化一公式,辅助角公式学习教案.docx
辅助角公式教学设计22
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+教学应注意的的几个问题在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）.其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)=θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a) ②ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定.推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法. 首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0.1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知sin ϕ=b r ,cos ϕ=a r =所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba) 2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵角ϕ的坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=br.asinθ+bcosθsin cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)= )θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)= )θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθ凑成sinθ+θ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4 化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Z ϕππ=+∈1sin2(sin)2(sin cos cos sin)2552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cosϕ=满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin)2(sin sin cos cos)2552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-==+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tanbaϕ=，1ϕ的具体位置由1sinϕ与1cosϕ决定，1ϕ的大小由1tanbaϕ=决定．类似地，sin cos)a bθθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.kϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos))a bθθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tanabϕ=，2ϕ的位置由2sinϕ和2cosϕ确定，2ϕ的大小由2tanabϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；)cos()33ππαα-+-．解：1cos cos )22(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）)cos()331[sin()cos()]3233[sin()cos cos()sin ]33332)3ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-，而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便． 例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x 的值.解:21()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++ =21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22[cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13)2θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线lθNB MAPO图3。
辅助角公式(高一必修四新授课)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的化归
-辅助角公式
教学目标：
知识与技能：熟练利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化归以及辅助角公式的应用。
过程与方法：讲练结合法
情感、态度及价值观：会用联系变化的观点看待事物，增强解决问题的能力。
教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式和辅助角公式的应用。
教学难点：在应用辅助角公式进行化归求值的过程中，涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的使用。
教学过程：
一、讲解新知：
课本6、化简
解：原式
解：原式
解：原式
知识点讲解：
辅助角公式：
有原式
或原式
其中，叫辅助角。
或
二、当堂训练：
课本6、化简
课本13、化简
答案：课本6、化简原式
课本13、化简原式原式
原式原式
三、课堂小结
四、课后作业。
化一公式,辅助角公式教案
化一公式（第一课时）一、教材剖析化一公式在必修 4 的教材中并无出现特意的一节进行解说，是由于化一公式的实质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
二、教课要点对特别角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。
知道要从系数中提出a 2b2 .三、教课难点对a2b2的研究，理解为何要提这个出来。
四、教课过程（一）、知识回首引入前方我们学习了两角和的正弦公式，大家回首一下应当等于：sin() sin cos sin cos那我们看一下sin=sin cos cos sin 3cos1 sin33322则那么请同学看下边两个题应当等于多少例一：化简下边式子（ 1）2sin2cos 22（ 2）1sin3cos 22解说：第一个式子中的2能够当作 sin, cos, 变式后利用两角和正弦的逆应244用课进行化简。
第二个式子中的 1 和3能够当作 cos , sin。
2233（二）、新授知识那么此刻我们来看下一个题：例二：化简下边式子（ 1） 2 sin 2 cos（ 2）sin 3 cos（提示学生和例一的关系，让学生自己转变到例一去）解答：（1）22sin2cos2sin224（2） 2 1sin3cos2sin3 22为何要提 2 出来呢？由于提出来后能够在里面创建出特别角的三角函数，是我们想要的那么方才的这些题我们都比较简单看出他们和特别角之间的关系，那么假如碰到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？例三：化简下边式子a sin xb cosx（让学生思虑并议论）学生议论后指出这里应当提出 a 2b2，由于里面剩下的a,b恰好a 2b2a2b2能够构一个角的正弦与余弦。
因此 a sin x b cosx a2b2sin(x) ，我们把这类把两三角函数变成一个三角函数的公式称为化一公式。
由此我们就能够办理任何近似的式子了例三：化简下边式子3 15 sin x 3 5 cos x解答：先察看，把315 与3 5 的公因式 35先提出来，变成 3 sin x cos x ，再利用公式，提出32 2 ，能够变成 653sin x1cos x65 sin x12226练习：化简下边式子：（ 1）3cos x3sin x（2） 3 sin x cos x（ 3）2sin x6cos x 2244（让学生上来做并解说）（三）总结同学们你们来谈谈这节课你收获到了什么？1，化一公式 2 ，逆向思想3，化归的思想（四）作业练习册。
辅助角公式
公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化a sin θ+b cos θ为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,总结出公式22sin cos sin()a b a b θθθφ+=++或22sin cos cos()a b a b θθθφ+=+-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.教师引导：P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设OP=r=22a b +由三角函数定义可知： 辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角φ由2222cos sin a a b b a b φφ=+=+ 确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。
其中φ的大小可以由sin φ、cos φ的符P号确定φ的象限,再由tanφ的值求出.或和P(a,b)所在的象限来确定. 由tanφ=ba教师指导题目4将下列各式化为一个角的正弦形式教师总结，批阅。
学案一、知识回顾：两角和与差的正余弦公式：二、新课探究：1、利用和差角公式计算下列各式的值：练习：2、求证：cos2sin()6πααα=+3、将sin cosa xb x+化为一个角的正弦形式。
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P，设由三角函数定义可知：b=a=辅助角公式•推导对于一般形式ααcossin ba+（a、b不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？其中辅助角φ由cos__________sin___________φφ==确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。
高中数学辅助角公式教案
高中数学辅助角公式教案
一、教学目标
1. 了解辅助角的概念和性质；
2. 掌握辅助角的相关公式和求解方法；
3. 能够运用辅助角公式解决相关问题。
二、教学重点
1. 辅助角的概念和性质；
2. 辅助角公式的掌握；
3. 辅助角公式的应用。
三、教学内容
1. 辅助角的概念和性质；
2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式；
3. 应用举例与练习。
四、教学过程
1. 辅助角的概念和性质
- 引导学生理解辅助角的概念和性质，解释其在三角函数计算中的作用；- 讲解辅助角的意义和使用方法，引导学生积极思考和互动。
2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式
- 介绍正弦、余弦、正切、余切辅助角公式的推导和应用；
- 指导学生掌握辅助角公式的应用方法，举例演练解题过程。
3. 应用举例与练习
- 给出一些具体的应用题目，让学生运用所学知识解题；
- 带领学生讨论解题思路和方法，及时纠正错误，加深理解。
五、教学反馈
1. 对学生的练习情况进行检查和评价；
2. 总结学生在辅助角公式运用中存在的问题，并指导学生进行巩固练习；
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高解题能力。
六、课后作业
1. 完成课堂练习题和实践题；
2. 针对学生出现的问题进行针对性的练习；
3. 鼓励学生自主学习，准备下节课分享心得。
七、教学效果评估
1. 学生掌握辅助角概念、公式和应用的情况；
2. 学生能否熟练运用辅助角公式解题；
3. 学生对辅助角公式的理解和运用能力。
以上为高中数学辅助角公式教案范本，具体教学内容和安排可根据实际情况进行调整和完善。
小班-三角函数辅助角公式专题-文-基础
学 员 辅 导 教 案学生姓名： 授课时间2016 年11月11日 （星期五） 科目：数学辅助角公式---天才第一步一、教学目标1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取三、教学过程1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________利用公式展开3()2cos sin()32f x x x π=+-=_____________________反之,若要将22sin cos 22αα+化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是22sin cos 22αα+=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（1）31sin cos 22αα+ （2）sin 3cos αα-2、辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 22222222sin cos (sin cos )sin()ab a b a b a b a b a b αααααβ+=++++=++其中辅助角β由2222cos sin a a b b a b ββ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩确定，即辅助角β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈例１、利用辅助角公式求下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（1）31sin cos 22αα- （2）ααcos sin +（3）sin cos αα- （4）ααsin cos -（5）2sin 6cos αα+ （6）3sin cos αα--例3、若3()2cos sin()32f x x x π=+-，求x x cos sin +的值。
辅助角公式及应用导学案
=_________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
（2）
（3）-
变式训练：求 的最小正周期，最大值，最小值。
________________________________
二、新课探究
引例：例1、求证：
一般地, 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
合作探究：例2、化 为一个角的一个三角函数的形式.
尝试练习：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为 的形式
（1） （2）
（3） （4） （5）
三、公式应用
（1）
辅助角公式及应用导学案
课题：
辅助角公式及应用
学习目标：
1、能推导出辅助角公式的一般形式2、会将asinx+bcosx（a、b均不为零）化为只含有一个正弦的三角函数形式3、运用辅助角公式灵活解决综合题目
重点：
辅助角公式的掌．
难点：
辅助角公式的熟练运用
学习方法：启发式，探究式、讨论法
一、复习引入
两角和与差的正弦公式
辅助角公式及应用课件
利用代数方法推导
总结词
通过代数方法，我们可以将三角函数问 题转化为代数问题，从而推导出辅助角 公式。
VS
详细描述
利用代数方法，我们可以将三角函数问题 转化为代数问题。通过设置方程并求解， 我们可以得到辅助角公式的一般形式。这 种方法需要一定的代数基础和技巧，但适 用范围较广，可以处理各种复杂的三角函 数问题。
等。
在三角函数求值中的应用
辅助角公式可以用于求解某些特定类型的三角函数值，例如求正弦、余弦或正切值 。
通过使用辅助角公式，可以将复杂的三角函数问题转化为更易于解决的形式，从而 快速准确地找到答案。
辅助角公式还可以用于求解一些特殊角度的三角函数值，例如30度、45度或60度等 。
在三角函数图像变换中的应用
辅助角公式及应用课 件
汇报人：
202X-01-04
目录
CONTENTS
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的注意事项 • 辅助角公式的扩展 • 习题与解答
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于将一个复杂的三角函数式转化 为易于处理的形式的公式。它通过引入一个辅助角，将原函 数表示为简单三角函数的组合。
辅助角公式可以用于对三角函 数图像进行平移、伸缩或翻转 等变换操作。
通过使用辅助角公式，可以将 图像变换问题转化为数学表达 式，从而更方便地进行图像处 理和操作。
辅助角公式还可以用于研究三 角函数图像的性质和特点，例 如周期性、对称性或极值点等 。
04
辅助角公式的注意 事项
公式的适用范围
适用角度范围
公式的误差分析
近似误差
辅助角公式在应用过程中会产生近似误差，主要来源于将复杂的 三角函数转化为简单的三角函数。
辅助角公式
学案
一、知识回顾：
两角和与差的正余弦公式：
二、新课探究：
1、利用和差角公式计算下列各式的值：
练习：
2、求证：cos2sin()
6
π
ααα
=+
3、将sin cos
a x
b x
+化为一个角的正弦形式。
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设
由三角函数定义可知： b= a=
辅助角公式推导
对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式 其中辅助角φ
由
cos __________
sin ___________
φφ== 确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）
的终边经过点P (,)a b
------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为
辅助角。
4、 将下列各式化为一个角的正弦形式
5、
求函数sin y x x =+的周期、最大值与最小值。
课堂检测： 思考：
6、求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期、最大值与最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。
高中数学新北师大版精品教案《辅助角公式专题》
第三章 三角恒等变形 第2节 两角和与差的三角函数之辅助角（又称合一）公式sin cos sin()a b A θθθϕ+=+【】专题教学设计 梧州高级中学数学组 周勇辅助角公式是三角变换中最重要的公式，在解决三角函数问题过程中具有广泛地应用，由于公式的推导理解和灵活运用有一定的难度，所以需要进行专题的讲解。
根据内容特点，我做出如下的教学设计。
一、学习目标1、知识与技能1掌握辅助角公式的推导过程，认识辅助角公式的作用和意义。
2利用辅助角公式进行简单的三角函数变形和求值，能解决某些简单的三角函数问题。
2、过程与方法以问题链为导学方式来帮助学生完成本节内容的学习，着重抓住学生的思维发展过程，先引导学生复习两角和差的正余弦公式并通过具体实例训练逆向使用，从中启发学生认真观察、类比、思考，深入挖掘得出辅助角公式并进行理论推导和证明，体会公式的作用和意义，并学会模仿使用公式和灵活运用。
3、情感目标与价值观通过让学生历练数学问题解决的思维发展过程，让学生体会辅助角公式的产生是自然的，方法是多样的，结果是简洁的，感受到思维的快乐和数学的美感。
【学习重点】辅助角公式的推导。
【学习难点】辅助角公式的应用。
【学法指导】通过个人自主探究和小组互相讨论，激发学生学习兴趣。
二、学习内容与过程：情景设置：（一）复习引入，公式巩固sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-cos()αβ+=cos cos sin sin αβαβ- cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+请分析上述公式形式特点，得出其记忆口诀（左复右单，正同名异，余异名同）。
设计意图：通过复习回顾公式，一方面归纳出公式形式上的特点来巩固和帮助学生记忆公式，另一方面为后续逆向使用公式提供必要铺垫。
情景设置：（二）问题探究，观察思考1.请利用正余弦和差公式进行展开：sin()6πθ+=1cos 22θθ+2请将下面式子化为只含正弦名称的三角函数形式：1sin 2θθ+=sin()3πθ+ 设计意图：通过以上两个具体实例帮助学生从正向和逆向使用公式，增强思维的互逆性，另外特别训练学生的观察能力。
辅助角公式公开课优质课
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例4：求函数y = sinx Biblioteka 3cosx的周期，最大值和最小值。
解：y = sinx + 3cosx
= 2( 1 sinx + 3 cosx)
2
2
= 2(sinxcos π + cosxsin π )
= 2sin(x + π3)
3
3
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为- 2。
三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
②从三角函数的定义出发进行推导
第四页，共9页
•
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一个
角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 ,由b2 三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
第六页，共9页
例3：试将以下各式化为 Asin(x ),(A 0, )
的形式
⑴
⑵
⑶
⑷ 2 sin( ) 6 cos( )
63
63
答案：
⑴ sin( ) 6
⑶ 2sin( 5 ) 6
⑵ 2 2 sin( ) 3
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，a sin x b cos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
第三页，共9页
例2：将 a sin x b co化s x为一个角的三角函数形式
辅助角公式学案
sin(
（行） 通过课前 预学回顾旧知， 课堂展示预习 情况， 了解学生 对知识的掌握 情况 ，为下面 教学环节作铺 垫
3 sin cos 2sin( ) 6
（ab 0) 是否可以化为一个角的三角函数形式 一般地, a sin b cos
学习 过 程
学习内容
一、 复习引入 两角和与差的正弦公式
设计意图
sin =_________________________________
sin =_________________________________
)= ________________________________ 6 5 sin( )= ________________________________ 6 5 sin( - )= ________________________________ 6 sin( - )= ________________________________ 6
呢?
第3页
（行知） 提出问题 激发兴趣
尝试练习： 将以下各式化为只含有正弦的形式， 即化为 A sin( ) A 0 的形式 （1）
3 1 sin cos 2 2
（2） sin
3 cos
（行知） 练习讨论 获得新知
（3） sin cos
（4）
成都市第 37 中高一数学
课题： 辅助角公式 学习目标：
学案
课型：新授课 课时：1
1、能推导出辅助角公式的一般形式 2、会将 asinx+bcosx（a、b 均不为零）化为只含有一个正弦 的三角函数形式 3、运用辅助角公式灵活解决综合题目 重点： 辅助角公式的掌握． 难点： 辅助角公式的熟练运用
金典教案-辅助角公式（精编文档）.doc
⾦典教案-辅助⾓公式（精编⽂档）.doc【最新整理，下载后即可编辑】辅助⾓公式sin cos )a b θθθ?+=+教学应注意的的⼏个问题在三⾓函数中，有⼀种常见⽽重要的题型，即化sin cos a b θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式，进⽽求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学⽣记忆和掌握这种题型的解答⽅法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θ?+或sin cos a b θθ+cos()θ?-,让学⽣在⼤量的训练和考试中加以记忆和活⽤.但事与愿违,半个学期不到,⼤部分学⽣都忘了,教师不得不重推⼀遍.到了⾼三⼀轮复习,再次忘记,教师还得重推!本⽂旨在通过辅助⾓公式的另⼀种⾃然的推导,体现⼀种解决问题的过程与⽅法,减轻学⽣的记忆负担;同时说明“辅助⾓”的范围和常见的取⾓⽅法,帮助学⽣澄清⼀些认识;另外通过例⼦说明辅助⾓公式的灵活应⽤,优化解题过程与⽅法;最后通过例⼦说明辅助公式在实际中的应⽤,让学⽣把握辅助⾓与原⽣⾓的范围关系,以更好地掌握和使⽤公式.⼀.教学中常见的的推导⽅法教学中常见的推导过程与⽅法如下1.引例例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:可见, α+cos α可以化为⼀个⾓的三⾓函数形式.⼀般地,asin θ+bcos θ是否可以化为⼀个⾓的三⾓函数形式呢?2.辅助⾓公式的推导例2 化sin cos a b θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①则asin θ+bcos θθcos ?+cos θsin ?)θ+?),(其中tan ?=b a ) ②=sin ?,则asin θ+bcos θθsin ?+cos θcos ?s(θ-?),(其中tan ?=a b ) 其中?的⼤⼩可以由sin ?、cos ?的符号确定?的象限,再由tan ?的值求出.或由tan ?=b a 和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和⼤量的练习.但是这种推导⽅法有两个问题:⼀是为什么要令=cos ?=sin ??让学⽣费解.⼆是这种 “规定”式的推导,学⽣难记易忘、易错!⼆.让辅助⾓公式sin cos a b θθ+)θ?+来得更⾃然能否让让辅助⾓公式来得更⾃然些?这是我多少年来⼀直思考的问题.2009年春.我⼜⼀次代2008级学⽣时,终于想出⼀种与三⾓函数的定义衔接⼜通俗易懂的教学推导⽅法.⾸先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式，⽆需化简.故有ab ≠0. 1.在平⾯直⾓坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描⼀点P(a,b)如图1所⽰,则总有⼀个⾓?,它的终边经过点P.设由cos ?=a r =. 所以asin θ+bcos θsin θcos θ)θ?+.(其中tan ?=b a ) 2.若在平⾯直⾓坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所⽰,则总有⼀个⾓?的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=.由三⾓函数的定义知sin ?=a r, cos ?=b rasin θ+bcos θsin cos ?θ?θ+s()θ?-. (其中tan ?=a b) 例3cos θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式. 解:在坐标系中描点P(设⾓?的终边过点P,则OP∴cos θθ+=2cos ?sin θ+2sin ?cos θ=2sin(θ?+).tan ?=3. 26k π?π=+,cos θθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运⽤,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助⾓公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θ?+,(其中tan?=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=))我想这样的推导,学⽣理解起来会容易得多,⽽且也更容易理解asinθ+bcosθ凑成sinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式.解法⼀:点(1,-)在第四象限.OP=2.设⾓?过P点.则sin2=-,1cos2=.满⾜条件的最⼩正⾓为53π,52,.1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=+=++=+解法⼆:点P(-,1)在第⼆象限,OP=2,设⾓?过P点.则1sin2=,cos2=-.满⾜条件的最⼩正⾓为56π,52,.6k k Z1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助⾓的范围问题由sin cos)a bθθθ?+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的⾓可能有四种情况(第⼀象限、第⼆象限、第三象限、第四象限).设满⾜条件的最⼩正⾓为1?,则12k ??π=+.由诱导公式(⼀)知1sin cos ))a b θθθ?θ?+=+=+．其中1(0,2)?π∈，1tan b a ?=，1?的具体位置由1sin ?与1cos ?决定，1?的⼤⼩由1tan b a=决定．类似地，sin cos )a b θθθ?+=-，?的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满⾜条件的最⼩正⾓为2?，则22.k ??π=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθ?θ?+=-=-，其中2(0,2)?π∈，2tan a b ?=，2?的位置由2sin ?和2cos ?确定，2?的⼤⼩由2tan a b ?=确定．注意：①⼀般地，12??≠；②以后没有特别说明时，⾓1?（或2?）是所求的辅助⾓．题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθ?+=+的形式或2sin cos )a b θθθ?+=-的形式．可以利⽤两⾓和与差的正、余弦公式灵活处理．例５化下列三⾓函数式为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-．解：1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）⼩题中，a =1b =-，我们并没有取点．也就是说，当a 、b 中⾄少有⼀个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的⾓1?（或2?）是锐⾓，就更加⽅便．例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+,1(cos(),)32=+,求函数()h x =2a b b c ?-?+的最⼤值及相应的x 的值.解:21()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++ =21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)2323xx ππ+-++=22cos(2)sin(2)]22323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++ max ()2.2h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两⾓和与差的正弦公式不仅⿇繁,⽽且易错,请读者⼀试.五.与辅助⾓有关的应⽤题与辅助⾓有关的应⽤题在实际中也⽐较常见,⽽且涉及辅⾓的范围,在相应范围内求三⾓函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中⼼⾓为45?,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对⾓线l 的最⼩值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin (cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)2θθ-+ =13sin(2)22θ?-+,其中11tan 2?=,1(0,)2π?∈,11arctan 2?=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθ?∴<+<+ 2min322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对⾓线l 的最⼩值为12-.θ N B M A Q P O 图3。
辅助角公式(教)
辅助角公式在高考三角题中的应用对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx=++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
由于上式中的a a b22+与ba b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，其中θ由a a bb a b2222+=+=cos ,sin θθ来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期例1 （2006年上海卷选）求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
解：)6x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x2sin 3)2x 2sin(x2sin 3)4x sin()4x cos(2y π+=+=+π+=+π+π+=所以函数y 的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值例2. （2003年北京市）已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x 。
若x ∈[,]02π，求f(x)的最大值和最小值。
解：f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=--224sin()x π。
由0242434≤≤≤≤x x ππππ⇒--。
当244x -=-ππ，即x=0时，sin()24x -π最小值-22；当24238x x -==πππ，即时sin()24x -π取最大值1。
《辅助角公式》 导学案
《辅助角公式》导学案一、学习目标1、理解辅助角公式的推导过程。
2、掌握辅助角公式的结构特点和应用条件。
3、能够熟练运用辅助角公式解决三角函数的化简、求值和最值等问题。
二、知识回顾1、两角和与差的正弦、余弦公式＄＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta$＄＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta$＄＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta$＄＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta$2、同角三角函数的基本关系＄＼sin^2\alpha ＋＼cos^2\alpha ＝ 1$＄＼tan\alpha ＝＼dfrac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＄三、引入新课对于形如＄a\sin x ＋ b\cos x$ 的式子，我们能否将其化为一个角的一个三角函数形式呢？这就需要用到辅助角公式。
四、辅助角公式的推导＼＼begin{align}a\sin x ＋ b\cos x ＆＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼left(＼dfrac{a}｛＼sqrt{a^2 ＋ b^2}｝＼sin x ＋＼dfrac{b}｛＼sqrt{a^2 ＋ b^2}｝＼cosx\right)＼＼＼end{align}＼令＄＼cos\varphi ＝＼dfrac{a}｛＼sqrt{a^2 ＋ b^2}｝＄，＄＼sin\varphi ＝＼dfrac{b}｛＼sqrt{a^2 ＋ b^2}｝＄，则＼＼begin{align}a\sin x ＋ b\cos x ＆＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}（＼cos\varphi\sin x ＋＼sin\varphi\cos x)＼＼＆＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼sin(x ＋＼varphi)＼end{align}＼其中，＄＼tan\varphi ＝＼dfrac{b}｛a}＄，辅助角＄＼varphi$ 的终边经过点＄（a,b)＄。
辅助角公式教学设计25
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+教学应注意的的几个问题在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）.其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①ϕϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)=θ+ϕ),(其中tan ϕ=ba)②ϕϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定.推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:=cos ϕϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法. 首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0.1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ϕ=b r ,cos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=b a) 2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵角ϕ的坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=br.asinθ+bcosθsin cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)= )θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)= )θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθ凑成sinθ+θ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4 化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Z ϕππ=+∈1sin2(sin)2(sin cos cos sin)2552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cosϕ=满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin)2(sin sin cos cos)2552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-==+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tanbaϕ=，1ϕ的具体位置由1sinϕ与1cosϕ决定，1ϕ的大小由1tanbaϕ=决定．类似地，sin cos)a bθθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.kϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos))a bθθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tanabϕ=，2ϕ的位置由2sinϕ和2cosϕ确定，2ϕ的大小由2tanabϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；)cos()33ππαα-+-．解：1cos cos )22(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）)cos()6331[sin()cos()]233[sin()cos cos()sin ]33332)33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-，而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便． 例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x 的值.解:21()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++ =21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22[cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13)2θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 32l ∴=-min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l12. θNB MAPO图3。
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化一公式（第一课时）
一、教材分析
化一公式在必修 4 的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为化一公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
二、教学重点
对特殊角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。
知道要从系数中提出
a 2b2 .
三、教学难点
对a2b2的探究，理解为什么要提这个出来。
四、教学过程
（一）、知识回顾引入
前面我们学习了两角和的正弦公式，大家回顾一下应该等于：
sin() sin cos sin cos
那我们看一下
sin=sin cos cos sin 3
cos
1 sin
33322
则那么请同学看下面两个题应该等于多少
例一：化简下面式子
（ 1）2
sin
2
cos 22
（ 2）1
sin
3
cos 22
解释：第一个式子中的2
可以看成 sin, cos, 变式后利用两角和正弦的逆应244
用课进行化简。
第二个式子中的 1 和3
可以看成 cos , sin。
2233（二）、新授知识
那么现在我们来看下一个题：
例二：化简下面式子
（ 1） 2 sin 2 cos
（ 2）sin 3 cos
（提示学生和例一的关系，让学生自己转化到例一去）
解答：（1）22
sin
2
cos2sin
224
（2） 2 1
sin
3
cos2sin
3 22
为什么要提 2 出来呢？
因为提出来后可以在里面创造出特殊角的三角函数，是我们想要的
那么刚才的这些题我们都比较容易看出他们和特殊角之间的关系，那么如果遇到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？例三：化简下面式子
a sin x
b cosx
（让学生思考并讨论）
学生讨论后指出这里应该提出 a 2b2，因为里面剩下的a,b刚好
a 2b2a2b2
可以构一个角的正弦与余弦。
所以 a sin x b cosx a2b2sin(x) ，我们把这种把两三角函数变为一个三角
函数的公式称为化一公式。
由此我们就可以处理任何类似的式子了
例三：化简下面式子
3 15 sin x 3 5 cos x
解答：先观察，把315 与3 5 的公因式 35先提出来，变为 3 sin x cos x ，再利用公式，提出32 2 ，可以变为 653sin x1cos x65 sin x
12
226练习：化简下面式子：
（ 1）3
cos x
3
sin x（2） 3 sin x cos x（ 3）
2
sin x
6
cos x 2244
（让学生上来做并讲解）
（三）总结
同学们你们来说说这节课你收获到了什么？
1，化一公式 2 ，逆向思维3，化归的思想（四）作业
练习册。