD→·AB→＝8，所以AD→·AB→＝4，所以AC→·BD→＝⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→·(AD→－AB→)＝|AD→|2－13|AB→|2－23AD→·AB→＝4－13×36－23×4＝－323.13.解析：()()2222211122x ty t yx yx y xy y++-+++=≥++()01t<<12=，即15t=时()2212x yx y+++5=14.[－2，0)∪[4，＋∞)二、解答题（共6道题，计90分）15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x ＋a ）2＋（y －a ）2＝4a （0＜a ≤4），则圆心C 的坐标是（－a ，a ），半径为. 直线l 的方程化为：x －y ＋4＝0.则圆心C 到直线l |2－a |.设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L ＝＝＝.∵0＜a ≤4，∴当a ＝3时，L 的最大值为（2）因为直线l 与圆C ＝，即|m －2a |＝又点C 在直线l 的上方，∴a ＞－a ＋m ，即2a ＞m .∴2a －m ＝m ＝)21－1.∵0＜a ≤4，∴0.∴m ∈1,8⎡--⎣17. 解析： (1)对于曲线C 1，因为曲线AOB 的表达式为y ＝1－cos x ，所以点B 的坐标为(t ，1－cos t)，所以点O 到AB 的距离为1－cos t. 因为DC ＝3－2t ，所以h 1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t －cos t ＋4⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32；对于曲线C 2，设C 2：x 2＝2py ，由题意得p ＝98，故抛物线的方程为x 2＝94y ，即y ＝49x 2，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，49t 2，所以点O 到AB 的距离为49t 2.因为DC ＝3－2t ，所以h 2(t)＝49t 2－2t ＋3⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32. (2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，所以h 1(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，所以当t ＝1时，h 1(t)取得最大值2－cos 1.因为h 2(t)＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫t －942＋34，1≤t≤32，所以当t ＝1时，h 2(t)取得最大值为139.因为2－cos 1≈1.46＞139，所以选用曲线C 1，且当t ＝1时，点O 到点C 的距离最大，最大值为2－cos 1.18.（1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==；（2）①过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，则11NF MFe NN MM ==，又2N F M F =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=，两式相减得220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-，直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c=2212015x y+=．解法二：设(,0)F c，则椭圆方程为2222143x yc c+=，由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143x k x cc c-+=，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y，依题意⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ckx xkk c cx xk+=+-=+由⎧⎨⎩212212324324ckx xkx x c+=+-=解得⎧⎨⎩2122221644316443ck cxkck cxk+=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c ck k k+--⨯=+++，解之得2536k=，即6k=-．直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=，解得c=2212015x y+=．19．解：(1) 对于函数()sing x x=的定义域R内存在16xπ=，则2()2g x=2x无解故()sing x x=不是“依赖函数”；…3分(2) 因为1()2xf x-=在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n--=+=……5分由n>m>0，故20n m m=->>，得0<m<1，从而(2)mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，……7分 (3)①若443a ≤<，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x，舍去；9分 ②若4a ≥故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a = (舍)或133a =……11分从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t∈R，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……13分得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……15分从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20.（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=，令()f x '0=得，1x =或2x =．………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-．………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>，从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>，记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数，所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立．…………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立，所以002x x =，又00x >，所以0x =分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立，因为2x x+≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，………………………………………………14分消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．……………………………………………………………………………16分附加题1、【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . 因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩.所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 2、【解析】易得直线0l y +-=，设点(cos ,3sin )P αα， ∴P 到直线l的距离|3sin |22d αα--==≤=当且仅当ππ2π62k α+=-，即22ππ()3k k α=-∈Z 时取“=”，所以P 到直线l距离的最大值为3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）知每个人积分不低于9分的概率为59．则()3464=0=9729P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ；()2135424080=1=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ； ()22354300100=2=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ；()35125=3=9729P ⎛⎫=⎪⎝⎭ξ．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以6401237297297297293E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ．所以，随机变量ξ的数学期望为53．4、【解析】（1）①当时，，不等式成立.②假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据①，②可知：对所有成立.（2）当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由（1）知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有.。

2023-2024学年江苏省启东市高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省启东市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{3}D．{2，3}2．已知a∈R，若（2+i）（1+ai）为纯虚数，则a＝（）A．−12B．12C．﹣2D．23．已知直线l1：x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣12y﹣4＝0，则“a＝4”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（）A．2375√33πcm3B．4750√33πcm3C．7125√33πcm3D．9500√33πcm35．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y=cos2x−√3sin2x的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增；丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0．如果只有一个假命题，那么该命题是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知奇函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x +b ，则f(20232)=（） A ．−1−√2B ．1−√2C ．√2+1D ．√2−17．若cos(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（）A ．−725B ．−1225C ．725D ．12258．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（） A ．−14B ．0C ．−427 D ．−49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（） A ．a |c |＞b |c | B ．ba ≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a −1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)10．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜311．已知点P 满足|PA|=√2|PB|，点A （﹣1，0），B （1，0），C(0，√7)，则（） A ．当∠PCA 最小时，|PC|=2√2B ．当∠PCA 最大时，|PC|=2√2C ．当△P AB 面积最大时，|PA|=2√2D ．当√2|PC|−|PA|最大时，△P AB 面积为√712．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|= ．14．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f （x ）＝． ①f （x ）的值域为（0，+∞）； ②f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2）； ③∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）16．在平面四边形ABCD 中，AB =AD =√2，BC =CD =1，BC ⊥CD ，将四边形沿BD 折起，使A ′C =√3，则四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为；若点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n =1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（﹣1）n﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（12分）已知函数f(x)=4x+14x +a 为奇函数．（1）解不等式f(x)＞53；（2）设函数g(x)=log 2x 2⋅log 2x4+m ，若对任意的x 1∈[2，8]，总存在x 2∈（0，1]，使得g （x 1）＝f （x 2）成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB．（1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长．20．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°．（1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．21．（12分）已知圆C 过点P(−1，√7)，且与直线x +y ﹣4＝0相切于点A （2，2）．（1）求圆C 的方程；（2）若M 、N 在圆C 上，直线AM ，AN 的斜率之积为﹣2，证明：直线MN 过定点． 22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的实数，且ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b ，证明：e a +e b ＞2．2023-2024学年江苏省启东市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}解：A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}＝{﹣3，2}，故A ∩B ＝{2}．故选：B ．2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2解：（2+i ）（1+ai ）＝2﹣a +（1+2a ）i ，因为a ∈R ，且（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，所以{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：D ．3．已知直线l 1：x ﹣ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣12y ﹣4＝0，则“a ＝4”是“l 1∥l 2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由l 1∥l 2可知1a−1=−a−12，解得a ＝4或a ＝﹣3，当a＝4时，l1：x﹣4y+1＝0，l2：3x﹣12y﹣4＝0，l1∥l2成立，当a＝﹣3时，l1：x+3y+1＝0，l2：﹣4x﹣12y﹣4＝0即x+3y+1＝0，l1与l2重合，所以若l1∥l2，则a＝4，所以“a＝4”是“l1∥l2”的充要条件．故选：C．4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（）A．2375√33πcm3B．4750√33πcm3C．7125√33πcm3D．9500√33πcm3解：根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为3x，2x，因为母线长为10，且母线与底面所成的角为60°，所以圆台的高为10sin60°＝5√3，并且x＝10×12=5，所以圆台的上底面半径为3x＝15，下底面半径为2x＝10，高为5√3．由此可得圆台的体积为V=13π（152+102+15×10）×5√3=2375√3π3（cm3）．故选：A．5．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y=cos2x−√3sin2x的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增；丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0．如果只有一个假命题，那么该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：对于甲，该f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为T2=πω=π2，则f（x）的周期T＝π；对于乙，将函数y=cos2x−√3sin2x=2cos(2x+π3)的图象向右平移π4个单位长度，得到y=2cos[2(x−π4)+π3]=2sin(2x+π3)的图象；对于丙，函数f（x）在区间(−π12，π6)上单调递增；对于丁，函数f（x）满足f(π3+x)+f(π3−x)=0，即f（x）图象关于(π3，0)对称．因为只有乙的条件最具体，所以从乙入手，若乙正确，此时f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k∈Z），与丙的结论矛盾，根据题设“只有一个命题是假命题”，可知这一个假命题只能是乙或丙，若丙是真命题，则甲、丙、丁三个是真命题，由f（x）图象关于(π3，0)对称，且周期为π，可知：在点(π3，0)的左侧且距离最近的f（x）图象的对称轴为x=π12，而π12∈(−π12，π6)，说明f（x）在区间(−π12，π6)上不单调，与丙是真命题矛盾．若乙是真命题，则甲、乙、丁三个都是真命题，此时f(x)=2sin(2x+π3)，最小正周期T＝π，且图象关于(π3，0)对称，甲、乙、丁之间相符合．综上所述，丙不可能是真命题，即唯一的假命题是丙．故选C．6．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则f(20232)=（）A．−1−√2B．1−√2C．√2+1D．√2−1解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f （x ）＝f （2﹣x ）＝﹣f （x ﹣2）＝﹣f [2﹣（x ﹣2）]＝﹣f （4﹣x ）＝f （x ﹣4），即函数f （x ）是以4为周期的周期函数，故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1−√2．故选：B ．7．若cos(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（）A ．−725B ．−1225C ．725D ．1225解：∵cos(α+π6)=35，∴sin(2α+5π6)=sin （2α+π3+π2）＝cos （2α+π3）＝2cos 2（α+π6）﹣1＝2×（35）2﹣1=−725．故选：A ．8．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（） A ．−14B ．0C ．−427 D ．−49解：因为不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，所以f （m ）＝f （m +1）＝0，且x ＝m 为f （x ）＝0的二重根，所以f （x ）＝（x ﹣m ）2[x ﹣（m +1）]，则f ′（x ）＝2（x ﹣m ）[x ﹣（m +1）]+（x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）（3x ﹣3m ﹣2），则当x ＞3m+23或x ＜m 时f ′（x ）＞0，当m ＜x ＜3m+23时f ′（x ）＜0，所以f （x ）在(3m+23，+∞)，（﹣∞，m ）上单调递增，在(m ，3m+23)上单调递减，所以f （x ）在x =3m+23处取得极小值，即f(x)极小值=f(3m+23)=(3m+23−m)2[3m+23−(m +1)]=−427．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（） A ．a |c |＞b |c | B ．ba ≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a −1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)解：选项A．当c＝0时，a|c|＞b|c|不成立，故选项A不正确．选项B．由b+c2a+c2−ba=(b+c2)a−b(a+c2)a(a+c2)=c2(a−b)a(a+c2)＞0，所以ba≤b+c2a+c2，故选项B正确．选项C．由a2−b2−(1a−1b)=(a−b)(a+b)−b−aab=(a−b)(a+b+1ab)＞0，所以a2−b2＞1a−1b，故选项C不正确．选项D．由[√2(a2+b2)]2−(a+b)2=a2+b2−2ab=(a−b)2＞0，所以a+b＜√2(a2+b2)，故选项D正确．故选：BD．10．已知数列{a n}满足a4＝4，a n a n+1＝2n（n∈N*），则（）A．a1＝1B．数列{a n}为递增数列C．a1+a2+…+a2023＝21013﹣3D．1a1+1a2+⋯+1a n＜3解：依题意，a4＝4，a n a n+1=2n，a n=2na n+1，a n+1=2na n，所以a3=23a4=84=2，a2=22a3=42=2，a1=21a2=22=1，A选现正确．所以a3＝a2，所以B选项错误．由a n a n+1=2n得a n+1a n+2=2n+1，两式相除得a n+2a n=2，所以数列{a n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a1+a2+⋯+a2023＝（a1+a3+⋯+a2023）+（a2+a4+⋯+a2022）=1(1−21012)1−2+2(1−21011)1−2=21012−1+21012−2=21013−3，所以C选项正确．由上述分析可知，数列{1a n}的奇数项是首项为1，公比为12的等比数列；偶数项是首项为12，公比为12的等比数列．当n为偶数时，1a1+1a2+⋯+1a n=(1a1+1a3+⋯+1a n−1)+(1a2+1a4+⋯+1a n)，=1(1−12n2)1−12+12(1−12n2)1−12=3−32n2＜3；当n为奇数时，1a1+1a2+⋯+1a n=(1a1+1a3+⋯+1a n)+(1a2+1a4+⋯+1a n−1)，=1(1−12n+12)1−12+12(1−12n−12)1−12=3−22n+12−12n−12＜3，综上所述，1a1+1a2+⋯+1a n＜3，所以D选项正确．故选：ACD．11．已知点P满足|PA|=√2|PB|，点A（﹣1，0），B（1，0），C(0，√7)，则（）A．当∠PCA最小时，|PC|=2√2B．当∠PCA最大时，|PC|=2√2C．当△P AB面积最大时，|PA|=2√2D．当√2|PC|−|PA|最大时，△P AB面积为√7解：设点P（x，y），|PA|=√(x+1)2+y2，|PB|=√(x−1)2+y2，又|PA|=√2|PB|，得√(x+1)2+y2=√2⋅√(x−1)2+y2，化简可得（x﹣3）2+y2＝8，即点P在以M（3，0）为圆心，2√2为半径的圆，又点A（﹣1，0）和点C(0，√7)均在圆外，所以当PC与圆相切时，∠PCA取最值，设切点为Q，则|PC|=√|MC|2−|MP|2=√(3−0)2+(0−√7)2−(2√2)2=2√2，故A，B选项正确；又△P AB的面积S=12|AB|⋅|y P|=|y P|，所以当|y P|最大时，S取最大值，此时P(3，±2√2)，|PA|=√(3+1)2+(2√2)2=2√6，故C选项错误；由|PA|=√2|PB|，所以√2|PC|−|PA|=√2|PC|−√2|PB|=√2(|PC|−|PB|)≤√2|BC|=4，当且仅当P为CB延长线与圆M的交点时，等号成立，又CB延长线方程为y=−√7x+√7，x＞1，联立方程组{y=−√7x+√7(x−3)2+y2=8，解得x1=12（舍），x2＝2，所以P(2，−√7)，此时△P AB的面积为S=|y P|=√7，故D选项正确．故选：ABD．12．已知函数f（x）＝a2x﹣x（a＞0，a≠1），则下列结论中正确的是（）A．函数f（x）恒有1个极值点B．当a＝e时，曲线y＝f（x）恒在曲线y＝lnx+2上方C．若函数f（x）有2个零点，则1＜a＜e 1 2eD．若过点P（0，t）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，则0＜t＜1解：f（x）＝a2x﹣x（a＞0，a≠1），f′（x）＝2a2x lna﹣1，对于A：因为a2x＞0恒成立，所以当a∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，所以此时不存在极值点，A错误；对于B：当a＝e时，f（x）＝e2x﹣x，令g（x）＝f（x）﹣（lnx+2）＝e2x﹣x﹣lnx﹣2，下面先证明：e x≥x+1和lnx≤x﹣1，令f1(x)=e x−x−1，则f1′(x)=e x−1＞0⇒x＞0，所以f1（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以f1（x）≥f1（0）＝0，所以e x≥x+1，当且仅当x＝0时，取到等号；令f2（x）＝lnx﹣x+1，则f2′(x)=1x−1＞0⇒0＜x＜1，所以f2（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f2（x）≤f2（1）＝0，所以lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时，取到等号，由上结论可得：e2x≥2x+1，﹣lnx≥﹣x+1，因为不能同时取等，所以两式相加可得：e2x﹣lnx＞x+2，即e2x﹣lnx﹣x﹣2＞0恒成立，即g（x）＞0恒成立，所以y＝f（x）恒在曲线y＝lnx+2上方，B正确；对于C：函数f（x）有2个零点等价于方程a2x﹣x＝0有两个根，即a2x=x⇒lna2x=lnx⇒2xlna=lnx⇒2lna=lnxx有两个根，令ℎ(x)=lnxx，则ℎ′(x)=1−lnxx2＜0⇒x＞e，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以ℎ(x)max=ℎ(e)=1e，当x→0时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→0，所以要使得2lna=lnxx有两个根，则2lna∈(0，1e)，所以0＜lna＜12e⇒1＜a＜e12e，所以C正确；对于D：设切点坐标为(x0，a2x0−x0)，则k=f′(x0)=2a2x0lna−1，又因为切线经过点P（0，t），所以k=a2x0−x0−tx0，所以2a2x0lna−1=a2x0−x0−tx0，解得t=a2x0−a2x0lna2x0，令m=a2x0，则m∈（0，+∞），所以t＝m﹣mlnm，因为过点P（0，t）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，所以方程t＝m﹣mlnm有两个不同的解，令φ（m）＝m﹣mlnm，则φ′（m）＝﹣lnm＞0⇒0＜m＜1，所以φ（m）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以φ（m）max＝φ（1）＝1，当m→0时，φ（m）→0，当m→+∞时，φ（m）→﹣∞，所以要使得方程t ＝m ﹣mlnm 有两个根，则t ∈（0，1），D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|=√52．解：由于a →与b →共线，所以λ×2=1×(−1)，λ=−12，a →=(−12，1)，a →−b →=(−12，1)−(−1，2)=(12，−1)，所以|a →−b →|=√14+1=√52．故答案为：√52． 14．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f （x ）＝（12）x +1（答案不唯一）．①f （x ）的值域为（0，+∞）； ②f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2）； ③∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．解：由∀x ∈R ，f ′（x ）＜0，即函数f （x ）在R 上单调递减，又函数f （x ）的值域为（0，+∞），可设f(x)=a ⋅(12)x ，a ＞0，又f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2），即a ⋅(12)x 1+x 2=2a ⋅(12)x 1⋅a ⋅(12)x 2=2a 2(12)x 1+x 2，即a ＝2a 2，解得a =12，所以f(x)=12⋅(12)x =(12)x+1．故答案为：（12）x +1（答案不唯一）．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 5 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即e −0.08t =23，所以−0.08t =ln 23，解得t =−252×(ln2−ln3)≈252×(0.7−1.1)=5，所以大约需要等待5分钟．故答案为：5．16．在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√3，则四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为3π；若点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为23．解：如图所示：因为AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，所以BE=CE=DE=√22，AE=√AD2−DE2=√(√2)2−(√22)2=√62，且AC⊥BD，点E为△BCD外接圆的圆心，所以四面体A′﹣BCD的外接球的球心O一定在过点E且垂直面BCD的直线上，如图不妨设GE⊥面BCD，A′F⊥面BCD，四面体A′﹣BCD的外接球的半径OE=ℎ，OB=R=√OE2+EB2=√ℎ2+12，FE＝x，则由对称性可知点F也在直线CE上且A′F⊥FC，A′F＝2OE＝2h，由题意A′E=AE=√62，FC=FE+EC=x+√22，A′C=√3，在Rt△A′FE中，有A′F2+FE2＝A′E2，即x2+(2ℎ)2=32，在Rt△A′FC中，有A′F2+FC2＝A′C2，即(x+√22)2+(2ℎ)2=3，联立以上两式解得x=√22，ℎ=12，所以R=√ℎ2+12=√14+12=√32，从而四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为S=4πR2=4π×(√32)2=3π；如图所示：由题意将上述第一空中的点E用现在的点F来代替，而现在的点E为线段BD的靠近点B的三等分点，此时过点E 作球O 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小，设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =√R 2−d 2，所以只需球心到截面的距离为d 最大即可，而当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离为d 最大，即d max ＝OE ，由以上分析可知此时OO 1=FE =FB −BE =12BD −13BD =√26，OF =12，OE =√14+118=√116，R =√32，所以r =r min =√R 2−OE 2=√34−1136=23．故答案为：3π；23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n =1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（﹣1）n ﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）因为a n+1n+1−a n n=1n(n+1)⇒a n+1n+1−a n n =1n −1n+1⇒a n+1+1n+1=a n +1n，所以{a n +1n }是常数列，所以a n +1n =a 1+11=2，所以a n ＝2n ﹣1．（2）b n =(−1)n−14n a n a n+1=(−1)n−14n (2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，S n =(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1，当n 为奇数时，S n =(1+13)−(15+12)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，所以S n =2n+1+(−1)n−12n+1．18．（12分）已知函数f(x)=4x+14x +a 为奇函数．（1）解不等式f(x)＞53；（2）设函数g(x)=log 2x 2⋅log 2x4+m ，若对任意的x 1∈[2，8]，总存在x 2∈（0，1]，使得g （x 1）＝f （x 2）成立，求实数m 的取值范围．解：（1）根据条件可知，4x +a ≠0，当a ≥0时，函数的定义域为R ，又函数f(x)=4x+14x +a为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以4−x +14−x +a=−4x +14x +a在R 上恒成立，即（a +1）（4x +1）＝0，a ＝﹣1（舍），当a＜0时，x≠log4（﹣a），函数的定义域为（﹣∞，log4（﹣a））∪（log4（﹣a），+∞），又函数f(x)=4x+14x+a为奇函数，所以log4（﹣a）＝0，a＝﹣1，此时f(x)=4x+14x−1，满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数成立，所以f(x)=4x+14x−1=1+24x−1，所以函数f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，所以f(x)＞53=f(1)，解得0＜x＜1，所以不等式的解集为{x|0＜x＜1}．（2）由（1），得f(x)=4x+14x−1在x∈（0，1]的值域A=[53，+∞)，又g(x)=log2x2⋅log2x4+m=(log2x−1)(log2x−2)+m，x∈[2，8]．设t＝log2x，t∈[1，3]，则y＝（t﹣1）（t﹣2）+m＝t2﹣3t+2+m，当t=32时，取最小值为−14+m，当x＝3时，取最大值为2+m，即g（x）在x∈[2，8]上的值域B=[−14+m，2+m]，又对任意的x1∈[2，8]，总存在x2∈（0，1]，使得g（x1）＝f（x2）成立，所以B⊆A，所以−14+m≥53，解得m≥2312，所以m的取值范围为[2312，+∞)．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A+tan B=−√3cacosB．（1）求角A；（2）已知a＝7，D是边BC的中点，且AD⊥AB，求AD的长．解：（1）因为tan A+tan B=−√3cacosB，所以sinAcosA+sinBcosB=−√3cacosB，由正弦定理得，sinAcosA+sinBcosB=−√3sinCsinAcosB，因为sinAcosA+sinBcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinCcosAcosB，所以sinCcosAcosB=−√3sinCsinAcosB，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，又cos B ≠0，所以tan A =−√3，因为0＜A ＜π，所以A =2π3．（2）因为D 是边BC 的中点，所以BD ＝CD =12BC =72，因为AD ⊥AB ，所以∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD =2π3−π2=π6，在Rt △ABD 中，sin B =AD BD =AD 72=2AD7，在△ACD 中，由正弦定理知，AD sinC=CD sin∠DAC，所以sin C =ADsin∠DAC CD =AD×1272=AD7，在△ABC 中，由正弦定理知，b sinB=c sinC=a sin∠BAC=√32=√3，所以b 2AD 7=c AD 7=√3，所以b =4AD 3，c =2AD3，在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以49＝b 2+c 2﹣2bc ×cos 2π3，即b 2+c 2+bc ＝49，所以（√3）2+（√3）24AD 3×2AD3=49，解得AD =√212．20．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°．（1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．证明：（1）连接OM，MN，BM，因为M，N是底面半圆弧AB̂上的两个三等分点，所以有∠MON＝∠NOB＝60°，又因为OM＝ON＝OB＝2，所以△MON，△NOB都为正三角形，所以MN＝NB＝BO＝OM，即四边形OMNB是菱形，记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，因为∠PON＝60°，OP＝ON，所以三角形OPN为正三角形，所以PQ=√3=12BM，所以PB⊥PM，因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB⊥P A，因为PM∩P A＝P，PM，P A⊂平面P AM，所以PB⊥平面P AM；解：（2）因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，由（1）知Q为ON的中点，△OPN为正三角形，所以PQ⊥ON，所以PQ⊥底面ABM，因为四边形OMNB是菱形，所以MB⊥ON，即MB、ON、PQ两两互相垂直，以点Q为坐标原点，QM，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，−1，0)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，N(0，1，0)，A(√3，−2，0)，P(0，0，√3)，所以PM →=(√3，0，−√3)，OP →=(0，1，√3)，OB →=(−√3，1，0)，设平面P AB 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅OP →=0m →⋅OB →=0，所以{y +√3z =0−√3x +y =0，令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，所以m →=(1，√3，−1)，设直线PM 与平面P AB 的所成角为θ，所以sinθ=|cos〈PM →，m →〉|=√3+√36×5=√105，故直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值为√105． 21．（12分）已知圆C 过点P(−1，√7)，且与直线x +y ﹣4＝0相切于点A （2，2）．（1）求圆C 的方程；（2）若M 、N 在圆C 上，直线AM ，AN 的斜率之积为﹣2，证明：直线MN 过定点．解：（1）设C （a ，b ），直线l ：x +y ﹣4＝0即y ＝﹣x +4，由圆C 与直线相切于A （2，2），则CA ⊥l ，即b−2a−2×(−1)=−1，可得b ＝a ，又圆C 过点P(−1，√7)，所以|CP |＝|CA |，即√(a +1)2+(b −√7)2=√(a −2)2+(b −2)2，解得a ＝b ＝0，所以圆心C （0，0），半径|CA|=√(0−2)2+(0−2)2=2√2，所以圆C 的方程为x 2+y 2＝8；（2）当直线MN 斜率存在时，设MN ：y ＝kx +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线与圆{y =kx +mx 2+y 2=8，得（1+k 2）x 2+2kmx +m 2﹣8＝0，则Δ＝（2km ）2﹣4（1+k 2）（m 2﹣8）＝﹣4m 2+32+32k 2＞0，即8k 2﹣m 2+8＞0， x 1+x 2=−2km 1+k 2，x 1x 2=m 2−81+k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+k2，y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=−8k2+m2 1+k2，又k AM=y1−2x1−2，k AN=y2−2x2−2，所以k AM⋅k AN=(y1−2)(y2−2)(x1−2)(x2−2)=y1y2−2(y1+y2)+4x1x2−2(x1+x2)+4=−8k2+m2−4m+4+4k2m2−8+4km+4+4k2=−2，即4k2+3m2+8km﹣4m﹣4＝0，则（2k+m﹣2）（2k+3m+2）＝0，解得m＝2﹣2k或m=−23k−23，都满足Δ＞0，所以方程为y＝kx+2﹣2k或y=kx−23k−23，即y﹣2＝k（x﹣2）或y+23=k(x−23)，当直线方程为y﹣2＝k（x﹣2）时，恒过点A（2，2），不成立，当直线方程为y+23=k(x−23)时，恒过(23，−23)；当直线MN斜率不存在时，设直线MN：x＝x0，则M（x0，y0），N（x0，﹣y0），x02+y02=8，则k AM=y0−2x0−2，k AN=−y0−2x0−2，所以k AM⋅k BM=y0−2x0−2⋅−y0−2x0−2=4−y02x02−4x0+4=x02−4x02−4x0+4=−2，解得：x0＝2（舍）或x0=23，即MN方程为x=23，仍过(23，−23)，综上所述，直线MN恒过定点(23，−23)．22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的实数，且ae b﹣be a＝e a﹣e b，证明：e a+e b＞2．解：（1）由f(x)=1+lnxx得，f′(x)=−lnxx2，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．故f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）．（2）将ae b﹣be a＝e a﹣e b变形为a+1e a=b+1e b．令e a＝m，e b＝n，则上式变为1+lnmm=1+lnnn，即有f（m）＝f（n），于是命题转换为证明：m+n＞2．不妨设m＜n，由（1）知0＜m＜1，n＞1．要证m+n＞2，即证n＞2﹣m＞1，由于f（x）在（1，+∞）上单调递减，故即证f（n）＜f（2﹣m），由于f（m）＝f（n），故即证f（m）＜f（2﹣m），即证f（m）﹣f（2﹣m）＜0在0＜m＜1上恒成立．令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），x∈（0，1），则g′(x)=f′(x)+f′(2−x)=−lnxx2−ln(2−x)(2−x)2=−(2−x)2lnx+x2ln(2−x)x2(2−x)2，=−(4−4x+x2)lnx+x2ln(2−x)x2(2−x)2=−(4−4x)lnx+x2ln[(2−x)x]x2(2−x)2≥0，所以g（x）在区间（0，1）内单调递增，所以g（x）＜g（1）＝0，即m+n＞2成立．所以e a+e b＞2．。

江苏启东中学2020-2021学年度第一学期高三数学检测试卷

2020/2021学年度第一学期质量检测试卷高三数学 2020.09一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是（） A ．①②③B ．②③C ．②④D ．③④2.设)2,4(=a ，),6(y b =，且//，则=y （） A ．3 B ．12 C ．12- D ．3-3.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是 ( )A 、sin2y x =B 、cos2y x =C 、 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D 、sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____( )A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }5.已知P 为抛物线C ：24y x 上一点，F 为C 的焦点，若4PF ，则ΔOPF 的面积为 ( )B. 3C. 46. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足 ( )A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（）A.12 B. 23 C. 138．设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，A ＝2C ，则△ABC 周长的取值范围为（） A ．（0，2）B ．（0，3]C ．（2，3）D ．（2，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12298C C 种 B ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12299C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种10．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则（）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 11.若函数()f x 对∀a ，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有()()0f a f b +=；（2）当a ＋b ＞0时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有（）A ．()e exxf x -=+ B ．()e e x xf x -=-C ．()sin f x x x =-D ．00()10x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，12. 已知ABC ∆中，1=AB ,4=AC ,13=BC ,D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点.下列结论正确的是（）A.3=BEB.ABC ∆的面积为13C.534=AD D.P 在ABE ∆的外接圆上，则PE PB 2+的最大值为72三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分13．设函数f （x ）（a ＞0且a ≠1），若f （2）＝4，则f （﹣2020）＝ 14.函数f (x )＝ln(－2x －3)的单调递减区间为______________15．已知集合2{|10},{|20}A x mx B x Z x x =-==∈+≤，若A B A =，则满足条件的实数m 的值为____ 。

精品解析：江苏省南通市启东市启东中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期终考试高二数学考试时间：120分钟；试卷分值：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是( ) A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离【答案】C【解析】【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d ，然后求出R ﹣r 和R+r 的值，判断d 与R ﹣r 及R+r 的大小关系即可得到两圆的位置关系．【详解】把圆x 2+y 2﹣2x ＝0与圆x 2+y 2+4y ＝0分别化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2＝1，x 2+（y+2）2＝4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R ＝2和r ＝1，∵圆心之间的距离d ==，则R+r ＝3，R ﹣r ＝1，∴R﹣r ＜d ＜R+r ，∴两圆的位置关系是相交．故选C ．【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.2.“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用等比中项公式及充分必要条件判断求解．【详解】解：m Q 是两个正数2和8的等比中项，4m ∴==±．故4m =是4m =±的充分不必要条件，即“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中项有两个． 3.下列命题中，不正确的是（）A. 若a b >，c d >，则a d b c ->-B. 若22a x a y >，则x y >C. 若a b >，则11a b a >- D. 若110a b<<，则2ab b < 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质、特殊值法可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项，c d >Q ，d c ∴->-，又a b >Q ，由不等式的性质得a d b c ->-，A 选项中的不等式正确；对于B 选项，若22a x a y >，则20a >，x y ∴>，B 选项中的不等式正确；对于C 选项，取0b =，则11a b a =-，C 选项中的不等式不成立；对于D 选项，110a b<<Q ，110a b ∴->->，则0b a ->->，则0b a <<， 2b ab ∴>，D 选项中的不等式正确.故选C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的方法有：不等式的基本性质、特殊值法、比较法，在判断时可根据不等式的结构选择合适的方法，考查推理能力，属于中等题.4.在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为()*n S n N ∈，且满足315S S =，则n S 的最大项为（）A. 7SB. 8SC. 9SD. 10S【答案】C【解析】【分析】由已知结合等差数列的求和公式可得，45150a a a +++=L ，由等差数列的性质可知，9100a a +=，结合已知可得90a >，100a <，即可判断．【详解】解：等差数列{}n a 中，且满足315S S =，∴45150a a a +++=L ，由等差数列的性质可知，9100a a +=，∵首项10a >，公差0d ≠，∴0d <，∴90a >，100a <，则n S 的最大项为9S ．故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．5.若两个正实数x ，y 满足4 x y xy +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（） A . (1,4)-B. (,1)(4,)-∞-+∞UC. (4,1)-D. (,0][3,)-∞+∞U【答案】B【解析】【分析】利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m 的一元二次不等式的解集即可得到答案．【详解】解：∵4 x y xy +=， ∴141x y+=， ∴4y x +=144y x x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭424y x x y =++24≥+=，当且仅当44y x x y =即2x =，8y =时等号成立， ∵234y x m m +<-有解， ∴2min34y x m m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭， ∴243m m <-，即()()410m m -+>，解得1m <-，或4m >，故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，考查“1”的代换，属于基础题．6. 在三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC ，∠BAC＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )A. 15B. 25C. 55D. 255【答案】C【解析】试题分析：以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：A （0，0，0），B （1，0，0），P （0，0，2）， 1(,0,0),2D 11(,,0),22E 1(0,,1)2F ， (0,0,2),AP ∴=u u u r 1(0,,0),2DE =u u u r 11(,,1)22DF =-u u u r ，设(,,)n x y z =r 是平面DEF 的一个法向量，则即10211022{y x y z =-++=，取x ＝1, 则1(1,0,)2n =r ，设PA 与平面 DEF 所成的角为θ，则 sinθ＝．考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算．点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则简化了证明过程．7.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，若这两曲线的一个交点P 满足PF x ⊥轴，则a =（） A. 21 B. 21 C. 12 D. 22【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程得F 点坐标，得c ；根据PF x ⊥轴可知PF 既是抛物线通径长的一半，又是双曲线通径长的一半，从而可得,a b 的关系；通过222+=a b c 构造出关于a 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：()1,0F ，即1c =PF x ⊥Q 轴 PF ∴为抛物线通径长的一半 2PF ∴= 又PF 为双曲线通径长的一半，即22b a= 22b a ∴= 由222+=a b c 得：221a a +=，解得：12a =-12a =-+本题正确选项：A【点睛】本题考查双曲线和抛物线的几何性质的应用，属于基础题.8.已知F 是椭圆22x C y 12+=：的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点()Q 4,3，则PQ PF +的最大值为( ) A. 2 B. 32 C. 34 D. 42【分析】由题意，设椭圆C 的右焦点为()F'1,0，由已知条件推导出PQ PF PQ 22PF'+=+-，利用Q ，F'，P 共线，可得PQ PF +取最大值．【详解】由题意，点F 为椭圆22x C y 12+=：的左焦点，()F 1,0∴-， Q 点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，设椭圆C 的右焦点为()F'1,0，PQ PF PQ 22PF'2∴+=+-=2PQ PF'+-，PQ PF'QF'32-≤=Q ， PQ PF 52∴+≤，即最大值为52，此时Q ，F'，P 共线，故选A ．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.在下列函数中，最小值是2的函数有（）A. ()221f x x x =+ B. ()1cos 0cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ C. ()223f x x =+ D. ()4323x x f x =+-【分析】根据基本不等式成立的条件,可分别判断四个选项是否满足最小值为2.【详解】对于A,2210,x x >>且2211x x ⋅=,满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知()2212f x x x =+≥=,当且仅当221x x =,即1x =±时取等号,所以A 正确; 对于B, 1cos 0,00cos 2x x x π⎛⎫>><< ⎪⎝⎭,且1cos 1cos x x ⋅=.满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知()1cos 2cos f x x x =+≥=.当且仅当1cos cos x x =,即0x =时取等号,因为02x π<<所以取不到等号,即B 错误;对于C, ()22f x ===0>>,且1=.满足都是正数且乘积为定值. 由基本不等式可知()2f x =≥=.=即220x +=时取等号,因为方程无解,所以取不到等号,即C 错误;对于D, 430,03x x >>且4343x x ⋅=,满足都是正数且乘积为定值. 由基本不等式可知()432223x x f x =+-≥=.当且仅当433x x =,即332,log 2x x ==时取等号 ,所以D 正确; 综上可知最小值是2的函数有AD故答案为: AD【点睛】本题考查了根据基本不等式求函数的最值,注意”一正二定三相等”的成立条件,属于基础题. 10.下面命题正确的是（）A. “1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B. 命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”.C. 设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D. 设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B 的正误．【详解】解：对于A ，1110a a a -<⇔>()10a a ⇔->0a ⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错；对于D ，00ab a ≠⇔≠，且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对；故选：ABD ．【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题．11.如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD -中, O 为底面正方形的中心, M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,有下列结论正确的有：( )A. PD ∥平面OMNB. 平面PCD ∥平面OMNC. 直线PD 与直线MN 所成角的大小为90oD. ON PB ⊥【答案】ABD【解析】【分析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD ∥平面OMN ，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C ，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON ∥PD ，所以只需证明PD ⊥PB ，利用勾股定理证明即可.【详解】选项A,连接BD ，显然O 为BD 的中点，又N 为PB 的中点，所以PD ∥ON,由线面平行的判定定理可得，PD ∥平面OMN ；选项B, 由M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,得MN ∥AB,又底面为正方形，所以MN ∥CD ，由线面平行的判定定理可得，CD ∥平面OMN,又选项A 得PD ∥平面OMN ，由面面平行的判定定理可得，平面PCD ∥平面OMN ；选项C,因为MN ∥CD ，所以∠ PDC 为直线PD 与直线MN 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=60o ，故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60o ；选项D ，因底面为正方形，所以222AB AD BD +=,又所有棱长都相等，所以222PB PD BD +=,故PB PD ⊥,又 PD ∥ON ，所以ON PB ⊥，故ABD 均正确.【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．12.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A. 3m =B. 767173a =⨯C. 1(31)3j ij a i -=-⨯ D. ()1(31)314n S n n =+- 【答案】ACD【解析】【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案.【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的；又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a m a i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++L L L L11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---L 1(231)(31)22n n n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD.【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“∃x 0∈R, 200410-+<x ax ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】[]4,4-【解析】【分析】由题得“∀x 0∈R, 200410x ax -+≥”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于a 的不等式，解不等式即得解.【详解】由题得“∀x 0∈R, 200410x ax -+≥”为真命题,所以2160a -≤，所以44a -≤≤.故答案为[]4,4-【点睛】本题主要考查特称命题的否定，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.点(),P x y |346|10x y --=，则点P 的轨迹为__________，离心率为________．【答案】 (1). 椭圆 (2).12【解析】【分析】直接根据椭圆的第二定义即可得出结论．|346|10x y --=12=， ∴点P 到定点()2,2的距离与到定直线3460x y --=的距离之比为()10,12∈，∴点P 的轨迹为椭圆，其离心率为12，故答案为：椭圆，12．【点睛】本题主要考查椭圆的第二定义的应用，属于基础题． 15.设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M 、N .若以MN 为直径的圆经过点2F 且22MF NF =，则双曲线的离心率为________.【解析】【分析】由题意可得2MNF ∆为等腰直角三角形，设22MF NF m ==，则MN =，结合双曲线的定义可得4MN a =，再由勾股定理可得离心率．【详解】解：如图，设H 为线段MN 的中点，由题意可得2MNF ∆为等腰直角三角形，12HF F ∆为直角三角形，设22MF NF m ==，则2MN m =，由双曲线的定义可得212MF MF a -=，122NF NF a -=，又11NF MN MF =+， ∴4MN a =24m a =，则22m a =，∴122MF MF a =-222a a =-，∴1122HF MF MH a =+=，2122HF MN a ==，在12Rt HF F ∆中，由勾股定理可得()222244aa c +=，即223a c =，∴3c a =， ∴离心率3==c e a， 3【点睛】本题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．16.已知圆22:4O x y +=，点P 是圆222(1)(1)x y r -+-=上一动点，若在圆O 上存在点Q ，使得30QPO ∠=︒，则正数r 的最大值为________.【答案】42【解析】【分析】分析可得(),P x y 满足2216x y +≤，结合条件可得圆222(1)(1)x y r -+-=与圆2216x y +=内切，从而可得答案．【详解】解：要使r 最大，考虑点P 在圆O 外，若在圆O 上存在点Q ，使得30QPO ∠=︒，当直线PQ 与圆O 相切时，QPO ∠有最大值， ∴21sin 302OQ OP OP =≥︒=，即4OP ≤，则(),P x y 满足2216x y +≤，又点P 是圆222(1)(1)x y r -+-=上一动点，由图可知，圆222(1)(1)x y r -+-=与圆2216x y +=内切， 22141r +=-，即42r = 故答案为：42【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查推理能力，考查数形结合思想，属于中档题．四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{}()(1)0B x x a x a =---<，a R ∈.（1）若“1B ∈”是真命题，求实数a 取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）01a <<（2）[]1,2-【解析】【分析】（1）解不等式即得a 的取值范围；（2）先化简B {}1x a x a =<<+,由题得B 是A 的真子集，解不等式组113a a ≥-⎧⎨+≤⎩得解. 【详解】解：（1）若“1B ∈”是真命题，则()10a a --<，得01a <<.（2）()(){}10B x x a x a =---<{}1x a x a =<<+，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，即113a a ≥-⎧⎨+≤⎩，即12a a ≥-⎧⎨≤⎩，得-12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2-.【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查充要条件和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，短轴长为4． (1)求椭圆方程；(2)过(2,1)P 作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长．【答案】(1)221164x y +=；(2) 240x y +-=，【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组解出a ，b ，c 即可；（2）设以点P （2，1）为中点的弦与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法求出k ，然后求出直线方程，联立解方程组，求出A ，B ，再求出|AB |．【详解】(1)由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴长为8，短轴长为4，得28,24a b ==，所以4,2a b ==，所以椭圆方程为221164x y +=． (2)设以点(2,1)P 为中点的弦与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=.1122(,),(,)A x y B x y Q 在椭圆上，所以22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，所以AB 的斜率为212112y y k x x -==--， ∴点(2,1)P 为中点的弦所在直线方程为240x y +-=. 由221164240x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得240x x -=，所以02x y =⎧⎨=⎩或40x y =⎧⎨=⎩，所以||AB ==．【点睛】本题考查椭圆的方程，直线方程的求法，弦长公式，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．19.某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润y （万元）与使用年数()*x x ∈N 的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？【答案】（1）()251936y x x =--+，*x ∈N （2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润35万元【解析】【分析】（1）运用等差数列前n 项和公式可以求出x 年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润y （万元）与使用年数()*x x ∈N 的函数关系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值. 【详解】解：（1）由题意知，x 年总收入100x 万元 x 年维护总费用为10(123)5(1)x x x ++++=+L 万元.∴总利润1005(1)180y x x x =-+-，*x ∈N即()251936y x x =--+，*x ∈N（2）年平均利润为36595y x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∵0x >，∴3636212x x x x +≥⋅= 当且仅当36x x =，即6x =时取“=” ∴35y x≤ 答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.20.如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）32 【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB u u u r u u u r u u u r 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B Bb =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值.【详解】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB u u u r u u u r u u u r 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2b B C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=u u u r u u u u r ，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==u u u r u u u u r u u u r ，设111(,,)m x y z =u r 是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩u u u v v v u u uv v ，设222(,,)n x y z =r 是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩u u u u v v v u u u v v ，二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为12m n m n⋅==⋅u r r u r r ，所以二面角1B EC C --. 【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.21.设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项，{}n a 的前n 项和为()21352n S n n =+，{}n b 是等比数列，34b =且632b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和为n T . 【答案】（1）31n a n =+；()1*,2n n b n N -=∈（2）137142n n -+- 【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n a ，根据定义求出数列{}n b 的公比，从而可求出n b ；（2）由题意得1312n n n c -+=，再用错位相减法求和即可．【详解】解：（1）当1n =时，1a =1S =4；当2n ≥时，()22111353(1)5(1)22n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦1[3(21)5]312n n =-+=+，且14a =亦满足此关系，∴{}n a 的通项为()*31,n a n n N=+∈，设{}n b 的公比为q ，则3638b q b ==，则2q =， ∴()31*32n n n b b q n N --=⋅=∈；（2）由题意，1312n n n n a n c b -+==，而214710323112422n n n n n T ---+=+++⋯++， 27101331281242n n n T -+=++++L ，两式相减，有21111318312422n n n n T --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L ， 2111313783214222n n n n n ---++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,直线y x =被椭圆C 截得的线段长为5. （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴y 轴分别交于,M N 两点.①设直线,BD AM 斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；②求OMN ∆面积的最大值.【答案】(1)2214x y +=. (2) ①证明见解析，12λ=-；②98. 【解析】试题分析：（1）首先由题意得到2a =，即224ab =.将y x =代入2224x y a +=可得x =±，=，可得2a =.1b =得解. （2）（ⅰ）注意从确定12,k k 的表达式入手，探求使12k k λ=成立的λ.设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，得到1211121144y y y k x x k x +==-=+，根据直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+，令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x .得到1212y k x =-. 由1212k k =-，作出结论. （ⅱ）直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+，从确定OMN ∆的面积表达式11111393248S x y x y =⨯⨯=入手，应用基本不等式得解. 试题解析：（1=224a b =. 椭圆C 的方程可化简为2224x y a +=. 将y x =代入可得x =±，55=，可得2a =. 因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）（ⅰ）设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB k y x =，又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-，设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mk x x k+=-+，因此121222()214m y y k x x m k +=++=+，由题意知，12x x ≠ 所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，所以直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+，令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x . 可得1212y k x =-. 所以1212k k =-，即12λ=-. 因此存在常数12λ=-使得结论成立. （ⅱ）直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -，由（ⅰ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393248S x y x y =⨯⨯=，因为22111114x x y y ≤+=，当且仅当1122x y ==时等号成立，此时S 取得最大值98，所以OMN ∆的面积的最大值为98. 考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用.。

【精准解析】江苏省启东市2020届高三下学期期初考试数学试题

2019～2020学年第二学期高三期初考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则UA =____.【答案】{}2,3 【解析】【分析】结合所给的集合和补集的定义，可得U A 的值.【详解】解：由全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，可得：{}2,3U A =，故答案为：{}2,3.【点睛】本题主要考查集合和补集的定义，相对简单. 2.复数3ii+（i 是虚数单位）的虚部为____. 【答案】3- 【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可得原复数的虚部. 【详解】解：(3)313131i i i ii ii i +⨯+-+===-⨯-，故原复数的虚部为3-，故答案为：3-.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 3.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____. 【答案】9 【解析】【分析】先求出抽样比，由此可求出高三年级应抽取的学生人数.【详解】解：由题意可得：抽样比30111001000900100f ==++，故高三年级应抽取的学生人数为：19009100⨯=，故答案为：9.【点睛】本题主要考查分层抽样的相关知识，求出抽样比是解题的关键. 4.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5.函数()22log 43y x x =+-的定义域为____.【答案】()14-, 【解析】【分析】由对数函数真数大于0，列出不等式可得函数的定义域. 【详解】解：由题意得：2043x x +-＞，解得：4x -1＜＜，可得函数的定义域为：()14-,，故答案为：()14-,.【点睛】本题主要考查函数的定义域及解一元二次不等式，属于基础题型.6.劳动最光荣.某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为____. 【答案】310【解析】【分析】分别计算出从5名学生中选出 2名学生的选法，与从3名男生选出 2名男生的选法，可得恰好选中2名男生的概率.【详解】解：由题意得：从5名学生中选出 2名学生，共有2510C =种选法；从3名男生选出 2名男生，共有233C =种选法，故可得恰好选中2名男生的概率为：2325310C C =，故答案为：310【点睛】本题主要考察利用古典概型概率公式计算概率，分别计算出从5名学生中选出 2名学生的选法，与从3名男生选出 2名男生的选法是解题的关键.7.已知抛物线y 2=8x 的焦点恰好是双曲线()222102x y a a -=>的右焦点，则该双曲线的离心率为______.【解析】【分析】求出抛物线的焦点，可得c 的值，由双曲线方程，可得a 的值，可得双曲线的离心率. 【详解】解：易得抛物线y 2=8x 的焦点为：(2,0)，故双曲线()222102x y a a -=>的右焦点为(2,0)，2c =可得：2222a +=，a =故双曲线的离心率为：c e a ===.【点睛】本题主要考查抛物线的性质及双曲线的离心率，相对简单，注意利用双曲线的性质解题.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S =____. 【答案】42- 【解析】【分析】由3S ，63S S -，96S S -成等差数列，代入366,8S S ==-可得9S 的值. 【详解】解：由等差数列的性质可得：3S ，63S S -，96S S -成等差数列，可得：633962()S S S S S -=+-，代入366,8S S ==-，可得：942S =-，故答案为：42-.【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的性质，相对不难. 9.已知α是第二象限角，且sin 5α=，()tan 2αβ+=-，则tan β=____. 【答案】34- 【解析】【分析】由α是第二象限角，且sin α=，可得tan α，由()tan 2αβ+=-及两角和的正切公式可得tan β的值.【详解】解：由α是第二象限角，且sin α=，可得cos α=1tan 2α=-，由()tan 2αβ+=-，可得tan tan 21tan tan αβαβ+=--⨯，代入1tan 2α=-，可得3tan 4β=-，故答案为：34-.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2＋y 2=1上，若直线0x y +-=上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是______. 【答案】6 【解析】【分析】设点(,6)C x x -，连接,,,AC AB CO BO ,由△ABC 是边长为1的等边三角形，故四边形AOBC 为菱形,由3OC =，可得点C 的横坐标.【详解】解：设点(,6)C x x -，连接,,,AC AB CO BO ,由△ABC 是边长为1的等边三角形，故四边形AOBC 为菱形，=60120o o ACB AOB OAC OBC ∠=∠∠=∠=，，在OAC ∆中：2222cos OC OA AC OA AC OAC =+-⨯⨯⨯∠, 可得：222111211()32OC =+-⨯⨯⨯-=，3OC =223(6)x x =+-，解得：62x =， 6【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，相对不难.11.设m 为实数，若函数f (x )=x 2－mx －2在区间()2-∞，上是减函数，对任意的12,112m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，，总有12()()4f x f x -≤，则m 的取值范围为____. 【答案】[]46，【解析】【分析】由函数f (x )=x 2－mx －2在区间()2-∞，上是减函数可得4m ≥，由12,112m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，，可得()f x 在此区间的最大、最小值，化简12()()4f x f x -≤，可得m 的取值范围. 【详解】解：由题意：函数f (x )=x 2－mx －2的对称轴为：2mx =，由其在区间()2-∞，上是减函数，可得22m≥，可得4m ≥；由4m ≥，1122m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，，且11222m m m +-≤-，故当12,112m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，时，max ()(1)3f x f m ==-，2min ()()224m m f x f ==-+，由12()()4f x f x -≤，可得23(2)44mm ---+≤，化简可得：24120m m --≤，可得：26m -≤≤，综合可得：46m ≤≤，故答案为：[]46，. 【点睛】本题主要考查二次函数的单调性及函数的最值，属于中档题型.12.如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC =，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=-，则AE AC ⋅=____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+由45AF BC ⋅=-可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE AC AB AC AC ⋅=+⋅，代入可得答案.【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =, 12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =，同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,由45AF BC ⋅=-，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅-=-+⋅=-,可得：14244422cos 5555BAC ⨯-⨯+⨯⨯∠=-,可得：2cos 3BAC ∠=，255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+⨯=, 故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.13.若实数,x y 满足：0x y <<，则22y x y x x y--+的最小值为____. 【答案】23【解析】【分析】将原式化简为1212x y yx--+，令y t x=，则1t ＞，令12()1,(1)12f t t t t =+--+＞，对()f t 求导数，可得()f t 的最小值，可得答案.【详解】解：由题意得：212212y x x yy x x yy x-=--+-+，令yt x=，则1t ＞， 1221211212121t t t t t t t=-=-=+-+-+-+-原式，设12()1,(1)12f t t t t=+--+＞，可得： 22222'2222222212(2)2(1)(2)2(1)82()(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)t t t t t t f t t t t t t t t t -++--++---=-+===-+-+-+-+，令'()0f t =，可得4t =+，其中4t =-可得当(1,4t ∈+时，'()0f t ＜，()f t 单调递减；当(4)t ∈++∞时，'()0f t ＞，()f t 单调递增；可得当4t =+时，原式有最小值，代入可得：12(41133333f +==+--+=，故可得22y x y x x y --+的最小值为3，故答案为：3. 【点睛】本题主要考察利用导数求函数的最值，其中利用换元法对原式进行换元是解题的关键.14.若函数2ln ,0()1,0x a x x f x x ax x ⎧-->=⎨++≤⎩恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是____. 【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【解析】【分析】去绝对值，分0a x e <≤、a x e >与0x ≤进行讨论，对()f x 进行化简，同时对()f x 求导，结合函数有3个不同的零点，可得a 的取值范围.【详解】解：（1）当0a x e <≤时，()ln f x x x a =--+，因为()f x 递减，()0a a f e e =-<，0x →时，()f x →+∞，所以()f x 在(0,]ae -有1个零点；当a x e >时，()ln f x x x a =-+-，因为1()xf x x-'=， ①1a e ≥，即0a ≥时，()f x 在(,)a e +∞上递减，所以()()0a a f x f e e <=-<，即()f x 在(,)a e +∞没有零点；②1a e <，即0a <时，()f x 在(,1)a e 上递增，在(1,)+∞上递减，因为()0a a f e e =-<，(1)1f a =--，所以10a -<<时，()f x 在(,)a e +∞没有零点；1a =-时，()f x 在(,)a e +∞有1个零点；1a <-时，()f x 在(,)a e +∞有2个不同的零点. （2）当0x ≤时，2()1=++f x x ax ，当2a <时，()f x 在(,0]-∞上没有零点；当2a =时，()f x 在(,0]-∞有1个零点；2a >时，()f x 在(,0]-∞有2个不同的零点. 综上，当1a <-或2a >时()f x 恰有三个不同的零点.【点睛】本题主要考查函数的零点与利用导数判断函数的单调性与零点，属于难题. 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD //平面BCC 1B 1，AD ⊥DB .求证：（1）BC //平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由直线与平面平行的性质可得：由AD //平面BCC 1B 1，有AD //BC ，同时AD ⊂平面ADD 1A 1，可得BC //平面ADD 1A 1；（2）由（1）知AD //BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，同时由直四棱柱性质可得DD 1⊥BC ，BC ⊥平面BDD 1B 1，可得证明.【详解】解：（1）因为AD //平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD =BC ，所以AD //BC .又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1，所以BC //平面ADD 1A 1.（2）由（1）知AD //BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以DD 1⊥BC ，又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB =D ，所以BC ⊥平面BDD 1B 1，因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1【点睛】本题主要考查线面平行的性质及面面垂直的证明，熟悉相关定理并灵活运用是解题的关键.16.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin B =b sin2A . （1）求角A ；（2）若a =5，△ABC 的面积为ABC 的周长. 【答案】（1）3π；（2）12. 【解析】【分析】（1）由正弦定理可得：sin A sin B =2sin B sin A cos A ，可得cos A 的值，可得角A 的大小；（2）由△ABC 的面积为A 的值，可得bc 的值，由余弦定理可得b c +的值，可得△ABC 的周长.【详解】解：（1）由a sin B =b sin2A 及正弦定理，得sin A sin B =2sin B sin A cos A ，因为sin A >0，sin B >0，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =. （2）由△ABC 的面积为23，得1sin 232bc A =，又π3A =，所以8bc =. 在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos b c bc A a +-=，因为a =5，所以2233b c +=，所以()249b c +=，所以12a b c ++=，即△ABC 的周长为12.【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，注意灵活运用定理解题. 17.如图1，已知正方形铁片A B C D ''''边长为2a 米，四边中点分别为E ，F ，G ，H ，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD （两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD 的四边折起，使E ，F ，G ，H 四点重合，记为P 点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO ⊥底面ABCD ，O 为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD 的边长为2x 米.（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S ；（2）请写出正四棱锥体积V 关于x 的函数，并求V 的最大值.【答案】（1）2(232)a ；（2）242032a V x a ax x =-<<33165m .【解析】【分析】（1）连接OH 交BC 于点H ′，由正方形ABCD 边长为2x ，所以HH′=a －x . 可得PO 的长及PB 的长，由PB AB =得可得x 的值，可得正四棱锥的全面积4SBC ABCD S S S ∆=+正方形，计算可得答案；（2）可得13ABCD V S PO =⨯⨯正方形，可得V 关于x 的函数，对其求导，利用导数可得V 的最大值.【详解】解：在图1中连接OH 交BC 于点H ′，因为正方形ABCD 边长为2x ，所以HH′=a －x . 在图2中，OH ′=x ，PH ′=a －x ，由勾股定理得，正四棱锥的高2222()PO PH OH a x x ''---22a ax =-（1）在直角三角形POB 中，2OB x =，所以2222(2)2PB OB PO a ax x =+-+ 由PB AB =22(2)22a ax x x -+=，整理得，()22324ax a +=，解得31x -=（13x --=舍去）. 所以，正四棱锥的全面积4SBC ABCD S S S ∆=+正方形 2142()42x a x x =⨯⨯⨯-+24(232)ax a ==平方米.（2）2211(2)233ABCD V S PO x a ax =⨯⨯=⨯-正方形所以242032aV x a ax x =-<<.因为245423V a x ax =-，设245()2,02af x a x ax x =-<<，则234()410f x a x ax '=-32(25)ax a x =-，令()0f x '=得，25ax =，当()20,5a x ∈时，()0f x '>，()f x 在区间()20,5a 上递增；当()2,52a a x ∈时，()0f x '<，()f x 在区间()2,52a a上递减. 所以当25ax =时，()f x 取得最大值，此时3max 1652()5a V V a ==立方米. 【点睛】本题主要考查正四棱锥的几何性质，正四棱锥棱长、高、表面积、体积的计算，需建立函数模型并求其最值，属于难题.18.已知椭圆221193y x C +=：，椭圆()2222210y x C a b a b+=>>：经过椭圆C 1的左焦点F 和上下顶点A ，B .设斜率为k 的直线l 与椭圆C 2相切，且与椭圆C 1交于P ，Q 两点.（1）求椭圆C 2的方程；（2）①若4OP OQ =⋅，求k 的值； ②求PQ 弦长最大时k 的值.【答案】（1）22163x y +=；（2）①3±322. 【解析】【分析】（1）分别求出C 1的左焦点与上下顶点的坐标，可得椭圆C 2的a b 、的值，可得椭圆C 2的方程；（2）①设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆C 2联立，由直线l 与椭圆2C 相切，可得0∆=，可得k m 与的关系，同时直线l 与椭圆C 1的方程联立，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由韦达定理结合4OP OQ =⋅，即12124x x y y +=，代入可得k 的值；②由①知222121212()()1PQ x x y y k x =-+-+-，可得PQ 关于k 的函数，化简利用基本不等式可得PQ 弦长最大时k 的值.【详解】解：（1）由题意可知，椭圆C 1的左焦点(60)F ，上下顶点(0,A ，(0,B ，所以椭圆C 2的左顶点为(0)F ，上下顶点A ，(0,B ，所以a =b =所以椭圆C 2的方程为22163x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆C 2：22163x y+=方程联立，消去y 得，()222124260k xkmx m +++-=，因为直线l 与椭圆2C 相切，所以()()2222216412260k m k m ∆=-+-=，整理得，22630k m +-=，直线l 与椭圆C 1的方程联立得，()222136390k x kmx m +++-=，其中()()22222136********k m k m k ∆=-+-=>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22121222263918,131313km m k x x x x k k k -+=-==+++. ①因为4OP OQ =⋅，所以12124x x y y +=，即12121212()()x x y y x x kx m kx m +=+++ 221212(1)()k x x km x x m =++++222222218(1)61313k k k m m k k+=-+++ 22153413k k+==+，所以k =.②由①知12PQ x =-==，设2131k t +=>，则PQ ==. 所以当1k =±时，PQ 的长最大，最大值为2. 【点睛】本题主要考察椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆的基本性质，联立直线与椭圆方程组求解，属于难题.19.已知函数22()2x ef x x mx=++，其中0m ≤<e 为自然对数的底数.（1）当0m =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若存在12,x x (12x x ≠)，使得12()()0f x f x ''==，证明：12()()1f x f x ⋅>.【答案】（1）10x y -+=；（2）当02m ≤≤时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，无递减区间；当2m <<()f x 的递增区间是(-∞和)+∞，递减区间是；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，可得(0)f 与(0)f '的值，可得()f x 在0x =处的切线方程；（2）令()0f x '=，可得2(2)(2)0x m x m +-+-=，对其分0∆≤，>0∆进行讨论，可得m 的取值范围及()f x 的单调区间；（3）由（2）知，2m <<12122x x x x m +==-，可得12()()f x f x ⋅关于m的函数，对其求导可得其单调性，可得证明.【详解】解：因为0m ≤<220x mx ++>对R x ∈恒成立，所以()f x 定义域为R ，且()2222(2)(2)()2x e x m x m f x x mx ⎡⎤+-+-⎣⎦'=++，（1）当0m =时，(0)1f =，()()222222()2xe x xf x x -+'=+，所以(0)1f'=，所以()f x 在0x =处的切线方程为：10x y -+=.（2）令()0f x '=得，2(2)(2)0x m x m +-+-=，（※）①当2(2)4(2)(2)(2)0m m m m ∆=---=+-≤，即22m -≤≤时，又0m ≤<，所以02m ≤≤时，()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当>0∆，解得2m <-或2m >，又0m ≤<2m <<由方程（※）解得，1x =，2x =，当12(,)(,)x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>，()f x 的递增区间是12(,),(,)x x -∞+∞；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 的递减区间是12(,)x x .综上，当02m ≤≤时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，无递减区间；当2m <<()f x 的递增区间是(-∞和)+∞，递减区间是.（3）由（2）知，2m <<12122x x x x m +==-，所以121222112222()()22x x e e f x f x x mx x mx ⋅=⋅++++，因为2(2)2i i x m x m =-+-，1,2i =，代入上式得12121222()()22x x e e f x f x x m x m ⋅=⋅++12124(2)(2)x x e x m x m +=++1221212442()x x e x x m x x m +=+++2222448(8)m m e e m e m -==--，令224()(8)x e g x e x =-，2x <<则()()22222224e (28)4e (4)(2)()0e 8e 8xxx x x x g x xx+-+-'==>--，所以()g x 在(2,上单调递增，所以()(2)1g x g >=，即证得12()()1f x f x ⋅>.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，及利用导数求函数的极值、单调性及证明不等式，属于难题.20.已知数列{}n a 和2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都是等差数列，11a =.数列{}n b 满足11122n n i n i i a b n ++-==--∑.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：{}n b 是等比数列；（3）是否存在首项为1，公比为q 的等比数列{}n c ，使得对任意,2n n ∈≥*N ，都有1n n n a c b -≤≤成立？若存在，求出q 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析；（3）存在，. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，可得1(1)(1)n a n d dn d =+-=+-，N n *∈，由2na n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可得222321,,23a a a 成等差数列，可得222321223a a a ⨯=+，求出d 的值，可得{}n a 的通项公式；（2）将11122nn i n i i a b n ++-==--∑展开，可得11212(1)22n n n b b n b nb n +-+++-+=--，将1n +代入此式子相减，可得112121n n n b b b b ++++++=-，再将1n +代入此式子相减，可得122n n b ++=，此时3n ≥，验证1,2n n ==时也满足可得{}n b 是等比数列；（3）设存在1n n c q -=对任意,2n n *∈≥N ，都有1n n n a c b -≤≤恒成立，即1112n n n q ---≤≤，,2n n *∈≥N ，易得1q >，由由11n n q --≤得，ln(1)ln 1n q n -≥-，可得设ln (),1x f x x x =≥，对其求导，可得其最小值，可得q 的取值范围.【详解】解：（1）因为数列{}n a 是等差数列，设{}n a 的公差为d ，则1(1)(1)n a n d dn d =+-=+-，N n *∈，因为2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以222321,,23a a a 成等差数列，即222321223a a a ⨯=+，221(1)1(12)3d d +=++，解得1d =，当1d =时，n a n =，此时22n a n n n n==是等差数列.故n a n =.（2）由11122nn i n i i a b n ++-==--∑，即11212(1)22n n n b b n b nb n +-+++-+=--， ①所以21212(1)23n n n b b nb n b n +++++++=--， ②②-①得，112121n n n b b b b ++++++=-， ③ 所以，2212121n n n b b b b +++++++=-， ④④-③得，122n n b ++=，即3n ≥时，12n nb -=，在①中分别令12n =，得，121,2b b ==，也适合上式，所以12n n b -=，N n *∈，因为12n nb b +=是常数，所以{}n b 是等比数列. （3）设存在1n n c q -=对任意,2n n *∈≥N ，都有1n n n a c b -≤≤恒成立，即1112n n n q ---≤≤，,2n n *∈≥N ，显然1q >，由112n n q --≤可知，12q <≤，由11n n q --≤得，ln(1)ln 1n q n -≥-，,2n n *∈≥N . 设ln (),1x f x x x=≥，因为21ln ()xf x x -'=，所以当(1,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 递增；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 递减. 因为ln 2ln 3(2)(3)23f f =<=，所以ln 3ln 3q ≥，解得q ≥综上可得，存在等比数列{}n c ，使得对任意,2n n *∈≥N ，都有1n n n a c b -≤≤恒成立，其中公比q的取值范围是.【点睛】本题主要等差数列的基本性质、递推法求数列的通项公式，及数列与导数的综合，综合性大，属于难题.选做题选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵00a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵M 的另一个特征值以及它的逆矩阵.【答案】2-，102102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】将特征值于特征向量代入，可得关于b a 、方程，可得b a 、的值，求出矩阵M ,可求出其另一个特征值，可得其逆矩阵.【详解】解：由题意，λ＝2是矩阵M 的一个特征值，所以2M αα=，所以0112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2a b ==，由方程22()402f λλλλ-==-=-.所以2λ=或2λ=-，所以M 的另一个特征值－2. 又因为02240-⨯=-≠，所以矩阵M 的逆矩阵为1102102M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查矩阵与逆矩阵的相关知识，属于矩阵的特征值与特征向量的相关知识并灵活运用是解题的关键. 选修4—4：极坐标与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【解析】【分析】将直线l 与线C 化为普通方程，利用直线与圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，可求出线段AB 的长.【详解】解：直线l的普通方程为1x =，由4cos 0ρθ-=，即24cos 0ρρθ-=，化为直角坐标方程即2240x y x +-=，化简可得22(2)4x y -+=，可得其圆心坐标(2,0)，半径为2，由圆心到直线的距离得到12d ==，所以AB ===．【点睛】本题主要考察直线参数方程与普通方程的转化及极坐标与直角坐标的转换、直线与圆的位置关系，相对不难，注意运算准确. 选修4—5：不等式选讲23.已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 【答案】证明见解析【解析】【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭，所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.必做题第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛. （1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手中女教师的人数，求X 的概率分布和数学期望. 【答案】（1）28种；（2）分布见解析，75.【解析】【分析】（1）分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数；（2）X 的可能取值为0123，，，，再求出X 的每个取值的概率，可得X 的概率分布和数学期望.【详解】解：（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为11221141242228C C C C C C +=种. （2）X 的可能取值为0，1，2，3.224222541(0)10C C P X C C ===， 11221141242222547(1)15C C C C C C P X C C +===， 111122412242225411(2)30C C C C C C P X C C +===， 124222541(3)15C CP X C C ===.故X 的概率分布为：所以7()5E x =. 【点睛】本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.25.对于给定正整数n ，设2012(1)nnn x a a x a x a x -=++++，记01nn kk S a==∑.（1）计算1234S S S S ，，，的值；（2）求n S .【答案】（1）见解析；（2）()11(1)2n n n S n +=⋅+-+. 【解析】【分析】（1）将n 1234=，，，代入01nn kk S a ==∑，可得1234S S S S ，，，的值；（2））由二项式定理得，(1),,k k k n a k n k =-≤∈C N ，111!()!1!C 1112C C k n k k n n n k n k n n +++⎡⎤+⋅+⎢⎥+⎣-=⎦=，由二项式定理01n n k k S a ==∑011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可得n S 的值. 【详解】解：（1）1011111011S a a =+=-=； 201211111131212S a a a =++=-+=； 301231111111101331S a a a a =+++=-+-=；40123411111111115146413S a a a a a =++++=-+-+= （2）由二项式定理得，(1),,k k k n a k n k =-≤∈C N ，因为!()!1!C k nk n k n -=1[(1)(1)][!()!]2(1)!n n k k k n k n n +-+++-=⋅++ 1!(1)!(1)!()!2(1)!n k n k k n k n n +-+++-=⋅++ 1!(1)!(1)!()!2(1)!(1)!n k n k k n k n n n ⎡⎤+-++-=⋅+⎢⎥+++⎣⎦1111112C C k k n n n n +++⎡⎤+=⋅+⎢⎥+⎣⎦，所以01nn k k S a ==∑011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()11(1)2n n n +=⋅+-+. （或写成0,22,2n n S n n n ⎧⎪=+⎨⎪+⎩是奇数是偶数）【点睛】本题主要考查二项式定理及二项式展开式的通项公式，需注意运算的准确性，属于中档题.。

江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题解析

江苏省启东中学 2020 届高三上学期期初考试数学试题
11. 已知函数 f (x) sin(x ) cos x ( 0) .若函数 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，且在区间 6
[ , ] 上是单调函数，则的取值集合为___________. 44
于点 N ， P 为平面上一点，满足 2OP OB (1 )OC ，则 PM PN 的最小值为___________.
【答案】 7 16
解：建立如图直角坐标系
正方形 ABCD 的边长为1， B( 1 , 1 ) ， C( 1 , 1 )
22
22
由 2OP OB (1 )OC 得： OP ( 1 , 1 ) 44 2
6

4
4

2
2
k k
,
(k Z)

4 3
4k ,
(k Z)

8 3

4k
f (2 ) sin(2 ) 1 6
2 k ，(k Z ) 62
1 k , (k Z) 32
▲. 象限．
【答案】二
3.设向量 a (1, 0) ， b (1, m) ，若 a (ma b) ，则 m = ▲ .
【答案】－1
4. 已知复数 z 满足 (1 i)z 3 4i （ i 是虚数单位），则 | z | = ▲ .
5. 【答案】 5 2 2
5．化简： tan17 tan13 3(tan17 tan13 )
▲.
【答案】1
6.若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 4

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2020届江苏省启东中学高三上学期期初考试数学试题一、填空题1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________.4．已知复数z 满足(1i)34i z +=-（i 是虚数单位），则||z =________.5．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=________.6．若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= __________.7．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是____．8．已知02πα-<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____.9．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____.10．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.11．已知函数()()(0)6f x sin x cos x πωωω＝＋－＞．若函数()f x 的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的取值集合为______.12．设点O 在ABC ∆所在平面内，若230OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积比为___.13．正方形ABCD 的边长为1，O 为正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为________.14．已知等腰直角三角形ABC 中=2AB AC =，半径为2的圆O 在三角形外与斜边BC 相切，P 为圆上任意一点，且满足AP xAB y AC =+，则x y +的最大值为________.二、解答题15．已知函数π()2sin()(0)2f x x ωϕωϕ=+><，的图像的一部分如图所示，5(,0)2C 是图像与x 轴的交点，,A B 分别是图像的最高点与最低点且5AB =．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数31()()(),0,22g x f x f x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦的最大值．16．在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()12c =-．（1）若a b c +=，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//a b c +，求β的值．17．已知函数()2sin cos sin()sin()44f x x x x x x ππ=-++-. （1）求()f x 的最小值并写出此时x 的取值集合；（2）若[]0,x π∈，求出()f x 的单调减区间；（3）若()0042x x x f x ππ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos2x 的值.18．已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a =(0)a >，1BC =，AB 与地面成θ角（02πθ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离分别为12,h h ，记C E h =．（1）若a =h 的最大值，并求此时的θ值；（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．19．启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界,沿线段AB,BC,CD,DA建一个观景长廊,其中A,B,C,D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米,AB=8百米,在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭,且它们关于直线AC对称,在湖面建一条观景桥APC.∠=．观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设ABCα（1）若观景长廊AD＝4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积；α=︒时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；（2）当60（3）若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请说明理由．20．已知函数1()(cos ),x f x e a x a R -=-+∈．（1）若函数()f x 在[]0,π上存在单调增区间，求实数a 的取值范围；（2）若()02f π=，证明：对于11,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+-->参考答案一、填空题1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.【答案】－1【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【答案】二【解析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a mab ⊥-，则m =_________.【答案】-1.【解析】根据,a b 坐标表示出ma b -r r ，再根据()a ma b ⊥-，得坐标关系，解方程即可. 【详解】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-.【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则①1221//0a b x y x y ⇔-=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=.4．已知复数z 满足(1i)34i z +=-（i 是虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据模长的概念即可得出结果．【详解】复数z 满足(1i)34i z +=-（i 为虚数单位）， ∴()()()()341341711122i i i z i i i i ---===--++-，则2z ==，故答案为2. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=________.【答案】1【解析】逆用两角和的正切公式：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可求得答案．【详解】∵()tan13tan17tan 30tan 13171tan13tan17︒+︒︒=︒+︒==-︒︒∴)tan13tan171tan13tan17︒+︒=-︒︒，∴)tan13tan17tan13tan171︒︒+︒=．故答案为1.【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题．6．若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= __________. 【答案】6425【解析】先利用同角三角函数的基本关系把1换成22sin cos αα+，22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+，分子分母同时除以2cos α，最后把tan α的值代入即可求得答案．【详解】22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+ 2231414tan 644.tan 125314αα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即答案为6425. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．7．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC的面积为BC 的长是____．【解析】由题可知：1sin sin 22AB AC A A ⋅⋅=⇒=，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 2b c a A a BC bc+-=⇒== 8．已知02πα-<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____. 【答案】2316- 【解析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin α和tan α，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．【详解】∵02πα-<<，且5cos 13α=， ∴12sin 13α=-，12tan 5α=-， ∴12232cos()3sin()2cos 3sin 23tan 235124cos()sin(2)4cos sin 4tan 1645παπαααααπαααα⎛⎫-+⨯- ⎪--+-+-+⎝⎭====--+---+，故答案为2316-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题. 9．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____. 【答案】32【解析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，求出ω的范围得到答案．【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-， ∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈， ∴3 62k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈，∵0>ω，∴ω的最小值等于32，故答案为32．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力，属于中档题.10．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.【解析】由条件求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用二倍角公式求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据221234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式计算求得结果．【详解】∵α为锐角，π3cos()65α+=，∴465sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴24sin 22sin cos 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故sin 2sin 21234πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3434ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2472525=+=. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11．已知函数()()(0)6f x sin x cos x πωωω＝＋－＞．若函数()f x 的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间 [,]44ππ-上是单调函数，则ω的取值集合为______. 【答案】154,,363⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】()1sin cos cos sin 626f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2x π=是一条对称轴，2=+62k πππωπ∴-，得()1=+32k k Z ω∈，又()f x 在区间44，ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调， 2T ππω∴=≥，得2ω≤，且462{462πππωπππω--≥--≤，得403ω<≤，154=363ω∴，，，集合表示为154363⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，。

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