小学奥数教程之数的整除

学习奥数的优点

1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思

维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，

以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力

4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

数的整除

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教师姓名授课时长

知识定位

本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定

量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要

的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，

在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性

的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字

母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个

不小的挑战。

知识梳理

1.常见数字的整除判定方法

（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；

一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

注：

在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。对于11的单独判定特性需要重点讲解。

2.整除性质

性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．

注：

在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．

可以引入下面的问题

2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那

么b∣a，c∣a．

性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b

与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．

例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．

性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am （m为非0整数）；

性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；

3．重点难点解析

（1）.常见数字的整除判定性质

（2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性

（3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用

（4）．试除法的理解和应用

4.竞赛考点挖掘

（1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目

（2）.代数式之间的整除性问题

例题精讲

【试题来源】

【题目】

已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？

【解析】

本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。

【知识点】数的整除

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

【答案】19

【解析】

方法一：

利用整除判定特征，逐个分析易知这三种情况下填入方格的数字和为7+8+4=19．

方法二：采用试除法（本讲的重点方法）

用1730试除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2．所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．

所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．

【知识点】数的整除

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？

【解析】

本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7位数能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要让七位数是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍数的倍数即可。【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.

用1993000试除，1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可．

【知识点】数的整除

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【答案】875413

【解析】

根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11

的倍数，我们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上的数和为b，那么有

a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0或a-b=11或a-b=22…等情况，根据奇

偶性分析自然数a与b的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是a-b不可能为22，

所以a-b=0，解得a=b=14，则容易排列出最大数875413.

【知识点】数的整除

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2