行列式的若干应用 毕业论文

行列式的若干应用

The Number of Applications of The Determinants

专业: 数学与应用数学

作者:

指导老师:

摘要

行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用.

关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组

Abstract

Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry.

Keywords:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group

目录

摘要................................................................. II Abstract ............................................................... III

0 引言 (1)

1 行列式在线性方程组中的一个应用 (1)

2 行列式在初等代数中的几个应用 (2)

2.1 用行列式分解因式 (2)

2.2 用行列式证明不等式和恒等式 (3)

3 行列式在解析几何中的几个应用 (4)

3.1 用行列式表示公式 (4)

3.2 行列式在平面几何中的一些应用 (6)

3.3 行列式在三维空间中的应用 (8)

参考文献 (15)

0 引言

行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组（见文[1]-[5]）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文[2])、初等代数（见文[9]）、解析几何（见文[6]-[8]）、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.

1 行列式在线性方程组中的一个应用

设含有n 个变元的1-n 个一次线性方程组为

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++---.

0,0,

0,122,111,122221*********n n n n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 设方程组（1）的系数矩阵A 的秩是1-n , 不失一般性, 假定不等于零的1-n 阶行列式是

n

n n n n

n a a a a a a a a a A ,13,12

,122322

11312

1---=

. 行列式1A 中的元素, 就是矩阵A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.

我们把n x x x ,,,32 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得

1

1

A x d x i i -= ),,3,2(n i = （2） 式中i d 是行列式1d 的第1-i 列元素换以1,12111,,,-n a a a 所成的行列式. 也就是

n

n i n n i n n n n i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,11,13,12

,121,2211,2232211,1111,11312-+------+-+-=

.

把i d 中第1-i 列移到第一列, 得

n

n i n i n n n n i i n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112

)1(-+-----+-+---=

.

上式右边的行列式用i A 表示, 行列式i A 是矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素所组成. 故

i i i A d 2)1(--=.

代入（2）式, 得

112)1(A x A x i i i -=--, 或1

1

1

)1(A x A x i i i =--. 结论[2]: 方程组（1）中的n x x x ,,,21 与n n A A A A 1321)1(,,,,--- 成比例, 式中

i A ),,2,1(n i = 是从矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素做成的行列式.

2 行列式在初等代数中的几个应用

2.1 用行列式分解因式

利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.

例2.1.1 分解因式：323232323232b ac c ba a cb b ca a bc c ab ---++. 解 222222()()()abc bc b c a c ac ab a b =-+-+-原式

()()()abc bc c b ab a c ab b a =-+-+- 1111

1

1

c a a abc bc

ac

ab

b c b =+-