行列式的若干应用 毕业论文
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 关键词.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3 1。
3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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6 2。
4加边法（升阶法）。
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5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
行列式计算方法论文
本科生毕业论文（设计）题目：行列式计算及其应用研究系部数学系学科门类理学专业数学与应用数学学号**********姓名张大儒指导教师王吟2011年 5 月15 日行列式计算及其应用研究摘要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学和现实生活中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文阐述行列式的定义及基本性质，介绍了利用行列式的性质计算、化三角形法、代数余子式法、加边法（升阶法）、范德蒙得行列式法等5种基本计算方法和数学归纳法、递推法、利用矩阵特征值计算、拆项法、因式分解法等5种特殊计算方法.本文也介绍了行列式在解析几何、代数中的理论应用和在工程建设、经济管理中的实践应用.这些行列式的计算方法及其应用可以提高我们对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入.关键词：行列式；因式分解；化三角形法；解析几何ABSTRACTDeterminant of higher algebra curriculum content of basic and important one in mathematics and real life has a wide range of applications, know how to calculate the determinant is very important. This paper describes the definition and basic properties of determinant, the determinant of the nature described by calculation of the triangle method, algebraic method, adding edge method (Ascending Order), Vandermonde determinant method of 5 basic calculation methods and mathematical induction, recursion, the use of eigenvalue calculation, the dissolution of entry method, such as the factorization method of 5 special calculation methods. This article also describes the determinant in analytic geometry, algebra theory is applied and engineering construction, the practical application of economic management. The determinant of the calculation method and its applications can improve our understanding of the determinant, to facilitate the determinant of research depth.Key words: determinant; factorization; triangle method; analytic geometry.目录1 行列式的定义及性质 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.1.1排列 (1)1.1.2定义 (1)1.2 行列式的相关性质 (2)2 行列式的计算方法 (4)2.1 行列式计算的基本方法 (4)2.1.1 利用行列式的性质计算 (4)2.1.2 化三角形法 (5)2.1.3 代数余子式法 (5)2.1.4 加边法（升阶法） (7)2.1.5 范德蒙得行列式法 (9)2.2 行列式计算特殊方法 (12)2.2.1 数学归纳法 (12)2.2.2 递推法 (13)2.2.3 利用矩阵特征值计算 (16)2.2.4拆项法 (17)2.2.5 因式分解法 (18)3 行列式的应用 (19)3.1 行列式的理论应用 (19)3.1.1在解析几何中的应用 (19)3.1.2在代数中的应用 (21)3.2 行列式在实践中的应用 (24)参考文献 (1)1 行列式的定义及性质行列式的定义及性质是计算行列式的基础有必要进行介绍.1.1 行列式的定义 1.1.1排列]4[在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列.1.1.2定义]6[n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a (1-1)的代数和，这里n j j j j 321是n 2,1的一个排列，每一项（1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j j 321是偶排列时，（1-1）带有正号，当n j j j j 321是奇排列时，（1-1）带有负号.这一定义可以写成12121211121()212221212(1)n n nn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑(1-2)这里表示对所有n 级排列求和.1.2 行列式的相关性质]2[记111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，112111222212n n nnnna a a a a a D a a a '=，行列式D '称为行列式D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.证: 记111212122212n n n n nnb b b b b b D b b b '=，即ij ij b a = ),2,1,(n j i =，按行列式定义121212()12(1)n n nj j j j j nj j j j D b b b τ'=-∑121212()12(1)n n nj j j j j j n j j j b b b D τ=-=∑.性质2:互换行列式的两行(列)，行列式反号.证:11111212221pq n p q n n npnqnna a a a a a a a D a a a a =，交换第q p ,两列得行列式111112122211q p n q p n n nqnpnna a a a a a a a D a a a a =.将D 与1D 按(1.6)式计算，对于D 中任一项1212(1)p q n I i i i p i q i n a a a a a -其中I 为排列1pqn i i i i 的逆序数，在1D 中必有对应一项11212(1)q p n I i i i q i p i n a a a a a -（当q p j ,≠时，第j 列元素取ij a ，第p 列元素取q i q a ，第q 列元素取p i p a )，其中1I 为排列1qpn i i i i 的逆序数，而1pqn i i i i与1qpn i i i i只经过一次对换，由定理1知，(1)I -与1(1)I -相差一个符号，又因12121212(1)q p n p q n I i i i q i pi n i i i p i q i n a a a a a a a a a a =-,所以对于D 中任一项，1D 中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D 与1D 的项数相同，所以1D D -=.交换行列式j i ,两行记作),(j i r ，交换行列式j i ,两列，记作),(j i c .推论 若行列式有两行(列)元素对应相等，则行列式为零.性质3:行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式. 第i 行(列)乘以数k ，记作.))((k i r ))](([k i c .性质4:行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零. 性质5:若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如1112121222112212n n i i i i in inn n nna a a a a a D a a a a a a a a a ='''+++，则行列式D 等于下列两个行列式之和：1112111121212222122212121212n n n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a =+'''.性质6:把行列式某一行(列)的元素乘以数k ，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.例如，以数k 乘以第i 行上的元素加到第j 行对应元素上记作)]([k i j r +，有111211112112121211221211[()]()n n i i ini i inj j jn j j j j jn jnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a r j i k i j a a a a ka a ka a ka a a a a a a +≠+++2 行列式的计算方法这一部分阐述两个方面内容:2.1行列式计算的基本方法， 2.2 行列式计算特殊方法.2.1 行列式计算的基本方法基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法、升阶法、范德蒙的行列式法.2.1.1 利用行列式的性质计算例1： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称n D 为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零. 证：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----， 由行列式的性质A A '=，121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ =n n D )1(-当n 为奇数时，得n D =n D ，因而得n D = 0.2.1.2 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例2 计算n 阶行列式n ab b b a b D bb a=解：()[]a b b a bbb n a D n1111-+=()[]ba b a bbb n a ---+=000011()[])1()(1---+=n b a b n a2.1.3 代数余子式法在一个n 级行列式D 中,把元素ij a 所在的行与列划去后，剩下的2)1(-n 个元素按照原来的次序组成的一个)1(-n 阶行列式ij M ,称为元ij a 的余子式，ij M 带上符号)()1(j i +-称为的ij a 代数余子式,记作ij j i ij M A )()1(+-=定理1: 行列式等于其第 i 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即ij nj ij nn nn ij ij A a A a A a A a A a A a D ∑==+++++=1131312121111证：先证特殊情况元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;1121222120n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000ni iin nn nna a a D a a a a a a =+++++++++111211112111121121212120000n n n i i in n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++同理有:nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.例3 计算四阶行列式 4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.证: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.2.1.4 加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法.它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算.根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列.加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，例4计算n 阶行列式nn n nn a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x D ++++=321321321321. 解：110nn na a D D =1211002,,11001n i a a a x i n x x-=+--第行减第1行1211000000nj nj a a a a xx x x=+=∑11nj n j a x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑例5]3[ 计算)2(≥n n 阶行列nn a a a a D ++++=1111111111111111321，其中12n a a a ≠.解： 先将n D 添上一行一列，变成下面的1+n 阶行列式：nn a a a D +++=+1110111011101111211显然，n n D D =+1.将1+n D 的第一行乘以1-后加到其余各行，得nn a a a D 0010010011111211---=+ 因0≠i a ，将上面这个行列式第一列加第)1,,2(+=n i i 列的11-i a 倍，得：111122111111111100000100 00010ni in n nna a a D D a a a a =++-==-=-∑121211000011 1 10nnn i i i ina a a a a a a a ==⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.2.1.5 范德蒙得行列式法根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种.这种变形法是计算行列式最常用的方法.例1 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第1-n 行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏例2 计算1n +阶行列式122111111111122122222222122111111111n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ---------++++++++=．其中1210n a a a +≠．解 这个行列式的每一行元素的形状都是k i k n i b a -，k =0，1，2，…，n ．即i a 按降幂排列，i b 按升幂排列，且次数之和都是n ，又因0i a ≠，若在第i 行（i =1，2，…，n ）提出公因子n i a ，则D 可化为一个转置的范德蒙得行列式∏∏+≤≤≤+=+++++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111112111122222221121111121111n i j j j i i n i n i nn n n n n n nnn n n na b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b aa a D()∏+≤≤≤-=11n i j j i jib a ab例3 计算行列式xyxzyzz y x z y xD 222=.解：))()()((222222)1()3(22222)1)(()3(y z x z x y xz yz xy xzyz xy z xz yz xy y xz yz xy x z y x z y xxyz yz xz yz y yz xz xy z y x z y x D x z y ---++=+++++++++=++++++=+++例4 计算行列式n nn n n n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=解：作如下行列式,使之配成范德蒙行列式nn nn n n n n n n n n n n n nny x x x y x x x y x x x y x x x y x x x y P21111211222221222221211111)(--------= = ∏∏≤<≤=--ni j j ini i x xx y 11)()(易知n D 等于)(y P 中1-n y 的系数的相反数,而)(y P 中1-n y 的系数为∏∑≤<≤=--ni j j i nk kx x x 11)( ,因此,∑∏==≤<≤-=nk ni j j ikn x xx D 11)(例5 计算n 阶行列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型.先将的第n 行依次与第1-n 行，2-n 行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第1-n 行，2-n 行，…, 2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第1-n 行对换，这样，共经过2)1(12)2()1(-=+++-+-n n n n 次行对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：∏∏≤<≤≤<≤----=+--+--=ni j ni j n n n n n j i j n a i n a D 112)!(2)1()()1()]()[()1(2.2 行列式计算特殊方法在2.1中介绍了一些行列式基本计算方法，但基本方法只能处理一些较为简单的行列式，不能满足实际应用的需要.下面将在基本方法的基础上介绍一些较为复杂的方法.2.2.1 数学归纳法当n D 与 1+n D 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之. 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明.因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式.例6 计算行列式 xa a a a a x xx D n n n +---=--1232100000100001. 解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解当2=n 时，21221222)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-=假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .2.2.2 递推法 2.2.2.1基本概念定义1]7[： 形为02211=++++---r n r n n n d k d k d k d (2-1) 的关系式称为r 阶齐次线性递推关系式，其中n k k k k 321,,，均为常数，并且r k ≠0，对应的方程02211=++++--n r r r k x k x k x (2-2)称为(2-1)的特征方程. 定义2：对于序列 ,,,210a a a 定义 +++=2210)(x a x a a x G ,为序列 ,,,210a a a 的母函数.2.2.2.2 二阶常系数齐次递推表达式的解]8[已知递推表达式021=++--n n n qd pd d (p ，q 为常数且q 不为零) (2-3)对应的特征方程为02=++q px x (2-4)10,d d 的值已知.下面来解递推表达式(2-3)满足初始条件的特解： 对于序列 3210,,,d d d d令 332210)(t d t d t d d t G +++= 为序列 3210,,,d d d d 的母函数则 t pd d d t G qt pt )()()21(010++=++ 从而 21)()(010qtpt tpd d d t G ++++=再令 211)(qt pt t H ++=以下分三种情况来讨论：a) 特征方程02=++q px x 有两个相异实根:21,r r 时tr Bt r A t r t r t H 212111)1)(1(1)(-+-=--=n n n n nn n nt Br Ar t r B t r A)()()(2010201+=+=∑∑∑∞=∞=∞=其中212211,r r r B r r r A --=-= 所以)(])([)(010t H t pd d d t G ++=nn n n n n n n n n n nn n n t r r pd d t r r d r r d t r r r r pd d t r r r r d )])(()([1)()(2101121100210112110210112110210-++--+=--++--=++∞=+++∞=++∞=∑∑∑故=n d 211r r -)])(()(210112110n n n n n r r pd d t r r d -++-++ )2(≥n 特征方程02=++q px x 有两个共轭复根:21,r r 时这种情况下(5)式也正确，但其中含有复数形式，以下来消除复数形式)sin (cos 2,1θθi r r ±=，其中pp q b aq b a r --===+=2224arctanarctan ,θ 根据欧拉公式得 θ)1sin(2211211+=-+++n iqr r n n n （2-5）θn iq r r n n n sin 2)(221=- （2-6）把（2-6）、（2-7）代入（2-5）得]sin )()1sin([sin 1210120θθθn q pd d n q d d n n n -+++= （2-7）特征方程02=++q px x 有两个相等实根:221pr r -==时)()11()1(1)1(1)(02121∑∞==-=-=-=n nu du d udu d u t r u t r t H111111-∞=-∞=-∑∑==n n n n n t nr nu)(])([)(010t H t pd d d t G ++=nn n n nn n n n n t r pd d n r d n d t r pd d n tnr d ])()1[()(110111001101111110-∞=-∞=∞=--++++=++=∑∑∑故 110110)()1(-+++=n n n r pd d n r d n d （2-8）2.2.2.3 举例例7求n 阶行列式5000005100015100015100015的值解：利用行列式的性质，按第一行展开得递推关系式0521=+---n n n d d d )2(>n (2-9)对应的1,5=-=q p .计算21,d d 得24,521==d d 对于（2-10）令2=n ,得0d =1,( 0d 无实际意义) 递推关系（2-10）对应的特征方程为0152=+-x x (2-10)得两个不同实特征解为2215,221521-=+=r r 代入（2-5）得212)215()215(111+++--+=n n n n d例2]9[ 求n 阶行列式2000002100012100012100012的值解 利用行列式的性质用第一行展开得递推关系式0221=+---n n n d d d )2(>n (2-11)对应的1,2=-=q p .计算21,d d 得3,221==d d 对于（2-11）令2=n ,得0d =1,( 0d 无实际意义) 递推关系（2-11）对应的特征方程为0122=+-x x (2-12)得两个相同实特征解为121==r r把1,2=-=q p ,0d =1,21=d 以及121==r r 代入（2-9）得1+=n d n2.2.3 利用矩阵特征值计算1.特征值的定义]5[设 A 是n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x ，使得 x Ax λ= 成立，则称λ是A 的一个特征值.非零n 维列向量x 称为矩阵A 的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A 的特征向量.求矩阵特征值的方法：x Ax λ=，等价于求λ，使得0)(=-A E λ其中E 是单位阵，0为零矩阵，0=-A E λ求得的λ值即为A 值.定理2:如果n 阶矩阵A 的全部特征值为n λλλλ 321,,，则n A λλλλ⋅⋅⋅⋅= 321. 定理3:设λ为方阵A 的特征值，)(A ϕ为A 的多项式，则)(λϕ为)(A ϕ的特征值. 利用特征值的求法及定理2可以计算行列式的值，举例如下例8 已知三阶矩阵A 特征值为-1,1,2.设(),523A A A -=Φ求：EA A A 5,)(,-Φ]3[解 ① 由定理2得： 22)1(1-=⨯-⨯=A② 因为(),523A A A -=Φ由定理3得)(A Φ的特征值为：1,6,4321-=-=-=λλλ 所以24)1()6()4()(-=-⨯-⨯-=ΦA③A 的特征多项式为)1)(2)(1()()(+--=-=λλλλA E x f令5=λ，得72)15)(25)(15()5()5(=+--=-=A E f故725)1(53-=--=-A E E A例9 求n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110A 的特征值及行列式． 解 ααμλλ'-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-E E A E 111111111)1( ，其中1+=λμ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 α．由以上讨论ααμ'-E 的根是0=μ（1-n 重）和n ='=ααμ.于是A 的特征值中有1-n 个满足01=+λ，另一个满足n =+1λ.所以A 的特征值为111-===-n λλ 和1-=n n λ．又=A )1()1(121--=-n n n λλλ2.2.4拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算.例10 计算行列式 nn n n n a a a a a a a a a D λλλ+++=21221211.解： nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a D λλλλλ+++++=212212121221211122100-+=n nnnD a a a a λλλ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∑=-ni i in n n a D a 12111211λλλλλλλ . 2.2.5 因式分解法如果行列式D 是某个变数x 的多项式)(x f ，可对行列式施行某些变换，求出)(x f 的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为)(x g ，则)()(x cg x f D ==，再比较)(x f 与)(x g 的某一项的系数，求出c 值.例11计算行列式1321321311321+++=x n x n x n D n.解：时1=x ,,0=n D 所以，n D x |1-.同理)1(,,2---n x x 均为n D 的因式,又因为i x -与)(j i j x ≠-各不相同n D n x x x |)1()2)(1(+--- 所以 ，但n D 的展开式中最高次项1-n x 的系数为1，故)1()2)(1(+---=n x x x D n .计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法.总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值.学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算.3 行列式的应用3.1 行列式的理论应用 3.1.1在解析几何中的应用例12 设),(11y x A ,),(22y x B 是平面上两个不同的点，那么过A ，B 的直线方程是1112211y x y x y x ＝0. 设直线的方程为， 0321=++a y a x a (1) 这里321,,a a a 不全为零. 由于A ，B 在直线上，故它们满足方程(1)，代入后得⎩⎨⎧=++=++.003222131211a y a x a a y a x a (2)将(1)与(2)合并，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.0003221232111321a a y a x a a y a x a ya xa (3)这是一个关于待定系数321,,a a a 的齐次线性方程组，由于321,,a a a 不全为零，所以(3)有非零解. 于是方程组的系数行列式为零，即 1112211y x y x y x (4)凡是在直线上的点必须满足(4)，反之，满足方程(4)的每一点必在经过A ，B 两点的直线上. 因此，方程(4)是通过平面上两定点),(11y x A ,),(22y x B 的直线方程.类似地有例13 设通过几何空间中不在同一直线上三点),,(111z y x ,),,(222z y x 与),,(333z y x 的平面方程为04321=+++a z a y a x a .把上述三点的坐标代入方程，得到关于4321,,,a a a a 的齐次线性方程组，它有非零解，因此系数行列式应等于零，即1111333222111z y x z y x z y x z y x ＝0. (5) 这是一个由行列式表示的平面方程.例14 设,0:,0:,0:321=++=++=++αγββαγγβαy x L y x L y x L 是三条不同的直线，若1L ,2L ,3L 交于一点，试证0=++γβα设交点为),(b a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.000αγββαγγβαb a b a b a (6)由于齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x αγββαγγβα (7)有非零解1,,===z b y a x ，故系数行列式D ＝αγββαγγβα＝0.根据行列式的性质D=αγββαγγβα＝αγγβαβαγβαγβγβα++++++＝)(γβα++αγβαγβ111＝)(γβα++γαβγγββαγβ----001＝])())()[((2γβγαβαγβα-+--++＝])()())[((21222αγγββαγβα-+-+-++. 由于1L ,2L ,3L 是三条不同的直线，所以 αγγββα---,, 不全为零. 且均为实数，因此，由0=D 知0=++γβα.3.1.2在代数中的应用]10[3.1.2.1分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例15ab c c ab bc a ＝abc c b a 3222-++ 而a b c c a b b c a ＝a b c b a c a c b a b c c b a ++++++＝)(c b a ++ab c a b c 111＝)(c b a ++ba cb bc c a bc ----001＝))((222bc ac ab c b a c b a ---++++.故有分解因式))((3222222bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++.例16 分解因式 b a bc ac bc ab c a 222222---++. 原式＝)()()(222222b a ab c a ac c b bc -+---=22c c b b -22c c a a ＋22b b aa ＝222111c c b b a a=222111c b a c b a ＝))()((b c a c a b ---. (范德蒙行列式) 所以))()((222222b c a c a b b a bc ac bc ab c a ---=---++.3.1.2.2 证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例17]10[ 已知0=++c b a , 求证abc c b a 3333=++. 证明 令abc c b a D 3333-++=, 则0000321==++++++==++ac b b a c acbb ac c b a c b a c b a a cb b a cc b a D r r r .命题得证.例18已知0≥≥≥c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 333333++≤++. 证明 令)(333333c a b c a b a c c b b a D ++-++=, 则21312222222222221111c c c c ab bc caab bc ab ca abbc ab ca ab D cb ac a c b c a c b c ------==--=--()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c =-+---+-()()()()b c a c a b c a c =--++-而0≥≥≥c b a , 则0≥D , 命题得证.例19]1[“杨辉三角形”中的行列式问题. 考察下面的行列式D ＝2010411063143211111,它的结果等于1，同时不难发现1＝1,2111＝1, 631321111＝1. 这一现象并非偶然. 经观察，发现这些行列式的元素从某一角度看构成“杨辉三角”的一部分，现表示如下：1 1 1 12 1 13 3 1 1 46 4 1 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 217 1… … … … … … … … … … … … … … … … …规定00C ＝1，上面的三角形可写成下面的形式： 00C01C11C 02C 12C 22C03C13C 23C 33C 04C 14C 24C 34C 44C … … …… … … … … … 01-n C 11-n C … … … … … 21--n n C 11--n n C 0n C 1n C … …… r n C… … ⋯ 1-n n C n n C于是，猜想有如下命题：n D ＝1222322110113224221102121231211122221100----+--------------n n n n n nn n n n n n n n n nn n n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C＝1.下面证明这个猜想是对的.我们用数学归纳法来证明.(1)1D ＝|00C |＝1，命题成立； (2)假设k D ＝1，即k D ＝1222322110113224221102121231211122221100----+--------------k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C＝1.对1+k D 讲，1+k D ＝k kk k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 2112222110121222321012213224211021121120111221100----+-------------+-------.从最后一行起，每一行减去相邻的上一行，并根据组合数的性质m n C 1+-m n C ＝1-m nC 得 1+kD =1122221101222321011121302121120111221100001----+------+------k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C.按照第1列展开1+k D ，得=+1k D 11222211012223210111213021211201----+------+----k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C从最后一列起，每一列减去它相邻的前1列，并根据组合数的性质m n C 1+-1-m nC ＝mn C 得 1+k D ＝122232101322421101121120211221101-----------------k k k k kkk k k k k k k kk k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C＝k D ＝1.因此，由数学归纳法原理知n D =1.3.2 行列式在实践中的应用例18]11[江堤边一洼地发生了管涌，江水不断的涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台？解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，每台抽水机每分钟可抽水c 立方米（0≠c ），由此再设x 台抽水机抽完水需t 分钟，则依题意，即得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+00641608040xtc tb a c b a c b a 这是一个关于c b a ,,为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系数行列式D ＝016416180401=---xtt展开，得:23160-=x t ∵ 10≤t ，∴ 1023160≤-x ，解之得:6≥x ，所以如果在10分钟内抽完水，至少需要抽水机6台.行列式在诸如建筑小区的楼房排列、单片机设计等工程中，都有很大的用途.合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）参考文献[1] 蒋省吾．杨辉三角中的行列式[J]，教学通报，1988，5：8-10[2] 张禾瑞．郝新高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1996.[3] 王品超.高等代数新方法[M].济南,山东教育出版社，1989.[4] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社,2003.[5]同济大学数学教研室．工程数学线性代数(第三版) [M]．北京：高等教育出版社，1999.[6] 王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[7] 李宇寰.组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，1988.[8] 杨振声.组合数学及其算法[M].北京：中国科学技术出版社，1997.[9] 陈景润.组合数学简介[M].天津：天津科学技术出版社，1988.[10] 汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008，3：9-10.[11] [美]David y.Linear Algebra and Its Applications[M].电子工业出版社，2004.1。
行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文
ANAMtm tJhi・I TV本科生毕业论文题目：姓名：学号：系别：年级：专业：指导教师：指导教师：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用2008020230462008 级数学职称:副教授职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级学生姓名韦诚毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：20H年9月5日至2012年4月20指导老师签字:学生签字:《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律, 选择合适的il•算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized coinpulsory of the basic mathematic- The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation , alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours • There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,“nd we will find that their elements are arranged in row s or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an importanf theory in linear equations and it is an indis pensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and proinotion. It is not only the solution of linear equations of the important took but also in some other branch has a wide range of app lications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言1屛介行列式的定义 2屛介行列式的性质 3计算屛介行列式的具体方法与技巧利用行列式定义直接计算 利用行列式的性质计算 化为三角形行列式逆推公式法拆开法3.4 降阶法 3.6 利用范德蒙德行列式 3.7 加边法（升阶法） 3.8数学归纳法 10 4行列式在线性方程组中的初步应用 11 4.1克拉默（Gramer ）法则 12 4.2克拉默（Gramer ）法则的应用1211421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13 422克拉默法则及其推论在几何上的应用14 结论16 参考文献17 致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位•因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir = V求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是®要的内容.对于二元线性方程组当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即”•…“ _ “山一如勺Aj — * ---------------- —^*11^22 -如切如“处-0皿21我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组«21(»2 2«11 %“21 ©2勺心22你如一竹S I =«21如5內+如兀2+"/3=久+"22X2 +^23^3 =®， «3 內 +432大2 +"33X3 =%利'彳弋 工弋 1^22^^33 + ^12^23^^31 + ^13^21^^321^23^32 ^12^^21^^33 ^^13^^22^31 丿7^5行列式，用符号表示为:"H "22"33 +“12°23"刃 +«)3«21^32 "^^11^23^32 "如①心彳 _'WWsi =我们有：当三级行列式«11 «12 "|3«21 «22 «23“31 ^32 “33时，上述三元线性方程组有惟一解，解为4厶X 严+，尤2=〒，a a其中S «12 勺3«H 勺"|3£ =■■■«23,J,="21 勺 “23，〃3 =5 U" b 、妇"32 “33«31 % "33如］“32 S在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组4内+4胪2+…+你忑=勺 “2 內+"22兀2+…+ “2届=2弘内+0小：2+…+ 4汁為="/<的情形•为此，我们首先要给出〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是 本论文的主要内容.«11 ®2 ®3"21 ^22 "23 "31 “32 “33cl =1 n阶行列式的定义“21 “22.... -^211"川...... 弘"等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几（1）的代数和，这里jj2…h是12…，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j|j2…人是偶排列时，（1）带正号，当是奇排列时，（1）带有负号•这一定义可以写成二2（_严"5畑..％恥…人这里X表示对所有阶排列求和・丿"2・・・人定义表明，为了计算《阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元素构成的乘积。
行列式的性质及应用论文
行列式的性质及应用论文行列式是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来探讨行列式的相关内容。
首先，我们来讨论行列式的性质。
行列式是一个标量，它可以表示矩阵所围成的平行四边形的面积或者体积。
行列式的计算可以通过拉普拉斯展开定理、三角矩阵法和克拉默法则等方法来进行。
下面是行列式的一些重要性质：1. 行列式的性质一：行列式的值与行列式的转置值相等。
即，对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
2. 行列式的性质二：行列式的值等于它的任意两行（或两列）互换后的值的相反数。
即，如果将矩阵A的第i行和第j行进行互换，那么有det(A) = -det(A')，其中A'是矩阵A进行行互换后的矩阵。
3. 行列式的性质三：如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素全为零，则行列式的值为零。
即，如果A的某一行（或某一列）所有元素都为零，则有det(A) = 0。
4. 行列式的性质四：行列式的某一行（某一列）的元素都乘以一个常数k，等于用该行（该列）的元素乘以k的行列式的值。
即，如果将矩阵A的第i行的所有元素都乘以k，那么有det(A) = k * det(A')，其中A'是矩阵A进行行数乘k后的矩阵。
行列式的这些性质使得我们可以通过简单的操作来计算复杂矩阵的行列式，从而简化线性代数的运算。
接下来，我们来探讨行列式的应用。
行列式在数学和工程中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 线性方程组的解：行列式可以用来求解线性方程组的解。
对于一个n阶方阵A和一个n维向量b，如果det(A)≠0，那么方程组有唯一解；如果det(A) = 0，那么方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵的逆：行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，那么A是可逆的，且其逆矩阵的行列式为1/det(A)。
3. 平面和体积的计算：行列式可以用来计算平面和体积的面积或体积。
行列式的性质及应用论文范文
华北水利水电学院行列式的性质及应用课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2012年11月05 日摘要： 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。
本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。
通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。
关键词： 递推法 行列式 三角化法 公式法 数学归纳法英文题目: Determinantal properties and applicationAbstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat,on our learning will bring very useful help.Key words: Recurrence method Determinant triangularization method formula method mathematical induction 正文：1 引言: 问题的提出在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题，如①11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩②11112211121222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 运用行列式可以解决如②的n 元一次方程组的问题。
范德蒙行列式的若干应用论文--大学毕业设计论文
海南师范大学目录第一章. 绪论1.1引言- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1.2范德蒙行列式的证明- - - - - - - - - - - - - - 11.2.1 用数学归纳法证明范德蒙行列式1.2.2 用定理证明范德蒙行列式1.3范德蒙行列式的性质- - - - - - - - - - - - - - 4 第二章. 范德蒙行列式的推广与应用- - - - - - - - - 52.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.2范德蒙行列式在求解n阶k循环行列式中的应用2.3范德蒙行列式在解决多项式的求根问题中的应用2.4范德蒙行列式在解答整除问题中的应用2.5范德蒙行列式在等差数列拆项中的应用2.6范德蒙行列式在微积分中的应用参考文献致谢范德蒙行列式的若干应用作者：高亚南指导教师：黄晓芬博士摘要: 行列式是线性代数的主要内容之一,它是线性代数的决定因素，这是在矩阵，线性方程，向量空间和线性变换之后的的基础上，具有一个非常重要的作用。
该n阶行列式是Vandermonde行列式著名的线性代数，它构建了一个独特而美丽的外形，而且还因为它具有广泛的应用前景，因而成为一个众所周知的决定因素。
范德蒙行列式不仅仅是极为重要的行列式之一，而且也是近代线性代数的一个分支。
范德蒙行列式的应用十分广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它还可以于证明行列式的一些问题，一些关于多项式的证明以及数列拆项等问题上。
本文将从线性代数、多项式理论，行列式向量空间理论等方面进行研究证明。
关键词: 行列式;范德蒙行列式;微积分；多项式理论；Vandermonde Determinant Of ApplicationsAuthor:Gao Yanan Tutor:Doctor Huang XiaofenAbstract:The determinant is one of the main content of linear algebra, it is a major determinant of linear algebra, this is in the matrix, linear equations, vector Spaces andlinear transformation, on the basis of has a very important role. The n order determinant is a famous Vandermonde determinant of linear algebra, it constructed aunique and beautiful appearance, but also because it has a broad application prospect,thus become a well known determinant. Vandermonde determinant, is a kind of extremely important determinant, at the same time is a branch of modern linear algebra. V andermonde determinant application is more extensive, not only applied tosome determinant calculation, and it can also prove that the determinant of someproblem and some certificates and some of the characteristics about the polynomialvector linear independence on such issues. This article will from linear algebra, theoryof polynomial, calculus, determinant, etc are studied.Key words: Determinant, vandermonde determinant, infinitesimal calculus,theoryof polynomial第一章.绪论1.1引言范德蒙行列式，是具有深刻研究价值的行列式，同时也是近代线性代数的一个分支。
本科数学与应用数学毕业论文《分块矩阵行列式计算的若干方法》
分块矩阵行列式计算的若干方法摘要:矩阵是线性代数中研究的重要对象，也是数字计算中的一个重要工具，矩阵运算具有整体性和简洁性的特点。
我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。
为了研究问题的需要，适当的对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚，表达和运算更简便的特点。
矩阵分块的思想在线性代数证明以及应用中是十分有用的。
运用矩阵分块的思想，可使解题更简洁，思路更开阔。
本文就将分块矩阵的思想运用到行列式的计算当中来，利用分块矩阵来计算行列式，并且得出一些简便的方法。
借助准三角形分块矩阵的行列式值的结果简化高阶行列式的计算。
例如，本文讨论了利用分块矩阵计算行列式的︱H ︱=BC DA 方法，即（1）当矩阵A 或B 可逆时；（2）当矩阵A=B,C=D 时；（3）当A 与C 或者B 与C 可交换时；（4）当矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时等一些方法去探究分块矩阵行列式计算求值的若干方法。
关键词:分块矩阵；准三角形分块矩阵；可逆矩阵；行列式；计算；单位矩阵Several Measures Of Block Matrix In ComputingDeterminantAbstract ：Matrix is the important object which in the linear algebra studies, is also a important tool in the digital computation . The matrix operation with integrity and simplicity of the characteristics. We should pay attention to some special rules of the matrix operation fully.In order to study the issue of the need, we carries on the piecemeal suitably to the matrix,regard a big matrix as some small ones,which integrate it, This will enable the matrix structure more clearly,with the characteristics of expression and computing easier.The thought of dividing matrix into blocks is veryimportant in proving and applying the linear e the thought of dividing matrix to blocks can help us to solve problems more pithily and think methods more widely.This thesis uses the blocking matrix method into the calculation of determinant,tries to solve the linear equations . Severa1 more general results are proved through the way aided by the result of the determinants for quasi-triangle piece matrices ，which does not change the nature of the determinnts ，For example,this article discussed the methods of computing ︱H ︱=B C DA with using blockmatrix. That is:(1)A and B are invertible matrixes;(2)A=B and C=D;(3)AC=CA or BC=CB;(4)matrix H is divided into two particular matrix , And some other ways to explore block matrix determinant for Calculating its valueKey words ：block matrix; quasi —triangle piece matrices ；inverse matrices ；determinants ； computation ；unit matrix目 录1、引言.............................................................................................1 1.1、矩阵分块的意义...........................................................................1 1.2、关于矩阵的引理及符号..................................................................2 1.2.1矩阵的一些符号.....................................................................2 1.2.2关于矩阵的引理.....................................................................2 1.2.3 矩阵的分块和分块矩阵的定义 (3)1.2.4 分块矩阵的性质 (3)2、将分块矩阵分成方阵元素计算行列式 (5)2.1分块矩阵行列式计算的几种情况 (5)2.1.1分块矩阵的元素可逆 (5)2.1.2分块矩阵有元素相等的情况 (8)2.1.3定理2.2的推广 (9)2.1.4分块矩阵的元素可交换 (10)2.1.5定理2.4的另一种情况 (11)3、将分块矩阵分成非方阵元素计算行列式 (13)3.1分块矩阵行列式计算的其它结果 (13)3.1.1分块矩阵元素中有行、列向量 (13)3.1.2将矩阵分成两个特殊矩阵的和 (13)3.2分块矩阵应用于行列式计算的例题 (17)3.3将分块矩阵的元素划分为m×n矩阵 (19)4、参考文献 (21)5、致谢 (22)1、引言1.1矩阵分块的意义在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。
行列式解法小结 数学毕业论文
行列式解法小结数学毕业论文
行列式解法是线性代数中重要的一种方法，可以广泛地应用于各个领域，如物理、工程、经济等。
本文就行列式解法进行了全面的介绍和分析，并探讨了它在实际应用
中的具体作用。
首先，本文阐述了行列式作为一个矩阵的一个属性，描述了它的定义、性质和计算方法。
行列式的定义是通过对一个矩阵中所有可能的排列进行组合，求得的一个标
量值。
它具有很多有用的性质，如行列式关于行和列的互换、行列式的线性性质等。
计算行列式可以使用伴随矩阵或展开式等方法。
其次，本文讨论了行列式作为一个代数工具的应用。
通过分析行列式与线性方程组之间的关系，我们可以发现，行列式可以被用来检测线性方程组解的性质。
如果行
列式的值为零，则该线性方程组无唯一解。
但如果其值不为零，则有唯一解。
此外，本文还阐释了行列式在求解矩阵乘法、求逆矩阵及求解特征值的应用。
通过行列式解法可以很容易地计算出矩阵的乘积、逆矩阵以及特征值等，这对于实际应
用中的矩阵相关问题具有很大的意义。
最后，本文对于行列式的具体应用进行了分析。
在物理领域中，如电学和热学计算问题里，行列式经常出现在方程组的解中。
在机器学习领域，行列式也被广泛地应
用于求解数据的特征值和特征向量。
在工业制造领域中，行列式可以用于计算机器人
的运动，以及控制系统的分析。
综上所述，行列式在数学中具有很重要的地位，并且在各个应用领域都有着非常广泛的应用。
因此，学习和掌握行列式解法对于从事数学及相关领域的人员来说是非
常必要的。
行列式的计算及应用毕业论文
行列式的计算及应用毕业论文行列式的计算及应用毕业论文目录1. 行列式的定义及性质 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.1.1 排列 (1)1.1.2 定义 (1)1.2 行列式的相关性质 (1)2. 行列式的计算方法 (5)2.1 几种特殊行列式的结果 (5)2.1.1 三角行列式 (5)2.1.2 对角行列式 (5)2.2 定义法 (5)2.3 利用行列式的性质计算 (5)2.4 降阶法 (6)2.5 归纳法 (7)2.6 递推法 (8)2.7 拆项法 (9)2.8 用德蒙德行列式计算 (10)2.9 化三角形法 (10)2.10 加边法 (11)2.11 拉普拉斯定理的运用 (12)2.12 行列式计算的Matlab实验 (13)3. 行列式的应用 (15)3.1 行列式应用在解析几何中 (15)3.2 用行列式表示的三角形面积 (15)3.3 应用行列式分解因式 (16)3.4 利用行列式解代数不等式 (17)3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17)3.6 行列式在实际中的应用 (18)总结 (20)参考文献 (21)附录1 (22)附录2 (22)附录3 (23)谢辞 (24)1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义1.1.1 排列[1]在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.1.1.2 定义[1]n 阶行列式nnn n n na a a a a a a a a D212222111211=就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积nnj j j a a a 2121 (1-1-1)的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为n nn nj j j j j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a D21212121)(212222111211)1(∑-==τ， (1-1-2)这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列求和.由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为n i i i i i i i i i nn n n nnn n a a a a a a a a a a a a D21)(212222111211212121)1(∑-==τ.（1-1-3） 1.2 行列式的相关性质记 nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=,nnn nn n a a a a a aa a a D 212221212111'=,则行列式'D 叫做行列式D 的转置行列式.性质1 行列式和它的转置行列式是相等的[2]. 即D D ='. 证明：记D 中的一般项n 个元素的乘积是,2121n nj j j a a a它处于D 的不同行和不同列，所以它也处于'D 的不同行和不同列，在'D 中应是,2121n j j j n a a a所以它也是'D 中的一项.反之, 'D 的每一项也是D 的一项，即D 和'D 有相同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以D D ='.性质2 nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211=. 证明：inin i i i i nnn n in i i n A ka A ka A ka a a a ka ka ka a a a +++=2211212111211.)(2121112112211nnn n in i i nin in i i i i a a a a a a a a a k A a A a A a k =+++=性质3 如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和[2]，如nnn n nn n a a a c b c b c b a a a D 21221111211+++=，那么行列式D 就等于下列两个行列式的和：.212111211212111211nnn n n n nn n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a D += 可以参照性质2的证明得出结论.性质4 对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反.即若设,21212111211nnn n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a D=,212121112111nnn n in i i kn k k na a a a a a a a a a a a D =则.1D D -=证明：记D 中的一般项中的n 个元素的乘积是.2121n k i nj kj ij j j a a a a a它在D 中处于不同行、不同列，因而在1D 中也处于不同行、不同的列，所以它也是1D 的一项.反之，1D 中的每一项也是D 中的一项，所以D 和1D 有相同的项，且对应的项绝对值相同.现在看该项的符号：它在D 中的符号为.)1()(21n k i j j j j j τ-由于1D 是由交换D 的i 、k 两行而得到的，所以行标的n 级排列n k i 12变为n 级排列n k i 12，而列标的n 级排列并没有发生变化.因此D 和1D 中每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即.1D D -= 性质5 如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.证明：设该行列式为D ，交换D 相同的那两行，由性质4可得D D -=,故.0=D性质6 如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为零.证明：设n 阶行列式中第i 行的各个元素为第j 行的对应元素的k 倍，由性质2，可以把k 提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第i 行与第j 行两行相同，再由性质5，最后得到行列式为零.性质7 把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.nnn n knk k knin k i k i na a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211+++nnn n kn k k kn k k nnnn n kn k k in i i n a a a a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211+=nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211=.2. 行列式的计算方法2.1 几种特殊行列式的结果2.1.1 三角行列式nn nn nna a a a a a a a a 221122*********=（上三角行列式）.nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=（下三角行列式）. 2.1.2 对角行列式nn nna a a a a a22112211000=. 2.2 定义法例1 用定义法证明.000000002121215432154321=e e d d c c b b b b b a a a a a 证明：行列式的一般项可表成.5432154321j j j j j a a a a a 列标543,,j j j 只能在5,4,3,2,1中取不同的值，故543,,j j j 三个下标中至少有一个要取5,4,3中的一个数，则任意一项里至少有一个0为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零.2.3 利用行列式的性质计算。
行列式的定义和性质及若干应用论文
行列式及其在初等数学中的应用【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。
1 行列式的定义和性质1.1行列式的定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。
例1 nn D n 000000100200100计算行列式 . 解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n 1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n1.2行列式的性质行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。
例 2 一个n 阶行列式ij n a D 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij 则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由 ji ij a a 知ii ii a a ，即n i a ii ,2,1,0 .故行列式可表示为000321323132231211312n nnn nn n a a a a a a a a a a a a D , 由行列式的性质'A A ，000)1(0000321323132231211312321323132231211312n n n n nn n nnnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n D 1 .为奇数时，得当n , n n D D 因而得0 n D . 2行列式的若干应用2.1 行列式在线性方程组中的一个应用设含有n 个变元的1 n 个一次线性方程组为.0,0,0,122,111,122221*********n n n n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 设方程组（1）的系数矩阵A 的秩是1 n , 不失一般性, 假定不等于零的1 n 阶行列式是nn n n nn a a a a a a a a a A ,13,12,122322113121. 行列式1A 中的元素, 就是矩阵A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.我们把n x x x ,,,32 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得11A x d x i i),,3,2(n i （2） 式中i d 是行列式1d 的第1 i 列元素换以1,12111,,, n a a a 所成的行列式. 也就是nn i n n i n n n ni i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,11,13,12,121,2211,2232211,1111,11312. 把i d 中第1 i 列移到第一列, 得nn i n i n n n ni i n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112)1(. 上式右边的行列式用i A 表示, 行列式i A 是矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素所组成. 故i i i A d 2)1( .代入（2）式, 得112)1(A x A x i i i , 或111)1(A x A x i i i . 结论[2]: 方程组（1）中的n x x x ,,,21 与n n A A A A 1321)1(,,,, 成比例, 式中i A ),,2,1(n i 是从矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素做成的行列式.3行列式在初等代数中的几个应用3.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例3.1.1 分解因式：323232323232b ac c ba a cb b ca a bc c ab .解: 222222()()()abc bc b c a c ac ab a b 原式()()()abc bc c b ab a c ab b a 111111c a a abc bcacabb c b111010bc a bcaabc ab c abc ab bc c a ac b ac bc b a()()()()abc ab bc b a ac bc c a()()()()abc b a c b a c a b c a()()()abc a b c a b c .例3.1.2 分解因式: ))((4)(2d b c a bc ab cd .解: 原式2()2()cd ab ab bc bc cd cd ab22()(2)cd abab cd bcbc cd ab cd bc1(2)2()1cd abab cd bc bc cd2(2)ab cd bc .3.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例3.2.1 已知0 c b a , 求证abc c b a 3333.证明： 令abc c b a D 3333, 则0000321acb b ac acbb ac c b a c b a c b a acbb a cc b a D r r r . 命题得证.例3.2.2已知,1,1,1 ay cx cy bx by ax 求证222c b a ca bc ab .证明： 令)(222c b a ca bc ab D , 则0000111111213c ba cb a cy bx cbay cx a c by ax b a c ba cb a D yc x c c命题得证.例3.2.3 已知0 c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 333333.证明： 令)(333333c a b c a b a c c b b a D , 则21312222222222221111c c c c ab bc caab bc ab ca abbc ab ca abD cb ac a c b c a c b c()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c()()()()b c a c a b c a c而0 c b a , 则0 D , 命题得证.4． 行列式在解析几何中的几个应用4.1 用行列式表示公式4.1.1 用行列式表示三角形面积以平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 为顶点的PQR 的面积S 是11121332211y x y x y x (3) 的绝对值.证明: 将平面),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 三点扩充到三维空间, 其坐标分别为112233(,,),(,,),(,,)x y k x y k x y k , 其中k 为任意常数. 由此可得：2121(,,0)PQ x x y y u u u r , 3131(,,0)PR x x y y u u u r则21213131(0,0,)x x y y PQ PR x x y y u u u r u u u rPQR 面积为1sin ,2S PQ PR PQ PR u u ur u u u r u u u r u u u r=12PQ PR u u ur u u ur2121313112x x y y x x y y11212131311102x y x x y y x x y y11223311121x y x y x y . 4.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过两点),(11y x P 和),(22y x Q 的直线PQ 的方程为01112211 y xy x y x . （4） 证明: 由两点式, 我们得直线PQ 的方程为212212y y y y x x x x .将上式展开并化简, 得021122121 y x y x y x y x xy xy此式可进一步变形为0111122112121y x y x x x yy y x此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证. 4.1.3 应用举例例 :若直线l 过平面上两个不同的已知点11(,)x y , 22(,)x y , 求直线方程. 解: 设直线l 的方程为0 c by ax , 不全为0, 因为点),(),,(2211y x y x 在直线l 上, 则必须满足上述方程, 从而有.0,0,02211c by ax c by ax c by ax 这是一个以c b a ,,为未知量的齐次线性方程组, 且c b a ,,不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即01112211 y x y x y x . 则所求直线l 的方程为0112211 y x y x . 同理, 若空间上有三个不同的已知点),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x z y x , 平面S 过C ,, , 则平面S 的方程为01111333222111 z y x z y x z y x z y x . 同理, 若平面有三个不同的已知点),(),,(),,(332211y x C y x y x , 圆O 过C ,, , 则圆O 的方程为0111133232322222211212122 y x y x y x y x y x y x y xy x . 4.2 行列式在平面几何中的一些应用4.2.1 三线共点平面内三条互不平行的直线.0,0,0333322221111 c y b x a L c y b x a L c y b x a L 相交于一点的充要条件是0333222111 c b a c b a c b a . 4.2.2 三点共线平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 在一直线的充要条件是0111332211y x y x y x . 4.2.3 应用举例例: 平面上给出三条不重合的直线:00333322221111 c y b x a L c y b x a L c y b x a L , 若0333222111 c b a c b a c b a , 则这三条直线不能组成三角形. 证明：设1L 与2L 的交点为),(11y x P , 因为1112223330a b c a b c , 将第1列乘上1x , 第2列乘上1y , 全加到第3列上去, 可得：1111111222121233313130a b a x b y c a b a x b y c a b a x b y c . 因为P 在1L 与2L 上, 所以111110a x b y c , 且112121231313220()a b a x b y c a x b y c a b 11223331313000a b a b a b a x b y c若1111122220a b a bL a b a b 与2L 平行, 若P c y b x a 031313也在3L 上321,,L L L 交于一点,无论何种情形, 都有321,,L L L 不组成三角形.这说明由0333222111c b a c b a c b a , 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.4.3 行列式在三维空间中的应用4.3.1 平面组设由n 个平面方程构成的方程组为.0,0,022221111n n n n d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a （5）若方程组(5)中的z y x ,,各代以t zt y t x ,,, 并用)0( t t 乘以(5)式两端: 得.0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a n n n n （6）),,,(t z y x 叫做点),,(z y x 的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵n n n c b a c b a c b a A 222111 及n nn n d c b a d c b a d c b a B22221111的秩)(A r 及)(B r 有关系. 现在分别叙述如下： (Ⅰ)当0)()( B r A r , 则方程组中各系数全是0.(Ⅱ)当,1)(,0)( B r A r 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解0 t .当0 t ,t x ,t y , t z将趋近于无穷大（假设t 趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这n 个平面在无穷远重合.(Ⅲ)当1)()( B r A r , 则在矩阵A 及B 中所有二阶行列式全是0. 所以我们有),,2,1,(.n j i d d c c b b a a ji j i j i j i以上等式表示n 个平面相合成一个平面01111 d z c y b x a .(Ⅳ)当,2)(,1)( B r A r 方程的系数中至少有两组数如ii i i d c b a ,,,及jj j j d c b a ,,,满足以下关系式.jij i j i j i d d c c b b a a上式表示平面.0,0 j j j j i i i i d z c y b x a d z c y b x a平行但不相合. 也就是平面组中n 个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合.(Ⅴ),2)(,2)( B r A r 则矩阵A 及B 中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设2211 b a b a .我们必可求得ii i n m l ,,适合下式：),,4,3(.0,0,0,021212121n i d n d m d l c n c m c l b n b m b l a n a m a l i i i i i i i i i i i i i i i i式中0 i n , 否则行列式2211b a b a将等于0. 所以)()(122221111d z c y b x a m d z c y b x a l n t d z c y b x a i i ii i i i.以上等式表示平面).,,4,3(,0n i d z c y b x a i i i i经过直线,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a就是n 个平面全经过一条直线.（Ⅵ）当,3)(,2)( B r A r 并假定02211 b a b a方程组的系数至少有一组ii i i d c b a ,,,适合以下关系：0,0222111222111 iiiiiic b a c b a c b a c b a c b a c b a （i 是n ,,4,3 中的一数）以上第一个等式表示组中第i 平面i i i i d z c y b x a ,与直线,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a平行. 又因第二个不等式表示第i 平面不经过上述直线, 所以n 个平面有平行的交线.例如由方程组,0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a i i i i解得333222111333222111333222111333222111c b a c b a c b a t b a d b a d b a d z a d c a d c a d c y d c b d c b d c b x.因为行列式033222111 c b ac b a c b a .而其它三个行列式不全是零故0 t , 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.（Ⅶ）当3)(,3)( B r A r , 并假定0333222111 c b a c b a c b a .在这种情况下, 平面,0,0,0333322221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a相交于一点. 又因0333322221111 ii i i d c b a d c b a d c b a d c b a ,（n i ,,5,4 ）故平面i i i i d z c y b x a经过前面三个平面的交点, 就是n 个平面有一个交点, 不在无穷远.（Ⅷ）当4)(,3)( B r A r , 则矩阵B 中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设333322221111 iiiid c b a d c b a d c b a d c b a .（i 是n ,,5,4 中的一数）以上不等式表示平面i i i i d z c y b x a ,不经过前三个平面的交点. 4.3.2 点组设有n 个点, 它们的齐次坐标各是n nnnt z y x t z y x t z y x 22221111此点组的相关位置与坐标做成的矩阵n nn nt z y x t z y x t z y x X 22221111的秩r 有关系. 分别叙述如下:（Ⅰ）当0 r , 则n 个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置.（Ⅱ）当1 r , 假定01 x , 很容易推得(因为X 中所有的二阶行列式等于0)),,4,3,2(.1111n i t t z z y y x x ii i i上式表示n 个点全重合. （Ⅲ）当2 r , 并假设02211 y x y x ,因X 中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得ii i n m l ,,适合以下方程：),,,4,3(,0,0,0,021212121n i t n t m t l z n z m z l y n y m y l x n x m x l i i i i i i i i i i i i i i i i式中i n 不等于0, 否则行列式2121y y x x将等于0. 故可求得).(1),(1),(1),(121212121t m t l n t z m z l n z y m y l n y x m x l n x i i ii i i ii i i ii i i ii假设点),,,(1111t z y x 及),,,(2222t z y x 的连线为,0,022221111t D z C y B x A t D z C y B x A把),,,(i i i i t z y x 的等值代入上式, 易验证点),,,(i i i i t z y x 在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因i 可以是n ,,4,3,2 , 所以n 个点全在一直线上. （Ⅳ）当3 r , 并假定,0333222111 z y x z y x z y xX 中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得i i i i k n m l ,,,适合下式：,0,0,0,0321321321321i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t k t n t m t l z k z n z m z l y k y n y m y l x k x n x m x l式中i k 不等于0, 否则行列式 .0333222111 z y x z y x z y x 从以上方程组求得：),(1),(1321321y n y m y l k y x n x m x l k x i i i ii i i i ii ).(1),(1321321t n t m t l k t z n z m z l k z i i i ii i i i ii设点),,,(),,,,(22221111t z y x t z y x 及),,,(3333t z y x 所确定的平面是.0 Dt Cz By Ax把ii i i t z y x ,,,的等值代入上式, 甚易验明点),,,(i i i i t z y x 在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为i 可以是n ,,6,5,4 , 所以n 个点共在一个平面上. （Ⅴ）当4 r , X 中至少有一个四阶行列式如0333322221111 ii i i t z y x t z y x t z y x t z y x .i 是n ,,7,6,5,4 中任一个数. 以上不等式表示点),,,(i i i i t z y x 不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点),,,(i i i i t z y x 在平面0 Dt Cz By Ax上, 则以下关系成立.,0,0,0,0333322221111i i i i Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax也就是行列式.0333322221111 iiiit z y x t z y x t z y x t z y x这与假设矛盾.x 5．三阶行列式在高中几何中的应用5.1三阶行列式的定义：符号111213212223112233122331313233133221132231122133113223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）．下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用．5.2利用三阶行列式求法向量5.2.1．定义：设平面 内不共线的两个的向量的坐标为1111()e x y z u r，，，2222()e x y z u u r，，，则行列式111222i j kx y z x y z r r r叫平面 的一个法向量，记为n r．例：直棱柱111ABC A B C 中，112AB AC AA， 90BAC ，D 为棱1B B 的中点．求平面ADC 的一个法向量．如图，建立空间直角坐标 系A xyz ，则1C(000)A ，，， 1(002)A ，，，(010)B ，，，1(012)B ，，，(100)C ，，，1(102)C ，，，(011)D ，，，取面ADC 内两个不共线向量1)，(100)AC u u u r，，，则平面ADC 的一个法向量为：y 2 1l 011(011)100i j kj k r r r r r，，； 5.2.2．应用举例（1）证明线面平行：平面的一个非零法向量是n r，平面 外一条直线l 的一个非零方向向量是v r，则//l 平面的充要条件是0n v r r ．n r（2）求二面角：面 I 面l ，面 的一个非零法向量是n r，面 的一个非零法向量是m u r ，则二面角l 的大小为：arccos m n u r r，或arccos m n u r r ，．【例1】正三棱柱111ABC A B C ，底面边长为2，D 是AC 的中点． （I ）证明：1//AB 平面1DBC ； C的余弦值． 解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz ，则：(000)C ，，1(00C ，， (020)B ，，，1(02B ，，10)A ，，，11A ，，10)22D ，，， 则n r3(0)22DB u u u r ，，，11(22DC u u u u r ，平面1DBC 的一个法向量为：3322244212i j n k jr r r r r r即32n r ，，1(1AB u u u r，13(1(22933022AB n u u u r r ，1AB n u u u r r，所以1//AB 平面1DBC ．（Ⅱ）面1DBC 的一个法向量为：3(22n r ，，面1BC C 的一个法向量为：0002i j m r r u r，(00)m ur ，，则3|cos |4||||m n m n m n u r ru r r u r r ，，因此二面角1D BC C 的余弦值为34．（3）求异面直线的公共法向量：a 与b 是异面直线， 向量1111()v x y z u r ，，是直线a 的方向向量，2222()v x y z u u r，，是直线b 的方向向量，则异面直线a 与bx111222i j k n x y z x y z r r r r法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线a 和b ，且他们的一个法向量为n r ，因为直线a n r ，记垂足为M ，b n r ，记垂足为N ，则线段MN 的长就是异面直线a 和b 的距离，如图，记法向量n r 与BA uu u r的夹角为 ，则0|||cos |||MN NA u u u u ru u u u r ，即0|||||cos |MN NA u u u u r u u u u r ， 00|||||||cos |||n n MN e NA e NA u u u u r u u r u u u u r u u r u u u u r ， 故0||||||||||n NA n AB MN n n r u u u u r r u u u ru u u u r r r ． 其中A 、B 分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上． 【例2】已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1． 求异面直线1DA 与AC 的距离． 解：建立如图所示的空间直 角坐标系D xyz ，则(000)D ，，， (100)A ，，，1(101)A ，，，(010)C ，，，1(101)DA u u u u r ，，，(110)AC u u u r，，于是异面直线1DA 与AC 的一个法向量为101(111)110i j kn j k i r rr rr r r，， 分别在异面直线1DA 与AC 各取一点A 、D ， 异面直线1DA 与AC 的距离为z||3||n ADdnr u u u rr，，，，5.2.3利用三阶行列式求平面方程定理：过三点111()A x y z，，、222()B x y z，，、333()C x y z，，的平面 的方程为：111212121313131x x y y z zx x y y z zx x y y z z．定理：若平面 的方程为：0Ax By Cz D，则平面外一点000()P x y z，，到平面 的距离为：d ．【例3】已知正方形ABCD的边长为4，CG 平面ABCD，2CG ，E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面EFG的距离．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz，则：(040)B，，，(240)E，，，(420)F，，，(002)G，，，则平面EFG 的方程为：0022040020402002x y z即：88481632440x y z z y x亦即：360x y z所以(040)B，，到平面EFG的距离为：d ．利用三阶行列式求四面体的体积定理：记平行六面体1111ABCD A B C D的一个顶点A引出的三边所对应的向量111()AB x y zu u u r，，、222()AD x y zu u u r，，、1333()AA x y zu u u r，，，则平行六面体的体积为：A 1111222333x y z V x y z x y z 平行六面体． 说明：定理中的三向量只 要是平行六面体的同一顶点引出的都可以，如BA uu u r、BC uuu r 、1BB u u u r等都行．定理：记四面体S ABC 的一个定点S 引出的三边所对应的向量坐标分别为：111()SA x y z u u r ，，、222()SB x y z u u r ，，、333()SC x y z u u u r ，，，则四面体S ABC 的体积为：11122233316S ABCx y z V x y z x y z ． 说明：1.定理中的三向量只要是四面体的同一顶点引出的都可以，如BA uu u r 、BC uuu r 、1BB u u u r等都行．2.事实上，1112223331122x y z V V x y z x y z 三棱柱平行六面体， 所以1136V V V三棱锥三棱柱平行六面体． 【例4】已知正四棱柱1111ABCD A B C D ，点E 是棱1DD 上的中点，截面EAC 与底面ABCD 所成的角为4，2AB ．求三棱锥1B EAC 的体积．解：记BD 与AC 交点 为O ，由正方形ABCD 性质知O 是AC 中点且 BO AC ，E 是棱1DD上的点，易知EA EC ，则EO AC，所以EOA 4EOA，所以DE DO，1DD ，建立如图所示的空间直角坐标系：D xyz ，则：(00E ，，(200)A ，，，1(22B ，，(020)C ，，，其中向量1(02B A u u u r ，，，1(20BC u u u r ，，， 1(220)B E u u u r ，，，于是三棱锥1B EAC 的体积为：1021120|66322B EAC V ． 说明：若求四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱锥，分别求出三棱锥体积求和致谢 本文是在张红老师的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社, 2003.[2]高杨芝. 行列式浅说[M]. 江苏: 江苏人民出版社, 1958.[3]王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[4]王品超. 高等代数新方法(下)[M]. 徐州: 中国矿业大学出版社, 2003.[5]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 中央民族大学出版社, 2002.[6]徐岳灿. 关于行列式的若干应用[J]. 上海中学数学, 2004(3), 40-41.[7] 梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 毕节学院学报, 2006(4), 27-28.[8]彭丽清. 行列式的应用[J]. 忻州师范学院学报, 2005(5), 40-41.[9]汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008(3), 9-10.The determinant and its application in ElementaryMathematicsXuLijiao 2011031142 Advisor:ZhangHongMajor in Pure and Applied MathematicsCollege of Mathematics and Computer Science【Abstrac 】 Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following four aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations;examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. in the final, using the three order determinant in senior middle school mathematics.【Keywords】:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group。
行列式在初等数学中的应用--毕业论文
【标题】行列式在初等数学中的应用【作者】肖娅【关键词】行列式出等数学应用因式分解【指导老师】周均【专业】数学与应用数学【正文】１引言行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。
德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。
行列式是线性代数的重要内容。
主要应用于解线性方程组和研究有关矩阵问题。
然而，在教学中教师一般仅作上述内容的介绍。
这对培养学生的分析问题和解决问题的能力，培养学生的创造性思维，提高学生的数学素养只局限于这些内容就显得有些不足。
特别是对我们师范生，我们还应设法引导他们应用所学的知识去高观点地解决中学数学的一些难点问题。
本文出于此种目的，拟用例题形式，挖掘行列式在初等数学解题中的有效应用。
2 预备知识性质1 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一数k后，加到另一行（列）的对应元素上，所得的行列式与原行列式相等。
性质2 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一数k后，等于用数k 乘以这个行列式。
令k=0，就有：如果行列式中有一行（列）为零，那么这个行列式的值等于零。
性质3 如果行列式某两行（列）的对应元素成比例，那么行列式的值等于零。
由性质2，我们不难可以得到：性质4 行列式的某一行（列）的所有元素的公因式可以提到行列式的外面。
拉普拉斯定理：在n（ｎ≥1）阶行列式D中，任意取定K（1≤K≤n）行（列），由这个K阶子式与它对应的代数余子式之和等于行列式D。
线性方程组的理论中有一个基本理论为：含有n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件为其系数行列式等于0。
2.1 求通过定点的曲线方程与曲面方程线性方程组的理论中有一个基本结论为：含有n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件为其系数行列式等于 0。
行列式在解析几何中的应用问题毕业设计论文
行列式在解析几何中的应用问题毕业设计论文行列式是数学中的一个重要计算工具,在解析几何中有着广泛的应用,它不仅形式优美,而且便于记忆.本文较系统的总结了行列式在解析几何中一些重要方程中的应用,并且用行列式的形式给出了一些多边形面积或多面体体积的计算公式.1.行列式在解析几何中一些重要方程的表示中的应用1.1 平面上过已知两点的直线方程定理1.1 平面上过两个已知点1P (11,x y ),2P (22,x y )的直线方程是1112211y x y x yx=0 (1-1) 推论平面上三点(,)i i i P x y (i=1,2,3)共线的充要条件是1122331101x y x y x y = (1-2)由于1P ,2P ,3P 共线的充要条件即为1P 在2P ,3P 所决定的直线上,而2P ,3P 所决定的直线L 的方程是1112211y x y x yx =0 (1-3) 从而1P 在L 上的充要条件为1122331101x y x y x y = 即为(1-2)式. 很自然的我们会问,空间三点共线的充要条件是什么呢？我们做一下推广.空间三点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)共线充要条件是2331122331122331121111110111x x x x x x y y y y y y z z z z z z === 事实上 12PP =(212121,,x x y y z z ---)13313131(,,)PP x x y y z z =--- 从而有12PP ?13PP =212121313131i j k x x y y z z x x y y z z ------ =21213131y y z z y y z z ----i +21213232z z x x j z z x x ----+21213131x x y y k x x y x ----=233112233112223112111111111x x x x x x y y i y y j y y k z z z z z z ++ 而1P ,2P ,3P 共线的充要条件是12PP ?13PP =0，由此得证.1.2 平面上三点所确定的圆的方程定理 1.2 平面上不共线的三点(,)i i i P x y (i=1,2,3)所确定的圆的方程可用下面四阶行列式表示2222111122222222333311011x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++ (1-4) 证明设所求的圆的方程为220x y Ax By C ++++=依题意得x y Ax By C x y Ax By C x y Ax By C ++++=++++=++++= 把以上四式看成是关于1,A,B,C 的齐次方程组,这个方程组显然有非零解.根据有非零解得充要条件得2222111122222222333311011x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++ 推论平面上四点(,)i i i P x y (i=1,2,3,4)共圆的必要条件是22111122222222333322444411011x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++ (1-5)但需要注意的是(1-5)式不是四点共圆的充分条件.例如,当四点共线时(1-5)仍然成立,但是如果已知四点不共线,(1-5)式就是四点共圆的充分条件.因此我们可以得到不共线四点共圆的一个充分必要条件.我们已经知道,空间不共面四点可以确定一个球面方程,下面我们将给出与(1-5)相仿形式的行列式表示.1.3 空间中不共面的四点所确定的球面方程定理 1.3 空间中不共面的四点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4)所确定的球面的方程可以用下面的五阶行列式表示22222211111122244110111x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++=++++++ (1-6) 其证明的过程同定理1.2.由定理1.3可以得到空间五点共球面的必要条件,即推论空间中五点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4,5)共球面的条件是11112222333344445555111011x y z x y z x y z x y z x y z δδδδδ= (1-7) 其中,222i i i i x y z δ=++,(i=1,2,3,4,5)同样应该注意,条件(1-7)不是五点共球面的充分条件.例如,当五点共线(或者共面)时,条件(1-7)也是成立的.1.4 空间中不共线的三点确定的平面方程定理1.4 空间中不共线的三点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)所确定的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- (1-8) 或者为11122233311011xy z x y z x y z x y z = (1-9)(1-8)或者(1-9)称为平面的三点式方程.事实上,将(1-8)或者(1-9)中的行列式按照第一行展开可以知道,(1-8)或者(1-9)表示平面,又由行列式的性质知道,(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)均满足(1-8)或者(1-9)式,从而(1-8)或者(1-9)表示过123,P P P ,的平面.推论空间中任意四点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4)共面的充分必要条件是11122233344411011x y z x y z x y z x y z = (1-10)1.5 两条异面直线所确定的公垂线的方程定理1.5 空间两条异面直线的方程如下11111112222222::x x y y z z L X Y Z x x y y z z L X Y Z ---==---==它们所确定的公垂线方程为=---=---0022********11ZYXZ Y X z z y y x x Z Y X Z Y X z z y y x x (1-11)其中 111111222222,,Y Z Z X XY X Y Z Y Z Z X X Y === 事实上,(1-11)中第一个式子即为1L 与异面直线所确定的平面方程,(1-11)中第二个式子即为2L 与异面直线所确定的平面方程,二者的交线即为公垂线.我们还可以知道(,,)X Y Z 为公垂线的方向.我们将1L 中的x, y, z 代入(1-11)中的第二个行列式;2L 中的x, y, z 代入第一个行列式,可以得到两个异面直线与公垂线的交点,从而得到1L 与2L 间的距离.1.6 平面上不共线五点确定的二次曲线的方程平面上不共线的五点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4,5)所确定的二次曲线的方程可以用六阶行列式表示2222111111222222222233333322444444225555551110111x xy y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y xx y yx y = (1-12)将(1-12)式中的行列式按照第一行展开,即知(1-12)式表示的二次曲线,又由行列式的性质知道,此二次曲线显然过(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4,5)诸点.2.行列式在向量中的应用2.1 行列式在向量外积的坐标表示中的应用定理2.1 设a ,b 在右手坐标系中的坐标分别是123123(,,),(,,)a a a b b b则a b ?的坐标是221111333322(,,)a b a b a b a b a b a b -(2-1)事实上a b ?=123123()()a i a j a k b i b j b k ++?++=122131132332()()()a b a b i j a b a b k i a b a b j k -?+-?+-? =233231131221()()()a b a b i a b a b j a b a b k -+-+- =221111333322a b a b a b i j k a b a b a b -+从而结论成立.因此,为了便于记忆,我们可以写作a b ?=123123ij k a a a b b b 2.2 行列式在混合积中的应用定理 2.2 任意取定一个仿射标架123[;,,]o e e e ,设向量a ,b ,c 的坐标分别是(123,,a a a ),(123,,b b b ),(123,,c c c ),则有111222123333()()a b c a b ca b c e e e a b c ??=?? (2-2) 事实上()a b c ??=[122112311331()()a b a b e e a b a b e e -?+-?2332()a b a b +-23e e ?]?112233()c e c e c e ++=122133113223321123[()()()]()a b a b c a b a b c a b a b c e e e -+-+-??=111222123333()a b c a b c e e e a b c ?? 从而以上结论成立.由此很容易看出,若123[;,,]o e e e 为右手直角标架,则123()e e e ??=1从而可知111222333()a b c a b c a b c a b c ??= 推论设向量a ,b ,c 的坐标分别是(123,,a a a ),(123,,b b b ),(123,,c c c ),则a ,b ,c 共面的充分必要条件是111222333a b c a b c a b c =0 (2-3) 事实上,由()a b c ??的几何意义可以知道a ,b ,c 共面的充分必要条件是()0a b c ??=从而可以得到结论.由推论(2-3)我们可以得到四点共面的另外一个证明方法.设四个点,,,A B C D 的仿射坐标分别为(,,)i i i x y z (i=1,2,3,4),则,,,A B C D 共面的充分必要条件是11122233344411011x y z x y z x y z x y z =事实上,,,A B C D 共面也就是,,DA DB DC 共面. 从而,其充分必要条件为1424341424341424340x x x x x x y y y y y y z z z z z z ------=--- 即1112223334441111x y z x y z x y z x y z =0从而得到以上结论.2.3 两向量共线的条件定理 2.3 两向量a ,b 在空间仿射标架123[;,,]o e e e 中的坐标分别为(123,,a a a )和(123,,b b b ), 则a ,b 共线的充要条件是221111333322a b a b a b a b a b a b ===0 (2-4)证明必要性设a ,b 共线.若a =0,则结论显然成立.若设a ≠0,于是有实数k 使得b ka =,所以i i b ka = (i=1,2,3),从而有1122a b a b =1122a ka a ka =0同理也可以证明其余两个行列式也等于零. 充分性由已知条件知 233213311221a a a b a a a b a b a b=??=??=?即312123a a ab b b == 因此a ,b 共线.2.4 拉格朗日恒等式定理2.4 对任意四个向量a ,b ,c ,d 有()()a c c d a b c d b c b d=事实上,由向量混合积的有关性质易证()()[()][()()]a b c d a b c d a b d c b c d ==??-?()()()()b d a c b c a d =??-??a c a dbc b d=3.行列式在求多边形或多面体的面积或体积中的应用3.1 过空间中不共线三点的平行四边形的面积定理3.1 对不共线的三点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3),则以12P P ,13P P 为邻边的平四边形的面积是222123S =?+?+?其中 1112233111y z y z y z ?=, 1122233111z x z x z x ?=, 11323111x y x y x y ?=事实上,因为12212121(,,)PP x x y y z z =---,13313131(,,)PP x x y y z z =---所以, 1213212121313131ij k PP PP x x y y z z x x y y z z ?=------ 212121212121313132323131y y z z z z x x x x y y i j k y y z z z z x x x x y y ------=++------233112233112233112111111111x x x x x x y y i y y j y y k z z z z z z =++ 所以,S 等于1213PP PP ?的模,即为 222123S =?+?+? 推论1 以(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)为顶点的三角形的面积为 2221231S =+?+? (3-1) 推论2 以(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)为顶点的三角形的面积为11223311121x y S x y x y =(3-2) 需要注意的是,此处1231P P P P →→→形成逆时针方向的回路,否则,(3-2)右边的行列式前边应该加负号.3.2 已知各顶点的坐标,求多边形的面积如果已知平面上n 边形12P P ……n P 各顶点的坐标(,)i i i P x y (i=1,2,……n)则此多边形的面即可以表示为n 个行列式之和,即定理 3.2 多边形12P P ……n P (假定12P P →→……1n P P →形成按逆时针方向旋转的回路)的面积是2211332212x y x y S x y x y ?=+?+……+1111n n n n n nx y x y x y x y --?+??(3-3) 三角形的面积公式(3-2)也可以写成 221133221112x y x y x y S x y x y x y ??=++用数学归纳法不难证明(3-3)式.注1 定理3.2所说的多边形不必是凸的,即对一般的多边形面积公式(3-3)均成立；注2 公式(3-3)可以表示成复数形式12231(2m S I z z z z =++……11)n n n z z z z -++其中 k k k z x iy =+ (21,1,2,3,i k =-=……n )3.3 已知三角形三边所在直线的方程,求三角形的面积假设ABC ?三边所在的直线的方程分别是i l ：i i i A x B y C z ++=0 (i=1,2,3) 则有下面的定理成立:定理3.3 令三边所在直线方程的系数和常数项所构成的行列式为111222333A B C A B C A B C ?= 31?,32?,33?分别是元素 1C ,2C ,3C 在?中的代数余子式则ABC ?的面积是23132332S ?=(3-4) 事实上,ABC ?的三个顶点(11,x y ),(22,x y ),(33,x y )可以通过解方程组求得 132311211222112233313132323333 (,)(,),(,)(,),(,)(,)x y x y x y=== 其中,11?,21?分别是1A ,2A 在行列式?中的代数余子式. 其余可以类推.将所得的坐标代入(3-2)式得1121311222323132331323331(0)2S S =±≥正负号的选择使 123123313233123212312331323312323132331()2122j A A A ad B B B C C C A A A B B B C C C =±=±=注上面的推导过程中应用了公式1n j ad A A-=,A 是一个n 阶方阵.推论三条直线i l ：0i i i A x B y C ++= (i=1,2,3)共点的必要条件是123123123A A AB B BC C C =0 (3-5) 请注意,上述条件(3-5)不是三线共点的充分条件.例如,当三条直线中至少有两条平行时,上述公式也成立.3.4 平行六面体的体积定理3.4 已知空间中不共面的四点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4),则以12P P ,13P P ,14PP 为棱的平行六面体的体积为 1112223334441111x y z x y z V x y z x y z =的绝对值 (3-6) 此结论的证明可以根据三个向量的混合积.推论1 已知空间四面体的四个顶点的坐标是(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4),则此空间四面体的体积为111222333444111161x y z x y z V x y z x y z =的绝对值 (3-7) 推论2 空间四点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4),共面的充分必要条件是1112223334441111x y z x y z x y z x y z =0 (3-8)此结论的证明是显然的.3.5 已知空间四面体四个侧面的方程,求四面体的体积定理3.5 若已知空间四面体四个侧面的方程为0i i i i A x B y C z D π+++=：（i=1,2,3,4）令 1111222233334444A B C D A B C D A B C D A B C D ?=则此四面体的体积为312346V ?=(3-9)其中1234,,,分别是1234,,,D D D D 在?中的代数余子式.此定理为定理(3-4)在空间中的推广,其证明亦与定理(3-4)的证明类似,此处不再赘述.推论四个平面0i i i i A x B y C z D π+++=： (i=1,2,3,4)这四个平面共点的必要条件是11112222333344440A B C D A B C D A B C D A B C D = (3-10)注1 (3-11)只是必要条件,不是充分条件.如i π(i=1,2,3,4)中至少有两个平面重合或者三个平面平行时,(3.5-2)也成立.注2 如果1π和2π的交线是1l ,3π和4π的交线是2l ,则(3-11)可以看作1l 与2l 共面的充分必要条件.注3 若已知四面体的六棱长分别是a, b, c, x, y, z, 则此四面体体积的平方是22222222222220101101288011111x y a x z b V y z c ab c =3.6 用行列式表示平面上三角形外接圆的面积平面上已知ABC ?的三个顶点分别为(,)i i x y (i=1,2,3) 由(1-4)式知ABC ?的外接圆方程为2222111122222222333311011x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++ 令 22111112212222222233333111,1,11x y x y y x y x y y x y x y y +?=?=++221112232222233311,1x y x x y x x y x +?=++ 2211112242222223333x y x y x y x y x y x y +?=++ 从而三角形的外接圆方程为221234()0x y x y ?+-?+?-?=亦即223241110x y x y+-+-= 又 2222223314232422221111114()()22444x y +?+-++=++= 于是,ABC ?的外接圆的面积是2214232144S π+?+?=?4.解析几何中一些重要距离公式的行列式表示4.1两异面直线间的距离方程设两异面直线L 1,L 2的方程分别为：11111112222222:,:,x x y y z z L X Y Z x x y y z z L X Y Z ---==---==则它们之间的距离为.Y X X Z X Z Z Y Z Y Z Y Z Y 222112221122211222111212121X Y X X z z y y x x d ++---=4.2点到空间直线的距离公式在空间直角坐标系下,给定空间一点M 0（x 0,y 0,z 0)与直线L ：.1 11Zz z Y y y X x x -=-=- 点M 到直线L 的距离222210102101021010ZY X YXy y x x XZx x z z ZY z z y y d ++--+--+--=结束语通过这一段时间的努力,几经周折,本文终于完成，基本达到了预期目的,即系统的总结行列式在解析几何中的应用问题；系统的总结了行列式在向量中一些重要结论中的应用；并且用行列式的形式给出了一些多边形或多面体的面积或体积的计算公式.我想这些对于读者学习解析几何,深化对解析几何的认识,以及对行列式在解析几何中的应用有更加深刻的认识,这些都会对学习解析几何有一定的帮助.但由于受个人水平的限制,在论文中肯定存在一些不妥的地方,敬请各位老师指教.参考文献[1]丘维声.解析几何[M].北京:北京大学出版社,1988.[2]朱鼎勋,陈绍菱.空间解析几何学[M].北京:北京师范大学出版社,1984.[3]陈志杰,咸平.高等代数与解析几何习题精解[M].北京:科学出版社,2002.[4]黄宣国.空间解析几何与微分几何[M].上海:复旦大学出版社,2003.[5]李养成,郭瑞芝.空间解析几何[M].北京:科学出版社,2004.[6]江苏师院数学系编.解析几何(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1982.[7]陈抚良,张振兰,解析几何[M].北京:科学出版社,2005.[8]吴光磊,田畴.解析几何简明教程[M].北京:高等教育出版社,2001.[9]帅绪之.解析几何[M].武汉:华中师范大学出版社,1990.[10]朱德祥,朱维宗.新编解析几何学[M].重庆:西南师范大学出版社,1989.[11]杨文茂,李全英.空间解析几何(修订版)[M].武汉:武汉大学出版社,2003.[12]吕林根,张紫霞.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1998.[13]潘晏仲,李洪军.高等代数与几何[M].西安:西安交通大学出版社,1999.[14]张元明,许延功.行列式在解析几何中的表示[J].昌潍师专学报,1992,11(2):55-61.[15]罗增儒.行列式的简单应用[J].数学通报,1983(7):4-7.致谢屈指数来,我的学生生涯已经走过15个年头了.古人常道：“十年寒窗苦”,但我却感到莫大的幸福,因为在这15年的学生生涯中,从乡村到城镇,再从县城到地市,我摆脱了祖祖辈辈面朝黄土背朝天的宿命,并且一直都在进步.但我也时常问自己,在这15年里我有什么收获呢？或者说,读书有什么用呢？我想答案是很明确的.它首先使我学会独立的思考,而不是盲从.读书可以治愚,我明白了任何时候都不能放弃独立思考的权利的重要性.其次,它让我不再偏执,学会了宽容地看待这个世界,并具有了可贵的反思精神,这一点让我受用无穷.最后,数学与信息科学学院系对理性思维的强调,使我较早地有了生命的感觉,人也活得比较清醒.在对人生的体悟中,总是获得了极大的满足.我能取得这些收获,与周围老师和同学的帮助是分不开的.不过我首先还是得感谢自己的父亲和母亲.即便家境不佳,他们仍然坚持让我读完大学,而不是早早地工作赚钱,为此背负了巨大的压力.母亲的勤劳和开朗对我影响很大,每次接到我的电话,她总是说：“家里挺好的,你不用挂念.”我知道这不是实情,但仍然会得到极大的宽慰.现在,二老都已逾不惑之年,我到此时方能尽孝,实在是愧为人子.我要感谢我的指导老师张元明老师.张老师继承了潍坊学院优秀的学术传统,对学术极为尊重,治学非常严谨.高山仰止,景行行止,在踏入工作岗位之后,我一定会尊重自己的职业,并且也一定会严格要求自己.在论文撰写过程中,张老师提出了诸多建议,为我的论文付出了大量的心血,对此我只有用好好工作来报答了.张元明老师对我大学毕业时期所进行的小研究进行了诸多指导,并鼓励我投身学术.我的任课老师和同学对我的学习和生活都给予了诸多帮助,在此一并致谢!1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM 的工艺和制程方法及对良率的影响研究4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制14. 基于单片机的自动找平控制系统研究15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现18. 一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制19. 基于双单片机冲床数控系统的研究20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制22. 基于单片机的软起动器的研究和设计23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究24. 基于单片机的机电产品控制系统开发25. 基于PIC单片机的智能手机充电器26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制29. 基于微型光谱仪的单片机系统30. 单片机系统软件构件开发的技术研究31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制36. 基于单片机的数字磁通门传感器37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪41. 基于单片机的电机运动控制系统设计42. Pico专用单片机核的可测性设计研究43. 基于MCS-51单片机的热量计44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站45. MCS-51单片机构建机器人的实践研究46. 基于单片机的轮轨力检测47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现48. 基于单片机的电液伺服控制系统49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究52. 单片机控制的后备式方波UPS53. 提升高职学生单片机应用能力的探究54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究56. 基于单片机的多通道数据采集系统57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制58. 基于单片机的红外测油仪的研究59. 96系列单片机仿真器研究与设计60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制63. 基于单片机的气体测漏仪的研究64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发81. 基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究85. 基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现89. 单片机监测系统在挤压机上的应用90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发97. 锅炉的单片机控制系统98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制104. 基于ADμC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究107. 单片机实现的寻呼机编码器108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制112. P IC单片机在空调中的应用113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！。
行列式的计算方法和解析论文
行列式的计算方法和解析论文行列式是线性代数中重要的概念，其在矩阵理论、向量空间等方面有广泛的应用。
行列式的计算方法包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、递推法等。
行列式的计算方法在不同的场景下有不同的适用性，下面将详细介绍行列式的计算方法及其应用，并从一篇经典的解析论文中探讨行列式在数学研究中的作用。
一、行列式的计算方法1.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法是求行列式的一种常用的计算方法。
假设A是一个n阶方阵，其中元素用a_ij表示，对于任意一个a_ij，可以通过展开该元素所在的行和列的其他元素来计算行列式的值。
拉普拉斯展开法的基本原理是递归地求解子行列式的值，直到得到一个1阶行列式。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过拉普拉斯展开法按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，A_11，表示去掉第一行第一列元素的2阶子行列式，以此类推。
2.按行（列）展开法：按行（列）展开法是求行列式的另一种计算方法。
通过选择其中一行（列），将行列式扩展为若干个较小阶的子行列式，最终递归地计算行列式的值。
按行展开和按列展开所得到的计算表达式相同，只是展开的方式不同而已。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(-1)^(1+1)*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(-1)^(1+2)*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(-1)^(1+3)*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，(-1)^(i+j)是代数余子式。
行列式的计算毕业论文
渤海大学毕业论文题目：行列式的计算系别：数学系专业：数学与应用数学班级： 03级五班姓名：徐元姣指导教师：李春目录摘要 (2)引言 (3)一、行列式的定义和性质 (3)1、行列式的定义 (3)2、行列式的性质 (5)二、行列式计算的若干方法 (8)1、化三角形法 (8)2、降阶法（按行（列）展开法） (14)3、升阶法（加边法） (18)4、拆分法 (19)5、泰勒公式法 (21)6、利用范德蒙行列式 (23)7、导数法 (24)8、积分求行列式 (25)9、行列式乘积法 (27)10、递推法 (29)11、数学归纳法 (32)12、循环矩阵的行列式的计算方法 (35)13、利用矩阵行列式公式 (39)14、利用方阵特征值与行列式的关系 (40)结束语………………………………………………………………………………………42参考文献……………………………………………………………………………………43行列式的计算摘要：行列式是高等数学的一个基本的概念。
求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法。
本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式求值方法。
如：化三角形法、降阶法、升阶法、泰勒公式法、范德蒙行列式等十多种方法。
并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征。
关键词：行列式，定义，计算方法。
The Calculation of DeterminantXu Yuanjiao（Department of Mathematics BohaiUniversity Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract: The determinant is a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For example, the triangle method, rise-lower method, analyzes the law, Taylor formula, Vandermonde determinant, and so on. The paper also analyzes the corresponding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.Key words: Determinant, Definition, Calculation.引言行列式是高等代数中的重点部分，讲到行列式,我们通常会联想到用克兰姆法则求解线性方程组.但是行列式的作用不仅仅只用于求解线性方程组.在解析几何中,用行列式方法可以判别三点共线和三向量共面、计算平行六面体的体积等等.它不仅是研究线性方程组基本工具，也是讨论向量矩阵和二次型的重要工具之一。
行列式及其应用论文.doc
目录1.引言 (2)2.行列式的概念 (2)2.1排列与逆序 (2)2.2 n阶行列式的定义 (2)2.3 行列式的基本性质 (3)2.4 行列式按行（列）展开定理 (4)2.5 重要公式与结论 (5)2.6 范德蒙德行列式的性质 (6)3.行列式的若干应用 (6)3.1行列式在线性方程组中的一个应用（克拉默法则的应用） (6)3.2行列式在初等代数中的几个应用 (7)3.2.1用行列式分解因式 (8)3.2.2用行列式证明不等式和恒等式 (8)3.3.行列式在解析几何中的几个应用 (8)3.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法） (8)3.3.2用行列式表示三角形面积 (8)3.3.3用行列式表示直线方程 (9)4.范德蒙德行列式的若干应用 (10)4.1范德蒙德行列式在行列式计算中的应用 (10)4.2范德蒙德行列式在微积分中的应用 (10)4.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用 (12)4.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用. (12)结论 (13)致谢 (14)行列式及其应用任兰兰,数学计算机科学学院摘要:行列式是线性代数一个重要的基本工具.本文首先对行列式的相关概念做了介绍,包括行列式的定义,性质,常见公式及结论等,然后通过例题详细介绍了行列式在线性方程组,初等代数以及解析几何中的应用,以及范德蒙行列式在微积分以及向量空间等方面的应用等.文章最后对行列式及其应用做了总结.关键词:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法则The Determinants and Their Applications Abstract:The determinant is one of the elementary tools in linear algebra. We first introduce the corresponding conceptions of the determinants, such as the definition, the properties, the ordinary formulas and conclusions, then we discuss in detail the applications of the determinants in linear equations, elementary algebra, and analytic geometry and so on, we also discuss the applications of the Vandermonde determinant in calculus and vector space. Finally we summarize the advantages of the determinants.Key words:Determinant; Vandermonde determinant; Cramer rule1.引言行列式是研究数学问题的重要工具之一,行列式的运算使问题的解决变得简单,让我们首先来介绍行列式有关的重要概念,定理,公式及其性质.其次我们介绍行列式的若干应用.2.行列式的概念2.1排列与逆序定义1 n 级排列:由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i 称为一个n 级排列,n 级排列共有!n 个.定义2 逆序:在一个n 级排列中,如果一个较大的数排在一个较小数之前,就称这两个数构成一个逆序,一个排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数.用12()n i i i τ或τ表示排列12n i i i 的逆序数.如果排列12n i i i 的逆序数为偶数,则称它为偶排列.如果排列的逆序数为奇数,则称它为奇排列.定义3 对称:排列12n i i i 中,交换任意两数t i 与s i 的位置,称为一次对换.对换改变排列的奇偶性.任何一个排列都可经过若干次对换变成自然顺序,并且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性.例2.1.1 求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性(1)53214;(2)(1)321n n -⨯⨯;(3)135(21)246(2)n n - 解 （1）(53214)=4+2+1+0=7τ为奇排列.（2）(1)((1)321)=(n-1)+(n-2)++2+1=2n n n n τ--⨯⨯由于(1)2n n -的奇偶性需根据n 而定,故讨论如下：当4n k =时,(1)2(41)2n n k k -=-是偶数;当41n k =+时,(1)2(41)2n n k k -=+是偶数;当42n k =+时,(1)(21)(41)2n n k k -=++是奇数;当43n k =+时,(1)(21)(43)2n n k k -=++是奇数. 综上所述,当4n k =或41n k =+时,此排列为偶排列;当42n k =+或43k +时, 此排列为奇排列,其中k 为任意非负整数.（3）该排列中前n 个数1,3,5,,(21)n -之间不构成逆序,后n 个数2,4,6,,2n 之间也不构成逆序,只有前n 个数与后n 个数之间才构成逆序.(1)(135(21)246(2))012(1)2n n n n n τ--=++++-=,奇偶性情况与（2）完全一样. 2.2 n 阶行列式的定义由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =组成的记号121211121212221212==(1)n nn nt p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a -∑其中12,n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列,t 为这个排列的逆序数,求和符号12np p p ∑是对所有排列12n p p p 求和.n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素,位于第i 行第j 列的元素ij a 叫做D 的(,)i j 元.例2.2.1 若12335544i i a a a a a 是五阶行列式中带有正号的一项,求,i j 的值?解 由行列式的定义知,每一项应取自不同行不同列的五个元素之积,因此,i j 只能取,i j ,当2,1i j ==时，此时应取负号;当1,2i j ==时,11233552441123354452a a a a a a a a a a =,且(13542)4τ=为偶排列.所以1,2i j ==. 2.3 行列式的基本性质（1）行列式与它的转置行列式的值相等,即T D D =.111211121121222122221212=n n n n n nnnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a （2）互换行列式的任意两行（列）,行列式的值将改变正负号.111212122221222111211212=n nnnn n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a —特别地,如果行列式有两行（或两列）完全相同,则行列式的值等于零.（3）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面. （数乘行列式等于用这个数乘该行列式中的某一行（列）.1112121111211212222212221121122=n n nnn n n ii n n nnn n n nnb a b a b a a a a b a b a b a a a a b a a a b a b a b a =∏特别地,若行列式中有一行（或列）元素全为零,则该行列式的值为零.（4）行列式具有分行（列）相加性.11121111211112121222212222122211221212112122=+n n nnn n i i i i in in i i in i i in n nnn n nnn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++（5）行列式中若有两行（或两列）元素对应成比例,则该行列式的值为零.（6）将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k 后加到另一行（列） 对应的元素上,行列式的值不变.11121212221112121222112212121212=nn n ni j i j in jn i i inj j jn n nnn n n nna a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a aa a a a a a a +++（7）分块行列式的值等于其主对角线上两个子行列式的值的乘积.例2.3.1 （1）设A 是33⨯矩阵,B 为44⨯矩阵,且1A =，2B =-,求B A ?（2）设A 是33⨯矩阵,=-2A ,把A 按列分块为123(,,A A A A =）,其中(1,2,3)j A j =是A 的第j 列,求31212,3,A A A A -.（3）设αβγ，，是方程30x px q ++=的三个根,求行列式αβγγαββγα?解 （1）33(2)18B A B A ==-⋅=-.（2）31213211212,3,=,3,-2,3,A A A A A A A A A A -+,对于1212,3,A A A -,第一列和最后一列对应元素成比例,故其值为零,而321123123,3,=,3,=3,,=3=6A A A A A A A A A A ---. （3）由根与系数的关系知0αβγ++=,于是0==00αβγαβγβγβγγαβαβγαβαββγααβγγαγα++++++. 2.4 行列式按行（列）展开定理定义4 在n 阶行列式中,把,)i j （元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的1n -阶行列式叫做(,)i j 元ij a 的余子式,记作ij M .111211111(1)1(1)2(1)1(1)1(1)(1)1(1)2(1)1(1)1(1)12(1)(1)j j n ii i j i j i n ij i i i j i j i n n n n j n j nna a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a -+-----+-+++-+++-+=(1)i j ij ij A M +=-,ij A 叫做,)i j （元ij a 的代数余子式. 引理1 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除(,)i j 元ij a 外都为零，那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和;推论3行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即11221,++(1,2,,)0,nij kj i k i k in kn j D i k a A a A a A a A i n i k ==⎧=+==⎨≠⎩∑ 或11221,++(1,2,,)0.nij ik j k j k nj nk i D j k a A a A a A a A j n j k ==⎧=+==⎨≠⎩∑例 2.4.1设1578111120361234D =,求41424344A A A A +++,其中4j A 为元素4j a ,1,2,3,4j =的代数余子式.解 414243444142434415781111=1111020361111A A A A A A A A +++⋅+⋅+⋅+⋅==.例 2.4.2 设n 阶行列式00010100021000011000A n n=-,求A 中所有元素的代数余子式之和.解 A 中所有元素的代数余子式,即A *中的所有元素.而(1)(2)120010002001==(1)!100000000n n n n A A A n n --*--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 中的所有元素的代数余子式之和,即A *的所有元素之和为(1)(2)2(1)(1)2!n n n n n --+-⋅ 2.5 重要公式与结论（1）设A 为n 阶方阵,则det()A (或A )表示对应的行列式,记为'T A A A ==（“T ”,”’”均表示转置）（2）设方阵A 可逆,则11A A-=（3）设*A 为A 的伴随矩阵,ij A 为ij a 的代数余子式.1121112222*12n n n nnn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1*n A A -=. （4）n kA k A =,(A 为n 阶方阵).（5）00,,(1)00mn A C A B A B A B A B B C B A ===-,其中A 为m 阶方阵,B 为n阶方阵.（6）范德蒙德（Vandermonde ）行列式1222212111112111()n n n i j n i j n n n n x x x D x x x x x x x x ≥≥---==-∏2.6 范德蒙德行列式的性质利用行列式的性质容易推得：（1）若将范德蒙德行列式n D 逆时针旋转90,可得：11n(1)11211111-11n n n n n n n n n x x x x D x x ------=（）（2）若将范德蒙德行列式n D 顺时针旋转90,可得：1111n(1)222111-11n n n n n n n x x x x D x x ----=（）（3）若将范德蒙德行列式n D 旋转180,可得：1111111111n n n n n n n n x x x D x x x -----=3.行列式的若干应用3.1行列式在线性方程组中的一个应用线形方程组11112211211222221122......()...n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪*⎨⎪⎪+++=⎩ 克拉默法则：如果线性方程组()*的系数行列式不等于零。
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行列式的若干应用The Number of Applications of The Determinants专业: 数学与应用数学作者:指导老师:摘要行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用.关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组AbstractDeterminant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry.Keywords:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group目录摘要 (II)Abstract (III)0 引言 (1)1 行列式在线性方程组中的一个应用 (1)2 行列式在初等代数中的几个应用 (2)2.1 用行列式分解因式 (2)2.2 用行列式证明不等式和恒等式 (3)3 行列式在解析几何中的几个应用 (4)3.1 用行列式表示公式 (4)3.2 行列式在平面几何中的一些应用 (6)3.3 行列式在三维空间中的应用 (8)参考文献 (15)0 引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组（见文[1]-[5]）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文[2])、初等代数（见文[9]）、解析几何（见文[6]-[8]）、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.1 行列式在线性方程组中的一个应用设含有n 个变元的1-n 个一次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---.0,0,0,122,111,122221*********n n n n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 设方程组（1）的系数矩阵A 的秩是1-n , 不失一般性, 假定不等于零的1-n 阶行列式是nn n n nn a a a a a a a a a A ,13,12,122322113121---=. 行列式1A 中的元素, 就是矩阵A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.我们把n x x x ,,,32 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得11A x d x i i -= ),,3,2(n i = （2） 式中i d 是行列式1d 的第1-i 列元素换以1,12111,,,-n a a a 所成的行列式. 也就是nn i n n i n n n n i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,11,13,12,121,2211,2232211,1111,11312-+------+-+-=.把i d 中第1-i 列移到第一列, 得nn i n i n n n n i i n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112)1(-+-----+-+---=.上式右边的行列式用i A 表示, 行列式i A 是矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素所组成. 故i i i A d 2)1(--=.代入（2）式, 得112)1(A x A x i i i -=--, 或111)1(A x A x i i i =--. 结论[2]: 方程组（1）中的n x x x ,,,21 与n n A A A A 1321)1(,,,,--- 成比例, 式中i A ),,2,1(n i = 是从矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素做成的行列式.2 行列式在初等代数中的几个应用2.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例2.1.1 分解因式：323232323232b ac c ba a cb b ca a bc c ab ---++. 解 222222()()()abc bc b c a c ac ab a b =-+-+-原式()()()abc bc c b ab a c ab b a =-+-+- 111111c a a abc bcacabb c b =+-11101bc a bc a abc ab c abc ab bc c a ac b ac bc b a ==----()()()()abc ab bc b a ac bc c a =----- ()()()()abc b a c b a c a b c a =-----()()()abc a b c a b c =---.例2.1.2 分解因式: ))((4)(2d b c a bc ab cd ----.解 原式2()2()cd ab ab bc bc cd cd ab--=--22()(2)cd abab cd bcbc cd ab cd bc -+-=--+-1(2)2()1cd abab cd bc bc cd -=+---2(2)ab cd bc =+-.2.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例2.2.1 已知0=++c b a , 求证abc c b a 3333=++. 证明 令abc c b a D 3333-++=, 则0000321==++++++==++acb b ac acbb ac c b a c b a c b a ac bba cc b a D r r r . 命题得证.例2.2.2 已知,1,1,1=+=+=+ay cx cy bx by ax 求证222c b a ca bc ab ++=++. 证明 令)(222c b a ca bc ab D ++-++=, 则0000111111213==-+-+-+=---=++c ba cb a cy bx cbay cx a c by ax b a c b a cb a D yc x c c命题得证.例2.2.3 已知0≥≥≥c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 333333++≤++. 证明 令)(333333c a b c a b a c c b b a D ++-++=, 则21312222222222221111c c c c ab bc caab bc ab ca abbc ab ca ab D cbaca cbc a c b c ------==--=--()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c =-+---+-()()()()b c a c a b c a c =--++-而0≥≥≥c b a , 则0≥D , 命题得证.3 行列式在解析几何中的几个应用3.1 用行列式表示公式3.1.1 用行列式表示三角形面积以平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 为顶点的PQR ∆的面积S 是11121332211y x y x y x (3) 的绝对值.证明 将平面),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 三点扩充到三维空间, 其坐标分别为112233(,,),(,,),(,,)x y k x y k x y k , 其中k 为任意常数. 由此可得：2121(,,0)PQ x x y y =--, 3131(,,0)PR x x y y =--则21213131(0,0,)x x y y PQ PR x x y y --⨯=--PQR ∆面积为1sin ,2S PQ PR PQ PR =<> =12PQ PR ⨯=2121313112x x y y x x y y --=--11212131311102x y x x y y x x y y =---- 11223311121x y x y x y =.3.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过两点),(11y x P 和),(22y x Q 的直线PQ 的方程为01112211=y x y x y x . （4） 证明 由两点式, 我们得直线PQ 的方程为212212y y y y x x x x --=--. 将上式展开并化简, 得021122121=+-+--y x y x y x y x xy xy此式可进一步变形为0111122112121=+-y x y x x x yy y x此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.3.1.3 应用举例例 若直线l 过平面上两个不同的已知点11(,)x y A , 22(,)x y B , 求直线方程.解 设直线l 的方程为0=++c by ax , 不全为0, 因为点),(),,(2211y x y x B A 在直线l 上, 则必须满足上述方程, 从而有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.0,0,02211c by ax c by ax c by ax 这是一个以c b a ,,为未知量的齐次线性方程组, 且c b a ,,不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即01112211=y x y x y x. 则所求直线l 的方程为01112211=y x y x y x . 同理, 若空间上有三个不同的已知点),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x z y x B A , 平面S 过C ,,B A , 则平面S 的方程为01111333222111=z y x z y x z y x z y x . 同理, 若平面有三个不同的已知点),(),,(),,(332211y x C y x y x B A , 圆O 过C ,,B A , 则圆O 的方程为0111133232322222211212122=++++y x y x y x y x y x y x y xy x .3.2 行列式在平面几何中的一些应用3.2.1 三线共点平面内三条互不平行的直线.0,0,0333322221111=++=++=++c y b x a L c y b x a L c y b x a L 相交于一点的充要条件是0333222111=c b a c b a c b a . 3.2.2 三点共线平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 在一直线的充要条件是0111332211=y x y x y x . 3.2.3 应用举例例 平面上给出三条不重合的直线:00333322221111=++=++=++c y b x a L c y b x a L c y b x a L , 若0333222111=c b a c b a c b a , 则这三条直线不能组成三角形. 证明 设1L 与2L 的交点为),(11y x P , 因为1112223330a b c a b c a b c =, 将第1列乘上1x , 第2列乘上1y , 全加到第3列上去, 可得：1111111222121233313130a b a x b y c a b a x b y c a b a x b y c ++++=++. 因为P 在1L 与2L 上, 所以111110a x b y c ++=, 且112121231313220()a b a x b y c a x b y c a b ++=⇒++11223331313000a b a b a b a x b y c ==++若1111122220a b a bL a b a b =⇒=⇒与2L 平行, 若P c y b x a ⇒=++031313也在3L 上321,,L L L ⇒交于一点,无论何种情形, 都有321,,L L L 不组成三角形.这说明由0333222111=c b a c b a c b a , 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.3.3 行列式在三维空间中的应用3.3.1 平面组设由n 个平面方程构成的方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,022221111n n n n d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a （5） 若方程组(5)中的z y x ,,各代以tzt y t x ,,, 并用)0(≠t t 乘以(5)式两端: 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a n n n n （6） ),,,(t z y x 叫做点),,(z y x 的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n nc b a c b a c b a A 222111 及 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n d c b a d c b a d c b a B22221111的秩)(A r 及)(B r 有关系. 现在分别叙述如下： (Ⅰ)当0)()(==B r A r , 则方程组中各系数全是0.(Ⅱ)当,1)(,0)(==B r A r 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解0=t .当0→t ,t x ,t y , tz将趋近于无穷大（假设t 趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这n 个平面在无穷远重合.(Ⅲ)当1)()(==B r A r , 则在矩阵A 及B 中所有二阶行列式全是0. 所以我们有),,2,1,(.n j i d d c c b b a a ji j i j i j i ====以上等式表示n 个平面相合成一个平面01111=+++d z c y b x a .(Ⅳ)当,2)(,1)(==B r A r 方程的系数中至少有两组数如i i i i d c b a ,,,及j j j j d c b a ,,,满足以下关系式.jij i j i j i d d c c b b a a ≠== 上式表示平面.0,0=+++=+++j j j j i i i i d z c y b x a d z c y b x a平行但不相合. 也就是平面组中n 个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合. (Ⅴ),2)(,2)(==B r A r 则矩阵A 及B 中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设02211≠b a b a .我们必可求得i i i n m l ,,适合下式：),,4,3(.0,0,0,021212121n i d n d m d l c n c m c l b n b m b l a n a m a l i i i i i i i i i i i i i i i i =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++式中0≠i n , 否则行列式2211b a b a 将等于0. 所以[])()(122221111d z c y b x a m d z c y b x a l n t d z c y b x a i i ii i i i +++++++-=+++. 以上等式表示平面).,,4,3(,0n i d z c y b x a i i i i ==+++经过直线⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a 就是n 个平面全经过一条直线. （Ⅵ）当,3)(,2)(==B r A r 并假定02211≠b a b a方程组的系数至少有一组i i i i d c b a ,,,适合以下关系：0,0222111222111≠=iiiiiic b a c b a c b a c b a c b a c b a （i 是n ,,4,3 中的一数） 以上第一个等式表示组中第i 平面0=+++i i i i d z c y b x a ,与直线⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a 平行. 又因第二个不等式表示第i 平面不经过上述直线, 所以n 个平面有平行的交线.例如由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a i i i i解得333222111333222111333222111333222111c b a c b a c b a t b a d b a d b a d z a d c a d c a d c y d c b d c b d c b x -==-=.因为行列式033222111=c b ac b a c b a .而其它三个行列式不全是零故0=t , 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.（Ⅶ）当3)(,3)(==B r A r , 并假定0333222111≠c b a c b a c b a . 在这种情况下, 平面⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0333322221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a 相交于一点. 又因0333322221111=iiiid c b a d c b a d c b a d c b a ,（n i ,,5,4 =）故平面0=+++i i i i d z c y b x a经过前面三个平面的交点, 就是n 个平面有一个交点, 不在无穷远.（Ⅷ）当4)(,3)(==B r A r , 则矩阵B 中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设0333322221111≠iiiid c b a d c b a d c b a d c b a .（i 是n ,,5,4 中的一数）以上不等式表示平面0=+++i i i i d z c y b x a ,不经过前三个平面的交点.3.3.2 点组设有n 个点, 它们的齐次坐标各是nn n n t z y x t z y x t z y x 22221111此点组的相关位置与坐标做成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n nt z y x t z y x t z y x X 22221111 的秩r 有关系. 分别叙述如下:（Ⅰ）当0=r , 则n 个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置.（Ⅱ）当1=r , 假定01≠x , 很容易推得(因为X 中所有的二阶行列式等于0)),,4,3,2(.1111n i t t z z y y x x ii i i ====上式表示n 个点全重合. （Ⅲ）当2=r , 并假设02211≠y x y x ,因X 中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得i i i n m l ,,适合以下方程：),,,4,3(,0,0,0,021212121n i t n t m t l z n z m z l y n y m y l x n x m x l i i i i i i i i i i i i i i i i =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++式中i n 不等于0, 否则行列式2121y y x x 将等于0. 故可求得).(1),(1),(1),(121212121t m t l n t z m z l n z y m y l n y x m x l n x i i ii i i i i i i ii i i ii +-=+-=+-=+-=假设点),,,(1111t z y x 及),,,(2222t z y x 的连线为⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111t D z C y B x A t D z C y B x A 把),,,(i i i i t z y x 的等值代入上式, 易验证点),,,(i i i i t z y x 在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因i 可以是n ,,4,3,2 , 所以n 个点全在一直线上. （Ⅳ）当3=r , 并假定,0333222111≠z y x z y x z y x X 中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得i i i i k n m l ,,,适合下式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++,0,0,0,0321321321321i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i t k t n t m t l z k z n z m z l y k y n y m y l x k x n x m x l 式中i k 不等于0, 否则行列式.0333222111=z y x z y x z y x 从以上方程组求得：),(1),(1321321y n y m y l k y x n x m x l k x i i i ii i i i ii ++-=++-=).(1),(1321321t n t m t l k t z n z m z l k z i i i ii i i i ii ++-=++-=设点),,,(),,,,(22221111t z y x t z y x 及),,,(3333t z y x 所确定的平面是.0=+++Dt Cz By Ax把i i i i t z y x ,,,的等值代入上式, 甚易验明点),,,(i i i i t z y x 在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为i 可以是n ,,6,5,4 , 所以n 个点共在一个平面上. （Ⅴ）当4=r , X 中至少有一个四阶行列式如0333322221111≠iiiit z y x t z y x t z y x t z y x .i 是n ,,7,6,5,4 中任一个数. 以上不等式表示点),,,(i i i i t z y x 不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点),,,(i i i i t z y x 在平面0=+++Dt Cz By Ax上, 则以下关系成立.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++,0,0,0,0333322221111i i i i Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax 也就是行列式.0333322221111=iiiit z y x t z y x t z y x t z y x这与假设矛盾.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社, 2003.[2]高杨芝. 行列式浅说[M]. 江苏: 江苏人民出版社, 1958.[3]王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[4]王品超. 高等代数新方法(下)[M]. 徐州: 中国矿业大学出版社, 2003.[5]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 中央民族大学出版社, 2002.[6]徐岳灿. 关于行列式的若干应用[J]. 上海中学数学, 2004(3), 40-41.[7] 梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 毕节学院学报, 2006(4), 27-28.[8]彭丽清. 行列式的应用[J]. 忻州师范学院学报, 2005(5), 40-41.[9]汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008(3), 9-10.。