火线100天中考数学一轮复习 第3讲 整式及因式分解

第3讲整式及因式分解
整式的相关概念
单项式概
念
由数与字母的①____组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个②____也是单项式).
系
数
单项式中的③____因数叫做这个单项式的系数.
次
数
单项式中的所有字母的④________叫做这个单项式的次数.
多项式概
念
几个单项式的⑤____叫做多项式.
项多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
次
数
一个多项式中，⑥________的项的次数叫做这个多项式的次数.
整式单项式与⑦______统称为整式.
同类项所含字母⑧____并且相同字母的指数也⑨____的项叫做同类项．所有的常数项都是⑩____项.
整式的运算
整式的加减合并同类项
(1)字母和字母的指数不变；
(2)⑪____相加减作为新的系数.
添(去)括号
添(去)括号：括号前面是“＋”号，添(去)括号都⑫______符
号；括号前面是“－”号，添(去)括号都要⑬____符号.
幂的运算同底数幂
的乘法
a m·a n＝⑭__
注意：a≠0，b≠0，
且m、n都为整数. 幂的乘方(a m)n＝⑮__
积的乘方(ab)n＝⑯__
同底数幂
的除法
a m÷a n＝⑰____
整式的乘法单项式与单
项式相乘
把它们的⑱____、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里
含有的字母，则连同它的⑲____作为积的一个因式.
单项式与多
项式相乘
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积⑳____，即m(a
＋b＋c)＝○21____________.
多项式与多
项式相乘
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得
的积○
22____，即(m＋n)(a＋b)＝○23______________.
整式的除法单项式除
以单项式
把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式
里含有的字母，则连同它的○
24____作为商的一个因式.
多项式除
以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的
商○25____.
乘法平方差公式(a＋b)(a－b)＝○26______
公式完全平
方公式
(a±b)2＝○27____________
因式分解
定义把一个多项式化成几个整式○
28____的形式，就是因式分解.
方法
提
公
因
式
法
ma＋mb＋mc＝○
29__________
公
式
法
a2－b2＝○
30__________
a2±2ab＋b2＝○
31________
步骤
(1)若有公因式，应先○
32________；
(2)看是否可用○33______；
(3)检查各因式能否继续分解
【易错提示】因式分解必须分解到每一个多项式不能再分解为止．
1．求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法．
2．整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷．
命题点1 代数式及其求值
(2015·扬州)若a2－3b＝5，则6b－2a2＋2 015＝________.
【思路点拨】把6b－2a2＋2 015变形为2(3b－a2)＋2 015，把a2－3b＝5化为3b－a2＝－5后代入求值．
求代数式的值时，常采用以下两种方法：①应用整体代入求值；②把已知的式子化为一个字母用另外的字母表示，代入所求代数式，进行化简求值．
1．(2015·湖州)当x＝1时，代数式4－3x的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2015·自贡)为庆祝抗战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为( )
A．a－10% B．a·10%
C．a(1－10%) D．a(1＋10%)
3．(2014·苏州)若a－2b＝3，则9－2a＋4b的值为________．
4．(2015·遵义)如果单项式－xy b＋1与
1
2
x a－2y3是同类项，那么(a－b)2 015＝________.
命题点2 整式的运算
(2015·江西)先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中a＝－1，b＝ 3.
【思路点拨】先利用公式进行整式的乘法运算，再进行整式的加减运算，化简后代入求值．
【解答】
进行整式的运算时，要先进行整式的乘法运算，再合并同类项，结果应为最简的．代入求值时，要注意整体添加括号．
1．(2015·聊城)下列运算正确的是( )
A ．a 2＋a 3＝a 5
B ．(－a 3)2＝a 6
C ．ab 2·3a 2b ＝3a 2b 2
D ．－2a 6÷a 2＝－2a 3
2．(2015·天津)计算x 2·x 5＝________.
3．(2015·绵阳)计算：a(a 2÷a)－a 2＝________.
4．(2015·菏泽)若x 2＋x ＋m ＝(x －3)(x ＋n)对x 恒成立，则n ＝________. 5．(2015·丽水)先化简，再求值：a(a －3)＋(1－a)(1＋a)，其中a ＝3
3.
命题点3 因式分解
(2015·威海)分解因式：－2x 2y ＋12xy －18y ＝____________．
因式分解，首先需观察有无公因式可提，然后再考虑是否可用公式法分解，直到分解到不能再分解为止．
1．(2015·菏泽)将多项式ax 2－4ax ＋4a 分解因式，下列结果中正确的是( )
A ．a(x －2)2
B ．a(x ＋2)2
C ．a(x －4)2
D ．a(x ＋2)(x －2)
2．(2015·嘉兴)因式分解：ab －a ＝__________．
3．(2015·绵阳)在实数范围内因式分解：x 2y －3y ＝__________________．
4．(2015·潍坊)因式分解：ax 2－7ax ＋6a ＝____________________．
1．(2015·台州)单项式2a 的系数是( )
A ．2
B ．2a
C ．1
D ．a
2．(2015·济宁)化简－16(x －0.5)的结果是( )
A ．－16x －0.5
B ．16x ＋0.5
C ．16x －8
D ．－16x ＋8
3．(2015·巴中)若单项式2x 2y a ＋b 与－13x a －b
y 4是同类项，则a ，b 的值分别为( )
A ．a ＝3，b ＝1
B ．a ＝－3，b ＝1
C ．a ＝3，b ＝－1
D ．a ＝－3，b ＝－1
4．(2015·临沂)多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是( )
A ．x －1
B ．x ＋1
C ．x 2－1
D ．(x －1)2
5．(2015·呼和浩特)下列运算，结果正确的是( )
A ．m 2＋m 2＝m 4
B ．(m ＋1m )2＝m 2＋1m
2 C ．(3mn 2)2＝6m 2n 4 D ．2m 2n ÷m n
＝2mn 2 6．(2014·江西)下列运算正确的是( )
A ．a 2＋a 3＝a 5
B ．(－2a 2)3＝－6a 6
C ．(2a ＋1)(2a －1)＝2a 2－1
D ．(2a 3－a 2)÷a 2＝2a －1
7．(2014·乐山)苹果的单价为a 元/千克，香蕉的单价为b 元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需( )
A ．(a ＋b)元
B ．(3a ＋2b)元
C ．(2a ＋3b)元
D ．5(a ＋b)元
8．(2013·枣庄)图1是一个长为2a ，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )
A ．2a b
B ．(a ＋b)2
C ．(a －b)2
D ．a 2－b 2
9．(2014·苏州)计算：a ·a 2＝________.
10．(2015·株洲)因式分解：x 2(x －2)－16(x －2)＝________________．
11．(2015·金华)已知a ＋b ＝3，a －b ＝5，则代数式a 2－b 2＝________.
12．(2014·咸宁)体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x 元，一个篮球y 元．则代数式500－3x －2y 表示的实际意义是____________________.
13．(2015·安顺)如图所示是一组有规律的图案，第1个图案是由4个基础图形组成，第2个图案是由7个基础图形组成，…，第n(n 是正整数)个图案中的基础图形的个数为________(用含n 的式子表示)．
14．(2015·益阳)化简：(x ＋1)2－x(x ＋1)．
15．(2015·长沙)先化简，再求值：(x ＋y)(x －y)－x(x ＋y)＋2xy ，其中x ＝(3－π)0，y ＝2.
16．(2013·娄底)先化简，再求值：(x ＋y)(x －y)－(4x 3y －8xy 3)÷2xy ，其中x ＝－1，y ＝
33
.
17．(2013·北京)已知x 2－4x －1＝0，求代数式(2x －3)2－(x ＋y)(x －y)－y 2的值．
18．(2014·威海)已知x 2
－2＝y ，则x(x －3y)＋y(3x －1)－2的值是( )
A ．－2
B ．0
C ．2
D ．4
19．(2014·日照)若3x ＝4，9y ＝7，则3x －2y 的值为( ) A.47 B.74 C ．－3 D.27
20．(2015·南京)分解因式(a －b)(a －4b)＋ab 的结果是__________．
21．(2015·铜仁)请看杨辉三角(图1)，并观察下列等式(图2)：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…
图1
(a ＋b)1＝a ＋b
(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2
(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3
(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4
…
图2
根据前面各式的规律，则(a
＋b)6＝________________________________________________________________.
22．(2013·义乌)如图1，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
(1)设图1中阴影部分面积为S 1，图2中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 的代数式表示S 1、S 2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
温馨提示：“整合集训”完成后，可酌情使用P15滚动小专题(一)类型2“整式的运算”进行强化训练！
考点解读
①乘积 ②字母 ③数字 ④指数的和 ⑤和 ⑥次数最高 ⑦多项式 ⑧相同 ⑨相同 ⑩同类 ⑪系数 ⑫
不改变 ⑬改变 ⑭a m ＋n ⑮a mn ⑯a n b n ⑰a m －n ⑱系数 ⑲指数 ⑳相加 ○21ma ＋mb ＋mc ○22相加 ○
23ma ＋mb ＋na ＋nb ○24指数 ○25相加 ○26a 2－b 2 ○27a 2±2ab ＋b 2 ○28乘积 ○29m(a ＋b ＋c) ○30(a ＋b)(a －b) ○31(a±b)2 ○32提公因式 ○
33公式法 各个击破
例1 2 005
题组训练 1.A 2.C 3.3 4.1
例2 原式＝2a 2＋4ab －(a 2＋4ab ＋4b 2)
＝2a 2＋4ab －a 2－4ab －4b 2＝a 2－4b 2.
当a ＝－1，b ＝3时，原式＝(－1)2－4×(3)2＝－11.
题组训练 1.B 2.x 7 3.0 4.4 5.原式＝a 2－3a ＋1－a 2＝1－3a.当a ＝
33
时，原式＝1－3a ＝1－ 3. 例3 －2y(x －3)2
题组训练 1.A 2.a(b －1) 3.y(x －3)(x ＋3) 4.a(x －1)(x －6)
整合集训
1.A
2.D
3.A
4.A
5.D
6.D
7.C
8.C
9.a 3 10.(x －2)(x －4)(x ＋4) 11.15 12.体育委员小金购买3个足球，2个篮球后剩余的钱 13.3n ＋1
14.方法一：原式＝(x ＋1)(x ＋1－x)＝x ＋1.方法二：原式＝x 2＋2x ＋1－x 2－x ＝x ＋1.
15.原式＝x 2－y 2－x 2－xy ＋2xy ＝xy －y 2.当x ＝(3－π)0，y ＝2时，原式＝2－4＝－2.
16.原式＝x 2－y 2－2x 2＋4y 2＝－x 2＋3y 2.当x ＝－1，y ＝3
3时，原式＝－(－1)2＋3×(33)2
＝0.
17.原式＝4x 2－12x ＋9－x 2＋y 2－y 2
＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x)＋9.
∵x 2－4x －1＝0，
∴x 2－4x ＝1.
∴原式＝3×1＋9＝12.
18.B 19.A 20.(a －2b)2 21.a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6
22.(1)S 1＝a 2－b 2，S 2＝12(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b)．(2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2
.。