高等代数北大版教案-第6章线性空间

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高等代数课件(北大版)第六章 线性空间§6.2

高等代数课件(北大版)第六章 线性空间§6.2
与 的和,记为 ;在P与V的元素之间还
定义了一种运算,叫做数量乘法:即
V ,k P ,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应,称δ为
k 与 的数量乘积,记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则,则称V为数域P上的线性空间:
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
f ( x ), g ( x ), h ( x ) P [ x ], k,l P
一、线性空间的定义
设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合V中 定义了一种代数运算,叫做加法:即对 , V , 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应,称 为
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明:假设线性空间V有两个零元素01、02,则有 01=01+02=02.
2、 V ,的负元素是唯一的,记为- .
证明:假设 有两个负元素 β 、γ ,则有
0, 0
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
例1 例2
引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间. 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体,再添
上零多项式作成的集合,按多项式的加法和数量乘
法构成数域 P上的一个线性空间,常用 P[x]n表示.
P [ x ]n { f ( x ) a n 1 x
k a a
k
判断 R+是否构成实数域 R上的线性空间 .

电子教案-第6章-线性空间

电子教案-第6章-线性空间
例 3: 向量空间 P , n 维向量的全体.
n
α + β , kα ,
α + β = β + α , (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) , α + 0 = α , α + (−α ) = 0 .
1α = α , k (lα ) = (kl )α , k (α + β ) = kα + kβ , (k + l )α = kα + lα .
当然对于乘法还有 fg = gf , ( fg ) h = f ( gh) . 例 2: 矩阵的集合: P
n× n
= { A | A = (aij ) n } .
A + B , kA , AB ,
A + B = B + A , ( A + B) + C = A + ( B + C ) , A + 0 = A, A + (− A) = 0 . 1A = A, k (lA) = (kl ) A, k ( A + B) = kA + kB, (k + l ) A = kA + lA .
(5) 可定义向量组的极大无关组,从而有秩的定义. 若向量组 α1 , α 2 , (6) 若向量组 α1 ,α 2 ,
, α r 可由向量组 β1 , β 2 ,
, β s ,则 r (α1 , α 2 ,
,α s 线性无关, α1 , α 2 ,
, α s , β 线性相关,则向量 β 可由向量组
−1
2n
: M ' → M 为双射时对应的元素.
a ' ,则 f −1 : M ' → M ; a '

高等数学(高教版)第六章线性空间第五节课件

高等数学(高教版)第六章线性空间第五节课件

W1
(x,
y, z)R3
|
x 2
y4 1
z 1
3
;
W2 {(x, y, z) R3 | x y 0 且 x y z 0}.
解 先来判断 W1 . 设 = ( x1 , y1 , z1 ) W1 , 则有 x1 y1 4 z1 1 . 又设 k R , 因为
2 1 3
kx1 ky1 4 kz1 1 ,
不难看出 3, 4 两个条件是多余的,它们已经包 含在条件 1 中,作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形. 因此,我们得到
定理 3 如果线性空间 V 的非空子集合 W 对
于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的,那么W
就是一个子空间.
既然线性子空间本身也是一个线性空间,上面
我们引入的概念,如维数、基、坐标等,当然也可
任一极大分无必关要组条都件是是由这它两生个成向的量子组空等间价.
本若请本若请本若请节想本若单请节想本若单请节想本若单内请结节想击本若单内请结节想击本 本若 若单内请 请结节想击本 本容若 若单束内请 请结返节想击本 本容若 若单束内请 请结返节 节想 想击本 本容若 若单 单束内请 请结返节 节已想想本击本容若单单束回内请结返节 节已想想本击本容若单单束回内 内请结 结返节 节已想 想本击 击本容若单 单束回内 内结请结结返堂节已想本击击按本容若单束回内 内结请结结堂返节已想本击击按本容 容若单束 束回内 内结请结 结堂返 返节已想本击 击按容 容束单束束课回内结结堂返返钮节已想本击按容 容束束单束课回内结结堂返返钮节已 已想本 本击按容 容束单束 束课回 回内结结堂返 返钮已 已本本击按,容束束课回回.内结结堂!返钮已 已本本击按,容束束课回回.内结 结结堂 堂!返钮已 已本 本击按 按,容束束课回 回.结 结堂堂!返钮已本按按,容束束课回.结 结堂堂返!钮已本按按,容束 束束课 课回.结 结堂 堂返!钮 钮已本按 按,束 束课课回.结堂!钮钮已本按,束束课课回.结堂!钮钮已本按,,束束课课回..结堂!!钮钮按,,束课..结堂!!钮按,,束课..结堂!!钮按,,束课..!!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!

高等代数课件(北大版)第六章线性空间§6.5

高等代数课件(北大版)第六章线性空间§6.5

例6
,2 , ,r V 设V为数域P上的线性空间, 1
令 W { k k k k P , i 1 , 2 , , r } 1 1 2 2 r r i
则W关于V的运算作成V的一个子空间.
, , , 即 的一切线性 1 2 r 组合所成集合.


2019/3/18
, W , k P , 其次, 3
( x y , x y , , x y , 0 ) W 则有 1 1 2 2 n 1 n 1 3
k ( k x , k x , , k x , 0 ) W 1 2 n 1 3
故,W3为V的一个子空间,且维W3 =n-1 ,
2019/3/18
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2、线性子空间的判定
V 定理:设V为数域P上的线性空间,集合 W
(W ),若W对于V中两种运算封闭,即
W , k P ,有 kW
, W , 有 W ;
则W是V的一个子空间.
V ( W ) ,则 推论:V为数域P上的线性空间,W
, W ,, a b P , a b W . W是V的子空间
2019/3/18
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证明:要证明W也为数域P上的线性空间, 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则. 由于 WV ,规则1)、2)、5)、6)、7)、8) 是显然成立的.下证3)、4)成立.
2019/3/18
例4
n元齐次线性方程组
a a 1 1x 1 a 1 2x 2 1nx n 0 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 0 a x a x a x 0 sn n s1 1 s2 2

高等代数北大版线性空间

高等代数北大版线性空间

引 入 我们懂得,在数域P上旳n维线性空间V中取定一组基后,
V中每一种向量 有唯一拟定旳坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量旳
坐标是P上旳n元数组,所以属于Pn.
这么一来,取定了V旳一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一种 向量 ,令 在这组基下旳坐标 (a1,a2 , ,an ) 与 相应,就 得到V到Pn旳一种单射 : V P n , (a1,a2 , ,an )
2)证明:复数域C看成R上旳线性空间与W同构,
并写出一种同构映射.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
及线性有关性,而且同构映射把子空间映成子空间.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
3、两个同构映射旳乘积还是同构映射.
证:设 :V V , :V V 为线性空间旳同构
映射,则乘积 是 V到V 旳1-1相应. 任取 , V , k P, 有
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间旳定义 §6 子空间旳交与和
与简朴性质
§7 子空间旳直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间旳同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2023/12/29
§6.8 线性空间旳同构
一、同构映射旳定义 二、同构旳有关结论
2023/12/29§6.8 线性空间旳
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2)这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合旳成果.
3)因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
反过来,由 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0 可得 (k11 k22 krr ) 0.

高等代数【北大版】6.4

高等代数【北大版】6.4

a2n

ann
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
为由基1, 2 , , n到基 1, 2 , , n 的过渡矩阵;
称 ① 或 ② 为由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , , n
的基变换公式.
§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质
1)过渡矩阵都是可逆矩阵;反过来,任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵.
并求矩阵 A
3 4
5 2
在基 F11, F12 , F21, F2下2 的矩阵.
§6.4 基变换与坐标变换
解:
F11 E11
F12 F21 F22
E11 E11 E11
E12 E12 E12
E21 E21
E22
1 1 1 1
(
F11
,
F12,
F21
,
F22
)
(
E11
,
E12,
任取V的一组基 1,2 , ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2, , n
i 1
于是有, (1, 2 , , n ) (1,2 ,
, n ) A
§6.4 基变换与坐标变换
由A可逆,有 (1,2, ,n ) (1, 2, , n )A1
即,1,2 , ,n也可由 1, 2 , , n 线性表出.
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
§6.4 基变换与坐标变换
1 0 0 1

高等代数课件(北大版)第六章线性空间§6.8

高等代数课件(北大版)第六章线性空间§6.8
得到V到Pn的一个单射
n 1 2
n
: V P , ( a , a , , a ) ( a , a , , a ) , a a a
n
反过来,对于 Pn 中的任一元素
1 2
并且
( ) ( a ,,,) aa , 即
1 12 2
1 2 n
是V中唯一确定的元素, n n
就是一个V到Pn的同构映射,所以 V Pn .
2019/3/18
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二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
的 是 V 到 V 2、设 V , V 是数域P上的线性空间,
同构映射,则有 1) 2)
0 0 , .
k k 0 3)因为由 k 1 12 2 r r
( )( ) k ( ) 0 可得 kk 1 1 2 2 rr
反过来,由 kk ( )( ) k ( ) 0 1 1 2 2 rr 可得

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i m V n ,1 , ,, 4)设 d 为V 中任意一组基. 2 n
) , ( ) ,, ( ) 由2)3)知, ( 为 的一组基. 1 2 n
所以 d i md V n i m V .
2019/3/18
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5)首先


n
( k ) ( k a , k a , k a ) k P 1 2 n
k ( a , a ,) a k ( ) , 1 2 n 这就是说,向量用坐标表示后,它们的运算可以

高等代数第六章

高等代数第六章

3)如果 σ 、τ都是双射,那么 g 也是双射,并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn,定义了两个向 量的加法和数量乘法: (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
2) M 中元素的象要唯一、且M´中每个元素都要有象.
3) M 中不同元素的象可能相同. 4) 函数可以看成是映射的一个特殊情形:任意一个 在实数集R上的函数 y=f(x)都是实数集R到自身 的映射. Ex
4. 映射的性质与运算
定义:映射的乘积
设映射 : M M ', : M ' M '' , 乘积 定义为: (a)=τ(σ(a)) a M
1. 若集合A有n个元素,则含有k(k<n)个元素的A 的子集有多少个? 2. 已知 M { Ann | A A}, N {Bnn | B B},求 M N , M N , M N
3.映射的定义
定义:映射指一个对应法则,
设M、M´是给定的两个非空集合,通过法则σ,有 对于 a M , | a M 与之对应,则称 σ为M到M´的4来自 上两种运算满足下列8条规则:
① ② ( ) ( )
③ 在V中有一个元素0,对 V , 有 0 (具有这个性质的元素0称为V的零元素) ④ 对 V , 都有V中的一个元素β ,使得
0 ;(β 称为 的负元素) ⑤ 1 ⑥ k (l ) (kl )

高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.7

高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.7

引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间,由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形: 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即,V1 V2 必含非零向量.
2023/9/15§6.7 子空间的直和
2023/9/15§6.7 子空间的直和
而在和 V1 V3 中,向量 (2,2,2)的分解式是唯一的, (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上,对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式: (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
j 1
i 1,2, , s
2023/9/15§6.7 子空间的直和
" " 假若V1 V2 Vs不是直和, 则零向量还有一个分解式
0 1 2 s , j Vj , j 1,2, , s (*)
在(*)式中,设最后一个不为0的向量是 i , (i s)
则(*)式变为 0 1 2 i ,
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
2023/9/15§6.7 子空间的直和
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
解空间:
x1 x2
xn 0

x1 x2
xn

证明: Pn V1 V2
证:解齐次线性方程组①,得其一个基础解系
1 (1,0, ,0,1) 2 (0,1, ,0, 1)
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的,和 V1 V2就称为直和,记作 V1 V2 .
注: ① 分解式 1 2 唯一的,意即

高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6

高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6

bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间,则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0

bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭,如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1)若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2)若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意:
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间,但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质

最新扬州大学高等代数课件(北大三版)--第六章-线性空间说课讲解精品课件

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6
性空间.
线 性
(3) R, kC k 不一定属于 R (例如: 1, k 1 i , 有
空 间
k 1iR 成立)

R 非 C 上的线性空间.
第七页,共83页。
高 例5 (1)数域P上一元(yī yuán)多项式环P[x];

(2)P[x]n={f(x)|əf<n} ∪{0}.

数 证明: (1) P[x]对多项式的加法,数乘运算封闭,且 8 条算律成立
→ P[x]构成 P 上的线性空间. (2) 显然成立.
由特殊到一般,由具体到抽象,把具体的代数对象用公理化方法
6
统一在一个数学模型下,是数学研究的一种基本思想方法.
线 性 空 间
第八页,共83页。
高 二. 基本(jīběn)性质
等 代 8条算律 ― 基本法律依据(公理),以2个 数 运算、8条算律为基础推导(tuīdǎo)其它基本
记成 {1,2, ,n} ;
6
是 P117 向量线性相关概念在一般线性空间中的推广.
线 性
定义 3 {1,2 , ,r }与{ 1, 2 , , s }等价
空 { 1,2 , ,r } { 1, 2 , , s }且{ 1, 2 , , s } {1,2 ,

记为 {1,2 , ,r } 等价 { 1, 2 , , s }.
线 性
间,Mn×1 = {(a1, a2, , an )/ ai P,i 1,2, ,n}为 P 上 n 元列空

间,统一记为 Pn .

第五页,共83页。
高 例3

C[a,b]={f:[a,b]上连续(liánxù)实 函数}:

高等代数(北大版)第6章《线性空间》习题解答

高等代数(北大版)第6章《线性空间》习题解答

第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明:,MN M MN N ==。

证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。

又因,M N M ⊂ 故M N M =。

再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形,都有,N ∈α此即。

但,N M N ⊂所以MN N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =,)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈,由此得)()()(L M N M L N M =。

反之,若)()(L M N M x ∈,则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形,,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x NL ∈,得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。

若x M NL M NL ∈∈∈(),则x ,x 。

在前一情形X x MN ∈, X ML ∈且,x MN ∈因而()(M L )。

,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以()(M L )(N L )故 (L )=()(M L )即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:1) 次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;2) 设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111(a ,)((,)()k 。

第六章 线性空间

第六章 线性空间

第六章 线性空间一.内容概述(一) 基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。

两种运算要封闭,八条公理要齐备。

V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、 使V ∈+βα。

V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。

满足下述八条公理:⑴αββα+=+; ⑵)()(γβαγβα++=++; ⑶对于,V ∈α都有αα=+0,零元素;⑷对于V ∈α,都有0=+βα,称β为α的负元素,记为α-; ⑸βαβαk k k +=+)(;⑹αααl k l k +=+)(;⑺)()(ααl k kl =; ⑻αα=1。

常用的线性空间介绍如下:(ⅰ)2V 、3V 分别表示二维,三维几何空间。

(ⅱ)nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。

(ⅲ)[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。

[]x F n 表F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。

(ⅳ)()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。

当n m =时,记为()F M n m ⨯。

(ⅴ)[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。

⒉基,维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。

⑴基 线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足(ⅰ)n ααα,,21 线性无关;(ⅱ)V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。

⑵维数 一个基所含向量的个数,称为维数。

记为V dim 。

⑶坐标 设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。

()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。

记为(n a a a ,,21 )。

⑷过渡矩阵 设()F V n 的二个基n ααα,,21 (ⅰ)n βββ ,,21(ⅱ)且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。

高等代数 讲义 第六章

高等代数 讲义 第六章

3
2、映射的乘积
设映射σ : M → M ', τ : M ' → M '',乘积 τ o σ
定义为:τ o σ(a)=τ(σ(a)) ∀a ∈ M 即相继施行σ和τ的结果,τ o σ 是 M 到 M" 的一个
映射.
注:①对于任意映射σ : M → M ',有 IM′ oσ = σ o IM = σ
σ:σ(a)=1,σ(b)=1,σ(c)=2
(是)
δ:δ(a)=1,δ(b)=2,δ(c)=3,δ(c)=4 (不是)
τ:τ(b)=2,τ(c)=4
(不是)
2)M=Z,M´=Z+,
σ:σ(n)=|n|, ∀n ∈ Z τ:τ(n)=|n|+1, ∀n ∈ Z
(不是) (是)
§6.1 集合 映射
3)M= Pn×n ,M´=P,(P为数域)
§6.1 集合 映射
注:
① 对于有限集来说,两集合之间存在1—1对应 的充要条 件是它们所含元素的个数相同;
② 对于有限集A及其子集B,若B≠A(即B为A 的真子集),则 A、B之间不可能存在1—1对应; 但是对于无限集未必如此.
如例7中的8),σ是1—1对应,但2Z是Z的真子集. M=Z,M´=2Z, σ:σ(n)=2n,∀n∈ Z
力学问题的有关属性.为了研究一般线性方程组 解的理论,我们把三维向量推广为n维向量,定 义了n维向量的加法和数量乘法运算,讨论了向 量空间中的向量关于线性运算的线性相关性,完
满地阐明了线性方程组的解的理论.

现在把n维向量抽象成集合中的元素,撇开
言 向量及其运算的具体含义,把集合对加法和数
量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来,

高等代数北大版教学案_第6章线性空间

高等代数北大版教学案_第6章线性空间

第六章 线性空间§1 集合映射一 授课内容:§1 集合映射二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ⋂;把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ⋃;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \.定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为).(,:a f a B A f →如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即{}A a a f A f ∈=|)()(.若,'A a a ∈≠∀都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈∀都存在A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:∑==+++n i i n a a a a 121 , ∏==ni i n a a a a 121 .当然也可以写成∑≤≤=+++ni in aa a a 121 , ∏≤≤=ni in aa a a 121 .(2)求和号的性质 容易证明,∑∑===n i n i i i a a 11λλ,∑∑∑===+=+n i n i n i i i i i b a b a 111)(,∑∑∑∑=====n i m j ni ij m j ij a a 1111.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:nmn n m m a a a a a a a a a212222111211分别先按行和列求和,再求总和即可.§2 线性空间的定义与简单性质一 授课内容:§2 线性空间的定义与简单性质二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质. 三 教学重点:线性空间的定义与简单性质. 四 教学难点:线性空间的定义与简单性质. 五 教学过程:1.线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V 是一个非空集合,且V 上有一个二元运算“+”()V V V ⨯→,又设K 为数域,V 中的元素与K 中的元素有运算数量乘法“∙”()K V V ⨯→,且“+”与“∙”满足如下性质: 1、 加法交换律 ,V αβ∀∈,有αββα+=+;2、 加法结合律 ,,V αβγ∀∈,有()()αβγαβγ++=++;3、 存在“零元”,即存在0V ∈,使得,0V ααα∀∈+=;4、 存在负元,即V α∀∈,存在V β∈,使得0αβ+=;5、 “1律” 1αα∙=;6、 数乘结合律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()()()kl k l l k ααα==;7、 分配律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()k l k l ααα+=+;8、 分配律 ,,k K V αβ∀∈∈,都有()k k k αβαβ+=+,则称V 为K 上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“∙”的定义,不光与集合V 有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'=+=;V α∀∈,设,'ββ都是α的负向量,则0(')'()0βββαββαβββ=+=++=++=+=,于是命题得证.由于负向量唯一,我们用α-代表α的负向量.定义4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:αβ-定义为()αβ+-.命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、 加法满足消去律 αγβγαβ+=+⇒=;2、 可移项 αβγαγβ+=⇒=-;3、 可以消因子 k αβ=且0k ≠,则1kαβ=; 4、 00,α∙= 00,k ∙= (1)αα-=-. (3)线性空间的例子例4.1令V 表示在(,)a b 上可微的函数所构成的集合,令K =,V 中加法的定义就是函数的加法,关于K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V 构成K 上的线性空间.4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价;极大线性无关组.定义4.3(线性组合) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,又给定数域K内s 个数12,,,s k k k ,称1122s s k k k ααα+++为向量组12,,,s ααα的一个线性组合.定义4.4(线性表出) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,设β是V 内的一个向量,如果存在K 内s 个数12,,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++,则称向量β可以被向量组12,,,s ααα线性表出.定义 4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,如果对V 内某一个向量β,存在数域K 内不全为零的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++=,则称向量组12,,,s ααα线性相关;若由方程11220s s k k k ααα+++=必定推出120s k k k ====,则称向量组12,,,s ααα线性无关.命题4.3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:1)12,,s ααα线性相关;2)某个i α可被其余向量线性表示. 证明同向量空间.定义4.6(线性等价) 给定V 内两个向量组12,,,r ααα (Ⅰ), 12,,,s βββ (Ⅱ),如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义4.7(极大线性无关部分组) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,如果它有一个部分组12,,,r i i i ααα满足如下条件:(i)、12,,,r i i i ααα线性无关;(ii)、原向量组中任一向量都能被12,,,r i i i ααα线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到n K 的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义 4.8(向量组的秩) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2 求证:向量组{}12,x x e e λλ的秩等于2(其中12λλ≠).证明:方法一:设12,k k ∈R,满足12120x x k e k e λλ+=,则1212x x k e k e λλ=-,假若12,k k 不全为零,不妨设10k ≠,则有12()21x k e k λλ-=-,而由于12λλ≠,等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是120k k ==.所以12,x x e e λλ线性无关,向量组的秩等于2.证毕. 方法二:若在(,)a b 上12120x x k e k e λλ+=, 两端求导数,得1211220x x k e k e λλλλ+=,以(,)x c a b =∈代入,有12121211220,0.c cc ck e k e k e k e λλλλλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 而121222()2112()0ccc c ce e e e eλλλλλλλλλλ+=-≠, 于是120k k ==.证毕.§3 维数、基与坐标一 授课内容:§3 维数、基与坐标二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义. 四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义. 五 教学过程:1.线性空间的基与维数,向量的坐标 设V 是数域K 上的线性空间,则有:定义4.9(基和维数) 如果在V 中存在n 个向量12,,,n ααα,满足:1)12,,,n ααα线性无关;2)V 中任一向量在K 上可表成12,,,n ααα的线性组合,则称12,,,n ααα为V 的一组基.基即是V 的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题4.4 设V 是数域K 上的n 维线性空间,而12,,,n V ααα∈.若V中任一向量皆可被12,,,n ααα线性表出,则12,,,n ααα是V 的一组基.证明:由12,,,n ααα与V 的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4.5 设V 为K 上的n 维线性空间,12,,,n V ααα∈,则下述两条等价:1)12,,,n ααα线性无关;2)V 中任一向量可被12,,,n ααα线性表出.定义4.10(向量的坐标) 设V 为K 上的n 维线性空间,12,,,n εεε是它的一组基.任给V α∈,由命题4.4,α可唯一表示为12,,,n εεε的线性组合,即!,(1,2,,)i a K i n ∃∈=,使得1122n n a a a αεεε=+++,于是我们称()12,,,n a a a 为α在基12,,,n εεε下的坐标.易见,在某组基下的坐标与V/K 中的向量是一一对应的关系.§4 基变换与坐标变换一 授课内容:§4 基变换与坐标变换二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式.三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式. 四 教学难点:坐标变换公式的应用. 五 教学过程:1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵 设V/K 是n 维线性空间,设12,,,n εεε和12,,,n ηηη是两组基,且11112121212122221122,,.n n n nn n n nn n t t t t t t t t t ηεεεηεεεηεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 将其写成矩阵形式1112121222121212(,,,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t tt t ηηηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 定义4.11 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T tt t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为从12,,,n εεε到12,,,n ηηη的过渡矩阵.命题4.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是K 上一个n 阶方阵.命1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=则有12,,,n ηηη是V/K 的一组基,当且仅当T 可逆.证明:若12,,,n ηηη是线性空间V/K 的一组基,则12,,,n ηηη线性无关.考察同构映射下的坐标在n n K V εεεαασ,,,,:21 →,构造方程1122()()()0n n k k k σησηση+++=, 其中,(1,2,,)i k K i n ∈=,1122()0n n k k k σηηη⇒+++=11220n n k k k ηηη⇒+++=,120n k k k ⇒====⇒12(),(),,()n σησηση线性无关.12(),(),,()n σησηση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆;反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程11220n n k k k ηηη+++=,其中,(1,2,,)i k K i n ∈=,两边用σ作用,得到1122()()()0n n k k k σησηση+++=,120n k k k ⇒====.证毕.2.向量的坐标变换公式;n K 中的两组基的过渡矩阵 (1)向量的坐标变换公式 设V/K 有两组基为12,,,n εεε和12,,,n ηηη,又设α在12,,,n εεε下的坐标为()12,,,n a a a ,即1212(,,,)n n a aa αεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,在12,,,n ηηη下的坐标为12(,,,)n b b b ,即1212(,,,)n n b b b αηηη⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=记12n a a X a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12n b b Y b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 于是12121212(,,,)(,,,)[(,,,)](,,,)()n n n n X Y T Y TY εεεηηηεεεεεε===.于是,由坐标的唯一性,可以知道X TY =,这就是坐标变换公式.(2)n K 中两组基的过渡矩阵的求法 我们设n K 中两组基分别为11112122122212(,,,),(,,,),(,,,).n n n n n nn a a a a a a a a a εεε=== 和11112122122212(,,,),(,,,),(,,,).n n n n n nn b b b b b b b b b ηηη===而 1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=按定义,T 的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.将12,,,n εεε和12,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则有B AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩阵A 化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.§5 线性子空间一 授课内容:§5 线性子空间二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理. 三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理. 四 教学难点:线性子空间的判别定理. 五 教学过程:1.线性空间的子空间的定义定义4.12(子空间) 设V 是数域K 上的一个线性空间,M 时V 的一个非空子集.如果M 关于V 内的加法与数乘运算也组成数域K 上的一个线性空间,则称为V 的一个子空间.命题4.7 设V 是K 上的线性空间,又设一个非空集合W V ⊆,则W 是子空间当且仅当下述两条成立:i)W 对减法封闭; ii)W 对于K 中元素作数乘封闭. 证明:必要性由定义直接得出;充分性:各运算律在V 中已有,所以W 满足运算律的条件. 只需要证明0W ∈且对于任意W α∈,W α-∈,且对加法封闭即可. 事实上,由于W 关于数乘封闭,则00W α∙=∈;(1)W αα-∙=-∈,于是对于,W αβ∀∈,()W αβαβ+=--∈,W 关于加法封闭.于是W 是V 的一个子空间. 证毕.事实上,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题4.8 设W 是V 的一个有限维子空间,则W 的任一组基可以扩充为V 的一组基.证明:设dim V n =,dim W r =,()r n ≤,若r n =,则命题为真; 若r n <,对n r -作归纳:设12,,,r εεε为W 的一组基,取1\r V W ε+∈,则121,,,,r r εεεε+线性无关.于是令1'{|,}r W k W k K αεα+=+∈∈,易见,W ’是V 的一个子空间,且dim '1W r =+,此时dim '1n W n r -=--,对其用归纳假设即可.§6 子空间的交与和一 授课内容:§6子空间的交与和二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式.三 教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式. 四 教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式.. 五 教学过程:1.子空间的交与和,生成元集 定义4.13 设12,,,t V ααα∈,则{}1122|,1,2,,t t i k k k k K i t ααα+++∈=是V 的一个子空间,称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,,)t L ααα.易见,生成的子空间的维数等于12,,,t ααα的秩.定义4.14(子空间的交与和) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义1212{}V V v V v V =∈∈且,称为子空间的交; 12121122{|,}V V v v v V v V +=+∈∈,称为子空间的和.命题4.9 12V V 和12V V +都是V 的子空间.证明:由命题 4.7,只需要证明12V V 和12V V +关于加法与数乘封闭即可.事实上,12,V V αβ∀∈,则1,V αβ∈,2,V αβ∈.由于12,V V 均是V 的子空间,则12,V V αβαβ+∈+∈,于是12V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭;12V V α∀∈,k K ∈,12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封闭.12,V V αβ∀∈+,则由12V V +的定义,111222,,,V V αβαβ∃∈∈,使得1212,αααβββ=+=+,而111222,V V αβαβ+∈+∈,则1212112212()()()()V V αβααββαβαβ+=+++=+++∈+,12V V +关于加法封闭;12,V V k K α∀∈+∈,1122,V V αα∃∈∈,使得12ααα=+,由于1122,k V kV αα∈∈,则121212()k k k k V V ααααα=+=+∈+,12V V +关于数乘封闭.证毕.命题 4.10 设12,,,m V V V 是V 的子空间,则12m V V V 和12m V V V +++均为V 的子空间.2.维数公式.定理4.1 设V 为有限维线性空间,12,V V 为子空间,则121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-.这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设1dim V s =,2dim V t =,12dim()V V n +=,12dim()V V r =,取12V V 的一组基12,,,r εεε(若12V V =0,则0r =,基为空集),将此基分别扩充为12,V V 的基1212,,,,,,,r s r εεεααα-, 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-,只需要证明121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--是12V V +的一组基即可.首先,易见12V V +中的任一向量都可以被121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--线性表出.事实上,12V V γ∀∈+,则12γγγ=+,其中1122,V V γγ∈∈,而111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++ 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++,i j k l K ∈于是12γγγ=+可被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性表出.只要再证明向量组121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性无关即可.设1122112211220r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++++++=,其中,,i j h k a b K ∈.则112211221122r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++=----(*)于是112211221r r s r s r k k k a a a V εεεααα--+++++++∈,11222t r t r b b b V βββ------∈,于是1122112212r r s r s r k k k a a a V V εεεααα--+++++++∈,记为α.则α可被12,,,r εεε线性表示,设1122r r h h h αεεε=+++,代入(*),有112211220r r t r t r h h h b b b εεεβββ--+++++++=,由于1212,,,,,,,r t r εεεβββ-是2V 的一组基,所以线性无关,则 12120r t r h h h b b b -========,代回(*),又有12120r s r k k k a a a -========,于是向量组121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--线性无关.证毕.推论2.1 设12,,,t V V V 都是有限为线性空间V 的子空间,则: 1212dim()dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++.证明:对t 作归纳.§7 子空间的直和一 授课内容:§7 子空间的直和二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质.三 教学重点:子空间的直和的四个等价定义. 四 教学难点:子空间的直和的四个等价定义. 五 教学过程:1.子空间的直和与直和的四个等价定义 定义 设V 是数域K 上的线性空间,12,,,m V V V 是V 的有限为子空间.若对于1mi i V =∑中任一向量,表达式12,,1,2,,m i i V i m ααααα=+++∈=.是唯一的,则称1mi i V =∑为直和,记为21m V V V ⊕⊕⊕或1mi i V =⊕.定理 设12,,,m V V V 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四条等价:1)21m V V V +++是直和;2)零向量表示法唯一; 3)1ˆ(){0},1,2,,iim V V V V i m ++++=∀=;4)1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.证明: 1)2)⇒显然.2)1)⇒设1212,m m ααααβββ=+++=+++则1122()()()0m m αβαβαβ-+-++-=.由2)知,零向量的表示法唯一,于是,1,2,,i i i m αβ==,即α的表示法唯一.由直和的定义可知,21m V V V +++是直和.2)3)⇒假若存在某个,1i i m ≤≤,使得1ˆ(){0}iim V V V V ++++≠,则存在向量0α≠且1ˆ()i im V V V V α∈++++,于是存在j j V α∈,使得1ˆi m αααα=++++.由线性空间的定义,1ˆ()iim V V V V α-∈++++,则1()()0m ααααα++-++=+-=,与零向量的表示法唯一矛盾,于是1ˆ(){0},1,2,,i im V V V V i m ++++=∀=.3)2)⇒若2)不真,则有10i m ααα=++++,其中(1,2,,)j j V j m α∈=且0i α∃≠.于是11ˆˆ()i i m i im V V V V αααα-=++++∈++++,与3)矛盾,于是2)成立.3)4)⇒对m 作归纳.①m =2时,由维数公式得到12121212dim()dim dim dim()dim dim V V V V V V V V +=+-=+.②设1(3)m m -≥已证,则对于m ,12121121121dim()dim dim()dim(())dim dim(),m m m m m m m V V V V V V V V V V V V V V V ---+++=++++-+++=++++而,11i i m ∀≤≤-,都有111垐()(){0}i i m i i m V V V V V V V V -++++⊆++++=;由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.4)3)⇒,1i i m ∀≤≤,都有1112垐dim(())dim()dim()dim()0i i m i i m m V V V V V V V V V V V ++++=+++++-+++≤, 于是1ˆ(){0},1,2,,iim V V V V i m ++++=∀=.证毕.推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: i)12V V +是直和; ii)零向量的表示法唯一; iii)12{0}V V =;iv)1212dim()dim dim V V V V +=+. 2.直和因子的基与直和的基 命题 设21m V V V V =⊕⊕⊕,则21,,,m V V V 的基的并集为V 的一组基.证明: 设12,,,r ii i i εεε是i V 的一组基,则V 中任一向量可被121{,,,}r im i i i i εεε=线性表出.又121dim dim mi m i V V r r r ===+++∑,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕.3.补空间的定义及存在性定义 设1V 为V 的子空间,若子空间2V 满足12V V V =⊕,则称为1V 的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明: 设1V 为K 上的n 为线性空间V 的非平凡子空间,取1V 的一组基12,,,r εεε,将其扩为V 的一组基1212,,,,,,,r r r n εεεεεε++取212(,,,)r r n V L εεε++=,则有12V V V =+,且1212dim dim dim()V V n V V +==+,于是12V V V =⊕,即2V 是1V 的补空间.证毕.§8 线性空间的同构一 授课内容:§1线性空间的同构二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定.三 教学重点:线性空间同构的判定. 四 教学难点:线性空间同构的判定. 五 教学过程:1.线性映射的定义定义 设,U V 为数域K 上的线性空间,:U V ϕ→为映射,且满足以下两个条件:i)()()(),(,)U ϕαβϕαϕβαβ+=+∀∈; ii)()(),(,)k k U k K ϕαϕαα=∀∈∈, 则称ϕ为(由U 到V 的)线性映射.由数域K 上的线性空间U 到V 的线性映射的全体记为Hom ),(V U K ,或简记为Hom ),(V U .定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替:()()(),(,,,)k l k k U k l K ϕαβϕαϕβαβ+=+∀∈∈.例 ()m n M K ⨯是K 上的线性空间,()s n M K ⨯也是K 上线性空间,取定一个K 上的s m ⨯矩阵A ,定义映射:()(),.m n s n M K M K xAX ϕ⨯⨯→则ϕ是由()m n M K ⨯到()s n M K ⨯的线性映射.例 考虑区间(,)a b 上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,令(1,sin ,sin 2,,sin ),U L x x nx = (1,cos ,cos 2,,cos ).V L x x nx =再令:,().U V f x AX ϕ→则ϕ是由U 到V 的一个线性映射.定义 设:U V ϕ→是线性映射i)如果ϕ是单射,则称ϕ是单线性映射(monomorphism); ii)如果ϕ是满射,则称ϕ是满线性映射(endmorphism);iii)如果ϕ既单且满,则称ϕ为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U 与V 是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射;iv)ϕ的核(kernel)定义为ker {|()0}U ϕαϕα=∈=;v)ϕ的像(image)定义为im ={|,.()}V U s t ϕβαϕαβ∈∃∈=,也记为()U ϕ;命题 ker ϕ和im ϕ是V 的子空间. 证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭. vi)ϕ的余核定义为co ker /im V ϕϕ=.命题 线性映射f 是单的当且仅当ker }0{=f ,f 是满的当且仅当coker }0{=f .定理(同态基本定理) 设V U f →:是数域K 上的线性空间的满线性映射,则映射:/ker ,ker ().U f V f f σαα→+是同构映射.证明:首先证明σ是映射,即若'/ker U f αα=∈,则()(')σασα=.由于'αα=,存在ker f γ∈,使得'ααγ=+.于是()(')(')()(')f f f f f ααγαγα=+=+=,即()(')σασα=.再证明σ是线性映射.,/ker U αβϕ∀∈,,k l K ∈,有()()()()()()k l f k l kf lf k l σαβαβαβσασβ+=+=+=+.易见σ是满射,且有im V f =.只要再证明σ是单射即可,即证明ker {0}σ=.设ker ασ∈,则()()0f σαα==,于是ker f α∈,即有0α=.证毕.命题 设:U V ϕ→是线性映射,dim U n =,则下述三条等价: i)ϕ单;ii)ϕ将U 中任意线性无关组映为V 中的线性无关组; iii)dim ()U n ϕ=.证明:i)⇒ii)若12,,,t V ααα∈线性无关,则令1122()()()0t t k k k ϕαϕαϕα+++=,由线性映射的定义,1122()0t t k k k ϕααα+++=.ϕ单,于是11220t t k k k ααα+++=,则120t k k k ====,ii)成立;ii)⇒iii)若取U 的一组基12,,,n εεε,则由已知,12(),(),,()n ϕεϕεϕε线性无关,而im ϕ中任意向量可以被12(),(),,()n ϕεϕεϕε线性表出,于是12(),(),,()n ϕεϕεϕε构成im ϕ的一组基,iii)成立;iii)⇒i)由同态基本定理知/ker im U ϕϕ≅,于是d i m d i m ke r U ϕϕ-=⇒d i m k e r ϕ=,即有ker {0}ϕ=.证毕.。

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第六章 线性空间§1 集合映射一 授课内容:§1 集合映射二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ⋂;把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ⋃;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \.定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为).(,:a f a B A f →如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即{}A a a f A f ∈=|)()(.若,'A a a ∈≠∀都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈∀都存在A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:∑==+++n i i n a a a a 121 , ∏==ni i n a a a a 121 .当然也可以写成∑≤≤=+++ni in aa a a 121 , ∏≤≤=ni in aa a a 121 .(2)求和号的性质 容易证明,∑∑===n i n i i i a a 11λλ,∑∑∑===+=+n i n i n i i i i i b a b a 111)(,∑∑∑∑=====n i m j ni ij m j ij a a 1111.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:nmn n m m a a a a a a a a a212222111211分别先按行和列求和,再求总和即可.§2 线性空间的定义与简单性质一 授课内容:§2 线性空间的定义与简单性质二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质. 三 教学重点:线性空间的定义与简单性质. 四 教学难点:线性空间的定义与简单性质. 五 教学过程:1.线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V 是一个非空集合,且V 上有一个二元运算“+”()V V V ⨯→,又设K 为数域,V 中的元素与K 中的元素有运算数量乘法“•”()K V V ⨯→,且“+”与“•”满足如下性质: 1、 加法交换律 ,V αβ∀∈,有αββα+=+;2、 加法结合律 ,,V αβγ∀∈,有()()αβγαβγ++=++;3、 存在“零元”,即存在0V ∈,使得,0V ααα∀∈+=;4、 存在负元,即V α∀∈,存在V β∈,使得0αβ+=;5、 “1律” 1αα•=;6、 数乘结合律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()()()kl k l l k ααα==;7、 分配律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()k l k l ααα+=+;8、 分配律 ,,k K V αβ∀∈∈,都有()k k k αβαβ+=+,则称V 为K 上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“•”的定义,不光与集合V 有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'=+=;V α∀∈,设,'ββ都是α的负向量,则0(')'()0βββαββαβββ=+=++=++=+=,于是命题得证.由于负向量唯一,我们用α-代表α的负向量.定义4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:αβ-定义为()αβ+-.命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、 加法满足消去律 αγβγαβ+=+⇒=;2、 可移项 αβγαγβ+=⇒=-;3、 可以消因子 k αβ=且0k ≠,则1kαβ=; 4、 00,α•= 00,k •= (1)αα-=-. (3)线性空间的例子例4.1令V 表示在(,)a b 上可微的函数所构成的集合,令K =,V 中加法的定义就是函数的加法,关于K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V 构成K 上的线性空间.4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价;极大线性无关组.定义4.3(线性组合) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,又给定数域K内s 个数12,,,s k k k ,称1122s s k k k ααα+++为向量组12,,,s ααα的一个线性组合.定义4.4(线性表出) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,设β是V 内的一个向量,如果存在K 内s 个数12,,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++,则称向量β可以被向量组12,,,s ααα线性表出.定义 4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,如果对V 内某一个向量β,存在数域K 内不全为零的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++=,则称向量组12,,,s ααα线性相关;若由方程11220s s k k k ααα+++=必定推出120s k k k ====,则称向量组12,,,s ααα线性无关.命题4.3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:1)12,,s ααα线性相关;2)某个i α可被其余向量线性表示. 证明同向量空间.定义4.6(线性等价) 给定V 内两个向量组12,,,r ααα (Ⅰ), 12,,,s βββ (Ⅱ),如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义4.7(极大线性无关部分组) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,如果它有一个部分组12,,,r i i i ααα满足如下条件:(i)、12,,,r i i i ααα线性无关;(ii)、原向量组中任一向量都能被12,,,r i i i ααα线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到n K 的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义 4.8(向量组的秩) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2 求证:向量组{}12,x x e e λλ的秩等于2(其中12λλ≠).证明:方法一:设12,k k ∈R,满足12120x x k e k e λλ+=,则1212x x k e k e λλ=-,假若12,k k 不全为零,不妨设10k ≠,则有12()21x k e k λλ-=-,而由于12λλ≠,等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是120k k ==.所以12,x x e e λλ线性无关,向量组的秩等于2.证毕. 方法二:若在(,)a b 上12120x x k e k e λλ+=, 两端求导数,得1211220x x k e k e λλλλ+=,以(,)x c a b =∈代入,有12121211220,0.c cc ck e k e k e k e λλλλλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 而121222()2112()0ccc c ce e e e eλλλλλλλλλλ+=-≠, 于是120k k ==.证毕.§3 维数、基与坐标一 授课内容:§3 维数、基与坐标二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义. 四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义. 五 教学过程:1.线性空间的基与维数,向量的坐标 设V 是数域K 上的线性空间,则有:定义4.9(基和维数) 如果在V 中存在n 个向量12,,,n ααα,满足:1)12,,,n ααα线性无关;2)V 中任一向量在K 上可表成12,,,n ααα的线性组合,则称12,,,n ααα为V 的一组基.基即是V 的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题4.4 设V 是数域K 上的n 维线性空间,而12,,,n V ααα∈.若V中任一向量皆可被12,,,n ααα线性表出,则12,,,n ααα是V 的一组基.证明:由12,,,n ααα与V 的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4.5 设V 为K 上的n 维线性空间,12,,,n V ααα∈,则下述两条等价:1)12,,,n ααα线性无关;2)V 中任一向量可被12,,,n ααα线性表出.定义4.10(向量的坐标) 设V 为K 上的n 维线性空间,12,,,n εεε是它的一组基.任给V α∈,由命题4.4,α可唯一表示为12,,,n εεε的线性组合,即!,(1,2,,)i a K i n ∃∈=,使得1122n n a a a αεεε=+++,于是我们称()12,,,n a a a 为α在基12,,,n εεε下的坐标.易见,在某组基下的坐标与V/K 中的向量是一一对应的关系.§4 基变换与坐标变换一 授课内容:§4 基变换与坐标变换二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式.三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式. 四 教学难点:坐标变换公式的应用. 五 教学过程:1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵 设V/K 是n 维线性空间,设12,,,n εεε和12,,,n ηηη是两组基,且11112121212122221122,,.n n n nn n n nn n t t t t t t t t t ηεεεηεεεηεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 将其写成矩阵形式1112121222121212(,,,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t tt t ηηηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 定义4.11 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T tt t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为从12,,,n εεε到12,,,n ηηη的过渡矩阵.命题4.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是K 上一个n 阶方阵.命1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=则有12,,,n ηηη是V/K 的一组基,当且仅当T 可逆.证明:若12,,,n ηηη是线性空间V/K 的一组基,则12,,,n ηηη线性无关.考察同构映射下的坐标在n n K V εεεαασ,,,,:21 →,构造方程1122()()()0n n k k k σησηση+++=, 其中,(1,2,,)i k K i n ∈=,1122()0n n k k k σηηη⇒+++=11220n n k k k ηηη⇒+++=,120n k k k ⇒====⇒12(),(),,()n σησηση线性无关.12(),(),,()n σησηση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆;反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程11220n n k k k ηηη+++=,其中,(1,2,,)i k K i n ∈=,两边用σ作用,得到1122()()()0n n k k k σησηση+++=,120n k k k ⇒====.证毕.2.向量的坐标变换公式;n K 中的两组基的过渡矩阵 (1)向量的坐标变换公式 设V/K 有两组基为12,,,n εεε和12,,,n ηηη,又设α在12,,,n εεε下的坐标为()12,,,n a a a ,即1212(,,,)n n a aa αεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,在12,,,n ηηη下的坐标为12(,,,)n b b b ,即1212(,,,)n n b b b αηηη⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=记12n a a X a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12n b b Y b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 于是12121212(,,,)(,,,)[(,,,)](,,,)()n n n n X Y T Y TY εεεηηηεεεεεε===.于是,由坐标的唯一性,可以知道X TY =,这就是坐标变换公式.(2)n K 中两组基的过渡矩阵的求法 我们设n K 中两组基分别为11112122122212(,,,),(,,,),(,,,).n n n n n nn a a a a a a a a a εεε=== 和11112122122212(,,,),(,,,),(,,,).n n n n n nn b b b b b b b b b ηηη===而 1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=按定义,T 的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.将12,,,n εεε和12,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则有B AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩阵A 化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.§5 线性子空间一 授课内容:§5 线性子空间二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理. 三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理. 四 教学难点:线性子空间的判别定理. 五 教学过程:1.线性空间的子空间的定义定义4.12(子空间) 设V 是数域K 上的一个线性空间,M 时V 的一个非空子集.如果M 关于V 内的加法与数乘运算也组成数域K 上的一个线性空间,则称为V 的一个子空间.命题4.7 设V 是K 上的线性空间,又设一个非空集合W V ⊆,则W 是子空间当且仅当下述两条成立:i)W 对减法封闭; ii)W 对于K 中元素作数乘封闭. 证明:必要性由定义直接得出;充分性:各运算律在V 中已有,所以W 满足运算律的条件. 只需要证明0W ∈且对于任意W α∈,W α-∈,且对加法封闭即可. 事实上,由于W 关于数乘封闭,则00W α•=∈;(1)W αα-•=-∈,于是对于,W αβ∀∈,()W αβαβ+=--∈,W 关于加法封闭.于是W 是V 的一个子空间. 证毕.事实上,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题4.8 设W 是V 的一个有限维子空间,则W 的任一组基可以扩充为V 的一组基.证明:设dim V n =,dim W r =,()r n ≤,若r n =,则命题为真; 若r n <,对n r -作归纳:设12,,,r εεε为W 的一组基,取1\r V W ε+∈,则121,,,,r r εεεε+线性无关.于是令1'{|,}r W k W k K αεα+=+∈∈,易见,W ’是V 的一个子空间,且dim '1W r =+,此时dim '1n W n r -=--,对其用归纳假设即可.§6 子空间的交与和一 授课内容:§6子空间的交与和二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式.三 教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式. 四 教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式.. 五 教学过程:1.子空间的交与和,生成元集 定义4.13 设12,,,t V ααα∈,则{}1122|,1,2,,t t i k k k k K i t ααα+++∈=是V 的一个子空间,称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,,)t L ααα.易见,生成的子空间的维数等于12,,,t ααα的秩.定义4.14(子空间的交与和) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义1212{}V V v V v V =∈∈且,称为子空间的交; 12121122{|,}V V v v v V v V +=+∈∈,称为子空间的和.命题4.9 12V V 和12V V +都是V 的子空间.证明:由命题 4.7,只需要证明12V V 和12V V +关于加法与数乘封闭即可.事实上,12,V V αβ∀∈,则1,V αβ∈,2,V αβ∈.由于12,V V 均是V 的子空间,则12,V V αβαβ+∈+∈,于是12V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭;12V V α∀∈,k K ∈,12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封闭.12,V V αβ∀∈+,则由12V V +的定义,111222,,,V V αβαβ∃∈∈,使得1212,αααβββ=+=+,而111222,V V αβαβ+∈+∈,则1212112212()()()()V V αβααββαβαβ+=+++=+++∈+,12V V +关于加法封闭;12,V V k K α∀∈+∈,1122,V V αα∃∈∈,使得12ααα=+,由于1122,k V k V αα∈∈,则121212()k k k k V V ααααα=+=+∈+,12V V +关于数乘封闭.证毕.命题 4.10 设12,,,m V V V 是V 的子空间,则12m V V V 和12m V V V +++均为V 的子空间.2.维数公式.定理4.1 设V 为有限维线性空间,12,V V 为子空间,则121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-.这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设1dim V s =,2dim V t =,12dim()V V n +=,12dim()V V r =,取12V V 的一组基12,,,r εεε(若12V V =0,则0r =,基为空集),将此基分别扩充为12,V V 的基1212,,,,,,,r s r εεεααα-, 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-,只需要证明121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--是12V V +的一组基即可.首先,易见12V V +中的任一向量都可以被121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--线性表出.事实上,12V V γ∀∈+,则12γγγ=+,其中1122,V V γγ∈∈,而111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++ 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++,i j k l K ∈于是12γγγ=+可被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性表出.只要再证明向量组121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性无关即可.设1122112211220r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++++++=,其中,,i j h k a b K ∈.则112211221122r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++=----(*)于是112211221r r s r s r k k k a a a V εεεααα--+++++++∈,11222t r t r b b b V βββ------∈,于是1122112212r r s r s r k k k a a a V V εεεααα--+++++++∈,记为α.则α可被12,,,r εεε线性表示,设1122r r h h h αεεε=+++,代入(*),有112211220r r t r t r h h h b b b εεεβββ--+++++++=,由于1212,,,,,,,r t r εεεβββ-是2V 的一组基,所以线性无关,则 12120r t r h h h b b b -========,代回(*),又有12120r s r k k k a a a -========,于是向量组121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--线性无关.证毕.推论2.1 设12,,,t V V V 都是有限为线性空间V 的子空间,则: 1212dim()dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++.证明:对t 作归纳.§7 子空间的直和一 授课内容:§7 子空间的直和二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质.三 教学重点:子空间的直和的四个等价定义. 四 教学难点:子空间的直和的四个等价定义. 五 教学过程:1.子空间的直和与直和的四个等价定义 定义 设V 是数域K 上的线性空间,12,,,m V V V 是V 的有限为子空间.若对于1mi i V =∑中任一向量,表达式12,,1,2,,m i i V i m ααααα=+++∈=.是唯一的,则称1mi i V =∑为直和,记为21m V V V ⊕⊕⊕或1mi i V =⊕.定理 设12,,,m V V V 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四条等价:1)21m V V V +++是直和;2)零向量表示法唯一; 3)1ˆ(){0},1,2,,iim V V V V i m ++++=∀=;4)1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.证明: 1)2)⇒显然.2)1)⇒设1212,m m ααααβββ=+++=+++则1122()()()0m m αβαβαβ-+-++-=.由2)知,零向量的表示法唯一,于是,1,2,,i i i m αβ==,即α的表示法唯一.由直和的定义可知,21m V V V +++是直和.2)3)⇒假若存在某个,1i i m ≤≤,使得1ˆ(){0}iim V V V V ++++≠,则存在向量0α≠且1ˆ()i im V V V V α∈++++,于是存在j j V α∈,使得1ˆi m αααα=++++.由线性空间的定义,1ˆ()iim V V V V α-∈++++,则1()()0m ααααα++-++=+-=,与零向量的表示法唯一矛盾,于是1ˆ(){0},1,2,,i im V V V V i m ++++=∀=.3)2)⇒若2)不真,则有10i m ααα=++++,其中(1,2,,)j j V j m α∈=且0i α∃≠.于是11ˆˆ()i i m i im V V V V αααα-=++++∈++++,与3)矛盾,于是2)成立.3)4)⇒对m 作归纳.①m =2时,由维数公式得到12121212dim()dim dim dim()dim dim V V V V V V V V +=+-=+.②设1(3)m m -≥已证,则对于m ,12121121121dim()dim dim()dim(())dim dim(),m m m m m m m V V V V V V V V V V V V V V V ---+++=++++-+++=++++而,11i i m ∀≤≤-,都有111垐()(){0}i i m i i m V V V V V V V V -++++⊆++++=;由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.4)3)⇒,1i i m ∀≤≤,都有1112垐dim(())dim()dim()dim()0i i m i i m m V V V V V V V V V V V ++++=+++++-+++≤, 于是1ˆ(){0},1,2,,iim V V V V i m ++++=∀=.证毕.推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: i)12V V +是直和; ii)零向量的表示法唯一; iii)12{0}V V =;iv)1212dim()dim dim V V V V +=+. 2.直和因子的基与直和的基 命题 设21m V V V V =⊕⊕⊕,则21,,,m V V V 的基的并集为V 的一组基.证明: 设12,,,r ii i i εεε是i V 的一组基,则V 中任一向量可被121{,,,}r im i i i i εεε=线性表出.又121dim dim mi m i V V r r r ===+++∑,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕.3.补空间的定义及存在性定义 设1V 为V 的子空间,若子空间2V 满足12V V V =⊕,则称为1V 的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明: 设1V 为K 上的n 为线性空间V 的非平凡子空间,取1V 的一组基12,,,r εεε,将其扩为V 的一组基1212,,,,,,,r r r n εεεεεε++取212(,,,)r r n V L εεε++=,则有12V V V =+,且1212dim dim dim()V V n V V +==+,于是12V V V =⊕,即2V 是1V 的补空间.证毕.§8 线性空间的同构一 授课内容:§1线性空间的同构二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定.三 教学重点:线性空间同构的判定. 四 教学难点:线性空间同构的判定. 五 教学过程:1.线性映射的定义定义 设,U V 为数域K 上的线性空间,:U V ϕ→为映射,且满足以下两个条件:i)()()(),(,)U ϕαβϕαϕβαβ+=+∀∈; ii)()(),(,)k k U k K ϕαϕαα=∀∈∈, 则称ϕ为(由U 到V 的)线性映射.由数域K 上的线性空间U 到V 的线性映射的全体记为Hom ),(V U K ,或简记为Hom ),(V U .定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替:()()(),(,,,)k l k k U k l K ϕαβϕαϕβαβ+=+∀∈∈.例 ()m n M K ⨯是K 上的线性空间,()s n M K ⨯也是K 上线性空间,取定一个K 上的s m ⨯矩阵A ,定义映射:()(),.m n s n M K M K xAX ϕ⨯⨯→则ϕ是由()m n M K ⨯到()s n M K ⨯的线性映射.例 考虑区间(,)a b 上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,令(1,sin ,sin 2,,sin ),U L x x nx = (1,cos ,cos 2,,cos ).V L x x nx =再令:,().U V f x AX ϕ→则ϕ是由U 到V 的一个线性映射.定义 设:U V ϕ→是线性映射i)如果ϕ是单射,则称ϕ是单线性映射(monomorphism); ii)如果ϕ是满射,则称ϕ是满线性映射(endmorphism);iii)如果ϕ既单且满,则称ϕ为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U 与V 是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射;iv)ϕ的核(kernel)定义为ker {|()0}U ϕαϕα=∈=;v)ϕ的像(image)定义为im ={|,.()}V U s t ϕβαϕαβ∈∃∈=,也记为()U ϕ;命题 ker ϕ和im ϕ是V 的子空间. 证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭. vi)ϕ的余核定义为co ker /im V ϕϕ=.命题 线性映射f 是单的当且仅当ker }0{=f ,f 是满的当且仅当coker }0{=f .定理(同态基本定理) 设V U f →:是数域K 上的线性空间的满线性映射,则映射:/ker ,ker ().U f V f f σαα→+是同构映射.证明:首先证明σ是映射,即若'/ker U f αα=∈,则()(')σασα=.由于'αα=,存在ker f γ∈,使得'ααγ=+.于是()(')(')()(')f f f f f ααγαγα=+=+=,即()(')σασα=.再证明σ是线性映射.,/ker U αβϕ∀∈,,k l K ∈,有()()()()()()k l f k l kf lf k l σαβαβαβσασβ+=+=+=+.易见σ是满射,且有im V f =.只要再证明σ是单射即可,即证明ker {0}σ=.设ker ασ∈,则()()0f σαα==,于是ker f α∈,即有0α=.证毕.命题 设:U V ϕ→是线性映射,dim U n =,则下述三条等价: i)ϕ单;ii)ϕ将U 中任意线性无关组映为V 中的线性无关组; iii)dim ()U n ϕ=.证明:i)⇒ii)若12,,,t V ααα∈线性无关,则令1122()()()0t t k k k ϕαϕαϕα+++=,由线性映射的定义,1122()0t t k k k ϕααα+++=.ϕ单,于是11220t t k k k ααα+++=,则120t k k k ====,ii)成立;ii)⇒iii)若取U 的一组基12,,,n εεε,则由已知,12(),(),,()n ϕεϕεϕε线性无关,而im ϕ中任意向量可以被12(),(),,()n ϕεϕεϕε线性表出,于是12(),(),,()n ϕεϕεϕε构成im ϕ的一组基,iii)成立;iii)⇒i)由同态基本定理知/ker im U ϕϕ≅,于是dim dimker dimim U ϕϕ-=⇒dimker 0ϕ=,即有ker {0}ϕ=.证毕.。

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